Что такое векторная диаграмма токов и напряжений? Как построить график
Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.
Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков – векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.
Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.
Различают 2-х вида векторных диаграмм:
Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:
Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.
Васильев Дмитрий Петрович
Профессор электротехники СПбГПУ
Качественные диаграммы изображаются с учетом взаимных соотношений между электрическими величинами, без указания численных характеристик.
Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.
Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.
Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.
Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:
Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ).
А остальные – изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.
Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.
Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:
i = Im sin (ω t + φ).
С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол – соответствующий фазе φ.
Абрамян Евгений Павлович
Доцент кафедры электротехники СПбГПУ
Проекция вектора на вертикальную ось и определяет значение мгновенного тока в начальный момент времени.
В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений – масштабом, поскольку:
I = Im /√2.
Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.
РЕЛЕЙКА
Понятие о векторах. На рис.1.4 приведена кривая изменения переменного тока во времени. Ток сначала растет от нуля (при φ=0º) до максимального положительного значения + I max (при φ=90 о ), затем убывает, переходит через нуль (при φ=180 о ), достигает максимального отрицательного значения – I max (при φ=270 о ) и, наконец, возвращается к нулю (при φ=360 о ). после этого цикл изменения тока повторяется.
Кривая изменения переменного тока во времени, приведенная на рис.1.4, называется синусоидой. Время Т , в течение которого происходит полный цикл изменения тока, соответствующий изменению угла на 360 о , называется периодом переменного тока. Число периодов за 1 секунду называется частотой переменного тока. В промышленных
установках и в быту в на территории бывшего СССР и в других странах Европы используется главным образом переменный ток частотой 50 Гц. Этот ток 50 раз в секунду принимает положительное и отрицательное направление. Изменение переменного тока во времени можно записать в следующем виде.
Где i – мгновенное значение тока, т.е. значение тока в каждый момент времени; Imax – максимальное значение тока; ω=2π f – угловая частота переменного тока, f =50 Гц, ω=2π·50=314; α – начальный угол, соответствующий моменту времени, с которого начинается отсчет времени (при t =0). Для частного случая, показанного на рис.1.4, α=0 о .
Анализируя действие устройств релейной защиты и автоматики, необходимо сопоставлять токи и напряжения, складывать или вычитать их, определять углы между ними и производить другие операции. Пользоваться при этом кривыми, подобными приведенной на рис.1.4, неудобно, поскольку построение синусоид тока и напряжения занимает много времени и не дает простого и наглядного результата. Поэтому для упрощения принято изображать токи и напряжения в виде отрезков прямых линий, имеющих определенную длину и направление, — так называемых векторов ( А0 на рис.1.4). один конец вектора закреплен на точке 0 – начало координат, а второй вращается против часовой стрелки.
Мгновенное значение тока или напряжения в каждый момент времени определяется проекцией на вертикальную ось вектора, длина которого равна максимальному значению тока или напряжения. Эта проекция будет становится то положительной, то отрицательной, принимая максимальные значения при вертикальном расположении вектора. За время Т , равное периоду переменного тока, вектор совершит полный оборот по окружности (360 о ), занимая последовательно положения 0А’ , 0 A ” , 0 A ’’’ и т.д. При частоте переменного тока 50 Гц вектор будет совершать 50 об/с.
Таким образом, вектор тока или напряжения – это отрезок прямой, равный по величине максимальному значению тока или напряжения, вращающийся относительно точки 0 против движения часовой стрелки со скоростью, определяемой частотой переменного тока. Зная положение вектора в каждый момент времени, можно определить мгновенное значение тока или напряжения в данный момент. Так, для положения вектора тока 0А , показанного на рис.1.5, его мгновенное значение определяется проекцией на вертикальную ось, т.е. 0А”=0А sin φ .
На основании рис.1.5 можно также сказать, что ток в данный момент времени имеет положительное значение. Однако это ещё не дает полного представления о протекании процесса в цепи переменного тока, так как неизвестно, что значит положительный или отрицательный ток, положительное или отрицательное напряжение.
Для того чтобы векторные диаграммы токов и напряжений давали полную картину, их нужно увязать с фактическим протеканием процесса в цепи переменного тока, т.е. необходимо предварительно принять условные положительные направления токов и напряжений в рассматриваемой схеме. Без выполнения этого условия, если не заданы положительные направления токов и напряжений, любая векторная диаграмма не имеет никакого смысла.
Рассмотрим простую однофазную цепь переменного тока, приведенную на рис.1.6, а . От однофазного генератора энергия предается в активное сопротивление нагрузки R . Зададимся положительными направлениями токов и напряжений в рассматриваемой цепи. За условное положительное направление напряжения и ЭДС примем направление, когда потенциал вывода генератора или нагрузки, связанного с линией, выше потенциала вывода, соединенного с землей. В соответствии с правилами, принятыми в электротехнике, положительное направление для ЭДС обозначено стрелкой, направленной в сторону более высокого потенциала (от земли к линейному выводу), а для напряжения – стрелкой, направленной в сторону более низкого потенциала (от линейного вывода к земле).
Переменный ток будет считать положительным, когда во внешней цепи он проходит от шин генератора к нагрузке (обозначено стрелкой). Построим векторы ЭДС и тока, характеризующие работу рассматриваемой цепи (рис.1.6, б ). Вектор ЭДС произвольно обозначим вертикальной линией со стрелкой, направленной вверх. Для построения вектора тока запишем для цепи уравнение согласно второму закону Кирхгофа:
Поскольку знаки векторов тока и ЭДС в выражении совпадают, вектор тока будет совпадать с вектором ЭДС и на рис.1.6, б .
Здесь и в дальнейшем при построении векторов будем откладывать их по величине равным эффективному значению тока и напряжения, что удобно для выполнения различных математических операций с векторами. Как известно, эффективные значения тока и напряжений в √2 раз меньше соответствующих максимальных (амплитудных).
При заданных положительных направлениях тока и напряжения однозначно определяется и знак мощности. Положительной в рассматриваемом случае будем считать мощность, направленная от шин генератора в линию:
так как векторы тока и ЭДС на рис.1.6, б совпадают.
Аналогичные соображения могут быть высказаны и для трехфазной цепи переменного тока, показанной на рис.1.7, а . В этом случае во всех фазах приняты одинаковые положительные направления, чему соответствует симметричная диаграмма токов и напряжений, приведенная на рис.1.7, б . Отметим, что симметричной называется такая трехфазная система векторов, когда все три вектора равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на угол 120 о .
Операции с векторами. Когда мы рассматриваем только одну кривую тока или напряжения, начальное значение угла, с которого начинается отсчет, или, иначе говоря, положение вектора на диаграмме, соответствующее начальному моменту времени, может быть принято произвольным. Если же одновременно рассматриваются два или несколько токов и напряжений, то, задавшись начальным положением на диаграмме одного из векторов, мы тем самым уже определяем положение всех других векторов.
Все три вектора фазных напряжений: 
, показанные на рис.1.7, б , вращаются против часовой стрелки с одинаковой скоростью, определяемой частотой переменного тока. При этом они пересекают вертикальную ось, совпадающую с направлением вектора на рис.1.7, б, поочередно с определенной последовательностью, а именно ,,, которая называется чередованием фаз напряжения (или тока). Для того чтобы определить взаимное расположение двух векторов, обычно говорят, что один из них опережает или отстает от другого. При этом опережающим считается вектор, который при вращении против часовой стрелки раньше пересечет вертикальную ось. Так, например, можно сказать, что вектор напряжения на рис.1.7, б опережает на угол 120 о или, с другой стороны, вектор отстает от вектора на угол 120 о . Как видно из рис.1.7, выражение «вектор отстает на угол 120 о », равноценно выражению «вектор опережает на угол 240 о ».
Сложение векторов производится геометрическим суммированием по правилу параллелограмма, как показано на рис.1.8, а , на котором построена сумма токов (
). Так как вычитание – действие, обратное сложению, для определения разности токов (например, 
) достаточно к току 
прибавить вектор, обратный 
. Вместе с тем на рис.1.8, а показано, что вектор разности токов () можно построить проще, соединив линией концы векторов и . При этом стрелка вектора разности токов направляется в сторону первого вектора, т.е. .
Аналогично строится векторная диаграмма межфазных напряжений, например, (рис.1.8, б ).
Очевидно, что положение вектора на плоскости определяется его проекциями на две любые оси. Так, например, для того чтобы определить положение вектора 0А (рис.1.9), достаточно знать его проекции на взаимно перпендикулярные оси:
0A’= 0A cos φ;
0A’’= 0A sin φ = 0A cos (90 o – φ).
Отложим на осях координат проекции векторов 0А’ и 0А’’ и восстановим из точек А’ и A ’’ перпендикуляры к осям. Точка пересечения этих перпендикуляров и есть точка А – один конец вектора, вторым концов которого является точка 0 – начало координат.
Назначение векторных диаграмм. Работникам, занимающимся проектированием и эксплуатацией релейной защиты, часто приходится использовать в своей работе так называемые векторные диаграммы – векторы токов и напряжений, построенные на плоскости в определенном сочетании, соответствующем электрическим процессам, происходящим в рассматриваемой схеме.
Анализ векторных диаграмм токов и напряжений является одним из важных, а в ряде случаев единственным способом проверки правильности соединения цепей тока и напряжения и включения реле в схемах дифференциальных и направленных защит.
По сути построение векторной диаграммы целесообразно во всех случаях, когда к рассматриваемому реле подаются две или более электрические величины: разность токов в максимальной токовой или дифференциальной защите, ток и напряжение в реле направления мощности или в направленном реле сопротивления. Векторная диаграмма позволяет сделать заключение о том, как рассматриваемая защита будет работать при КЗ, т.е. оценить правильность ее включения. Взаимное расположение векторов токов и напряжений на диаграмме определяется характеристикой рассматриваемой цепи, а также условно принятыми положительными направлениями токов и напряжений. Для примера рассмотрим две векторные диаграммы.
На рис.1.10 показана однофазная цепь переменного тока, состоящая из генератора и последовательно соединенных емкостного, активного и индуктивного сопротивлений (примем при этом, что индуктивное сопротивление больше емкостного Х L > X C ). Положительные направления токов и напряжений, так же как и в случаях, рассмотренных выше, обозначены на рис.1.10, а стрелками.
Построение векторной диаграммы начнем с вектора ЭДС Е , который расположим на рис.1.10, б вертикально. Ток, проходящий в рассматриваемой цепи, определится из следующего выражения:
Поскольку в рассматриваемой цепи имеются активные и реактивные сопротивления, причем Х L > X C , вектор тока отстает от вектора напряжения на угол φ :
Напряжение в точке n на рис.1.10, а определится согласно следующему выражению:
На рис.1.10, б построен вектор 
, отстающий от вектора 
на угол 90 о . Напряжение в точке n 
определится разностью векторов 
и . Напряжение в точке m определится аналогично:
Как видно из рис.1.10, б , этот последний вектор 
будет равен падению напряжения в индуктивном сопротивлении 
.
Рассмотрим другую цепь переменного тока, приведенную на рис.1.11, а , и построим векторную диаграмму, характеризирующую распределение токов в параллельных ветвях. Для построения диаграммы примем, что активное и емкостное сопротивление равны R = X C .
Построение векторной диаграммы начнем с вектора 
, который расположим горизонтально. Затем построим вектор падения напряжения на сопротивлениях 
, отстающий от вектора на угол φ , так как результирующее сопротивление имеет активно-емкостной характер. Угол φ определяется следующим выражением:
В рассматриваемом случае φ=45 о . Вектор тока 
, проходящего по активному сопротивлению, совпадает с , а 
опережает на 90 о , как показано на рис.1.11, б .
Векторная диаграмма токов и напряжений
Оказалось, что гармонические колебания можно наглядно описывать в графическом виде с помощью векторных диаграмм (ВД). Колебательный процесс представляется в виде проекции вращающегося вектора на координатную ось (обычно на ось абсцисс Х в прямоугольной системе координат).
Разновидности векторных диаграмм
Основные понятия и обозначения
Колебания — это повторяющийся процесс изменения какой-либо системы (механической, электрической, акустической, тепловой, оптической) вблизи точки равновесия. Типичные примеры:
- колебания механического маятника;
- повторяющиеся изменения тока и напряжения в электрическом колебательном контуре;
- звук, издаваемый музыкальным камертоном.
В общем виде гармоническое колебание описывается формулой:
- A(t) — физическая величина, изменяющаяся во времени.
- A0 — амплитуда данной величины.
- ω — угловая (циклическая) частота колебаний.
- t — время.
- φ0 — начальная фаза.
Когда возникает задача сложения нескольких колебаний, то аналитическое (в виде формул) представление не позволяет судить о действующих соотношениях величин, так как они являются функциями времени. Изображение колебаний (величин A(t)) в виде векторов на плоскости, позволяет добиться наглядности и упрощает анализ количественных параметров системы. При этом колебания совершает проекция на ось абсцисс радиуса-вектора величины A(t) в данный момент времени.
Пускай имеется система, в которой есть два гармонических колебания B1(t), B2(t) с равными частотами ω0. Например, это могут быть токи в электрической цепи или колебания грузиков на пружинках в механической системе. Чтобы получить суммарное колебание, необходимо сложить два выражения: B1(t) = B1 * cos(ω0 * t + φ1) и B2(t) = B2 * cos(ω0 * t + φ2)
Отложим на плоскости вектора B1 и B2 (см. Рис.2). Сумма этих векторов равна:
Типы ВД
- Точные формируются на базе полученных результатов, задающих реальные величины и направления векторов. В итоге можно геометрически получить значение сдвигов фаз и амплитуды искомых величин.
- Качественные ВД позволяют сделать начальные оценки о соотношении сравниваемых величин (например, токов в разных ветвях) без учёта числовых значений.
Качественные ВД являются одним из основных инструментов при анализе электрических цепей, наглядно иллюстрирующие положение искомого вектора.
ВД в комплексном представлении
Для построения ВД может также применяться математический аппарат, базирующийся на понятии о комплексных числах. Напомним, что комплексным числом Z называется выражение: Z = a + b*i, где a и b – действительная и мнимая части комплексного числа, i – мнимая единица (i 2 = -1). Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической.
Рис.3 Кроме алгебраической формы, применяется ещё два варианта записи: Z =|Z| * cos(φ)+ i * sin(φ) — тригонометрический, Z = |Z| * e iφ — показательный. Последний вариант называется формулой Эйлера в честь великого математика, который предложил и обосновал эту формулу в XVIII веке. Комплексное представление гармонических колебаний позволяет упростить сложные тригонометрические вычисления наглядными и менее громоздкими действиями с показательными функциями. Графические ВД, рассмотренные ранее, можно считать аналогом (вариантом) представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел.
Примеры применения
Гармонический осциллятор в механике
- Груз на пружинке, лежащий на горизонтальной поверхности без трения.
- Груз на пружинке, подвешенный вертикально в поле силы тяжести.
- Математический маятник.
- Физический маятник.
- Торсионный (крутильный) маятник.
Системы, в которых происходят гармонические колебания, имеют два основных признака:
- После выведения из равновесного состояния возникает возвращающая сила (внутренняя), способствующая возврату системы в равновесие.
- Величина возвращающей силы F должна быть прямо пропорциональна смещению от точки равновесия x.
F = m*a = -k * x, где: a — ускорение, m — масса, k — константа (модуль упругости).
Поскольку ускорение — это вторая производная координаты точки по времени x ̈ , то дифференциальное уравнение, описывающее поведение гармонического осциллятора будет: x ̈ + ω 2 0 * x = 0, где: ω 2 0 = k/m.
С помощью универсального уравнения удаётся описать не только механические явления, но и акустические колебания, и электрические (переменный ток, напряжение), а также колебания электронов внутри атомов. Решения данного уравнения представляют собой выражения аналогичные: X(t) = X0 * sin(ω * t +φ0) или X(t) = X0 * cos(ω * t + φ0)
Свободные гармонические колебания без затухания
Из выражений следует, что гармонический осциллятор совершает свободные гармонические колебания с частотой: ω0 = √(k/m). Период колебаний: T = 2*π* √(m/k), где π=3,14. Свободные гармонические колебания в графическом представлении с помощью ВД изображаются вращающимся с частотой ω0 вектором А (Рис.4).
Рис.4
Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой
- первый член — возвращающая сила упругости;
- второй член — сила, обусловленная вязким трением, пропорциональная мгновенной скорости тела x ̇;
- третий член — сила внешнего воздействия на систему, которая зависит только от времени t и не зависит от координаты x.
Из высшей математики известно, что любую функцию можно представить (разложить) в виде ряда или интеграла Фурье. Значит, решение уравнения может быть сведено к решению с синусоидальной силой:
Метод ВД в данном случае применяется в следующей последовательности:
- Одномерные, зависящие от времени величины (x, x ̇; x ̈, f) формально заменяются на двумерные векторы. Векторы должны быть подобраны так, чтобы двумерное движение было исключительно вращательным.
- Для выполнения этого условия необходимо, чтобы сумма сил, оказывающая воздействие на осциллятор, была устремлена к одной точке (центр вращения), а количественно равнялась произведению массы осциллятора на центростремительное ускорение.
- Далее составляются уравнения для модулей векторов (амплитуды колебаний) и на углы векторов, то есть фазы.
- Вращение должно проистекать вокруг точки равновесия, которую следует поместить в начало координат.
Чтобы ускорение было направлено к точке равновесия, необходимо выполнение двух условий для выполнения составляющих (радиальной fr и перпендикулярной fp) сил и ускорения по оси вдоль радиуса-вектора по оси ей перпендикулярной. Два условия дают два уравнения:
m * ω 2 * r = k * r — fr
В результате решения данных уравнений получают выражение для амплитуды колебания при заданной величине вынуждающей силы f:
Рис.5 Из отношения компонент силы fr и fp можно найти тангенс угла, под которым вектор силы на ВД наклонён к радиусу-вектору. Таким образом, будет найден сдвиг фазы колебаний x относительно фазы колебаний внешней силы f.
Метод ВД для расчёта электрических цепей
- Падение напряжения на обычном (пассивном) сопротивлении: UR = I * R, где: I — ток, R — сопротивление.
- Для конденсатора: C*UC = ∫Idt, где: C — ёмкость, UC — падение напряжения на ёмкости. UL = -L * dI/dt , где: L — индуктивность, UL — напряжение на индуктивности.
- Синусоидальный ток: I(t) = I0 * cos(ω * t + φ0) , где: ω — угловая частота, φ0 — начальная фаза. Тогда напряжение на конденсаторе будет:
- пассивное сопротивление R не вызывает сдвига фазы относительно тока;
- напряжение на конденсаторе UC отстаёт по фазе на 900;
- напряжение на индуктивности UL опережает ток на 900.
На основании последних двух формул вводится понятие реактивного сопротивления Z:
ZC = 1/ωC — реактивное емкостное сопротивление.
ZC = ωL — реактивное индуктивное сопротивление.
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье — это математическая операция, позволяющая разложить функцию с вещественной переменной на отдельные составляющие — гармонические колебания с разными частотами. Хорошей аналогией в данном случае служит аккорд на музыкальном инструменте, который состоит из нескольких отдельных звуков (нот) определённой частоты. На выходе преобразования получается набор частот (спектр), присутствующих в сигнале и пропорции амплитудных величин.
Преобразование Фурье вещественной функции u(t) задаётся следующей формулой:
где: u(t) — исходный сигнал, U(f) — изображение по Фурье, параметром которого выступает частота.
Эта математическая операция разлагает исходный сигнал на гармонические составляющие (гармоники). При исследованиях частотных спектров применение ВД в некоторых случаях позволяет получить результаты с хорошей точностью простыми средствами. Помимо этого, ВД полезны в иллюстративном плане для качественного понимания формальных вычислений.
Дифракция
Дифракцией в физике называют отклонение световых (электромагнитных) волн от распространения по законам геометрической оптики. При определённых соотношениях длины волны и параметров среды наблюдаются отклонения от прямолинейного распространения, возникает огибание препятствий и проникновение света в область геометрической тени.
Частным случаем является дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах), когда световой источник и точка, где проводятся измерения (наблюдения), бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Как и в предыдущих случаях возникает задача суммирования синусоидальных волн с равными амплитудами, но сдвинутых по фазе на одинаковую величину (предыдущая с последующей). Фазовые сдвиги пропорциональны синусу угла.
Значит, может использоваться метод ВД, в котором каждая синусоида будет представлена вектором. В результате образуется ломаная линия, вписанная в окружность. Переходя к пределу, получится дуга окружности. Суммирующий вектор — это хорда полученной дуги, длина которой рассчитывается по известным геометрическим формулам.
С помощью ВД возможно качественно изучить переход от чисто фраунгоферового случая к более реальному, когда точка наблюдения приближается к щели. Длины векторов становятся неравными, но примерно можно оценить, как изменяется картина, пока расстояние уменьшилось не очень сильно.
Построение ВД напряжений и токов
В качестве примера построения ВД рассмотрим последовательную цепочку из сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Схема приведена на рисунке ниже.
Напряжения на элементах схемы — UR, UL, UC. Ток в цепи — i.
Пускай в цепи протекает синусоидальный ток с частотой ω и с нулевым сдвигом фазы. Для ненулевого сдвига фазы ВД просто повернётся на этот начальный угол, а общий её вид не изменится. Амплитуды напряжений на каждом элементе в форме закона Ома:
Соответствующие этим амплитудам длины векторов наносятся на ВД. При этом каждый вектор наносится с учетом своего фазового сдвига. Суммарный вектор оказался равен U = UR + UL + UC, но это теперь доказано геометрически на диаграмме.
Модуль суммарного вектора равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике со сторонами |U|R, (|U|L — |U|С). Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно вычислить |U|:
Применив формулы, указанные выше, получим:
Можно вынести за скобки i0 (амплитуда тока — длина вектора i), тогда:
|U| 2 = i0 2 * (R 2 + (ωL — 1/ ωC) 2
Пользуясь последней формулой, можно вычислять амплитуду синусоидального напряжения. Полученные формулы справедливы для случая обратной задачи, когда требуется найти ток в цепи с известным источником напряжения.
Заключение
Приведённые примеры демонстрируют универсальность применения метода ВД для решения разных физических и технических задач. Синусоидальные, повторяющиеся процессы происходят и в других областях знаний (химических и биологических системах). Наглядность и простота использования хорошо сочетаются на начальном этапе обучения, позволяя в дальнейшем перейти к освоению более сложного аппарата комплексного представления гармонических сигналов.
1.3. Векторные диаграммы токов и напряжений при кз
Назначение и условия построения векторных диаграмм. Для уяснений условий работы реле удобно использовать векторные диаграммы подведенных к ним напряжений и токов. За основу построения векторных диаграмм приняты следующие исходные положения: для упрощения рассматривается начальный момент КЗ на ЛЭП с односторонним питанием при отсутствии нагрузки (рис. 1.3, а); для получения действительных углов сдвига фаз между токами и напряжениями учитывается падение напряжения не только в индуктивном, но и в активном сопротивлении R цепи КЗ; электрическая система, питающая место КЗ, заменяется одним эквивалентным генератором с фазными ЭДС EA, EB, EC представляющими симметричную и уравновешенную 1 систему векторов, относительно которых строятся векторы токов и напряжений [11, 18].
Для упрощения построения диаграмм обычно рассматриваются металлические КЗ, при которых переходное сопротивление в месте замыкания RП= 0. За положительное направление токов принимается их направление от источника питания к месту повреждения, соответственно положительными считаются ЭЛС и падения напряжения, направления которых совпадают с направлением положительного тока.
Векторная диаграмма при трехфазном КЗ. На рис. 1.4, а показана ЛЭП, на которой возникло металлическое замыкание трех фаз в точке К. Построение векторной диаграммы (рис. 1.4, б) начинается с фазных ЭДС EA, EB, EC . Под действием фазных ЭЛС в каждой фазе возникает ток КЗ:
(1.1)
где EФ – фазная ЭДС системы; ZC , RC , XC , ZЛ.К , EЛ.К , RЛ.К — сопротивления системы и поврежденного участка ЛЭП (рис. 1.4, а).
Токи IAк = IВк = IСк = Iк имеют сдвиг по фазе относительно соответствующих ЭДС:
Напряжения в точке К равны нулю: UАк = UВк = UСк = 0. Фазные напряжения в месте установки РЗ, в точке Р (рис. 1.4, а), UAP =IAкRЛ.К + jIАкXЛ.К определяются на диаграмме (рис. 1.4, б) как сумма падений напряжения в активном сопротивлении IAкRЛ, совпадающего по фазе с вектором IAк, и в реактивном сопротивлении IАкXЛ, сдвинутого на 90 o относительно IAк. Аналогично строятся векторы UВP и UCP. Модули (абсолютные значения) UAP, UВP, UCP, имеют одинаковые значения, каждый из этих векторов опережает ток одноименной фазы на угол = агсtg(XЛ.К/RЛ.К). Для ЛЭП 35 кВ этот угол равен 45 – 55 o ,110кВ – 60–78 о , 220 кВ (один провод в фазе) – 73–82 о , 330 кВ (два провода в фазе) – 80-85 о , 500 кВ (три провода в фазе) – 84-87 о , 750 кВ (четыре провода в фазе) – 86-88 о . Большее значение К соответствует большему сечению провода, так как чем больше сечение, тем меньше R.
Из рассмотренных диаграмм трехфазных КЗ следует: 1) векторные диаграммы токов и напряжений являются симметричными и уравновешенными, так как в них отсутствуют составляющие обратной и нулевой последовательностей; 2) трехфазное КЗ сопровождается резким снижением всех междуфазных напряжений (как в месте КЗ, так и вблизи от него). В результате этого K (3) является самым опасным повреждением для устойчивости параллельной работы энергосистемы и потребителей электроэнергии.
Двухфазное короткое замыкание. На рис. 1.5, а показано металлическое КЗ между фазами В и С ЛЭП. Под действием междуфазной ЭДС ЕВС (рис. 1.5, а) возникают токи КЗ IBк и IСк.
Их значения определяются по формуле Iк (2) = EBC/2ZФ, где 2ZФ – полное сопротивление прямой последовательности двух фаз (2ZФ = ZВ + ZС). Токи в поврежденных фазах равны по значению, но противоположны по фазе, а ток в неповрежденной фазе равен нулю (при неучете нагрузки):
Ток нулевой последовательности (НП) при К (2) отсутствует, так как сумма токов трех фаз IA + IВ+ IС =0 Векторная диаграмма в точке К. На рис. 1.5, б построены векторы фазных ЭДС и ЭДС между поврежденными фазами ЕВС. Вектор тока КЗ IкВ отстает от создающей его ЭДС
ЕВС на угол
Напряжение неповрежденной фазы А одинаково в любой точке сети и равно фазной ЭДС: UA = EA. Поскольку междуфазное напряжение при металлическом КЗ в точке КЗ UBCк = UBC – UCк = 0, то
т. е. фазные напряжения поврежденных фаз в месте КЗ равны по модулю и совпадают по фазе.
Поскольку фазные напряжения при двухфазном КЗ не содержат составляющих НП, в любой точке сети должно удовлетворяться условие:
(1.3б)
Следовательно, в месте КЗ напряжение каждой поврежденной фазы равно половине напряжения неповрежденной фазы и противоположно ему по знаку. На диаграмме вектор UАК совпадает с вектором EA , а векторы UВК и UСК – равны друг другу и противоположны по фазе вектору EA.
Векторная диаграмма в точке Р приведена на рис. 1.5, в. векторы токов остаются без изменения. Напряжения фаз В и С в точке Р равны:
Чем дальше точка Р отстоит от места КЗ, тем больше напряжение: UВСР = UВР – UСР. Напряжение неповрежденной фазы UАР = ЕА. Вектор тока IВР отстает от междуфазного напряжения UВСР на угол к = аrсtg(XЛ/RЛ).
Двухфазные КЗ характеризуются двумя особенностями:
1) векторы токов и напряжений образуют несимметричную, но уравновешенную систему, что говорит об отсутствии составляющих НП. Наличие несимметрии указывает, что токи и напряжения имеют составляющие обратной последовательности (ОП) наряду с прямой;
2) фазные напряжения даже в месте КЗ существенно больше нуля, только одно междуфазное напряжение снижается до нуля, а значение двух других равно 1,5UФ. Поэтому двухфазное КЗ менее опасно для устойчивости ЭЭС и потребителей электроэнергии.
Однофазное короткое замыкание (К (1) ). Замыкание на землю одной фазы вызывает появление тока КЗ только в электрических сетях 110 кВ и выше, работающих с глухозаземленными нейтралями трансформаторов. Характер токов и напряжений, появляющихся при этом виде повреждения на фазе А, поясняет рис. 1.6, а.
Ток КЗ IАк, возникающий под действием ЭДС ЕА, проходит по поврежденной фазе от источника питания G и возвращается обратно по земле через заземленные нейтрали N трансформаторов:
(1.5)
Индуктивные и активные сопротивления в этом выражении соответствуют петле фаза-земля и отличаются от значений сопротивлений фаз при междуфазных КЗ. Вектор IАк отстает от вектора ЭДС ЕА на угол В неповрежденных фазах токи отсутствуют.
Напряжение поврежденной фазы А в точке UAK= 0. Напряжения неповрежденных фаз 1 В и С равны ЭДС этих фаз:
Векторная диаграмма для места повреждения изображена на рис. 1.6,б. Междуфазные напряжения UАВК = UВК ; UВСК = UВК – UСК ; UСАК = UСК.
Геометрические суммы фазных токов и напряжений равны:
Отсюда ясно, что фазные токи и напряжения содержат составляющие Нп:
Вектор IOK совпадает по фазе с IАк, вектор UoК противоположен по фазе ЕА и равен 1/3 нормального (до КЗ) значения напряжения поврежденной фазы А:
Векторная диаграмма в точке Р при К (1) приведена на рис. 1.6, в. Ток фазы А остается неизменным. Напряжение поврежденной фазы
(1.7)
Вектор UАР опережает IАк на угол
Напряжения неповрежденных фаз В и С не изменяются: UВР = ЕВ; UCР = ЕC. Междуфазные напряжения UАВР и UАСР увеличиваются. Векторы НП IоР и UоР равны:
Как следует из диаграммы, UоР < UоК по модулю и смещается по фазе из-за наличия активного сопротивления (фаза-земля). Отметим некоторые особенности векторных диаграмм (рис. 1.6, б и в):
1) токи и фазные напряжения образуют несимметричную и неуравновешенную систему векторов, что говорит о наличии кроме прямой составляющих ОП и НП;
2) междуфазные напряжения в точке К больше нуля, площадь треугольника, образованного этими напряжениями, отличается от нуля. Однофазное КЗ является наименее опасным видом повреждения с точки зрения устойчивости ЭЭС и работы потребителей.
Двухфазное короткое замыкание на землю (К (1,1) ). Этот вид КЗ также может возникать только в сети с глухозаземленной нейтралью (см. рис. 1.2, г). Векторная диаграмма КЗ на землю двух фаз приведена на рис. 1.7 для точек К и Р.
Под действием ЭДС ЕВ и ЕС в поврежденных фазах В и С протекают токи IВк и IСК, замыкающиеся через землю:
В неповрежденной фазе ток отсутствует:
Сумма токов всех трех фаз с учетом (1.8) и (1.9) не равна нулю: IАк + IВк + IСк = Iк(з) + 3Iо, полные токи содержат составляющую НП.
В месте КЗ напряжения поврежденных фаз В и С, замкнутых на землю, равны нулю: UВK = UCK = 0. Напряжение между поврежденными фазами также равно нулю: UВCK = 0. Напряжение неповрежденной фазы UAK остается нормальным (если пренебречь индукцией от токов IВк и IСк). В точке К треугольник междуфазных напряжений (рис. 1.7, в) превращается в линию, а междуфазные напряжения между поврежденными и неповрежденными фазами UАВ и UСА снижаются до фазного напряжения UАК. Диаграмма токов и напряжений для точки Р построена на рис. 1.7, б.
В связи с увеличением напряжений UВР и UАС увеличиваются и междуфазные напряжения, растет площадь треугольника междуфазных напряжений и уменьшается напряжение НП:
Векторные диаграммы при двухфазных КЗ на землю имеют следующие особенности:
1) токи и напряжения несимметричны и неуравновешены, что обусловливает появление кроме прямой составляющих НП и ОП;
2) из-за резкого снижения напряжений в месте КЗ этот вид повреждения после К (3) является наиболее тяжелым для устойчивости энергосистемы и потребителей электроэнергии.
Двойное замыкание на землю (К (1) ). Подобное КЗ возникает в сети с изолированной или заземленной через дугогасящий реактор нейтралью. Под двойным замыканием подразумева- ется замыкание на землю двух фаз в разных точках сети (К1 и К2 на рис. 1.8). Под действием разности ЭДС поврежденных фаз ЕВ – ЕС в фазах В и С возникают токи КЗ IВк и IСк , замыкающиеся через землю в точках К1 и К2. В этих точках и в поврежденных фазах токи КЗ равны по значению и противоположны по фазе: IВк = – IСк‘ в неповрежденной фазе А ток IАК = 0.
Векторная диаграмма токов на участке между источником питания и ближайшим местом повреждения (точкой К1) будет такой же, как при двухфазном КЗ без земли (см. § .3, рис. 1.5). Сумма токов фаз на этом участке равна нулю (IАк + IВк + IСк = О), следовательно, в токах фаз отсутствуют составляющие НП.
На участке ЛЭП между точками замыкания на землю К1 и К2 в условиях одностороннего питания ток КЗ протекает только по одной фазе (фаза В на рис. 1.8), т. е. так же, как и при однофазном КЗ (см. § 1.3). Векторная диаграмма полных токов и напряжений на этом участке аналогична диаграмме при однофазных КЗ (см. рис. 1.6, б), а в токах и напряжениях на участке К1, К2 появляются составляющие НП. С учетом того, что на этом участке IA = 0, I0 = 
IBк. Поскольку точки К1 и К2 имеют потенциал земли, то в точке К2 
а в точке К1 = 