Расстояние от точки до плоскости начертательная геометрия

Расстояние между точкой и плоскостью

Расстояние между точкой и плоскостью определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Решение задачи на расстояние между точкой и плоскостью состоит из последовательного выполнения следующих графических построений

Расстояние между точкой и плоскостью

— из точки A опустить перпендикуляр m на плоскость α (m ∋ A) ∧ (m ⊥ α); — найти точку M пересечения этого перпендикуляра с плоскостью α M = m ∩ α; — определить действительную величину [AM].

Если плоскость α общего положения, то для того чтобы опустить на эту плоскость перпендикуляр, необходимо предварительно определить направление проекций горизонтали и фронтали этой плоскости. Нахождение точки встречи этого перпендикуляра с плоскостью также требует выполнения дополнительных графических построений. Решение задачи упрощается, если плоскость α будет занимать частное положение по отношению к плоскостям проекций.

Расстояние между точкой и плоскостью

Расстояние между точкой и плоскостью определяется без каких-либо дополнительных построений, т. к. плоскость α занимает фронтально-проецирующее положение.

Расстояние между точкой и плоскостью заданной ΔABC определяется способом перемены плоскостей проекций

Расстояние между точкой и плоскостью

Расстояние между точкой и плоскостью α заданной заданной следами определяется способом перемены плоскостей проекций

Расстояние между точкой и плоскостью

Расстояние между точкой и плоскостью α заданной заданной ΔABC определяется классическим методом или способом прямоугольного треугольника в графической работе 2: Графическая работа 2

Определение расстояния между точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, между плоскостями и скрещивающимися прямыми

Определение расстояния между: 1 — точкой и плоскостью; 2 — прямой и плоскостью; 3 — плоскостями; 4 — скрещивающимися прямыми рассматривается совместно, так как алгоритм решения для всех этих задач по существу одинаков и состоит из геометрических построений, которые нужно выполнить для определения расстояния между заданными точкой А и плоскостью α. Если и есть какое-то различие, то оно состоит лишь в том, что в случаях 2 и 3 прежде чем приступить к решению задачи, следует на прямой m (случай 2) или плоскости β (случай 3) отметить произвольную точку А. При определении расстояния между скрещивающимися прямыми предварительно заключаем их в параллельные плоскости α и β с последующим определением расстояния между этими плоскостями.

Рассмотрим каждый из отмеченных случаев решения задач.

1. Определение расстояния между точкой и плоскостью.

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Поэтому решение этой задачи состоит из последовательного выполнения следующих графических операций:

1) из точки А опускаем перпендикуляра на плоскость α (рис. 269);

2) находим точку М пересечения этого перпендикуляра с плоскостью М = а ∩ α;

3) определяем длину отрезка [AM].

Если плоскость α общего положения, то для того чтобы опустить на эту плоскость перпендикуляр, необходимо предварительно определить направление проекций горизонтали и фронтали этой плоскости. Нахождение точки встречи этого перпендикуляра с плоскостью также требует выполнения дополнительных геометрических построений.

Решение задачи упрощается, если плоскость α занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае и проведение проекций перпендикуляра, и нахождение точки его встречи с плоскостью осуществляется без каких-либо дополнительных вспомогательных построений.

ПРИМЕР 1. Определить расстояние от точки А до фронтально проецирующей плоскости α (рис. 270).

РЕШЕНИЕ. Через А’ проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра l’ ⊥ h_0α, а через А» — его фронтальную проекцию l» ⊥ f_0α. Отмечаем точку M» = l» ∩ f_0α. Так как AM || π₂, то [А» М»] == |АМ| = d.

Из рассмотренного примера видно, насколько просто решается задача, когда плоскость занимает проецирующее положение. Поэтому, если в исходных данных будет задана плоскость общего положения, то, прежде чем приступить к решению, следует перевести плоскость в положение, перпендикулярное к какой-либо плоскости проекции.

ПРИМЕР 2. Определить расстояние от точки К до плоскости, заданной ΔАВС (рис. 271).

1. Переводим плоскость ΔАВС в проецирующее положение *. Для этого переходим от системы xπ₂/π₁ к x₁π₃/π₁: направление новой оси х₁ выбирается перпендикулярным к горизонтальной проекции горизонтали плоскости треугольника.

2. Проецируем ΔАВС на новую плоскость π₃ (плоскость ΔАВС спроецируется на π₃, в [ С»₁В»₁] ).

3. Проецируем на ту же плоскость точку К (К’ → К»₁).

Решение задачи упрощается, если плоскость задана следами, так как отпадает необходимость в проведении проекций линий уровня.

ПРИМЕР 3. Определить расстояние от точки К до плоскости α, заданной следами (рис. 272) .

* Наиболее рациональным путем перевода плоскости треугольника в проецирующее положение является способ замены плоскостей проекций, так как в этом случае достаточно построить только одну вспомогательную проекцию.

РЕШЕНИЕ. Заменяем плоскость π₁ плоскостью π₃, для этого проводим новую ось x₁ ⊥ f_0α. На h_0α отмечаем произвольную точку 1′ и определяем ее новую горизонтальную проекцию на плоскости π₃ (1′₁). Через точки X_α1 (Х_α1 = h_0α1 ∩ x₁ ) и 1′₁ проводим h_0α1. Определяем новую горизонтальную проекцию точки К → К’₁. Из точки К’₁ опускаем перпендикуляр на h_0α1 и отмечаем точку его пересечения с h_0α1 — М’₁. Длина отрезка K’₁M’₁ укажет искомое расстояние.

2. Определение расстояния между прямой и плоскостью.

Расстояние между прямой и плоскостью определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на плоскость (см. рис. 248).

Поэтому решение задачи по определению расстояния между прямой m и плоскостью α ничем не отличается от рассмотренных в п. 1 примеров на определение расстояния между точкой и плоскостью (см. рис. 270 . 272). В качестве точки можно брать любую точку, принадлежащую прямой m.

3.Определение расстояния между плоскостями.

Расстояние между плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, на другую плоскость.

Из этого определения вытекает, что алгоритм решения задачи по нахождению расстояния между плоскостями α и β отличается от аналогичного алгоритма решения задачи по определению расстояния между прямой m и плоскостью α лишь тем, что прямая m должна принадлежать плоскости α, т. е., чтобы определить расстояние между плоскостями α и β, следует:

1) взять в плоскости α прямую m;

2) выделить на прямой m произвольную точку А;

3) из точки А опустить перпендикуляр l на плоскость β;

4) определить точку М — точку встречи перпендикуляра l с плоскостью β;

5) определить величину отрезка [AM] .

На практике целесообразно пользоваться другим алгоритмом решения, который будет отличаться от приведенного лишь тем, что, прежде чем приступить к выполнению первого пункта, следует перевести плоскости в проецирующее положение.

Включение в алгоритм этой дополнительной операции упрощает выполнение всех без исключения остальных пунктов, что, в конечном счете, приводит к более простому решению.

ПРИМЕР 1. Определить расстояние между плоскостями α и β (рис. 273).

РЕШЕНИЕ. Переходим от системы xπ₂/π₁ к x₁π₁/π₃. По отношению к новой плоскости π₃ плоскости α и β занимают проецирующее положение, поэтому расстояние между новыми фронтальными ,следами f_0α1 и f_0β1 является искомым.

В инженерной практике часто приходится решать задачу на построение плоскости, параллельной данной и удаленной от нее на заданное расстояние. Приведенный ниже пример 2 иллюстрирует решение такой задачи.

ПРИМЕР 2. Требуется построить проекции плоскости β, параллельной данной плоскости α (m || n), если известно, что расстояние между ними равно d (рис. 274).

1. В плоскости α проводим произвольные горизонталь h (1, 3) и фронталь f (1,2).

2. Из точки 1 восставляем перпендикуляр l к плоскости α(l’ ⊥ h’, l» ⊥ f»).

3. На перпендикуляре l отмечаем произвольную точку А.

4. Определяем длину отрезка [1А] — [1’А₀] (положение [1’А₀] указывает на эпюре метрически неискаженное направление прямой l).

5. Откладываем на прямой (1’А₀) от точки 1′ отрезок [1’В₀] = d.

6. Отмечаем на проекциях l’ и l» точки В’ и В», соответствующие точке В₀.

7. Через точку В проводим плоскость β (h₁ ∩ f₁). Чтобы β || α, необходимо coблюдать условие h₁ || h и f₁ || f.

4. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые.

Для того чтобы через скрещивающиеся прямые m и f провести взаимно параллельные плоскости α и β, достаточно через точку А (А ∈ m) провести прямую р, параллельную прямой f, а через точку В (В ∈ f) — прямую k, параллельную прямой m. Пересекающиеся прямые m и р, f и k определяют взаимно параллельные плоскости α и β (см. рис. 248, е). Расстояние между плоскостями α и β равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми m и f.

Можно предложить и другой путь для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, который состоит в том, что с помощью какого-либо способа преобразования ортогональных проекций одна из скрещивающихся прямых переводится в проецирующее положение. В этом случае одна проекция прямой вырождается в точку. Расстояние между новыми проекциями скрещивающихся прямых (точкой A’₂ и отрезком C’₂D’₂) является искомым.

На рис. 275 приведено решение задачи на определение расстояния между скрещивающимися прямыми а и b, заданными отрезками [АВ] и [ CD]. Решение выполняют в следующей последовательности:

1. Переводят одну из скрещивающихся прямых (а) в положение, параллельное плоскости π₃; для этого переходят от системы плоскостей проекции xπ₂/π₁ к новой x₁π₁/π₃ , ось x₁ проводят параллельно горизонтальной проекции прямой а . Определяют а»₁ [А»₁В»₁] и b»₁ [C»₁D»₁].

2. Путем замены плоскости π₁ плоскостью π₄ переводят прямую

а в положение а’₂, перпендикулярное плоскости π₄ (новую ось х₂ проводят перпендикулярно а»₁).

3. Строят новую горизонтальную проекцию прямой b’₂ — [ C’₂D’₂].

4. Расстояние от точки А’₂ до прямой C’₂D’₂ ( отрезок ( А’₂М’₂] (является искомым.

Следует иметь в виду, что перевод одной из скрещивающихся прямых в проецирующее положение является ничем иным, как переводом плоскостей параллелизма, в которые можно заключить прямые а и b, также в проецирующее положение.

В самом деле, переведя прямую а в положение, перпендикулярное плоскости π₄, мы обеспечиваем перпендикулярность любой плоскости, содержащей прямую а, плоскости π₄, в том числе и плоскости α, определяемой прямыми а и m (а ∩ m, m || b). Если мы теперь проведем прямую n, параллельную а и пересекающую прямую b, то мы получим плоскость β, являющуюся второй плоскостью параллелизма, в которую заключены скрещивающиеся прямые а и b. Так как β || α, то и β ⊥ π₄.

Определение расстояний

155*. Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положения (рис. 153, а).

Решение. Как известно, проекция отрезка прямой на какой-либо плоскости равна самому отрезку (с учетом масштаба чертежа), если он параллелен этой плоскости

(рис. 153, б). Из этого следует, что путем преобразования чертежа надо добиться параллельности данного отрезка пл. V или пл. Н или же дополнить систему V, Н еще одной плоскостью, перпендикулярной к пл. V или к пл. H и в то же время параллельной данному отрезку.

На рис. 153, в показано введение дополнительной плоскости S, перпендикулярной к пл. H и параллельной заданному отрезку АВ.

Проекция a_sb_s равна натуральной величине отрезка AB.

На рис. 153, г показан другой прием: отрезок АВ повернут вокруг прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной к пл. Н, до положения, параллельного

пл. V. При этом точка В остается на месте, а точка А занимает новое положение А₁. В новом положении горизонт. проекция а₁b || оси х. Проекция a’₁b’ равна натуральной величине отрезка АВ.

156. Дана пирамида SABCD (рис. 154). Определить натуральную величину ребер пирамиды AS и CS, используя способ перемены плоскостей проекций, и ребер BS и DS, используя способ вращения, причем взять ось вращения перпендикулярно к пл. H.

157*. Определить расстояние от точки А до прямой ВС (рис. 155, а).

Решение. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.

Если прямая перпендикулярна к какой-либо плоскости (рис. 155,6), то расстояние от точки до прямой измеряется расстоянием между проекцией точки и точкой- проекцией прямой на этой плоскости. Если прямая занимает в системе V, H общее положение, то, чтобы определить расстояние от точки до прямой способом перемены плоскостей проекций, надо ввести в систему V, H еще две дополнительные плоскости.

Сначала (рис. 155, в) вводим пл. S, параллельную отрезку ВС (новая ось S/H параллельна проекции bс), и строим проекции b_sc_s и a_s. Затем (рис. 155, г) вводим еще пл. Т, перпендикулярную к прямой ВС (новая ось T/S перпендикулярна к b_sс_s). Строим проекции прямой и точки — с_t(b_t) и a_t. Расстояние между точками a_t и с_t(b_t) равно расстоянию l от точки А до прямой ВС.

На рис. 155, д эта же задача выполнена с помощью способа вращения в той его форме, которую называют способом параллельного перемещения. Сначала прямую ВС и точку А, сохраняя неизменным их взаимное положение, поворачиваем вокруг некоторой (не обозначенной на чертеже) прямой, перпендикулярной к пл. H, так, чтобы прямая ВС расположилась параллельно пл. V. Это равносильно перемещению точек А, В, С в плоскостях, параллельных пл. H. При этом горизонт. проекция заданной системы (BC + A) не изменяется ни по величине, ни по конфигурации, лишь изменяется ее положение относительно оси х. Располагаем горизонт. проекцию прямой ВС параллельно оси х (положение b₁c₁) и определяем проекцию a₁, откладывая c₁1₁ = с—1 и а₁1₁ = а—1, причем a₁1₁ ⊥ c₁1₁. Проведя прямые b’b’₁, a’a’₁, с’с’₁ параллельно оси х, находим на них фронт. проекции b’₁,а’₁, с’₁. Далее, перемещаем точки В₁, С₁ и A₁ в плоскостях, параллельных пл. V (также не изменяя их взаимного расположения), так, чтобы получить В₂С₂ ⊥ пл. H. При этом фронту проекция прямой расположится перпендикулярно к оси x,b₂c’₂ = b’₁с’₁, а для построений проекции а’₂ надо взять b’₂2′₂ = b’₁2′₁, провести 2’a’₂ ⊥ b’₂с’₂ и отложить а’₂2′₂ = а’₁2′₁. Теперь, проведя с₁с₂ и а₁а₂ || х₁ получим проекции b₂с₂ и а₂ и искомое расстояние l от точки А до прямой ВС. Определить расстояние от А до ВС можно, повернув плоскость, определяемую точкой А и прямой ВС, вокруг горизонтали этой плоскости до положения Т || пл. H (рис. 155, е).

В плоскости, задаваемой точкой А и прямой ВС, проводим горизонталь А—1 (рис. 155, ж) и поворачиваем вокруг нее точку В. Точка В перемещается в пл. R (заданной на чертеже следом R_h), перпендикулярной к А—1; в точке О находится центр вращения точки В. Определяем теперь натуральную величину радиуса вращения ВО, (рис. 155, в). В требуемом положении, т. е. когда пл. Т, определяемая точкой А и прямой ВС, станет || пл. H, точка В получится на R_h на расстоянии Оb₁ от точки О (может быть и другое положение на том же следе R_h, но по другую сторону от О). Точка b₁ — это горизонт. проекция точки В после перемещения ее в положение В₁ в пространстве, когда плоскость, определяемая точкой А и прямой ВС, заняла положение Т.

Проведя (рис. 155, и) прямую b₁1, получаем горизонт. проекцию прямой ВС, уже расположенной || пл. H в одной плоскости с А. В этом положении расстояние от а до b₁1 равно искомому расстоянию l. Плоскость Р, в которой лежат заданные элементы, можно совместить с пл. H (рис. 155, к), повернув пл. Р вокругее горизонт. следа. Перейдя от задания плоскости точкой А и прямой ВС к заданию прямыми ВС и А—1 (рис. 155, л), находим следы этих прямых и проводим через них следы Р_ϑ и P_h. Строим (рис. 155, м) совмещенное с пл. H положение фронт. следа — P_ϑ0.

Через точку а проводим горизонт. проекцию фронтали; совмещенная фронталь проходит через точку 2 на следе Р_h параллельно Р_ϑ0. Точка А₀ — совмещенное с пл. H положение точки А. Аналогично находим точку В₀. Прямая ВС в совмещенном с пл. H положении проходит через точку В₀ и точку m (горизонт. след прямой).

Расстояние от точки A₀ до прямой В₀С₀ равно искомому расстоянию l.

Можно выполнить указанное построение, найдя только один след Р_h (рис. 155, н и о). Все построение аналогично повороту вокруг горизонтали (см. рис. 155, ж, в, и): след Р_h — это одна из горизонталей пл. Р.

Из приведенных для решения данной задачи способов преобразования чертежа предпочтительным является способ вращения вокруг горизонтали или фронтали.

158. Дана пирамида SABC (рис. 156). Определить расстояния:

а) от вершины В основания до его стороны АС способом параллельного перемещения;

б) от вершины S пирамиды до сторон ВС и АВ основания способом вращения вокруг горизонтали;

в) от вершины S до стороны AС основания способом перемены плоскостей проекций.

159. Дана призма (рис. 157). Определить расстояния:

а) между ребрами AD и CF способом перемены плоскостей проекций;

б) между ребрами BE и CF вращением вокруг фронтали;

в) между ребрами AD и BE способом параллельного перемещения.

160. Определить натуральную величину четырехугольника ABCD (рис. 158) совмещением с пл. Н. Пользоваться только горизонтальным следом плоскости.

161*. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD (рис. 159, а) и построить проекции общего к ним перпендикуляра.

Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется отрезком (MN) перпендикуляра к обеим прямым (рис. 159, б). Очевидно, если одну из прямых расположить перпендикулярно к какой-либо пл. Т, то

отрезок MN перпендикуляра к обеим прямым окажется параллельным пл. Т него проекция на этой плоскости отобразит искомое расстояние. Проекция прямого угла менаду MN н АВ на пл. Т оказывается также прямым углом между m_tn_t и а_tb_t, так как одна из сторон прямого угла AMN, а именно MN. параллельна пл. Т.

На рис. 159, в и г искомое расстояние l определено способом перемены плоскостей проекций. Сначала вводим дополнительную пл. проекций S, перпендикулярную к пл. H и параллельную прямой CD (рис. 159, в). Затем вводим еще одну дополнительную пл. Т, перпендикулярную к пл. S и перпендикулярную к той же прямой CD (рис. 159, г). Теперь можно построить проекцию общего перпендикуляра проведя m_tn_t из точки c_t(d_t) перпендикулярно к проекции a_tb_t. Точки m_t и n_t — проекции точек пересечения этого перпендикуляра с прямыми АВ и CD. По точке m_t (рис. 159, д) находим m_s на a_sb_s: проекция m_sn_s должна быть параллельна оси Т/S. Далее, по m_s и n_s находим m и n на ab и cd, а по ним m’ и n’ на а’b’ и c’d’.

На рис. 159, в показано решение этой задачи по способу параллельного перемещений. Сначала ставим прямую CD параллельно пл. V: проекция c₁d₁ || х. Далее перемещаем прямые CD и АВ из положений C₁D₁ и А₁В₁ в положения С₂B₂ и А₂В₂ так, чтобы С₂D₂ расположилась перпендикулярно Н: проекция с’₂d’₂ ⊥ х. Отрезок искомого перпендикуляра располагается || пл. H, и, следовательно, m₂n₂ выражает искомое расстояние l между АВ и CD. Находим положение проекций m’₂, и n’₂ на а’₂b’₂ и c’₂d’₂, затем проекций и m₁ и m’₁, n₁ и n’₁, наконец, проекций m’ и n’, m и n.

162. Дана пирамида SABC (рис. 160). Определить расстояние между ребром SB и стороной АС основания пирамиды и построить проекции общего перпендикуляра к SB и АС, применив способ пере-мены плоскостей проекций.

163. Дана пирамида SABC (рис. 161). Определить расстояние между ребром SH и стороной ВС основания пирамиды и построить проекции общего перпендикуляра к SX и ВС, применив способ параллельного перемещения.

164*. Определить расстояние от точки А до плоскости в случаях, когда плоскость задана: а) треугольником BCD (рис. 162, а); б) следами (рис. 162, б).

Решение. Как известно, расстояние от точки до плоскости измеряется величиной перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость. Это расстояние проецируется на какую-либо пл. проекций в натуральную величину, если данная плоскость перпендикулярна к пл. проекций (рис. 162, в). Добиться такого положения можно, преобразуя чертеж, например, способом перемены пл. проекций. Введем пл. S (рис. 16ц, г), перпендикулярную к пл. треугольника BCD. Для этого проводим в пл. треугольника горизонталь В—1 и располагаем ось проекций S перпендикулярно к проекции b—1 горизонтали. Строим проекции точки и плоскости — а_sи отрезок c_sd_s. Расстояние от a_s до c_sd_s равно искомому расстоянию l точки до плоскости.

На рио. 162, д применен способ параллельного перемещения. Перемещаем всю систему до тех пор, пока горизонталь В—1 плоскости не станет перпендикулярна к плоскости V: проекция b₁1₁ должна быть перпендикулярна к оси x. В этом положении плоскость треугольника станет фронтально-проецирующей, и расстояние l от точки А до нее получится на пл. V без искажения.

На рис. 162, б плоскость задана следами. Вводим (рис. 162, е) дополнительную пл. S, перпендикулярную к пл. P: ось S/Н перпендикулярна к Р_h. Дальнейшее ясно из чертежа. На рис. 162, ж задача решена при помощи одного перемещения: пл. Р переходит в положение Р₁, т. е. становится фронтально-проецирующей. След. Р_1h перпендикулярен к оси х. Строим в этом положении плоскости фронт. след горизонтали — точку n’₁,n₁. След P_1ϑ пройдет через Р_1x и n₁. Расстояние от a’₁, до Р_1ϑ равно искомому расстоянию l.

165. Дана пирамида SABC (см. рис. 160). Определить расстояние от точки А до грани SBC пирамиды, применив способ параллельного перемещения.

166. Дана пирамида SABC (см. рис. 161). Определить высоту пирамиды, применив способ параллельного перемещения.

167*. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD (см.рис. 159,а) как расстояние между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.

Решение. На рис. 163, а показаны параллельные между собой плоскости Р и Q, из которых пл. Q проведена через CD параллельно АВ, а пл. Р — через АВ параллельно пл. Q. Расстояние между такими плоскостями и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Однако можно ограничиться построением только одной плоскости, например Q, параллельно АВ, а затем определить расстояние хотя бы от точки А до этой плоскости.

На рис. 163, в показана плоскость Q, проведенная через CD параллельно АВ; в проекциях проведено с’е’ || а’b’ и се || аb. Применяя способ перемены пл. проекций (рис. 163, в), введем дополнительную пл. S, перпендикулярную к пл. V и в то же время

перпендикулярную к пл. Q. Чтобы провести ось S/V, берем в этой плоскости фронталь D—1. Теперь проводим S/V перпендикулярно к d’1′ (рис. 163, в). Пл. Q изобразится на пл. S в виде прямой с_sd_s. Остальное ясно из чертежа.

168. Дана пирамида SABC (см. рис, 160). Определить расстояние между ребрами SC и AB.Применить: 1) способ перемены пл. проекций, 2) способ параллельного перемещения.

169*. Определить расстояние между параллельными плоскостями, из которых одна задана прямыми АВ и АС, а другая — прямыми DE и DF (рис. 164, а). Выполнить также построение для случая, когда плоскости заданы следами (рис. 164, б).

Решение. Расстояние (рис. 164, в) между параллельными плоскостями можно определить, проведя перпендикуляр из любой точки одной плоскости на другую плоскость. На рис. 164, г введена дополнительная пл. S перпендикулярно к пл. Н и к обеим данным плоскостям. Ось S.H перпендикулярна к горизонт. проекции горизонтали, проведенной в одной из плоскостей. Строим проекцию этой плоскости и точки В другой плоскости на пл. 5. Расстояние точки d_s до прямой l_sa_s равно искомому расстоянию между параллельными плоскостями.

На рис. 164, д дано другое построение (по способу параллельного перемещения). Для того чтобы плоскость, выраженная пересекающимися прямыми АВ и АС,оказалась перпендикулярна к пл. V, горизонт. проекцию горизонтали этой плоскости ставим перпендикулярно к оси х: 1₁2₁ ⊥ х. Расстояние между фронт. проекцией d’₁ точки D и прямой а’₁2′₁ (фронт. проекцией плоскости) равно искомому расстоянию между плоскостями.

На рис. 164, е показано введение дополнительной пл. S, перпендикулярной к пл.H и к данным плоскостям Р и Q (ось S/H перпендикулярна к следам Р_h, и Q_h). Строим следы Р_s, и Q_s. Расстояние между ними (см. рис. 164, в) равно искомому расстоянию l между плоскостями Р и Q.

На рис. 164, ж показано перемещение плоскостей Р₁ н Q₁, в положение P₁ и Q₁, когда горизонт. следы оказываются перпендикулярными к оси x. Расстояние между новыми фронт. следами P_1ϑ и Q_1ϑ равно искомому расстоянию l.

170. Дан параллелепипед ABCDEFGH (рис. 165). Определить расстояния: а) между основаниями параллелепипеда — l₁; б) между гранями ABFE и DCGH — l₂; в) между гранями ADHE и BCGF—l₃.

Чертежик

Расстояние от точки до плоскости треугольника более наглядно представлено в видео ниже.

Для этого необходимо первоначальные данные (задание) в виде координат точек:

Точки X Y Z
A 30 0 0
B 60 10 90
C 130 90 70
D 40 90 90

Суть построения сводится к тому, что сначала строятся вспомогательные линии, затем в местах пересечениях находим точки, необходимые для дальнейшего построения.

Вы можете другие примеры выполнения заданий посмотреть здесь.

Еще один пример определения расстояния от точки до плоскости.