Построение перпендикуляра к плоскости

Построение взаимно перпендикулярных плоскостей

Построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α, может быть произведено двумя путями: 1) пл. β проводится через прямую, перпендикулярную к пл. α; 2) пл. β проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. α или параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия.

На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты фрон- таль CN и горизонталь СМ: если B»F»⊥C»N» и B’F’⊥C’M’, то BF⊥пл. CDE.

Образованная пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к пл. CDE, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис. 194 горизонтально-проецирующая плоскость β проходит через точку К перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником АВС. Здесь дополнительным условием являлась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к пл. АВС и к пл.π₁. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к прямой, принадлежащей пл. АВС, то пл. β перпендикулярна к пл. АВС.

Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить признаком перпендикулярности самих плоскостей?

К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость β, перпендикулярную к плоскости общего положения α.

Если пл. β перпендикулярна к пл. π₁ и к пл. α, то β⊥h’_0α как к линии пересечения пл. α и пл. π₁. Отсюда h’_0α⊥β и, следовательно, h’_0α⊥β’, как к одной из прямых в пл. β.

Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого параграфа.

В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения — профильная γ и про- фильно-проецирующая α.

Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости

3. Строим перпендикуляр n к плоскости Р( АВС). Для этого через точку D₂ проводим n₂, перпендикулярно f₂, а через D₁ проводим n₁, перпендикулярно h₁.

n₁h₁; h₁ P₁ ( А₁В₁С₁)

n₂f₂; f₂ P₂ (А₂В₂С₂)

§ 6. Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (рис. 6.4).

АВ  , то есть АВ принадлежит плоскости  и АВ  плоскости  . Плоскость   плоскости  .

Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q( АВС) (табл. 6.7).

Алгоритм построения плоскости, перпендикулярной данной

1. Известно, что для построения прямой, перпендикулярной плоскости, необходимо построить горизонталь и фронталь в плоскости.

а) Заметим, что построение перпендикуляра упрощается, так как стороны плоскости Q( АВС) являются прямыми уровня:

б) Возьмем на прямой l произвольную точку К

2. Через точку К, которая принадлежит прямой l, проводим прямую n  Q, т.е.

Искомая плоскость будет определяться двумя пересекающимися прямыми, одна из которых задана – l, а другая – n является перпендикулярной к заданной плоскости:

P(l n) Q ( ABC)

1. Прямая и плоскость в пространстве могут:

а) не иметь общих точек;

б) иметь хотя бы одну общую точку;

в) иметь множество общих точек.

В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.

2. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.

3. Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую – линию пересечения.

4. Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку.

5. Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.

Вопросы для самоанализа

1. Назовите признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.

2. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

3. По какой линии пересекаются две горизонтально проецирующие плоскости?

4. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей, прямой и плоскости?

5. Какова последовательность построения точки пересечения прямой и плоскости?

6. Как провести плоскость, перпендикулярную данной прямой (через точку на прямой или через точку вне прямой)?

7. Как провести перпендикуляр к прямой общего положения?

8. Как через прямую провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости?

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой.

На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, а AM — фронтальна этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к АN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фронталь, как это показано на рис. 185).

Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.

Итак, если в системе π₁, π₂ горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонталъно- и фронталъно-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости. Но для профильно-проеци- рующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя

проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецйрующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость,

Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра.

На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. α (А»С»⊥ f»_0α, А’С’⊥h’_0α) и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. α. Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. β, проведенной через перпендикуляр АЕ.

На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником АВС. Перпендикуляр проведен через точку А.

Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A’D’ и A»D» и горизонталь А»Е», А’Е’, Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А.

Далее проведены проекции перпендикуляра: M»N»⊥A»D», M’N’⊥А’Е’. Почему проекции на рис. 188 на участках A»N» и А’М’ показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.

На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В’С’, то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В’С’. Поэтому A’N’⊥В’С’. Проекция A»N»||оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку N»(N» — фронтальная проекция фронтального следа горизонтали AN) след f»_0α ⊥»ѻ, получена точка Х_α и проведен след h’_0α||A’N’ ( h’_0α⊥В’С’).

На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти прямые перпендикулярны к ВС (А»М»⊥»ѻ, A’N’⊥В’С’); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.

Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой, проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно, можно наметить следую-щий план построения проекций искомой прямой:

1) через точку А провести плоскость (назовем ее γ), перпендикулярную к ВС;

2) определить точку К пересечения прямой ВС с пл. γ;

3) соединить точки А и К отрезком прямой линии.

Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.

Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость (γ), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная проекция A»F» которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции »ѻ, и горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В’С’.

Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. γ. Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецируюгцая плоскость β (на чертеже она задана только горизонтальным следом (β’). Пл. β пересекает пл. γ по прямой с проекциями 1’2′ и 1″2″. В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. γ, перпендикулярной к прямой ВС; следовательно, АК⊥ВС.

В § 15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему π₁, π₂ дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы π₃, π₁, в которой пл. π₃ проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем сравнить построения, данные на рис. 92 и 191.

На рис. 192 изображены плоскость общего положения — α, проходящая через точку А, и перпендикуляр AM к этой плоркости, продолженный до пересечения с пл. π₁ в точке В’.

Угол φ₁ между пл. α, и пл.π₁ и угол φ между прямой AM и пл. π₁ являются острыми углами прямоугольного треугольника В’AM’, и, следовательно, φ₁+φ=90°. Аналогично, если пл.α составляет с пл. π₂ угол σ₂, а прямая AM, перпендикулярная к α, составляет с пл. π₂ угол σ, то σ₂+σ=90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна составлять с пл.π₁ угол φ₁, а с пл. π₂ угол σ₂, может быть построена, лишь если 180° > φ₁+σ₂>90°.

Действительно, складывая почленно φ₁ + φ=90° и σ₂+σ=90°, получим φ₁+σ₂+φ+σ=180°, т. е. φ₁+σ₂ 90°. Если взять φ₁+σ₂=90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять φ₁+σ₂=180°, то получится профильная плоскость, т.е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.

Построение перпендикуляра к плоскости. Чертеж №1

Чертеж №1
ЭПЮР 1
Построение перпендикуляра к плоскости.
По указанным в таблице координатам построить треугольник АВС, и
точка D. Из точки D к плоскости треугольника АВС провести
перпендикуляр. Построить точку пересечения построенного
перпендикуляра с плоскостью. Определить видимость перпендикуляра.

2.

z
D2
В2
4. № вар. 01
С2
А2
х
9
117
В1
С1
90
y
А1
D1
1. По заданным координатам строим
ортогональные проекции точек.
Пример построения точки А (117, 90,9): по
оси х откладываем 117мм, по оси у – 90мм.
По оси z – 9мм.

3.

z
D2
В2
4. № вар. 01
С2
А2
х
В1
С1
А1
y
D1
Соединяем одноименные проекции
точек А, В, С.
В результате получаем
горизонтальную и фронтальную
проекции треугольника АВС.

4.

z
4. № вар. 01
D2
В2
В треугольнике строим горизонталь
22
h2
С2
h2
f2
А2
х
h1
В1
h1
21
11
f1
С1
А1
а затем фронталь
f2
y
f1
D1
Горизонталь – это прямая, параллельная
горизонтальной плоскости проекций, h2 — параллельна
оси х.
Фронталь – это прямая, параллельная фронтальной
плоскости проекций, f1 — параллельна оси х.

5.

z
4. № вар. 01
D2
Из теоремы о проецировании
прямого угла следует:
В2
22
С2
90
°
h2
f2
А2
х
В1
h1
21
11
f1
С1
А1
90°
D1
y
Прямая перпендикулярна к
плоскости, если ее горизонтальная
проекция перпендикулярна
горизонтальной проекции
горизонтали. Фронтальная проекция
перпендикуляра перпендикулярна
фронтальной проекции фронтали.

6.

z
4. № вар. 01
D2
В2
42
22
h2
С2
К2
f2
32
А2
х
В1
h1
Г1
41
21
К1
11
f1
С1
А1
31
y
D1
Для построения точки пересечения
перпендикуляра с плоскостью решаем по
алгоритму 1 позиционную задачу.
1. Через горизонтальную проекцию
перпендикуляра проводим
вспомогательную плоскость-посредник
Г1.
2. Строим линию пересечения Г1 и
треугольника АВС – прямую 3-4 на обеих
плоскостях проекций.
3. Там где построенная линия 3-4 пересекла
фронтальную проекцию перпендикуляра
определяем точку пересечения прямой с
плоскостью К2, затем по вертикальной
линии проекционной связи находим К1.
Точка К –это точка пересечения
прямой с плоскостью.

7.

z
4. № вар. 01
D2
В2
42
22
h2
С2
Методом конкурирующих точек
определяем видимость.
К2
f2
Сначала определим видимость на горизонтальной
плоскости проекций.
32
А2
х
В1
h1
На П1 выбираем пару точек, в которых горизонтальные
проекции совпадают. Это точки 4 и 5. На горизонтальной
плоскости проекций они проецируются в 1 точку.
Г1
41 51
21
К1
11
f1
52
С1
А1
31
y
D1
Достраиваем их фронтальные проекции 42, принадлежащую
прямой ВС (она уже была построена). Затем точку 52,
которая принадлежит перпендикуляру.
Смотрим сверху и видим, что точка 42 выше точки 52. То есть
прямая ВС выше, и закрывает перпендикуляр на
горизонтальной плоскости проекций.

8.

z
4. № вар. 01
D2
В2
42
62 72
22
h2
С2
Далее определяем видимость на фронтальной плоскости
проекций.
К2
f2
32
На П2 выбираем пару точек, в которых фронтальные
проекции совпадают. Это точки 6 и 7. На фронтальной
плоскости проекций они проецируются в 1 точку.
А2
х
В1
h1
Г1
41 51
61
21
Достраиваем их горизонтальные проекции 61,
принадлежащую прямой АВ. Затем точку 71, которая
принадлежит перпендикуляру.
К1
11
f1
52
С1
А1
31
71
y
D1
4.
№вар. 01
Лит .
Лист № докум.
Подп.
Разраб.
Иванов А.А.
Пров.
Л.Г. Климова
Т.конт р.
Изм.
Н.конт р.
Ут в.
Дат а
Эпюр №1
Массса
Масшт аб
Смотрим снизу и видим, что точка 71 ближе точки 61. То есть
перпендикуляр ближе к нам, и в том месте на фронтальной
плоскости проекций, где мы определяем видимость его и
видно.
1:1
ПГСбз- 20- 1
Заполняем основную надпись и маркировочный уголок