Что такое циркуляция в физике

Циркуляция векторного поля

Мы хотим теперь рассмотреть ротор доля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы будем иметь дело с дивергенцией. Откуда же можно было знать, что для ее получения надо интегрировать по поверхности? Этот результат вовсе не был очевиден. И столь же неоправданно мы сейчас вычислим другую характеристику поля и покажем, что она связана с ротором. На этот раз мы подсчитаем так называемую циркуляцию векторного поля. Если С — произвольное векторное поле, мы возьмем его составляющую вдоль кривой линии и проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру. Интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру. Мы уже раньте в этой главе рассматривали криволинейный интеграл от vψ. Сейчас мы то же самое проделываем с произвольным векторным полем С.

Пусть Г — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7. Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде

Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как это делалось раньше. Кружочек на знаке интеграла должен нам напоминать об этом. Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой Г. Название связано с тем, что первоначально так рассчитывали циркуляцию жидкости. Но название это, как и поток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.

Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем показать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляции вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) и (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура Г₁ и Г₂ (фиг. 3.8). Контур Г₁ состоит из Г_а — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» Г_аЬ. Контур Г₂ состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.

Циркуляция вдоль Г₁ есть сумма интеграла вдоль Г_а и вдоль Г_аЬ. Точно так же и циркуляция вдоль Г₂ есть сумма двух частей, одной вдоль Г_b, другой — вдоль Г_аЬ. Интеграл вдоль Г_аЬ для кривой Г₂ имеет знак, противоположный тому знаку, который он имел для кривой Г₁ потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направления поворота нужно брать одни и те же).

Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Г. Интегралы по Г_аЬ сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс разрезания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к циркуляции вдоль единственного первоначального контура.

Теперь предположим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности. Существует бесконечное множество поверхностей, границей которых служит все тот же первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зависят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем наш первоначальный контур на множество малых контуров, лежащих на выбранной поверхности (фиг. 3.9). Какой бы ни была форма поверхности, но если малые контуры сделать достаточно малыми, всегда можно будет считать каждый из них замыкающим достаточно плоскую поверхность. Кроме того, каждый из них можно сделать очень похожим на квадрат. И циркуляцию вокруг большого контура Г можно найти, подсчитав циркуляции по всем квадратикам и сложив их.

Циркуляция

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Теорема о циркуляции Ранее мы выяснили, что на заряд (q), который находится в электростатическом поле.
Характерным свойством электростатического поля является то, что циркуляция его вектора напряжённости.
Такое утверждение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.
Следствие теоремы о циркуляции Следствием теоремы о циркуляции является то, что линии напряженности.
Уравнение (9) представляет теорему о циркуляции в дифференциальной форме.

Автор Алексей Алексеевич Ивахно
Источник Справочник
Категория Физика
Статья от экспертов

Определение масштаба циркуляции тока

Сверхпроводящие материалы перспективны для использования в авиационной и космической электронике. Предложен новый метод для определения масштаба циркуляции тока и критического тока сверхпроводников из магнитных измерений.

Автор(ы) Гохфельд Д.М.
Герасимов В.С.
Ершов А.Е. +1
Источник Решетневские чтения
Научный журнал

Циркуляция атмосферы

Общая циркуляция атмосферы Определение 1 Циркуляция – это система движения воздушных масс.
Циркуляция может быть общей в масштабах всей планеты и местной циркуляцией, которая происходит над отдельными.
Местная циркуляция в определенное время и в определенных местах может налагаться на течения общей циркуляции.
Данные факторы усложняют общую циркуляцию атмосферы.
Хорошо просматривается вторая причина циркуляции атмосферы – динамическая.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Было выявлено, что на заряд q , находящийся в электростатическом поле, действуют консервативные силы, причем работа А на замкнутом пути L равняется нулю:

A = ∮ L F ¯ d r ¯ = q ∮ L E ¯ d r ¯ = 0 , где r — это вектор перемещения. Данный интеграл представляет собой циркуляцию вектора напряженности электростатического поля.

Если единичный заряд положительный, то запись приобретает совсем другой вид. Интеграл левой части уравнения и является циркуляцией вектора напряженности по контуру L .

Теорема о циркуляции

Значение d S → = d S · n → , n → является единичным вектором, перпендикулярным участку d S . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором r o t E → . Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке 2 . Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.

Для вычисления ротора применяют формулы:

Если использовать уравнение ( 6 ) , то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.

При выполнении условия ( 8 ) для любой поверхности S , упирающейся на контур L , возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.

Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка 2 . На ее концах имеются одинаковые заряды, равные q . Вся система находится в однородном поле с напряженностью E . Если r o t E → ≠ 0 , то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.

Поток и циркуляция векторного поля

Поток и циркуляция векторного поля — это две важные характеристики векторных полей, которые используются в различных областях физики и математики. Они связаны с понятиями дивергенции и ротора векторного поля, а также с теоремами Гаусса-Остроградского и Стокса.

П о материалам лекции Ричарда Фейнмана

При описании законов электричества с точки зрения векторных полей, перед нами открываются две математически важные характеристики векторного поля: поток и циркуляция. Хорошо бы разобраться, что это за математические понятия и в чем заключается их практический смысл.

На вторую часть вопроса легко ответить сразу, ведь понятия потока и циркуляции лежат в основе уравнений Максвелла, на которых, по сути, и держится вся современная электродинамика.

Так, например, закон электромагнитной индукции может быть сформулирован следующим образом: циркуляция напряженности электрического поля E по замкнутому контуру C равна скорости изменения потока магнитного поля B через площадь поверхности S, ограниченной данным контуром С.

Далее мы достаточно просто, на понятных примерах с жидкостью, опишем то, как математически определяются, из чего берутся и получаются данные характеристики поля.

Поток векторного поля

Для начала давайте изобразим вокруг исследуемой области пространства некую замкнутую поверхность совершенно произвольной формы. После того как мы эту поверхность изобразим, зададимся вопросом, вытекает ли через данную замкнутую поверхность исследуемый объект, который мы именуем полем? Чтобы понять о чем здесь идет речь, рассмотрим простой пример с жидкостью.

Допустим, мы исследуем поле скоростей некой жидкости. Для подобного примера имеет смысл поинтересоваться: вытекает ли в единицу времени через эту поверхность больше жидкости, нежели втекает внутрь объема ограниченного данной поверхностью? Другими словами, всегда ли скорость истечения направлена главным образом изнутри — наружу?

Словосочетанием «поток векторного поля» (а для нашего примера более точным будет выражение «поток скорости жидкости») договоримся именовать общее количество воображаемой жидкости, которая именно вытекает наружу через поверхность из рассматриваемого объема, ограниченного данной замкнутой поверхностью (для потока скорости жидкости — сколько жидкости вытекает из объема за единицу времени).

В результате, поток через элемент поверхности окажется равен произведению площади элемента поверхности на перпендикулярную составляющую скорости. Тогда общий (суммарный) поток через всю поверхность будет равен произведению средней нормальной составляющей скорости, которую будем отсчитывать изнутри наружу, на общую площадь поверхности.

Теперь вернемся к электрическому полю. Электрическое поле, конечно, нельзя считать скоростью течения какой-то жидкости, однако мы имеем право ввести математическое понятие потока, похожее на то, что мы описали выше как поток скорости жидкости.

Только в случае с электрическим полем, его поток может быть определен через среднюю нормальную компоненту напряженности электрического поля Е. Кроме того, поток электрического поля можно определить не обязательно через замкнутую поверхность, а через любую ограниченную поверхность, обладающую не равной нулю площадью S.

Циркуляция векторного поля

Всем хорошо известно, что поля можно для наглядности изображать в виде так называемых силовых линий, в каждой точке которых направление касательной совпадает с направлением напряженности поля.

Опять вернемся к аналогии с жидкостью и представим себе поле скоростей жидкости. Зададимся вопросом: циркулирует ли жидкость? То есть движется ли она преимущественно по направлению какого-то воображаемого замкнутого контура?

Для наглядности представим, что жидкость в неком большом сосуде как-то движется (рис a), и мы резко заморозили почти весь ее объем, но умудрились оставить не замороженным объем в форме ровной замкнутой трубки, в которой трение жидкости о стенки отсутствует (рис b).

За пределами этой трубки жидкость превратилась в лед, и поэтому больше не может двигаться, однако внутри трубки жидкость способна продолжить свое движение при условии что имеется преобладающий импульс, который гонит ее, например по часовой стрелке (рис c). Тогда произведение скорости жидкости в трубке на длину трубки мы и назовем циркуляцией скорости жидкости.

Подобным образом мы можем определить циркуляцию и для векторного поля, хотя, опять же, нельзя сказать, что поле является скоростью чего-то, тем не менее математическую характеристику «циркуляция» по контуру — определить можно.

Итак, циркуляция векторного поля по воображаемому замкнутому контуру может быть определена как произведение средней касательной компоненты вектора в направлении обхода контура — на длину контура.

Ричард Фейнман — известный американский физик, который сделал много открытий в области квантовой механики, квантовой электродинамики, супертекучести и других физических явлений. Он также был одним из участников Манхэттенского проекта, в котором разрабатывалась атомная бомба. За свои вклады в развитие квантовой электродинамики он получил Нобелевскую премию по физике в 1965 году вместе с Джулианом Швингером и Синъитиро Томонагой.

Фейнман также был известен своим нестандартным и оригинальным мышлением, своими популярными лекциями по физике, своими автобиографическими книгами, своими увлечениями музыкой, живописью и путешествиями. Он считался одним из самых влиятельных и вдохновляющих физиков XX века.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика