Как с помощью линий напряженности можно узнать где модуль вектора е больше или меньше
Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля — напряжённостью и его энергетической характеристикой — потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E d l, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = — dW п = — q d 
, где d — изменение потенциала электрического поля на длине перемещения d l. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = — d или в декартовой системе координат
Ex d x + Ey d y + Ez dz = — d , (1.8)
где Ex, Ey, Ez — проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
.
Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j , т. е.
E = — grad = — Ñ .
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4 p e 0 e r . Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора
.
Проекция же градиента потенциала на направление вектора t , перпендикулярного вектору r, равна
,
т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const ) .
В рассмотренном случае направление вектора r совпадает с направлением
рис. 1.6
силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.
При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. 1.7 приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали — штриховыми.
Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению.
1) Какова связь между напряженностью и потенциалом. Выведите ее и объясните.
2) Электростатическое поле имеет вид Е = a i + b j , где a и b константы. Является ли поле однородным. Написать выражение для потенциала поля.
3) Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид = ( x 2 + y 2 + z 2 ). Что можно сказать о характере поля. Найти модуль напряженности поля в точке с координатами x , y , z
4) Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности
Визуализация линий напряженности и движений электростатических зарядов, симулирование движения планет солнечной системы
Привет, сегодня я хочу вам предложить наглядное пособие по моделированию некоторых физических процессов и показать как получить красивые изображения и анимации. Осторожно много картинок.
Весь код можно найти в Google colab.
Теория
Для начала нам понадобится небольшой теоретический минимум по этой теме. Начнем с понимания что такое линии напряженности и как их считать. По сути данные линии являются слиянием множества векторов напряжённости, которую можно посчитать так:.
Метод вычисления E
Я рассчитывал вектор напряженности через подобие треугольников, получая тем самым проекции на оси x и y dx и dy соответственно.
Из подобия следует, что радиуса вектора от заряда до точки в пространстве r и длинны вектора напряженности E равно отношению проекций этих векторов (x1 и dx соответственно) . Формула результирующего вектора
с этими знаниями получаем первый результат.
Функция расчета проекций
def E(q_prop, xs, ys, nq): #q_prop=[[xq1, yq1, q1, mq1, vxq1, vyq1], [xq2, yq2, q2, mq2, vxq2, vyq2] . ] l=1 k=9*10**9 Ex=0 Ey=0 c=0 for c in range(len(q_prop)):#проходимся по всем зарядам в массиве вычисляем проекции напряженности в заданной точке и обновляем значение результирующей напряженности q=q_prop[c] r=((xs-q[0])**2+(ys-q[1])**2)**0.5 dEv=(k*q[2])/r**2 dEx=(xs-q[0])*(dEv/r)*l dEy=(ys-q[1])*(dEv/r)*l Ex+=dEx Ey+=dEy return Ex, Ey Метод построения линий
Для начала нужно определиться с начальной и конечной точкой, откуда будет идти линия и докуда. Началом являются точки на окружности с радиусом r вокруг заряда, а концом точки отдаленные от зарядов не более чем на r.
код для определения начальных точек
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, n) mask=q_prop[ q_prop[:,2]>0 ]#оставляем только положительные заряды for cq in range(len(mask)): qmask=mask[cq] xr = r_q*np.cos(theta)+qmask[0]#определение х-ов точек окружности вокруг заряда yr = r_q*np.sin(theta)+qmask[1]#аналогично Так-же стоит сказать, что линии строятся только из положительных зарядов.
И наконец построение линий. Для этого мы из начальной точки строим линию вектора напряженности в ней, обновляем начальную точку на конец построенной линии и повторяем пока не будет достигнуто условия окончания, названные выше.
функция вычисления координат линий
def Draw(size, q_prop,r_q, n): linen=np.empty((np.count_nonzero(q_prop[:,2]>0),n, 2000000), dtype=np.float64) linen[:] = np.nan theta = np.linspace(0, 2*np.pi, n) mask=q_prop[ q_prop[:,2]>0 ][ q_prop[q_prop[:,2]>0][:,3]==1 ] for cq in range(len(mask)): qmask=mask[cq] x11 = r_q*np.cos(theta)+qmask[0] x22 = r_q*np.sin(theta)+qmask[1] for c in range(len(x11)): xs=x11[c] ys=x22[c] lines=np.empty((2,1000000), dtype=np.float64) lines[:]=np.nan stop=0 nnn=0 lines[0][nnn]=xs lines[1][nnn]=ys while abs(xs) Взаимодействие между зарядами
Чтобы отразить их взаимодействие, нужно изменять его координаты и скорость через каждое маленькое время dt.
Функция обновления координат и проекций скоростей зарядов
def Update_all(q_prop): vx=0 vy=0 x=0 y=0 q_prop_1=np.copy(q_prop) for c in range(len(q_prop)):#проход по зарядам и обновление их координат и проекций скоростей xs=q_prop[c][0] ys=q_prop[c][1] q =q_prop[c][2] m =q_prop[c][3] vx=q_prop[c][4] vy=q_prop[c][5] Ex, Ey= E(q_prop, xs, ys, c) x=(((Ex*q)/m)*dt**2)/2+vx*dt+xs y=(((Ey*q)/m)*dt**2)/2+vy*dt+ys vx+=((Ex*q)/m)*dt vy+=((Ey*q)/m)*dt #print(q_prop[c]-[x,y,q,m,vx,vy]) q_prop_1[c]=[x,y,q,m,vx,vy] return q_prop_1#возвращение обновлённого массива характеристик зарядовГравитация
На основе имеющегося кода я написал симулятор, отражающий движения тел под действием гравитации. Изменения в коде в основном для функции напряженности т.к. теперь будет считаться ускорение по похожей формуле.
Планеты стартуют с оси х в перигелийном расстояние и с перигелийной скоростью. Все значения планет и солнца (массы, расстояния, экстренциситеты) из справочника.
Анимация для первых 4 планет + cолнца.
Жду критику и предложений. До свидания.
Физика. 10 класс
Для описания электростатического поля нужно знать как модуль, так и направление напряжённости в каждой его точке. Чтобы наглядно отображать распределение поля в пространстве, Фарадей в 1845 г. предложил способ изображения электрических полей в виде воображаемых линий. Их назвали линиями напряжённости или силовыми линиями.
Линии напряжённости — воображаемые направленные линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают по направлению с напряжённостью электростатического поля в той же точке (т. е. с направлением электростатической силы, действующей на положительный заряд) (рис. 111).
Очевидно, что через любую точку поля, в которой , можно провести одну и только одну линию напряжённости. В каждой такой точке напряжённость имеет вполне определённое направление.
На рисунке 112, а изображены линии напряжённости полей, образованных зарядами, равномерно распределёнными по поверхности уединённых проводящих шариков. Направление каждой стрелки на рисунке 112, а совпадает с направлением напряжённости поля. Линии напряжённости в первом случае направлены от положительного заряда в бесконечность, а во втором — из бесконечности к отрицательному заряду и оканчиваются на нём. В электростатическом поле линии напряжённости начинаются и оканчиваются на электрических зарядах даже тогда, когда одним своим концом уходят в бесконечность, где и находятся недостающие на рисунке заряды.
На рисунке 112, б изображены линии напряжённости электростатического поля, образованного двумя разноимёнными зарядами, модули которых одинаковые, находящимися на проводящих шариках. Стрелки показывают направления напряжённости поля в различных его точках.
На рисунке 112, в представлены линии напряжённости электростатического поля двух одинаково заряженных шариков.
На рисунке 112, г изображено поле, созданное зарядами противоположных знаков, модули которых одинаковые, находящимися на двух плоских металлических пластинах, длина которых много больше расстояния между ними. Линии напряжённости такого поля параллельны друг другу за исключением пространства вблизи краёв пластин и вне области их перекрытия. Электростатическое поле в центральной области между разноимённо заряженными металлическими пластинами является примером однородного поля.
Однородное электростатическое поле — электростатическое поле, напряжённость которого во всех точках пространства одинакова.
Электростатические поля, изображённые на рисунках 112, а, б, в, являются неоднородными, так как или модуль, или направление (или и то, и другое) напряжённости в разных точках поля отличается.
Линии напряжённости электростатического поля не прерываются в пространстве (при отсутствии в нём других зарядов), никогда не пересекаются и не касаются друг друга.
Чтобы линии напряжённости отображали не только направление, но и модуль напряжённости поля, на рисунках их условились проводить с определённой густотой. Линии напряжённости идут гуще там, где модуль напряжённости поля больше, и реже там, где он меньше. В однородном электростатическом поле густота линий напряжённости не меняется. Картину линий напряжённости принято строить так, чтобы она, по возможности, отображала симметрию изображаемого электростатического поля. Число линий напряжённости, началом или концом которых служит данный заряд, пропорционально значению этого заряда (рис. 113).
1. Что называют линиями напряжённости электростатического поля?
2. Каковы особенности линий напряжённости электростатического поля?
3. Как направлены линии напряжённости электростатического поля заряда в зависимости от его знака? Системы двух зарядов (одноимённых и разноимённых)?
4. Какое электростатическое поле называют однородным? Приведите примеры.
Напряженность поля точечного заряда
q0 - заряд, помещенный в поле (внешний заряд).
Закон Кулона: . Напряженность поля: .
Тогда напряженность поля точечного заряда:
Теорема Гаусса.
Потоком вектора напряженности наз. величина Ф, равная произведению модуля вектора напряженности на площадь контура S, ограничивающую некоторую площадь, и на косинус угла между вектором напряженности и нормалью (перпендикуляром) к площадке.
Если считать, что напряженность пропорциональна числу силовых линий, приходящихся на единицу площади поверхности (т.е. густоте), то поток напряженности пропорционален полному числу силовых линий, пересекающих данный контур.
Поток линий напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность прямо пропорционален величине заряда, находящегося в области пространства, ограниченного данной поверхностью.
Применения теоремы Гаусса.
1. Напряженность поля заряженной проводящей сферы радиуса R. Сфера заряжена по поверхности.
А) Внутри сферы заряда нет . Е=0
Б) Снаружи сферы.
На поверхности сферы:
2. Напряженность поля шара заряженного по объему.
Введем понятие объемной плотности заряда:
Объемная плотность заряда показывает, какой заряд содержится в единице объема заряженного по всему объему тела.
Объем шара произвольного радиуса .
Обозначим q - заряд шара, q0 - заряд, находящийся внутри объема произвольного радиуса.
Тогда заряд сферы радиуса r , будет:
– напряженность поля внутри шара, равномерно заряженного по объему. Снаружи - см. 1.
3. Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости.
Введем понятие поверхностной плотности заряда: .
Коэффициент 2 появляется, т.к. плоскость окружена двумя поверхностями площадью S. Поле бесконечной заряженной плоскости не зависит от расстояния от плоскости! Можно пользоваться, когда расстояние много меньше размеров плоскости.
4. Напряженность поля плоского воздушного конденсатора.
Из рисунка видим, что снаружи конденсатора поля пластин взаимно скомпенсированы, и общее поле равно нулю. Внутри конденсатора поля складываются.
Используя вывод п.3 получаем: .
Формула справедлива при условии, что расстояние между пластинами много меньше размеров самих пластин и вдали от краев пластин.