Момент от сосредоточенной нагрузки на балку

Консольная балка под действием сосредоточенной нагрузки

Цель: Расчет на изгиб в силовой плоскости под сосредоточенной силой, без учета деформаций поперечного сдвига. Проверяются значения максимальных поперечного перемещения, угла поворота и изгибающего момента.

Файл с исходными данными: 4_1.spr

Формулировка задачи: Консольная балка нагружается на свободном конце сосредоточенной силой Р. Определить максимальные значения поперечного перемещения w, угла поворота θ и изгибающего момента М.

Ссылки: Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В., Справочник по сопротивлению материалов. — Киев: Наук. думка, 1988, стр. 263.

Исходные данные:

E = 2.0·10 11 Па	— модуль упругости,
ν = 0.3	— коэффициент Пуассона,
L = 3 м	— длина балки;
I = 2.44·10 -6 м 4	— момент инерции поперечного сечения;
Р = 5 кН	— значение сосредоточенной силы.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида, 10 стержневых элементов типа 5, 11 узлов.

Результаты решения в SCAD:

Эпюра изгибающего момента М (кН·м)

Значения поперечных перемещений w(мм)

Значения углов поворота θ (рад)

Сравнение решений:

Как найти сосредоточенную нагрузку на главную балку?

В курсовом пытаюсь запроектировать главную балку, в методичке пример только с распределенной нагрузкой. Мне нужна сосредоточенная.
По заданию балочная клетка усложненная, сопряжение балок поэтажное, т.е. вспомогательные балки опираются на главную. По расчету получилось, что ВБ 4 шт. соответственно их нельзя принимать как распределенную нагрузку. Сначала я пытался найти распределенную нагрузку на ГБ (Получилось 314,48 кг/см), а от нее перейти к сосредоточенной (P=(qгб*Lгб)/4), получилось 106 137,39 кг. И создается такое ощущение, что это не верно, потому что потом проверка по касательным напряжениям не сходится, а проверка местной устойчивости стенки балки (когда проектируем ребра жесткости) не сходится в 100 раз.
Lгб = 13,5м
Шаг ГБ = 7,5 м
Шаг ВБ = 4,5 м
Кол. ВБ = 4 шт.
qнгб=314,48 кг/см

Просмотров: 1829
Регистрация: 23.06.2011
Сообщений: 639
Сообщение от Вопрос№385
qнгб=314,48 кг/см
Offtop: Это 31 т/м. Это 420 т на балку. Это три боинга 747. Хороший курсовик. Хорошая балка =)
Регистрация: 09.07.2007
Тутошние мы.
Сообщений: 6,082
Сообщение от Вопрос№385
Как найти сосредоточенную нагрузку на главную балку?

Составляешь расчётную схему второстепенных балок. Решаешь их, находя реакции опор. Эти реакции опор и будут нагрузками на главные балки.

Регистрация: 09.05.2017
Сообщений: 91

Не понятно откуда вы взяли эти 314,48 кг/см. Ведите расчет от выше лежачих конструкций до ниже лежачих. Не посчитав сначала второстепенную балку, вы не посчитаете ГБ. Если на второстепенную балку действует поверхностная нагрузка, вы должны определить ее из сбора нагрузок на 1 м2 перекрытия, потом чтобы перейти к линейной нагрузки на саму балку, необходимо умножить это значение в кгс/м2 на шаг балок второстепенных, получив линейную распределенную нагрузку в кгс/м. Дальше у вас в зависимости от крепления ВБ до ГБ составляете расчетную схему, это как правило шарнирная балка на двух опорах, у которой момент M_max=q*l^2/8, где q распределенная нагрузка l пролет ВБ. Определив усилия и подобрав балку, у вас также известна будет и опорная реакция которая будет равна R=q*l/2, это также и максимальная поперечная сила на опоре так как Q=R на опоре. Эта сила как раз у вас будет создавать нагрузку и ее нужно прикладывать на ГБ. Если балка с двух сторон опирается тогда две Q прикладываем 2*Q или 2*R. Дальше онлайн ищите от 4 сил как определить момент и поперечную силу если не знаете как вручную, но лучше по правилам сопромата или теоретической механики составить уравнения равновесия балки относительно двух опор, определить опорные реакции этих опор, потом моменты в необходимых точках и поперечные силы (построить эпюры), проверить правильность опорных реакции составив уравнение равновесия сил вдоль действия этих реакций типо на ось У если ось Х принять вдоль балки. И тогда уже проверять разные напряжения от изгиба, касательные, устойчивость, прогиб и т.д.

inzh.konstr

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от inzh.konstr

Расчет консольной балки на изгиб пример

Такие вопросы мы сегодня рассмотрим на этой страничке. Здесь есть видео урок на эту тему и описание к ней. Итак, поехали!

Вот какие еще уроки по сопротивлению материалов вы найдете на моем сайте:

Гипотезы и определения при изгибе

Прежде всего начнем с определений и гипотез, которые мы вводим в сопротивлении материалов при изучении изгиба:

Что такое балка? Балка — это стержень, длина которого значительно больше чем ширина и высота. При этом он испытывает деформацию изгиба.

Изгиб, что это? Это такой вид деформации, при котором происходит искривление продольной оси балки, но продольные волокна друг на друга не давят, а сечения плоские до изгиба остаются такими и после изгиба.

На рисунке выше изображена схема для вывода формулы напряжений и демонстрация напряжений, которые возникают при чистом изгибе. Этот термин придется изложить в другой статье. А пока продолжим.

Эпюра — это график изменения величины, для которой он построен. Так эпюра изгибающего момента — это график изменения внутреннего усилия — изгибающего момента по длине балки. Используя этот график, построенный в масштабе, можно с помощь простых операций определить значение изгибающего момента в любой точке по длине балки. Эпюра поперечной силы — аналогично, график ее изменения внутреннего усилия поперечная сила по длине балки.

Построение эпюр при изгибе

Приступим к построению эпюр при изгибе.

Для простоты, возьмем балку защемленную с одной стороны и свободным краем балки с другой стороны (про виды опор и опорные реакции видео урок). Почему так проще? Потому, что при таком способе закрепления не придется определять опорные реакции. Не будет такой необходимости. Дальше будет понятно почему.

На рисунке изображена одна продольная ось, а поперечное сечение не изображается. Что эта за ось? Это та ось, на которой не будет деформаций (нейтральный слой, выше на рисунке). Для сечений, которые простой формы, типа круг, квадрат, прямоугольник, двутавр или сложных составных форм — эта линия всегда проходит через главные центральные оси (опять же пока видео урок «моменты инерции«, а позже статью напишу). Чтобы построить эпюры достаточно и этого.

Итак, со схемой для расчета определились теперь перейдем непосредственно к самому расчету.

Метод сечений при изгибе

Покажем сечение на балке и дадим к нему некоторые пояснения:

Обычно эта схема рисуется одним цветом, но чтобы в тексте было проще описывать — я разделил на три цвета.

Начало координат оси x берем под силой F. Т.е. под этой силой x =0. Положительное направление оси здесь удобно брать влево, в сторону где расположена остальная часть балки. Соответственно x изменяется от нуля до полной длины балки. Только в этих пределах балка существует.

Сечение, которое обозначено на схеме «ядовито зеленым цветом» �� — может перемещаться, т.к. расстояние до него равно x .

Поэтому x сечения может быть в начале координат, а может быть в конце ну и в промежутке тоже. Нам нужно это понимать, чтобы зависимость для внутренних усилий построить с учетом этого перемещения. Не для конкретного положения сечения, а для любого положения по всей длине балки.

Отсеченную часть рассмотрим отдельно. Запишем условия равновесия для нее. В этом и заключается метод сечений — отсечь, посмотреть на внутренние усилия и найти их из условий равновесия.

На рисунке мы видим отсеченную часть. При этом сам x меняется слева на право от нуля до l.

При таком приложении нагрузки, если других сил на эту часть, кроме силы F, действовать не будет — то этот кусочек балки будет падать вниз, при этом вращаться и перемещаться поступательно. Т.е. совершать плоскопараллельное движение.

Логично предположить, что в реальной конструкции, по сравнению с отсеченной частью что-то эту часть балки «держит», не позволяет «падать». Это и есть силы взаимодействия на межатомном уровне и если их интегрально представлять — внутренние усилия. Значит одно должно удерживать поступательное перемещение вниз, а второе должно удерживать вращательное движение. Поступательное движение вызывает, а значит и может «остановить» — сила, а вращательное — момент. Вот эти усилия нас и интересуют. Внутренние усилия изгибающий момент M(x) и поперечная сила Q(x).

Изобразим их в нашем сечении:

Направление внутренних усилий на рисунке выбрано в соответствии с правилом знаков.

Правило знаков для внутренних усилий при изгибе

А теперь нарисуем, что получилось, немного упростив

Неправда ли, похож на улыбающийся смайлик — это правило знаков для положительного направления изгибающего момента для расчета балки на изгиб. Т.е. любое усилие, вызывающее изгиб балки таким образом, что балка изгибается выпуклостью вниз (веселый смайлик), т.е. растянутые волокна находятся внизу — это будет положительный момент.

Если же смайлик, под действием внешних сил, окажется грустным, как здесь, ниже:

Такие внешние усилия вызывают деформацию изгиба так, что растянутые волокна вверху — это будут изгибающие моменты со знаком минус.

Но пойдем дальше. Ведь наша цель расчет на прочность балки, а не правило знаков при изгибе.

Нами было получено сечение, в котором действуют как внешние, так и внутренние усилия, которые определяют прочность.

Запись аналитических выражений для эпюр внутренних усилий Q(x) и M(x)

Осталось записать внутренние усилия в виде зависимости изгибающего момента М(x) и поперечной силы Q(x). Рисунок, на котором видны эти внутренние усилия мы уже приводили:

Для определения поперечной силы будем использовать сумму проекций на вертикальную ось, а для определения момента возьмем момент относительно точки С.

Так будем всегда поступать при определении изгибающего момента при расчете балки на изгиб. Таким образом мы исключим из этого уравнения момент от Q(x). Связано это с тем, что плечо от Q(x) до точки C равно нулю, потому и момент будет ноль от этой силы.

сумма проекций на вертикальную ось:

Σ Oy: Q(x) — F = 0; ⇒ Q(x) = F;

сумма моментов относительно точки С:

Σ М_С: -F · x — M(x) = 0; ⇒ M(x) = -F · x ;

Как видно из окончательных выражений мы получили уравнения для двух прямых линий.

Так как координат x в уравнение поперечной силы вообще не входит — то это уравнение прямой линии параллельной оси x . Т.е. при любом x поперечная сила равна F.

Так как в уравнении моментов координата x входит в первой степени — то это уравнение прямой линии наклоненной к оси x под углом.

Потому первая линия в школе записывалась в виде уравнения:

А вторая записывалась:

На графике же это выглядит так:

Таким образом для построения прямых линий достаточно найти на координатных осях две точки и провести прямые линии под линейку. При построении эпюр моментов и поперечных сил принято брать крайние точки, т.е. точки начала и конца участка этих линий.

Поэтому подставляем из пределов существования 0 ≤ x ≤ l сначала 0, а затем l .

M(x = 0) = -F · 0 = 0 ; ⇒ M(x = l ) = -F · l ;

Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы при изгибе

Полученные значения изгибающего момента и поперечной силы в двух сечениях (при положении x=0 и x=l) откладываем соответствующие ординаты, т.е. буквально строим графики обеих функций.

Что мы видим из построенных эпюр, какие выводы мы можем сделать:

• из эпюры поперечной силы видно, что она не меняется по всей длине и равна внешней силе F
• так как в начале координат x (т.е. справа) мы видим на эпюре «скачок» на величину этой силы, то в конце, в заделке скачок говорит о том, что реакция в заделке равна силе F
• на эпюре моментов график выходит из нуля координаты x (справа на балке) и момент тоже равен нулю
• по мере удаления сечения от силы влево момент растет и достигает своей наибольшей величины в заделке, где наблюдается такой же скачок как и на эпюре поперечной силы и равен (- F x). Это говорит о том, что момент в заделке равен именно этому значению

Что такое «скачок» на эпюре

Когда график начинается не из нуля или не из значения полученного на предыдущем участке, а имеет в одном и том же сечении x два разных значения — такой разрыв функции называется скачок. Т.е. если рассматривать график бесконечно близко слева и бесконечно близко справа мы получаем два разных значения как поперечной силы, так и момента. И этот скачок для поперечной силы должен равняться приложенной сосредоточенной силе, а для момента приложенному сосредоточенному моменту.

Вот и все секреты построения эпюр для моментов и поперечных сил. Конечно дальше немного усложняется сам процесс, но принцип остается тот же.

Дальше в видео представлены примеры построения эпюр для распределенной нагрузки изгибающего момента. Чтобы было проще показать разницу все собрано в одном видео:

Примеры расчета на прочность консольных балок

Для консольных балок рассмотрим три варианта нагрузки и расчета на прочность от каждого из видов нагрузок. Приведу все расчеты в виде рисунков

Расчет балки на действие сосредоточенной нагрузки

Как правило по умолчанию под термином «балка» подразумевается однопролетный стержень постоянного по длине сечения, без консолей, на шарнирных опорах. Определение термина «сосредоточенная (точечная) нагрузка» приводится отдельно. Пример расчета такой балки мы ниже и рассмотрим.

Конечно же для опытного инженера-строителя подобный расчет никаких проблем не представляет. А если сосредоточенная нагрузка приложена посредине балки, то инженер часто выполняет примерный расчет в уме за несколько секунд, тем более, если значения и нагрузки и длины пролета выражены целыми однозначными цифрами. Как он это делает? Сейчас узнаем.

Дано:

1. Однопролетная балка постоянного по длине сечения на двух шарнирных опорах А и В, без консолей, длиной l = 4.6 м. Балка расположена горизонтально.

2. Сосредоточенная нагрузка Q = 3.2 кН приложена перпендикулярно к нейтральной оси балки на расстоянии а = 1.8 м от опоры А (на расстоянии b = 2.8 м от опоры В).

Вот собственно и все, что следует знать на первом этапе расчета — определении максимальных напряжений в поперечном сечении балки. И да, длина балки может измеряться кроме метров в сантиметрах, миллиметрах, дюймах, футах и т.д. Нагрузка может также обозначаться заглавными литерами Р, F, измеряться в килограммах, грамах, тоннах пудах, фунтах и т.д. — принципиального значения это не имеет и на методику расчета никак не влияет.

Если теоретические основы расчета вас не интересуют, а вы просто хотите рассчитать свою балку, то можете воспользоваться калкулятором для данной расчетной схемы (впрочем этот калькулятор только для деревянных балок, со временем будет и для стальных).

Далее возможны 2 варианта расчета:

1. Упрощенный, по готовым формулам, которые приводятся буквально в каждом справочнике по сопромату. Для человека, занимающегося частным строительством и желающего просчитать ту или иную балку, такой расчет, самое то.

2. Классический, основанный на уравнениях равновесия системы и методе начальных параметров. Такой расчет чаще всего требуется от студентов. Но и людям, желающим узнать, откуда взялись те или иные формулы, пример такого расчета также будет полезен.

Рассмотрим эти варианты более подробно.

1. Упрощенный расчет (по готовым формулам)

Расчет производится по формулам расчетной схемы 1.2 для шарнирной балки.

1.1 Определение опорных реакций:

А = bQ/l = 2.8·3.2/4.6 = 1.9478 кН (658.1.1)

В = aQ/l = 1.8·3.2/4.6 = 1.2522 кН (658.1.2)

Соответственно максимальная поперечная сила, действующая в поперечных сечениях балки будет «Q» = 1.9478 кН

1.2. Определение максимального изгибающего момента:

Максимальный изгибающий момент будет действовать в поперечном сечении в точке приложения сосредоточенной нагрузки и он составит:

М = Аа = 1.9478·1.8 = 3.5061 кНм (658.2.1)

М = Вb = 1.2522·2.8 = 3.5062 кНм (658.2.2)

Примечание: разница значений в четвертом знаке после запятой возникла из-за округления значений опорных реакций, так что все нормально.

1.3. Подбор сечения балки:

3.1 Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:

W_тр = M/R = 3.5061/13000 = 0.0002697 м 3 (269.7 см 3 ) (658.3.1)

Как правило поперечные сечения деревянных балок имеют прямоугольную форму. Момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по следующей формуле:

W = bh 2 /6 (658.3.2)

Дальше возможны различные варианты, например при высоте сечения балки h = 15 см требуемая ширина сечения составит не менее:

b = 6W/h 2 = 6·269.7/15 2 = 7.2 см (658.3.3)

при высоте сечения балки h = 20 см:

b = 6W/h 2 = 6·269.7/20 2 = 4.05 см (658.3.4)

И так далее. Если изначально задается ширина, например b = 5 см, то для определения требуемой высоты сечения используется следующая формула:

h = √ 6W/b = √ 6·269.7/5 = 18 см (658.3.5)

Впрочем все это не более, чем теория, на практике применяются деревянные брусья сечением 20х5 см или 15х10 см и дальнейшую проверку следует вести для одного из этих сечений. Далее будет рассматриваться сечение 20х5 см, как наиболее экономное по расходу материала. Момент сопротивления такого сечения составит:

W = 5·20 2 /6 = 333.3 см 3 (658.3.6)

Если поперечное сечение деревянной балки имеет форму, отличную от прямоугольной или квадратной, то для определения момента сопротивления можно воспользоваться одной из следующих формул, а при особо сложной форме сечения сначала определить момент инерции, а потом уже момент сопротивления.

3.2 Для стальной балки с расчетным сопротивлением R = 210 Мпа (210000) кПа) требуемый момент сопротивления составляет:

W_тр = M/R = 3.5061/210000 = 1.67·10 -5 м 3 (16.7 см 3 ) (658.3.7)

Далее требуемое сечение подбирается по одному из сортаментов.

Ну а подбор сечения ж/б балки — это отдельная большая тема.

1.4. Проверка по касательным напряжениям (для сечения 5х20 см или 0.05х0.2 м):

Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон (для древесины второго сорта) R_ск = 1.6 МПа.

Для прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения определяются по следующей формуле:

Требование по касательным напряжениям соблюдено.

Для сечений другой формы значение касательных напряжений определяется по формуле Журавского.

Стандартные стальные профили в дополнительной проверке по касательным напряжениям как правило не нуждаются.

1.5. Определение прогиба:

Для деревянной балки сечением 20х5 см момент инерции составит:

I = Wh/2 = 333.33·20/2 = 3333.3 см 4 (0.00003333 м 4 ) (658.5.1)

Модуль упругости древесины составляет Е = 1·10 4 МПа (10 7 кПа)

Так как сосредоточенная нагрузка к балке приложена не посредине пролета, то готовой формулы для определения прогиба в этом случае нет. Поэтому оценим прогиб приблизительно. Сначала определим прогиб в точке приложения сосредоточенной нагрузки:

f = Qb 2 a 2 /(3lEI) = 0.0177 м (1.77 см) (658.5.2)

Если бы сосредоточенная нагрузка была приложена посредине балки, то максимальный прогиб составил бы:

f = Ql 3 /(48EI) = 0.0194 м (1.94 см) (658.5.3)

Как видим, разница относительно небольшая и более точного определения прогиба на мой взгляд при упрощенном расчете не требуется. Ну а дальше все зависит от конструктивных требований по прогибу. В данном случае прогиб составляет 1/237 от длины пролета балки.

Вот собственно и весь упрощенный расчет. «Какой же он упрощенный, ежели тут одного только тексту на цельный лист?» — возразит придирчивый читатель. Все верно. Вот только когда считает специалист старой закваски, то он рисует на бумаге от силы 7-8 формул и занимает это 5-10 минут. Ну а если, как я уже говорил, сосредоточенная нагрузка, например 300 кг приложена посредине пролета длиной 6 метров, то максимальный момент составит М = 400 кгм, а требуемый момент сопротивления примерно W = 300 см 2 и чтобы это определить, действительно достаточно нескольких секунд.

2. Классический расчет

Ну а теперь перейдем к классическому расчету. Но сразу скажу, от упрощенного он отличается только первыми двумя пунктами — определением опорных реакции и максимальных напряжений, принципы подбора сечения такие же, как и изложенные выше. Ну и добавится определение начального и конечного углов поворота, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, углов поворота и прогиба, куда ж без этого в классическом-то расчете.

2.1. Определение опорных реакций

Для определения опорной реакции А воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки В):

ΣМ_В = Al — Qb = 0 (658.6.1)

Аl = Qb; (658.6.2)

A = Qb/l = 2.8·3.2/4.6 = 1.9478 кН (658.1.1)

Для определения опорной реакции В также воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки А):

ΣМ_А = Вl — Qа = 0 (658.6.3)

Вl = Qа; (658.6.4)

В = aQ/l = 1.8·3.2/4.6 = 1.2522 кН (658.1.2)

Для проверки воспользуемся вторым уравнением статического равновесия системы:

∑_у = Q — А — В = 0 (658.6.5)

3.2 — 1.9478 — 1.2522 = 0 (658.6.6)

В точке А поперечные силы условно равны нулю.

Уравнение поперечных сил на участке от точки А до точки приложения сосредоточенной нагрузки будет иметь следующий вид:

«Q» = А = 1.9478 кН (658.6.7)

на участке от точки приложения нагрузки до точки В:

«Q» = А — Q = 1.9478 — 3.2 = — 1.2522 кН (658.6.8)

«Q» = А — Q + В = 1.9478 — 3.2 + 1.2522 = 0 (658.6.9)

Этих данных достаточно для построения эпюр поперечных сил.

2.2. Определение изгибающих моментов:

Для определения изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки, используется метод сечений, согласно которому на участке от опоры А до точки приложения сосредоточенной нагрузки уравнение моментов будет иметь следующий вид:

М = Ах (658.7.1)

где х — расстояние от опоры А до рассматриваемого сечения балки, соответственно в точке А (в начале балки и в начале оси координат х):

М = А·0 = 0 (658.7.2)

в точке приложения сосредоточенной нагрузки:

М = Аа = 3.5061 кНм (658.2.1)

После точки приложения сосредоточенной нагрузки уравнение моментов для рассматриваемых поперечных сечений принимает вид:

М = Ах — Q(x — a) (658.7.3)

соответственно в точке приложения сосредоточенной нагрузки:

М = Аа — Q(a — a) = Aa (658.7.4)

в точке В (в конце балки):

М = Al — Qb = Qbl/l — Qb = Qb — Qb = 0 (658.7.5)

Примечание: так как значение изгибающего момента изменяется линейно, то в определении дополнительных значений момента для промежуточных точек по оси х нет необходимости.

2.3 Определение углов поворота и прогибов поперечного сечения.

Уравнение углов поворота — результат интегрирования уравнения моментов. А как известно, при интегрировании появляется постоянная интегрирования, в данном случае начальный угол поворота Θ_А, который в данном случае не равен нулю. Кроме того на значение углов поворота и прогибов влияет жесткость рассматриваемой балки, выражаемая через ЕI, т.е. чем больше жесткость балки (модуль упругости и момент инерции) тем меньше в итоге углы поворота и прогибы.

Уравнение углов поворота для нашей балки на участке от начала координат (точки А), до точки приложения сосредоточенной нагрузки будет выглядеть так:

θ_x = ∫Mdx/EI = ∫Axdx/EI = — Θ_А + Ax 2 /2EI (658.8.1)

а на участке от точки приложения сосредоточенной нагрузки до точки В так:

θ_x = — Θ_А + Ax 2 /2EI — Q(x — a) 2 /2EI (658.8.2)

Уравнение прогибов — результат интегрирования уравнения углов поворота на рассматриваемом участке:

f_х = ∫Θ_Аdx = — θ_Ax + Ax 3 /6EI (658.8.3)

Как видим, в данном случае постоянная интегрирования — начальный прогиб — равна нулю и это логично — на опорах прогиба быть не может (во всяком случае в теории). Это позволяет составить дополнительное уравнение прогиба для одной из опор, например для точки В уравнение прогиба будет иметь вид:

f_В = — θ_Al + Al 3 /6EI — Qb 3 /6EI = 0 (658.8.4)

θ_Al = Al 3 /6EI — Qb 3 /6EI (658.8.5)

θ_A = Qbl 3 /l 2 6EI — Qb 3 /l6EI (658.8.6)

θ_A = Qb(l 2 — b 2 )/l6EI (658.8.7)

или (более распространенная формула):

θ_A = Ql 2 (b/l — b 3 /l 3 )/6EI = 4.3242/EI (658.8.8)

Проведя аналогичный расчет с помощью уравнения прогибов на опоре А, получим значение конечного угла поворота:

θ_В = Ql 2 (а/l — а 3 /l 3 )/6EI = 3.7398/EI (658.8.9)

Проверяем правильность вычислений:

θ_B = — Θ_А + Ax 2 /2EI — Q(x — a) 2 /2EI = (- 4.3242 + 20.6077 — 12.544)/EI = 3.7395/EI (658.8.10)

Для построения эпюры углов поворота необходимо определить еще как минимум одну точку — место, где угол поворота поперечного сечения, относительно нейтральной оси балки будет равен нулю, а прогиб будет максимальным. Так как эта точка будет справа от точки приложения нагрузки, то для упрощения расчетов рассмотрим балку с конца, а не с начала:

θ_x = — Θ_В + Вx 2 /2EI = 0 (658.8.11)

Θ_В = Вx 2 /2EI (658.8.12)

3.7398 = 1.2522х 2 /2 (658.8.13)

х = 2.444 м (658.8.14)

или на расстоянии 4.6 — 2.444 = 2.156 от начала балки

Как видим, эта точка расположена относительно недалеко от середины пролета балки, так что при упрощенном расчете мы не сильно ошиблись. Прогиб в этой точке составит:

f_2.444 = — θ_В2.444 + В·2.444 3 /6EI = — 6.0934/ЕI (658.8.15)

Таким образом для рассматриваемой деревянной балки максимальный прогиб составит:

f_max = — 6.0934/(10 7 ·0.00003333) = 0.0183 м или 1.83 см (658.8.16)

Чтобы эпюры углов поворота и прогибов были универсальными и подходили и для деревянных и для стальных и для железобетонных и для каких угодно других балок, на эпюрах показываются не абсолютные значения, а относительные. Т.е. обе части уравнения умножаются на ЕI.

2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

На основании полученных ранее данных строим эпюры:

Рисунок 658.1. Расчетная схема (а), замена опор на реактивные силы (б), эпюра поперечных сил (в), эпюра изгибающих моментов (г), эпюра углов поворота (д), эпюра прогибов (е).

На эпюре поперечных сил в начале координат (в точке А) откладываем вверх значение опорной реакции А, согласно направлению действия реактивной силы. Так как значение поперечных сил согласно уравнению не зависит от значения переменной х, то ведем прямую линию, параллельную оси координат, до точки приложения сосредоточенной нагрузки. В точке приложения сосредоточенной нагрузки откладываем значение нагрузки вниз, в результате чего получаем новое значение эпюры поперечных сил, равное значению опорной реакции В. Соединяем эту точку с точкой приложения опорной реакции В. В этой точке откладывается значение опорной реакции В, в итоге в конечном сечении балки поперечные силы условно равны нулю, как и в начале.

Так как у нас балка на шарнирных опорах, на которую действует только сосредоточенная нагрузка, то значения моментов на опорах равны нулю, как мы и определили ранее. На эпюре моментов в точке приложения сосредоточенной нагрузки откладываем вниз значение максимального момента. Соединяем эти точки прямыми линиями, как показано на рисунке.

Примечание: откладывать значение момента можно и вверх, как это принято у конструкторов машин и механизмов, принципиального значения это не имеет. Просто у строителей принято строить эпюры моментов на растянутой стороне сечения.

На эпюре углов поворота в точке А откладываем значение начального угла поворота, в точке В — значение конечного угла поворота. Соединяем эти точки квадратной параболой так, чтобы она проходила через точку, расположенную на расстоянии 2.156 м от начала координат.

На эпюре углов поворота откладываем значение максимального прогиба на расстоянии 2.156 м от начала координат. Проводим кубическую параболу через точку А, точку максимального прогиба и точку В. Если с этим возникают проблемы, то можно вычислить значения и прогибов и углов поворота для любых других поперечных сечений балки.

Вот собственно и весь расчет.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

• Расчет конструкций по нормативным документам . Расчет деревянной балки
• Расчет конструкций . Примеры расчетов

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

35215208680f6fbd