Переходные процессы в цепях переменного тока, законы коммутации, резонансные явления
Установившиеся режимы работы электрических цепей — режимы, в которых в цепи неизменные параметры: напряжение, ток, сопротивления и т.д. Если после наступления установившегося режима изменится напряжение, то изменится и ток. Переход от одного установившегося режима к другому происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени (рисунок 1).
Процессы, возникающие в цепях при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными. Переходные процессы возникают при всяком внезапном изменении параметров цепи. Момент внезапного изменения режима работы электрической цепи принимают за начальный момент времени, относительно которого характеризуют состояние цепи и описывают сам переходный процесс.
Рис. 1. Режимы, возникающие в цепи переменного тока
Продолжительность переходного процесса может быть очень малой и исчисляться долями секунд, но токи и напряжения или другие параметры, характеризующие процесс, могут достигать больших значений. Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи .
Коммутация — это замыкание или размыкание контактов коммутирующих аппаратов. При анализе переходных процессов пользуются двумя законами коммутации.
Первый закон коммутации : ток. протекающий через индуктивную катушку до коммутации равен току через ту же катушку непосредственно после коммутации. Т.е. ток в катушке индуктивности скачком измениться не может.
Второй закон коммутации : напряжение на емкостном элементе до коммутации равно напряжению на том же элементе после коммутации. Т.е. напряжение на емкостном элементе скачком измениться не может. Для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора справедливы зависимости
В рассматриваемой цепи при равенстве реактивных сопротивлений Xl и X с имеет место так называемый резонанс напряжения . Так как эти сопротивления зависят от частоты, резонанс наступает при некоторой резонансной частоте ωо .
Общее сопротивление цепи в этом случае минимальное и чисто активное Z = R, а ток имеет максимальное значение. При ω ωо нагрузка имеет активно-емкостный характер, при ω > ωо — активно-индуктивный.
Следует отмстить, что резкому увеличению тока в цепи при резонансе соответствует возрастание Xl и X с. Эти напряжения могут стать значительно больше напряжения U приложенного к зажимам цепи, поэтому резонанс напряжений — явление, опасное для электроэнергетических установок.
Токи в ветвях параллельно соединенных элементов цепи имеют соответствующий фазовый сдвиг по отношению к общему напряжению цепи. Поэтому общий ток цепи равен сумме токов отдельных ее ветвей с учетом фазовых сдвигов и определяется по формуле
При равенстве реактивных сопротивлений Xl и X с , в цепи с параллельным соединением элементов возникает резонанс токов . Ток при резонансе достигает максимального значения, а коэффициент мощности максимального ( cos φ = 1 ). Значение резонансной частоты определяется но формуле
Токи в ветвях, содержащих L и С, при резонанс могут быть больше общего тока цепи. Индуктивный и емкостной токи противоположны по фазе, равны по значению и по отношению к источнику электроэнергии взаимно компенсируются. Т.е. в цепи происходит обмен энергией между индуктивной катушкой и конденсатором.
Режим, близкий к резонансу токов, широко используется для повышения коэффициента мощности потребителей электроэнергии. Это дает значительный экономический эффект из-за разгрузки проводов, снижения потерь, экономии материалов и электроэнергии.
Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
LDO Transient Response Measurement
Figure 1. LDO line transient test setup showing input voltage step and output transient voltages.
Test LDO Transient Response
The common way to test line LDO transient response is to generate a step- like voltage on the LDO input as shown in Figure 1. For example, for a LDO whose nominal input voltage is 3.3V (3.0V output), an input step voltage from 3.2V to 3.4V is suitable for testing its step transient response. To effectively test the LDO transient response, it is desirable for the test setup to achieve the following:
- Able to adjust the DC voltage
- Able to adjust the step voltage amplitude, V Step
- Able to control the rise and fall time (1us to 100us)
- Able to drive large LDO input capacitance (0.1uF to 10uF)
- Able adjust the LDO output load (e.g. 1mA to 1A)
The TS200/TS250 high power function generator amplifier combine with a function generator, can achieve the above requirements and making it ideal for transient response test. The TS200/TS250 can drive up to 6A peak current and it can drive large capacitance. Working with a function generator, the output rise and fall time can be controlled.
Figure 2 shows how to measure line transient response. A function generator generates a square pulse with an adjustable rise and fall time (e.g. 10us). The function generator is connected to the TS200 modulation input. The TS200 output is connected to the device under test (LDO voltage input). The TS200 modulation input is set to AC- couple. Set the function generator’s pulse amplitude to 200mV (if B- version is used, set the amplitude to 20mV). Typical pulse width of 2- 5ms is sufficient. Adjust the DC Offset knob on the TS200 to vary the DC output voltage until 3.3V.
For faster rise time than 10us, it is recommended to keep the LDO input capacitor to minimum (less than 1uF) to allow faster rise and fall time. Use as short cables as possible (less than 12 inches) connecting TS200 output and the DUT. Twist the cables to together to minimize inductance.
To measure the line transient step, connect an oscilloscope probe (CH1) to the LDO input and another probe (CH2) to the LDO output as shown in Figure 2. The transient response is measured at CH2. Figure 3 shows an example of line transient measurement.
Figure 2. LDO line transient response test setup.
Figure 3. LDO line transient response measurement example.
Related Technical Information
Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов.
При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.
При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.
Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:
- Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
- Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
- Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
- Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
- Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).
Классический метод расчета
Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.
В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.
Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи
Резистор (идеальное активное сопротивление)
Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)
при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,
Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать
Подставив в (1) значение тока через конденсатор
получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно
В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:
где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.
Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.
В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением
где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).
Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.
Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).
Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.
Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.
В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид
Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.
Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.
Начальные условия. Законы коммутации
В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).
Таблица 2. Законы коммутации
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)
Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)
Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .
Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.
На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:
первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент
коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .
второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент
коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .
Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).
Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:
Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .
Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.
В соответствии с законами коммутации
На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место
Для известных значений и из уравнения
Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)
Корни характеристического уравнения. Постоянная времени
Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).
Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения
Вид корней характеристического уравнения
Выражение свободной составляющей
Корни вещественные и различные
Корни вещественные и
Пары комплексно-сопряженных корней
Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.
При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний ( колебательный переходный процесс ).
Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением
которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения
называемым логарифмическим декрементом колебания, где .
Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:
где р – корень характеристического уравнения.
Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
- Чем обусловлены переходные процессы?
- Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?
- Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
- Доказать законы коммутации: и — с энергетических позиций.
- В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?
- Определить величину токов и напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .
Трансформаторные подстанции высочайшего качества
Переходные процессы есть процессы перехода от одного установившегося состояния к другому установившемуся состоянию. Изменения параметров элементов схемы или изменение режима работы самой схемы называются коммутациями .
Непосредственное изменение сигналов тока и напряжения во времени может быть определено классическим методом расчета электрических цепей. Основой этого способа является составление дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, и их интегрирование, причем количество производных определяется числом элементов-накопителей в заданной цепи.
В соответствии с классическим методом находят частное и общее решения однородных дифференциальных уравнений. Частное решение обусловлено вынужденным воздействием источников e(t) или i(t). Общее решение находят при отсутствии источников. В этом случае токи и напряжения называются свободными и всегда затухают за счет потерь в цепи. В случае комплексных корней процессы в цепи могут быть колебательными за счет собственных колебаний цепи, но также будут убывать во времени при положительной вещественной части.
В природе соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости.
Потокосцепление скачком измениться не может
Заряд емкости скачком измениться не может
Следовательно, по 1-му закону коммутации в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может :
по 2-му закону коммутации в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может :
За начало отсчета переходного процесса принимается время, равное нулю, начальные значения тока и напряжения до коммутации определяются из начальных условий.
Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений на основе законов Кирхгофа.
Включив и отключив источник тока в установке мы увидим, что сила тока со временем изменится и постоянное значение силы тока в контуре с соленоидом установится не мгновенно, а через некоторый промежуток времени. В течение этого промежутка времени в цепи происходит процесс, получивший название переходного . Переходный процесс в цепи с соленоидом происходит за счет явления самоиндукции.
Уравнение цепи имеет вид:
Общее решение уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов.
где
— ток принужденного режима при
или частное решение неоднородного уравнения,
— ток свободного режима или общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью).
В общем случае . Число слагаемых зависит от порядка уравнения или числа накопителей энергии.
Свободные процессы исследуются для определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать.
Принужденный режим определяет новое состояние электрической цепи после окончания переходного процесса.
До коммутации (до включения) ток в цепи отсутствовал . На основании 1-го закона коммутации
ток в индуктивности в первый момент после коммутации равен току до коммутации. В нашем примере ток равен 0.
Ток находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих :
Свободную составляющую находим из уравнения :
Решение этого уравнения
где
k — корень характеристического уравнения, называют постоянной времени для цепи, состоящей из соленоида и резистора.
А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий при t = 0 с использованием законов коммутации, в частном случае первого закона для индуктивности
Учитывая, что
Решение будет иметь вид:
Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи
При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).
При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.
Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.
При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.
Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.