Принцип суперпозиции в нелинейных системах

Нелинейные сау

Нелинейной называется такая система, для которой не применим принцип суперпозиции из-за наличия в дифференциальном уравнении степеней, тригонометрических функций, произведений переменных, звеньев с нелинейными характеристиками и т.п.

Реальные САУ нелинейны. Нелинейности подразделяют на линеаризуемые (несущественные) и нелинеаризуемые (существенные). Использование аппарата линейной теории для целей анализа и синтеза систем автоматического управления следует считать целесообразным, если при этом не допускается принципиальных качественных ошибок, а также если количественные погрешности не выходят за рамки допустимых пределов.

Нелинейным автоматическим системам присущи принципиально новые свойства в динамике, которые отсутствуют у линейных:

1. К нелинейным системам не применим принцип суперпозиции;
2. Устойчивость и качество переходных процессов в нелинейных системах зависят от степени возмущения и начальных условий;
3. Возможность возникновения в них автоколебаний (предельных циклов) в общем случае несинусоидальных, амплитуда которых не зависит от внешних воздействий и начальных условий;
4. Частота вынужденных колебаний на выходе системы может быть либо субгармоникой, либо гармоникой входного периодического сигнала;
5. Явление скачкообразного резонанса;
6. Множество состояний равновесия.

В нелинейных системах следует исследовать не устойчивость вообще, а устойчивость определённого их режима. Чтобы судить о свойствах нелинейных систем, кроме математических и физических характеристик элементов необходимо знать вид и величины входных воздействий и область начальных условий. Появление нелинейности в системе с линейной структурой обычно приводит к снижению качества работы последней. Широкий класс нелинейных систем отображается в структурную схему с одной нелинейностью: u Виды нелинейности:

1. Звено с релейной характеристикой. Описать линейной зависимостью элемент с такой рабочей характеристикой невозможно, так как в рабочей точке имеется разрыв.

Уравнение элемента: F(ε)=

1. Звено с релейной характеристикой и зоной нечувствительности.

Уравнение звена имеет вид

1. Звено с характеристикой типа «ограничение (насыщение)».

Необходимость исследования поведения системы «в большом» заставляет рассматривать характеристики элементов при больших значениях входных воздействий. В этом случае элемент может оказаться нелинейным, хотя и является линеаризуемым «в малом». ε Z -Z_m Z_mα ε_r -ε_r Уравнение элемента: -Z_m при ε ≤ ε_r , ε · tg α при | ε | ≤ ε_r , Z_m при ε ≥ ε_r , причём Z_m= ε_r· tg α.

Нелинейные системы (Черногор Л. Ф.)

При описании процессов системы стало модно говорить о линейности или нелинейности. Рассмотрим отличия и особенности нелинейных явлений в организации. За основу возьмем работу Черногора Л. Ф., описавшего основные положения нелинейной парадигмы — синергетики.

Управление зависит от того, как субъект управления представляет себе систему, которой управляет. Понимание разницы между описаниями, моделями систем способствует повышению вероятности управляемых перемен и их эффективности. В этой связи для управляющих индивидуальными и организационными изменениями представляют интерес различия между линейными и нелинейными системами.

Простота линейного мышления

Линейный взгляд в физике в общем случае выражает принцип суперпозиции — сила воздействия на элемент будет равна сумме воздействующих сил. С точки зрения математики линейной будет взаимосвязь, когда количеству изменений одной независимой величины соответствует такое же количество перемен в другой, зависимой от нее (например, удвоив силу мы удвоим ускорение).

«Еще далеко не все осознали, что мы живем в нелинейном мире, в котором свои законы. И эти законы совсем не похожи на привычные линейные законы» (Черногор Л. Ф.)

Система, подчиняющаяся линейным законам — это система, равная сумме ее частей. Зная такие закономерности элементов и системы несложно предсказывать поведение и конструировать объекты. Линейный взгляд на мир легок для понимания, логичен и соответствует “здравому смыслу”. Из механистических систем его старались перенести на весь окружающий мир… Но в последнем линейные процессы оказываются скорее исключением, т.к. природные явления гораздо сложнее. Нелинейные зависимости в разных природных явлениях и науках описываются сходными моделями, предсказывая одинаковые конечные результаты. И линейное описание оказывается лишь частным случаем многоликих нелинейных.

«Мир жестко связан причинно-следственными связями. Причинные цепи носят линейный характер, а следствие если не тождественно причине, то, по крайней мере, пропорционально ей. По причинным цепям ход развития может быть просчитан неограниченно в прошлое и в будущее.» С. Курдюмов, Е. Князева

Нелинейность

Нелинейность описывает фундаментальные и универсальные связи и отношения между объектами. Ее можно назвать противоположностью линейности. Но все даже сложнее, т.к. нелинейность перечеркивает принцип суперпозиции и ничего не предлагает взамен.

Целое больше суммы составляющих его элементов. (Аристотель)

В нелинейных системах появляется качественно иные свойства, не присутствующие в составляющих систему частях.

«Понятие нелинейности столь же фундаментально, сколь фундаментально понятие материи, понятие движения (эволюции) материи. Сама материя в общем случае должна рассматриваться как нелинейная система. Вообще говоря, нелинейным является и движение материи. И материя, и её эволюция описываются нелинейными соотношениями, которые отражают нетривиальные процессы в движущейся материи.» (Черногор Л. Ф.)

Невозможность прогнозировать погоду, землетрясения и многие другие процессы является следствием нелинейности.

Две крайние причины нелинейности:

• врожденная — внутренние закономерности системы;
• привнесенная — из внешней среды.

Динамический хаос — самоорганизация

Говоря об устойчивом и неустойчивом состоянии системы, имеют ввиду порядок и хаос. Первый свидетельствует о предсказуемости, второй — об обратном явлении.

На рисунке пример гистерезиса в восприятии. Строки со словом Chaos («хаос»)
обращаются в Order («порядок» ).

В природе отсутствуют абсолютные хаотические или устойчивые состояния. Для реальной системы характерно какое-то промежуточное состояние.

Следует различать случайный процесс и детерминированный хаос. Последний находится между хаосом и порядком, т.к. является «лишь отчасти хаотичный, а отчасти – детерминированный».

Самоорганизацией называют возникновение порядка из хаоса. Этот процесс, часто упоминаемый в управлении организацией, так же наблюдается в неживых, живых и социальных системах. К ним относится в том числе и пятнистая кожа ягура, одиннадцатилетний солнечный цикл активности, сезонные циклы продаж и мн.др..

«Возможность перехода нелинейной системы от порядка к хаосу и от хаоса к порядку – два важнейших свойства нелинейного мира.» (Черногор Л. Ф.)

Детерминированный хаос может привести к краху системы.

Диссипативные структуры и обратная связь

Поддержание порядка требует энергии, которая поступает в открытую систему извне. После этого энергия рассеивается (диссипатирует).

В условиях беспорядка происходит изменение порядка случайным образом (флуктуация). Некоторые изменения быстро увеличиваются и отнимают энергию у остальной системы за счет нелинейного взаимодействия. Растущие изменения подчиняют себе энергетически слабые. Таким образом формируется упорядоченная согласованная (когерентная) структура системы. Подобным образом ведет себя мысль, зарождаясь в мозгу со временем может подчинить себе организм.

Между силой воздействия и реакцией диссипативной системы существует нелийнейная связь — несмотря на большие усилия результат может оказаться ничтожным. С другой стороны, слабый сигнал в определенных условиях способен самоускоряться и возникнет самораскачивающийся процесс.

Такие явления возможны благодаря положительной (усиливающей) и отрицательной (противодействующей) обратным связям. Структура системы представляет собой множество таких обратных связей и отношений между ними, что описывают как самоорганизацию. Поэтому навязывание нелинейной системе некоего плана развития может привести к непредсказуемым результатам.

Бифуркация и альтернативное будущее

Как только система описывается самым простым нелинейным математическим уравнением, у нее сразу появляются альтернативные пути эволюции.

Нелинейная система определенное время качественно не изменяется. Но при достижении порогового значения наступает кризисная ситуация, когда для сложных открытых систем характерно неустойчивое поведение (характеризуют, как хаотическое). В такие критические моменты (точки бифуркации) даже маленькие изменения (флуктуации) способны изменить траекторию развития.

«Такое раздвоение “судьбы” системы проходят в точках бифуркаций (бифуркация по-латыни означает раздвоение). Само событие для краткости также именуют бифуркацией. По какому из путей пойдет нелинейная система, “предсказывает” математическая теория – теория катастроф.» (Черногор Л. Ф.)

Под бифуркацией понимают выбор качественно иного пути развития, который является случайным. Т.е. если мы берем две одинаковые сложные системы, то со временем они будут отличаться. Так получается потому, что системы оказываются в разных, пусть даже незначительно отличающихся условиях.

При этом система имеет только ограниченное количество альтернативных путей развития. Спектр возможных эволюционных путей определяется свойствами системы.

Обсуждение

Представление о нелинейных системах базируется на принципах синергетики, изучающей поведение открытых диссипативных структур. Такое описание организационных процессов позволяет объяснить многие явления в бизнесе, но до сих пор не стало неотъемлемой частью менеджмента.

Тем не менее, динамичная бизнес-действительность предъявляет новые требования к руководителям и это приводит к:

• появлению принципов управления в условиях неопределенности…
• изменению системного мышления…
• использованию сценарных методов в планировании…
• разработке технологий работы с альтернативными эволюционными путями развития…
• применению инструментов коллективного обучения…
• описанию неожиданных подходов в консультировании…

Опираясь на модель нелинейной организационной системы, трудно гарантировать результат. Это отпугивает руководителей и создает трудности консультантам для продажи своих услуг. Долгое время управление человекоразмерными системами опиралось на упрощении действительности, когда сложные организационные явления старались свести к линейным процессам. Но такие подходы все чаще дают сбой и приходится открыто посмотреть в глаза организационному хаосу, находя возможность влиять на него.

Принцип суперпозиции Эта статья о суперпозиции в линейных системах О суперпозиции квантовых состояний см квантовая супер

Эта статья — о суперпозиции в линейных системах. О суперпозиции квантовых состояний см. квантовая суперпозиция; о других значениях см. суперпозиция.

Принцип суперпозиции — допущение, согласно которому результирующий эффект нескольких независимых воздействий есть сумма эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности. Справедлив для систем или полей, которые описываются линейными уравнениями. Важен во многих разделах классической физики: в механике, теории колебаний и волн, теории физических полей.

Конкретизация формулировки возможна применительно к определённой сфере. Например, в механике в самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

• результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил;
• любое сложное действие можно разделить на два и более простых.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике: напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть векторная сумма напряженности полей отдельных зарядов. Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, в том числе:

• энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц — в системе нет многочастичных взаимодействий;
• уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

Принцип суперпозиции в классической механике Править

Принцип суперпозиции в механике — основанный на опыте постулат о независимости действия приложенных к телу сил. При этом сумма сил

имеет физический смысл суммарного воздействия; без данного принципа она бы такого смысла не имела.

Ввиду линейности связи сила—ускорение ( , — масса тела, и аналогично для второй и так далее сил), диктуемой вторым законом Ньютона, принцип суперпозиции сил превращается в принцип суперпозиции ускорений: ускорение тела определяется суммой приложенных к нему сил:

где представляет собой сумму ускорений, которые бы обрело тело при раздельном воздействии сил.

Однократное интегрирование ускорения по времени позволяет получить скорость , а двукратное — радиус-вектор тела (точнее, материальной точки) как функции времени. Получается, что принцип суперпозиции распространяется и на эти величины, скажем

то есть имеет место суммирование движений, обусловленных приложением отдельных сил. Так, иногда удобно разложить движение на поступательное и вращательное.

Для упругой среды если выполняется закон Гука, то деформация под несколькими воздействиями будет суммой деформаций под действием сил . Частным случаем является суммирование вынужденных упругих колебаний, порождаемых совокупностью сил.

Принцип суперпозиции в электродинамике Править

Принцип суперпозиции является следствием, прямо вытекающим из рассматриваемой теории, а вовсе не постулатом, вносимым в теорию a priori. Так, например, в электростатике принцип суперпозиции есть следствие того факта, что уравнения Максвелла в вакууме линейны. Именно из этого следует, что потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы зарядов можно легко сосчитать, вычислив потенциальную энергию каждой пары зарядов.

Благодаря принципу суперпозиции, появляется возможность вычисления электрического ( ) и магнитного ( ) полей нескольких источников как суммы полей, создаваемых источниками по отдельности:

где радиус-вектор задаёт положение точки, где ищется поле, а нижний индекс нумерует источники.

Другим следствием линейности уравнений Максвелла является тот факт, что лучи света не рассеиваются и вообще никак не взаимодействуют друг с другом. Этот закон можно условно назвать принципом суперпозиции в оптике.

Таким образом, электродинамический принцип суперпозиции — это не незыблемый закон самой природы, а всего лишь следствие линейности уравнений Максвелла, то есть уравнений классической электродинамики.

Кроме случая вакуума, принцип суперпозиции выполняется для диэлектрических и магнитных сред с не зависящими от полей диэлектрической ( ) и магнитной ( ) проницаемостями. Если такая зависимость от полей есть, то происходит нарушение принципа суперпозиции [⇨] .

Принцип суперпозиции в электротехнике Править

Основная статья: Принцип суперпозиции (электротехника)

Принцип суперпозиции в электротехнике утверждает, что электрический ток в каждой ветви электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников ЭДС цепи в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей, то есть таких цепей, вольтамперные характеристики сопротивлений которых представляют собой прямые линии.

Принцип суперпозиции используется в методе расчёта электрических цепей, получившем название метода суперпозиции. При расчёте электрических цепей по методу суперпозиции поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждого из источников ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников (для идеальных источников с нулевым сопротивлением это эквивалентно закорачиванию источника), и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов.

Принцип суперпозиции в теории автоматического управления Править

В автоматике принцип суперпозиции необходим для решения задач анализа линейных динамических систем. Основываясь на принципе суперпозиции и знания переходных или импульсных характеристик, можно получить реакцию линейной динамической системы на произвольное воздействие.

Любое физически реализуемое воздействие может быть заменено суммой ступенчатых воздействий. Тогда реакцию системы можно представить как сумму реакций на отдельные ступенчатые воздействия.

В результате математических преображений получается математическая модель динамики линейной системы в виде интеграла свертки двух функций. Математическая модель в виде интегралов свертки позволяет по известной переходной или импульсной характеристике рассчитать реакцию динамической системы на заданное входное воздействие. Это будет представлять собой необходимый переходный процесс.

Если заданы лишь переходные характеристики отдельных звеньев, то более эффективным и относительно простым решением задач синтеза и анализа линейных систем могут быть получены с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье.

Отсутствие принципа суперпозиции в нелинейных теориях Править

Принцип суперпозиции не действует в электродинамических задачах, рассматриваемых для сред с и/или (как, скажем, в сегнетоэлектриках, ферромагнетиках). В таких случаях поляризуемость или намагниченность среды нелинейно зависят от приложенного поля — и в уравнениях Максвелла появляются нелинейные поправки. В результате могут возникать принципиально новые явления. Так, два луча света, распространяющиеся в нелинейной среде, могут изменять траекторию друг друга. Более того, даже один луч света в нелинейной среде может воздействовать сам на себя и изменять свои характеристики. Многочисленные эффекты такого типа изучает нелинейная оптика. Принцип суперпозиции нарушается также в вакууме при учёте квантовых явлений. В квантовой электродинамике фотон может на некоторое время превратиться в электрон-позитронную пару, которая может взаимодействовать с другими фотонами. Эффективно это приводит к тому, что фотоны могут взаимодействовать друг с другом. Такого типа процессы ( рассеяние света на свете (англ.) ( рус. и другие процессы нелинейной электродинамики) наблюдались экспериментально.

Если применительно к электродинамике возникновение подобных нелинейностей является скорее экзотической ситуацией, то многие фундаментальные теории современной физики принципиально являются нелинейными. Например, квантовая хромодинамика — фундаментальная теория сильных взаимодействий — является разновидностью теории Янга — Миллса, которая нелинейна по построению. Это приводит к сильнейшему нарушению принципа суперпозиции даже в классических (неквантованных) решениях уравнений Янга — Миллса.

Другим известным примером нелинейной теории является общая теория относительности. В ней также не выполняется принцип суперпозиции. Например, гравитационное поле Солнца влияет не только на Землю и Луну, но также и на гравитационное взаимодействие между Землёй и Луной. Вне воздействия гравитационного поля Солнца гравитационное взаимодействие между Землёй и Луной отличалось бы от наблюдаемого. Впрочем, в слабых гравитационных полях эффекты нелинейности слабы, и для повседневных задач приближённый принцип суперпозиции выполняется с высокой точностью.

Наконец, принцип суперпозиции не выполняется, когда речь идёт о взаимодействии атомов и молекул. Это можно пояснить следующим образом. Рассмотрим два атома, связанных общим электронным облаком. Поднесем теперь точно такой же третий атом. Он как бы оттянет на себя часть связывающего атомы электронного облака, и в результате энергия связи между первоначальными атомами изменится.

Нарушение принципа суперпозиции во взаимодействиях атомов в немалой степени приводит к тому удивительному разнообразию физических и химических свойств веществ и материалов, которое так трудно предсказать из общих принципов молекулярной динамики.

См. также Править

• Взаимодействие
• Задача трёх тел

Примечания Править

1. См. [www.vedu.ru/bigencdic/60737/ Суперпозиции принцип] в Большом энциклопедическом словаре онлайн.
2. ↑ С. И. Кузнецов.Курс физики с примерами решения задач. Часть I: Механика(неопр.) . изд-во ТПУ (2013). — см. стр. 29, 48-49, 117.Дата обращения: 29 июля 2023.
3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — М., Высшая школа, 1967. — c. 26.
4. А.В. Андрюшин, В.Р.Сабанин, Н.И.Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 39. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
5. Детектор ATLAS увидел рассеяние света на свете. — «Новости LHC» на сайте «Элементы.ру» (ATLAS, 17th March 2019)

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист

Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).

Список проблемных ссылок

Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры

Дата публикации: Сентябрь 30, 2023, 07:50 am
Самые читаемые

Дэн Браун

Дэниел Фрэнк

Дэй, Дорис

Дэйр, Йинка

Дьяково (городской округ Истра)

Дьякону, Андриан

Дьявол и Дэниел Уэбстер (фильм, 2007)

Дятловщина (Гомельская область)

Дыуадонастау

Дыс

© Copyright 2021, Все права защищены.

Eta statya o superpozicii v linejnyh sistemah O superpozicii kvantovyh sostoyanij sm kvantovaya superpoziciya o drugih znacheniyah sm superpoziciya Princip superpozicii dopushenie soglasno kotoromu rezultiruyushij effekt neskolkih nezavisimyh vozdejstvij est summa effektov vyzyvaemyh kazhdym vozdejstviem v otdelnosti Spravedliv dlya sistem ili polej kotorye opisyvayutsya linejnymi uravneniyami Vazhen vo mnogih razdelah klassicheskoj fiziki v mehanike teorii kolebanij i voln teorii fizicheskih polej 1 Konkretizaciya formulirovki vozmozhna primenitelno k opredelyonnoj sfere Naprimer v mehanike v samoj prostoj formulirovke princip superpozicii glasit rezultat vozdejstviya na chasticu neskolkih vneshnih sil est vektornaya summa vozdejstviya etih sil lyuboe slozhnoe dejstvie mozhno razdelit na dva i bolee prostyh Naibolee izvesten princip superpozicii v elektrostatike napryazhennost elektrostaticheskogo polya sozdavaemogo v dannoj tochke sistemoj zaryadov est vektornaya summa napryazhennosti polej otdelnyh zaryadov Princip superpozicii mozhet prinimat i inye formulirovki v tom chisle energiya vzaimodejstviya vseh chastic v mnogochastichnoj sisteme est prosto summa energij parnyh vzaimodejstvij mezhdu vsemi vozmozhnymi parami chastic v sisteme net mnogochastichnyh vzaimodejstvij uravneniya opisyvayushie povedenie mnogochastichnoj sistemy yavlyayutsya linejnymi po kolichestvu chastic Imenno linejnost fundamentalnoj teorii v rassmatrivaemoj oblasti fiziki est prichina vozniknoveniya v nej principa superpozicii Soderzhanie 1 Princip superpozicii v klassicheskoj mehanike 2 Princip superpozicii v elektrodinamike 3 Princip superpozicii v elektrotehnike 4 Princip superpozicii v teorii avtomaticheskogo upravleniya 5 Otsutstvie principa superpozicii v nelinejnyh teoriyah 6 Sm takzhe 7 PrimechaniyaPrincip superpozicii v klassicheskoj mehanike PravitPrincip superpozicii v mehanike osnovannyj na opyte postulat o nezavisimosti dejstviya prilozhennyh k telu sil 2 Pri etom summa sil F F 1 F 2 displaystyle vec F vec F 1 vec F 2 ldots nbsp imeet fizicheskij smysl summarnogo vozdejstviya bez dannogo principa ona by takogo smysla ne imela Vvidu linejnosti svyazi sila uskorenie F 1 m a 1 displaystyle vec F 1 m vec a 1 nbsp m displaystyle m nbsp massa tela i analogichno dlya vtoroj i tak dalee sil diktuemoj vtorym zakonom Nyutona princip superpozicii sil prevrashaetsya v princip superpozicii uskorenij 2 uskorenie tela opredelyaetsya summoj prilozhennyh k nemu sil a m 1 F a a 1 a 2 displaystyle vec a m 1 vec F quad vec a vec a 1 vec a 2 ldots nbsp gde a displaystyle vec a nbsp predstavlyaet soboj summu uskorenij kotorye by obrelo telo pri razdelnom vozdejstvii sil Odnokratnoe integrirovanie uskoreniya po vremeni pozvolyaet poluchit skorost v t displaystyle vec v t nbsp a dvukratnoe radius vektor tela tochnee materialnoj tochki r t displaystyle vec r t nbsp kak funkcii vremeni Poluchaetsya chto princip superpozicii rasprostranyaetsya i na eti velichiny skazhem r t r 1 t r 2 t displaystyle vec r t vec r 1 t vec r 2 t ldots nbsp to est imeet mesto summirovanie dvizhenij obuslovlennyh prilozheniem otdelnyh sil Tak inogda udobno razlozhit dvizhenie na postupatelnoe i vrashatelnoe 2 Dlya uprugoj sredy esli vypolnyaetsya zakon Guka to deformaciya pod neskolkimi vozdejstviyami budet summoj deformacij pod dejstviem sil F i displaystyle vec F i nbsp Chastnym sluchaem yavlyaetsya summirovanie vynuzhdennyh uprugih kolebanij porozhdaemyh sovokupnostyu sil Princip superpozicii v elektrodinamike PravitPrincip superpozicii yavlyaetsya sledstviem pryamo vytekayushim iz rassmatrivaemoj teorii a vovse ne postulatom vnosimym v teoriyu a priori Tak naprimer v elektrostatike princip superpozicii est sledstvie togo fakta chto uravneniya Maksvella v vakuume linejny Imenno iz etogo sleduet chto potencialnuyu energiyu elektrostaticheskogo vzaimodejstviya sistemy zaryadov mozhno legko soschitat vychisliv potencialnuyu energiyu kazhdoj pary zaryadov Blagodarya principu superpozicii poyavlyaetsya vozmozhnost vychisleniya elektricheskogo E displaystyle vec E nbsp i magnitnogo B displaystyle vec B nbsp polej neskolkih istochnikov kak summy polej sozdavaemyh istochnikami po otdelnosti E r E 1 r E 2 r displaystyle vec E vec r vec E 1 vec r vec E 2 vec r ldots nbsp B r B 1 r B 2 r displaystyle vec B vec r vec B 1 vec r vec B 2 vec r ldots nbsp gde radius vektor r displaystyle vec r nbsp zadayot polozhenie tochki gde ishetsya pole a nizhnij indeks numeruet istochniki Drugim sledstviem linejnosti uravnenij Maksvella yavlyaetsya tot fakt chto luchi sveta ne rasseivayutsya i voobshe nikak ne vzaimodejstvuyut drug s drugom Etot zakon mozhno uslovno nazvat principom superpozicii v optike Takim obrazom elektrodinamicheskij princip superpozicii eto ne nezyblemyj zakon samoj prirody a vsego lish sledstvie linejnosti uravnenij Maksvella to est uravnenij klassicheskoj elektrodinamiki Krome sluchaya vakuuma princip superpozicii vypolnyaetsya dlya dielektricheskih i magnitnyh sred s ne zavisyashimi ot polej dielektricheskoj e displaystyle varepsilon nbsp i magnitnoj m displaystyle mu nbsp pronicaemostyami Esli takaya zavisimost ot polej est to proishodit narushenie principa superpozicii Princip superpozicii v elektrotehnike PravitOsnovnaya statya Princip superpozicii elektrotehnika Princip superpozicii v elektrotehnike utverzhdaet chto elektricheskij tok v kazhdoj vetvi elektricheskoj cepi raven algebraicheskoj summe tokov vyzyvaemyh kazhdym iz istochnikov EDS cepi v otdelnosti Etot princip spravedliv dlya vseh linejnyh elektricheskih cepej to est takih cepej voltampernye harakteristiki soprotivlenij kotoryh predstavlyayut soboj pryamye linii Princip superpozicii ispolzuetsya v metode raschyota elektricheskih cepej poluchivshem nazvanie metoda superpozicii Pri raschyote elektricheskih cepej po metodu superpozicii postupayut sleduyushim obrazom poocheredno rasschityvayut toki voznikayushie ot dejstviya kazhdogo iz istochnikov EDS myslenno udalyaya ostalnye iz shemy no ostavlyaya v sheme vnutrennie soprotivleniya istochnikov dlya idealnyh istochnikov s nulevym soprotivleniem eto ekvivalentno zakorachivaniyu istochnika i zatem nahodyat toki v vetvyah putem algebraicheskogo slozheniya chastichnyh tokov 3 Princip superpozicii v teorii avtomaticheskogo upravleniya PravitV avtomatike princip superpozicii neobhodim dlya resheniya zadach analiza linejnyh dinamicheskih sistem Osnovyvayas na principe superpozicii i znaniya perehodnyh ili impulsnyh harakteristik mozhno poluchit reakciyu linejnoj dinamicheskoj sistemy na proizvolnoe vozdejstvie Lyuboe fizicheski realizuemoe vozdejstvie mozhet byt zameneno summoj stupenchatyh vozdejstvij Togda reakciyu sistemy mozhno predstavit kak summu reakcij na otdelnye stupenchatye vozdejstviya V rezultate matematicheskih preobrazhenij poluchaetsya matematicheskaya model dinamiki linejnoj sistemy v vide integrala svertki dvuh funkcij Matematicheskaya model v vide integralov svertki pozvolyaet po izvestnoj perehodnoj ili impulsnoj harakteristike rasschitat reakciyu dinamicheskoj sistemy na zadannoe vhodnoe vozdejstvie Eto budet predstavlyat soboj neobhodimyj perehodnyj process Esli zadany lish perehodnye harakteristiki otdelnyh zvenev to bolee effektivnym i otnositelno prostym resheniem zadach sinteza i analiza linejnyh sistem mogut byt polucheny s pomoshyu integralnyh preobrazovanij Laplasa i Fure 4 Otsutstvie principa superpozicii v nelinejnyh teoriyah PravitPrincip superpozicii ne dejstvuet v elektrodinamicheskih zadachah rassmatrivaemyh dlya sred s e e E displaystyle varepsilon varepsilon E nbsp i ili m m B displaystyle mu mu B nbsp kak skazhem v segnetoelektrikah ferromagnetikah V takih sluchayah polyarizuemost ili namagnichennost sredy nelinejno zavisyat ot prilozhennogo polya i v uravneniyah Maksvella poyavlyayutsya nelinejnye popravki V rezultate mogut voznikat principialno novye yavleniya Tak dva lucha sveta rasprostranyayushiesya v nelinejnoj srede mogut izmenyat traektoriyu drug druga Bolee togo dazhe odin luch sveta v nelinejnoj srede mozhet vozdejstvovat sam na sebya i izmenyat svoi harakteristiki Mnogochislennye effekty takogo tipa izuchaet nelinejnaya optika Princip superpozicii narushaetsya takzhe v vakuume pri uchyote kvantovyh yavlenij V kvantovoj elektrodinamike foton mozhet na nekotoroe vremya prevratitsya v elektron pozitronnuyu paru kotoraya mozhet vzaimodejstvovat s drugimi fotonami Effektivno eto privodit k tomu chto fotony mogut vzaimodejstvovat drug s drugom Takogo tipa processy rasseyanie sveta na svete angl rus i drugie processy nelinejnoj elektrodinamiki nablyudalis eksperimentalno 5 Esli primenitelno k elektrodinamike vozniknovenie podobnyh nelinejnostej yavlyaetsya skoree ekzoticheskoj situaciej to mnogie fundamentalnye teorii sovremennoj fiziki principialno yavlyayutsya nelinejnymi Naprimer kvantovaya hromodinamika fundamentalnaya teoriya silnyh vzaimodejstvij yavlyaetsya raznovidnostyu teorii Yanga Millsa kotoraya nelinejna po postroeniyu Eto privodit k silnejshemu narusheniyu principa superpozicii dazhe v klassicheskih nekvantovannyh resheniyah uravnenij Yanga Millsa Drugim izvestnym primerom nelinejnoj teorii yavlyaetsya obshaya teoriya otnositelnosti V nej takzhe ne vypolnyaetsya princip superpozicii Naprimer gravitacionnoe pole Solnca vliyaet ne tolko na Zemlyu i Lunu no takzhe i na gravitacionnoe vzaimodejstvie mezhdu Zemlyoj i Lunoj Vne vozdejstviya gravitacionnogo polya Solnca gravitacionnoe vzaimodejstvie mezhdu Zemlyoj i Lunoj otlichalos by ot nablyudaemogo Vprochem v slabyh gravitacionnyh polyah effekty nelinejnosti slaby i dlya povsednevnyh zadach priblizhyonnyj princip superpozicii vypolnyaetsya s vysokoj tochnostyu Nakonec princip superpozicii ne vypolnyaetsya kogda rech idyot o vzaimodejstvii atomov i molekul Eto mozhno poyasnit sleduyushim obrazom Rassmotrim dva atoma svyazannyh obshim elektronnym oblakom Podnesem teper tochno takoj zhe tretij atom On kak by ottyanet na sebya chast svyazyvayushego atomy elektronnogo oblaka i v rezultate energiya svyazi mezhdu pervonachalnymi atomami izmenitsya Narushenie principa superpozicii vo vzaimodejstviyah atomov v nemaloj stepeni privodit k tomu udivitelnomu raznoobraziyu fizicheskih i himicheskih svojstv veshestv i materialov kotoroe tak trudno predskazat iz obshih principov molekulyarnoj dinamiki Sm takzhe PravitVzaimodejstvie Zadacha tryoh telPrimechaniya Pravit Sm www vedu ru bigencdic 60737 Superpozicii princip v Bolshom enciklopedicheskom slovare onlajn 1 2 3 S I Kuznecov Kurs fiziki s primerami resheniya zadach Chast I Mehanika neopr izd vo TPU 2013 sm str 29 48 49 117 Data obrasheniya 29 iyulya 2023 Bessonov L A Teoreticheskie osnovy elektrotehniki M Vysshaya shkola 1967 c 26 A V Andryushin V R Sabanin N I Smirnov Upravlenie i innovatika v teploenergetike M MEI 2011 S 39 392 s ISBN 978 5 38300539 2 Detektor ATLAS uvidel rasseyanie sveta na svete Novosti LHC na sajte Elementy ru ATLAS 17th March 2019 Nekotorye vneshnie ssylki v etoj state vedut na sajty zanesyonnye v spam listEti sajty mogut narushat avtorskie prava byt priznany neavtoritetnymi istochnikami ili po drugim prichinam byt zapresheny v Vikipedii Redaktoram sleduet zamenit takie ssylki ssylkami na sootvetstvuyushie pravilam sajty ili bibliograficheskimi ssylkami na pechatnye istochniki libo udalit ih vozmozhno vmeste s podtverzhdaemym imi soderzhimym Spisok problemnyh ssylokhttps www vedu ru bigencdic 60737 Istochnik https ru wikipedia org w index php title Princip superpozicii amp oldid 132462264

Основы линейных и нелинейных систем управления: определение, свойства и примеры

В данной статье мы рассмотрим основные понятия и свойства линейных и нелинейных систем управления, а также приведем примеры и обсудим их преимущества и ограничения.

Основы линейных и нелинейных систем управления: определение, свойства и примеры обновлено: 12 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Введение

В электротехнике существует множество систем управления, которые используются для контроля и регулирования различных процессов. Одним из основных типов систем управления являются линейные системы. Линейные системы управления обладают рядом особенностей и свойств, которые делают их широко применимыми в различных областях.

В данной статье мы рассмотрим определение и основные свойства линейных систем управления, а также приведем примеры их применения. Также мы обсудим преимущества и ограничения линейных систем управления. Кроме того, мы кратко ознакомимся с нелинейными системами управления и их особенностями.

Цель этой статьи – помочь студентам понять суть лекции по электротехнике и основные концепции линейных и нелинейных систем управления, используя простой и понятный язык.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Линейные системы управления

Линейные системы управления – это системы, в которых связь между входными и выходными сигналами является линейной. Это означает, что если на вход системы подается сумма двух или более входных сигналов, то выходной сигнал будет равен сумме выходных сигналов, полученных при подаче каждого из входных сигналов по отдельности.

Линейные системы управления имеют ряд свойств, которые делают их особенно полезными в различных областях. Некоторые из этих свойств включают:

Суперпозиция

Линейные системы управления обладают свойством суперпозиции, что означает, что если на вход системы подается сумма двух или более входных сигналов, то выходной сигнал будет равен сумме выходных сигналов, полученных при подаче каждого из входных сигналов по отдельности. Это свойство позволяет комбинировать различные входные сигналы для получения желаемого выходного сигнала.

Линейность

Линейные системы управления обладают свойством линейности, что означает, что если на вход системы подается сигнал, умноженный на константу, то выходной сигнал будет равен этому сигналу, умноженному на ту же константу. Это свойство позволяет масштабировать входные и выходные сигналы системы.

Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции является основополагающим принципом линейных систем управления. Он утверждает, что если система является линейной, то сумма двух или более решений системы также является решением системы. Это позволяет разбивать сложные задачи на более простые и решать их независимо, а затем комбинировать полученные решения для получения общего решения.

Линейные системы управления широко применяются в различных областях, таких как автоматическое управление, электроника, робототехника и другие. Они обладают рядом преимуществ, таких как простота анализа и проектирования, возможность использования математических методов для их описания и анализа, а также возможность комбинирования различных компонентов для достижения желаемого результата.

Однако, линейные системы управления также имеют свои ограничения. Они могут быть ограничены в своей способности обрабатывать нелинейные сигналы и могут иметь ограничения на скорость и точность реакции. Кроме того, они могут быть более сложными в реализации и требовать больше ресурсов по сравнению с нелинейными системами управления.

Определение и свойства линейных систем управления

Линейная система управления – это система, в которой входной сигнал и выходной сигнал связаны линейным соотношением. Это означает, что если входной сигнал умножается на некоторый коэффициент, то выходной сигнал также умножается на этот коэффициент.

Основные свойства линейных систем управления:

Принцип суперпозиции

Линейная система управления обладает свойством суперпозиции, что означает, что если на вход системы подаются несколько входных сигналов, то выходной сигнал будет равен сумме выходных сигналов, которые были бы получены при подаче каждого входного сигнала по отдельности.

Пропорциональность

Линейная система управления обладает свойством пропорциональности, что означает, что если входной сигнал умножается на некоторый коэффициент, то выходной сигнал также умножается на этот коэффициент.

Инвариантность

Линейная система управления обладает свойством инвариантности, что означает, что если на вход системы подается сигнал, который сдвинут во времени или изменен по амплитуде, то выходной сигнал также будет сдвинут во времени или изменен по амплитуде соответственно.

Эти свойства делают линейные системы управления удобными для анализа и проектирования, так как позволяют использовать математические методы и теорию линейных систем для их исследования и оптимизации.

Примеры линейных систем управления

Линейные системы управления широко применяются в различных областях, включая электротехнику, автоматизацию, робототехнику и другие. Вот несколько примеров линейных систем управления:

Регулятор температуры

Регулятор температуры в помещении является примером линейной системы управления. Он состоит из датчика температуры, контроллера и исполнительного устройства, такого как обогреватель или кондиционер. Контроллер сравнивает текущую температуру с заданной и регулирует работу исполнительного устройства для поддержания заданного уровня температуры.

Автоматический регулятор скорости

Автоматический регулятор скорости в автомобиле также является примером линейной системы управления. Он состоит из датчика скорости, контроллера и исполнительного устройства, такого как дроссельная заслонка. Контроллер сравнивает текущую скорость с заданной и регулирует положение дроссельной заслонки для поддержания заданной скорости.

Робот-манипулятор

Робот-манипулятор, используемый в промышленности, также является примером линейной системы управления. Он состоит из датчиков, контроллера и исполнительных устройств, таких как моторы и приводы. Контроллер управляет движением робота, основываясь на информации от датчиков, чтобы выполнить задачу, например, схватить и переместить предмет.

Это лишь несколько примеров линейных систем управления, которые демонстрируют их широкое применение в различных областях. Они обладают свойствами линейности и инвариантности, что делает их удобными для анализа и проектирования.

Преимущества линейных систем управления

Линейные системы управления имеют ряд преимуществ, которые делают их популярными в различных областях:

Простота анализа и проектирования

Линейные системы управления обладают математическими свойствами, которые делают их относительно простыми для анализа и проектирования. Математические модели линейных систем могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений, что упрощает их анализ и решение.

Предсказуемость и стабильность

Линейные системы управления обладают предсказуемым поведением и стабильностью. Это означает, что при изменении входных сигналов или параметров системы, выходные сигналы также изменяются предсказуемым образом. Это позволяет инженерам легко предсказывать и контролировать поведение системы.

Легкость интеграции

Линейные системы управления легко интегрируются с другими системами и компонентами. Они могут быть легко связаны с другими линейными системами или подсистемами, что делает их удобными для создания сложных систем управления.

Ограничения линейных систем управления

Несмотря на свои преимущества, линейные системы управления также имеют некоторые ограничения:

Ограниченная применимость

Линейные системы управления могут быть применены только в тех случаях, когда система, которую они управляют, может быть адекватно описана линейными моделями. В случае, если система имеет нелинейные свойства, линейные системы управления могут быть неприменимыми или давать недостаточно точные результаты.

Ограниченная способность обработки неопределенности

Линейные системы управления имеют ограниченную способность обрабатывать неопределенность и возмущения. Они предполагают, что параметры системы известны точно и не меняются со временем. В реальных условиях это может быть непрактично, поэтому необходимо учитывать возможные неопределенности и возмущения при проектировании и анализе линейных систем управления.

Ограниченная способность адаптации

Линейные системы управления имеют ограниченную способность адаптироваться к изменяющимся условиям и требованиям. Они могут быть эффективными только в тех случаях, когда параметры системы остаются постоянными. В случае изменения параметров или требований, линейные системы могут потерять свою эффективность и требовать перенастройки или модификации.

Нелинейные системы управления

Нелинейные системы управления – это системы, в которых связь между входными и выходными сигналами не является линейной. В отличие от линейных систем, нелинейные системы могут проявлять более сложное поведение и обладать большей гибкостью в решении различных задач управления.

Определение и свойства нелинейных систем управления

Нелинейные системы управления характеризуются нелинейными математическими моделями, которые описывают их поведение. В отличие от линейных систем, где применяются линейные дифференциальные уравнения, нелинейные системы могут использовать нелинейные уравнения для описания своей динамики.

Основные свойства нелинейных систем управления:

1. Нелинейность: Основное свойство нелинейных систем – нелинейность связи между входными и выходными сигналами. Это означает, что изменение входного сигнала не будет пропорционально изменению выходного сигнала, а может вызвать нелинейные эффекты, такие как искажения, нестабильность или неожиданные реакции системы.
2. Большая гибкость: Нелинейные системы обладают большей гибкостью в решении различных задач управления. Они могут адаптироваться к изменяющимся условиям и требованиям, а также обеспечивать более точное управление в широком диапазоне рабочих точек.
3. Сложное поведение: Нелинейные системы могут проявлять сложное поведение, такое как неустойчивость, цикличность, хаос и другие нелинейные эффекты. Это может создавать сложности при анализе и проектировании таких систем, требуя применения специальных методов и инструментов.

Примеры нелинейных систем управления

Примеры нелинейных систем управления включают:

• Робототехнические системы
• Электромеханические системы
• Системы автоматического управления транспортными средствами
• Системы управления энергетическими процессами

Преимущества и ограничения нелинейных систем управления

Преимущества нелинейных систем управления:

• Большая гибкость и адаптивность к изменяющимся условиям и требованиям
• Более точное управление в широком диапазоне рабочих точек
• Возможность решения сложных задач управления

Ограничения нелинейных систем управления:

• Сложность анализа и проектирования из-за нелинейности связей
• Возможность появления нестабильности и неожиданных эффектов
• Требование к более сложным методам и инструментам для анализа и моделирования

Определение и свойства нелинейных систем управления

Нелинейные системы управления – это системы, в которых связи между входными и выходными сигналами не являются линейными. В отличие от линейных систем, где принцип суперпозиции выполняется, в нелинейных системах это свойство не выполняется.

Свойства нелинейных систем управления:

Нелинейная функция передачи

В нелинейных системах управления функция передачи, описывающая связь между входным и выходным сигналами, является нелинейной. Это означает, что изменение входного сигнала не приводит к пропорциональному изменению выходного сигнала.

Нелинейная обратная связь

В нелинейных системах управления обратная связь, которая используется для коррекции и регулирования выходного сигнала, также является нелинейной. Это означает, что коррекция выходного сигнала не происходит пропорционально ошибке управления.

Нелинейные динамические свойства

Нелинейные системы управления могут проявлять сложные динамические свойства, такие как нестабильность, колебания, нелинейные резонансы и т.д. Эти свойства могут быть вызваны нелинейными связями и обратной связью в системе.

Нелинейные эффекты

В нелинейных системах управления могут возникать неожиданные эффекты, такие как генерация гармоник, смешивание частот, нелинейные искажения и т.д. Эти эффекты могут быть вызваны нелинейными связями и нелинейной обратной связью в системе.

В целом, нелинейные системы управления представляют собой более сложные и гибкие системы, которые могут решать более сложные задачи управления. Однако, они также требуют более сложных методов и инструментов для анализа, моделирования и проектирования.

Примеры нелинейных систем управления

Нелинейные системы управления встречаются во многих областях, включая электротехнику, механику, химию, биологию и другие. Вот несколько примеров нелинейных систем управления:

Нелинейный электрический контур

Электрические контуры могут быть нелинейными из-за наличия нелинейных элементов, таких как диоды, транзисторы или нелинейные резисторы. Нелинейные электрические контуры могут иметь сложное поведение, такое как генерация гармоник или нелинейные искажения сигнала.

Нелинейная механическая система

Механические системы, такие как маятники, пружины или двигатели, могут также быть нелинейными из-за наличия нелинейных элементов или нелинейных связей. Нелинейные механические системы могут проявлять сложное поведение, такое как хаотические колебания или нелинейные резонансы.

Нелинейная биологическая система

Биологические системы, такие как клетки, органы или организмы, могут быть нелинейными из-за сложных взаимодействий между различными компонентами. Нелинейные биологические системы могут проявлять сложное поведение, такое как самоорганизация, нелинейные резонансы или хаотические колебания.

Нелинейная химическая система

Химические реакции могут быть нелинейными из-за сложных зависимостей между концентрацией реагентов и скоростью реакции. Нелинейные химические системы могут проявлять сложное поведение, такое как химические осцилляции или хаотические режимы.

Это лишь некоторые примеры нелинейных систем управления. В реальности, нелинейные системы могут быть очень разнообразными и иметь сложное поведение, требующее специальных методов и инструментов для анализа и управления.

Преимущества и ограничения нелинейных систем управления

Преимущества:

1. Гибкость: Нелинейные системы управления могут обеспечивать более гибкое и точное управление в сравнении с линейными системами. Они могут адаптироваться к изменяющимся условиям и требованиям, что позволяет достичь более эффективного управления.

2. Способность моделирования сложных систем: Нелинейные системы управления могут моделировать и управлять сложными системами, которые не могут быть описаны линейными моделями. Это позволяет решать более сложные задачи управления, такие как управление роботами или автоматическое управление производственными процессами.

3. Устойчивость к возмущениям: Нелинейные системы управления могут быть более устойчивыми к внешним возмущениям и шумам, чем линейные системы. Они могут компенсировать некоторые внешние воздействия и сохранять стабильность и качество управления.

Ограничения:

1. Сложность анализа и проектирования: Нелинейные системы управления требуют более сложных методов анализа и проектирования, чем линейные системы. Из-за сложности нелинейных уравнений и зависимостей, требуется более глубокое понимание математических моделей и методов анализа.

2. Вычислительная сложность: Решение нелинейных уравнений и оптимизационных задач может быть вычислительно сложным и требовать больших вычислительных ресурсов. Это может ограничивать применение нелинейных систем управления в реальном времени или на устройствах с ограниченными вычислительными возможностями.

3. Неустойчивость и сложное поведение: Нелинейные системы могут проявлять неустойчивое поведение, такое как колебания или хаос. Это может быть нежелательным в некоторых приложениях, где требуется стабильное и предсказуемое управление.

В целом, нелинейные системы управления предоставляют больше возможностей для решения сложных задач управления, но требуют более глубокого анализа и проектирования. Их преимущества и ограничения должны быть учтены при выборе и применении в конкретных приложениях.

Таблица с определениями и свойствами линейных и нелинейных систем управления

• Принцип суперпозиции: реакция системы на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый из сигналов по отдельности
• Принцип пропорциональности: реакция системы пропорциональна входному сигналу
• Принцип линейности: система обладает постоянными параметрами и не меняет своего поведения со временем

• Нелинейная зависимость: реакция системы не является пропорциональной входному сигналу
• Нелинейная динамика: система может изменять свое поведение со временем
• Нелинейные эффекты: возможность появления неожиданных и непредсказуемых реакций системы на входные сигналы

Заключение

Линейные и нелинейные системы управления играют важную роль в современной электротехнике. Линейные системы обладают рядом преимуществ, таких как простота анализа и предсказуемость поведения, но они также имеют свои ограничения, связанные с линейностью модели. Нелинейные системы, в свою очередь, могут быть более гибкими и точными, но их анализ и проектирование сложнее. Важно уметь выбирать подходящую систему управления в зависимости от конкретной задачи и требований. Понимание основных определений и свойств линейных и нелинейных систем управления поможет студентам успешно применять эти знания в практической деятельности.

Основы линейных и нелинейных систем управления: определение, свойства и примеры обновлено: 12 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Тагир С.

Экономист-математик, специалист в области маркетинга, автор научных публикаций в Киберленинка (РИНЦ).