Что такое маленькая е в физике

Что такое маленькая е в физике

Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ.

Наверно, любой абитуриент или студент на вопрос, что такое числа и е, ответит: — это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, а е — основание натуральных логарифмов. Если попросить определить эти числа более строго и вычислить их, студенты приведут формулы:

Графики функций у = arcsin x, обратной функции у = sin х
График функции у = arctg x, обратной функции у = tg х.

Функция нормального распределения (распределение Гаусса). Максимум ее графика отвечает наиболее вероятному значению случайной величины (например, длины предмета, измеренной линейкой), а степень «расплывания» кривой зависит от параметров а и «сигма».

Жрецы Древнего Вавилона посчитали, что солнечный диск укладывается на небосводе от рассвета до заката 180 раз и ввели новую единицу измерения — градус, равный его угловому размеру.

Размеры природных образований — песчаных дюн, холмов и гор — увеличиваются с каждым шагом в среднем в 3,14 раза.

Наука и жизнь // Иллюстрации
Наука и жизнь // Иллюстрации

Маятник, качаясь без трения и сопротивления, сохраняет постоянную амплитуду колебаний. Появление сопротивления приводит к экспоненциальному затуханию колебаний.

В очень вязкой среде отклоненный маятник движется к положению равновесия по экспоненте.
Чешуйки сосновых шишек и завитки раковин многих моллюсков располагаются по логарифмическим спиралям.
Наука и жизнь // Иллюстрации
Наука и жизнь // Иллюстрации
Логарифмическая спираль пересекает все лучи, выходящие из точки О, под одинаковыми углами.

е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + . 2,7183…

(напоминаем, что факториал n! =1 x 2 x 3 x … x n);

= 3(1+ 1/3x2 3 + 1 x 3/4x5x2 5 + . ) 3,14159…

(последним дан ряд Ньютона, есть и другие ряды).

Все это так, но, как известно, числа и е входят во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике. Значит, они отражают какие-то общие законы природы. Какие именно? Определения этих чисел через ряды, несмотря на их правильность и строгость, все же оставляют чувство неудовлетворенности. Они абстрактны и не передают связи рассматриваемых чисел с окружающим миром посредством повседневного опыта. Не удается найти ответы на поставленный вопрос и в учебной литературе.

Между тем можно утверждать, что константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, а — с изотропностью пространства. Тем самым они отражают законы сохранения: число е — энергии и импульса (количества движения), а число — вращательного момента (момента импульса). Обычно столь неожиданные утверждения вызывают удивление, хотя по существу, с точки зрения теоретической физики, в них нет ничего нового. Глубинный смысл этих мировых констант остается terra incognita для школьников, студентов и, по-видимому, даже для большинства преподавателей математики и общей физики, не говоря уже о других областях естествознания и экономики.

На первом курсе вуза можно поставить в тупик студентов таким, например, вопросом: почему при интегрировании функций типа 1/(х 2 +1) появляется арктангенс, а типа арксинус — круговые тригонометрические функции, выражающие величину дуги окружности? Иначе говоря, откуда при интегрировании «берутся круги» и куда они исчезают затем при обратном действии — дифференцировании арктангенса и арксинуса? Вряд ли на поставленный вопрос ответит сам по себе вывод соответствующих формул дифференцирования и интегрирования.

Далее, на втором курсе вуза при изучении теории вероятностей число появляется в формуле для закона нормального распределения случайных величин (см. «Наука и жизнь» № 2, 1995 г.); по ней можно, например, вычислить, с какой вероятностью монета упадет на герб любое число раз при, скажем, 100 подбрасываниях. А здесь где круги? Неужели сказывается форма монеты? Нет, формула для вероятности такая же и для монеты квадратной формы. И в самом деле — вопросы непростые.

А вот природу числа е полезно знать поглубже студентам-химикам и материаловедам, биологам и экономистам. Это поможет им понять кинетику распада радиоактивных элементов, насыщения растворов, износа и разрушения материалов, размножения микробов, воздействия сигналов на органы чувств, процессов накопления капиталов и т. д. — бесконечного множества явлений в живой и неживой природе и деятельности человека.

Число и сферическая симметрия пространства

Сначала сформулируем первый основной тезис, а затем поясним его смысл и следствия.

1. Число отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению. С изотропностью пространства связан закон сохранения вращательного момента.

Отсюда вытекают общеизвестные следствия, которые изучают в средней школе.

Следствие 1 . Длина дуги окружности, вдоль которой умещается ее радиус, составляет естественную дуговую и угловую единицу радиан .

Эта единица безразмерная. Чтобы найти число радианов в дуге окружности, надо измерить ее длину и разделить на длину радиуса этой окружности. Как мы знаем, вдоль любой полной окружности ее радиус укладывается приблизительно 6,28 раза. Точнее, длина полной дуги окружности составляет 2 радиан, причем в любых системах счисления и единицах длины. Когда изобретали колесо, оно получалось одинаковым и у индейцев Америки, и у кочевников Азии, и у негров Африки. Только единицы измерения дуги были разными, условными. Так, наш угловой и дуговой градус был введен вавилонскими жрецами, посчитавшими, что диск Солнца, находящегося почти в зените, укладывается 180 раз на небосводе от рассвета до заката. 1 градус 0, 0175 рад или 1 рад 57,3 ° . Можно утверждать, что и гипотетические инопланетные цивилизации без труда поняли бы одна другую, обменявшись посланием, в котором окружность разделена на шесть частей «с хвостиком»; это означало бы, что «партнер по переговорам» уже как минимум прошел стадию изобретения колеса и знает, что такое число .

Следствие 2. Предназначение тригонометрических функций — выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве.

Из сказанного ясно, что аргументы тригонометрических функций в принципе безразмерны, как и у других типов функций, т.е. это действительные числа — точки числовой оси, которые не нуждаются в градусном обозначении.

Опыт показывает, что школьники, студенты колледжей и вузов не без труда привыкают к безразмерным аргументам у синуса, тангенса и т. д. Далеко не каждый абитуриент сможет без калькулятора ответить на вопрос, чему приблизительно равен cos1 (примерно 0,5) или arctg /3. Последний пример особенно сбивает с толку. Часто говорят, что это бессмыслица: «дуга, арктангенс которой равен 60 о «. Если сказать именно так, то ошибка будет в неправомочном применении градусной меры к аргументу функции. А правильный ответ: arctg(3,14/3) arctg1 /4 3/4. К сожалению, сплошь и рядом абитуриенты и студенты говорят, что = 180 0 , после чего приходится их поправлять: в десятичной системе счисления = 3,14… . Но, конечно, можно сказать что радиан равно 180 0 .

Разберем еще одну нетривиальную ситуацию, встречающуюся в теории вероятностей. Она касается важной формулы вероятности появления случайной ошибки (или нормального закона распределения вероятностей), в которую входит число . По этой формуле можно, например, вычислить вероятность падения монеты на герб 50 раз при 100 подбрасываниях. Итак, откуда взялось в ней число ? Ведь никакие круги или окружности там вроде бы не просматриваются. А суть в том, что монета падает случайным образом в сферически симметричном пространстве, по всем направлениям которого и должны равноправно учитываться случайные колебания. Математики так и делают, интегрируя по кругу и вычисляя так называемый интеграл Пуассона, который равен и входит в указанную формулу вероятности. Наглядной иллюстрацией таких колебаний служит пример со стрельбой по мишени в неизменных условиях. Дырочки на мишени рассеяны по кругу (!) с наибольшей плотностью около центра мишени, а вероятность попадания можно вычислить по той же формуле, содержащей число .

«Замешано» ли число в природных структурах?

Попробуем разобраться в явлениях, причины которых далеко не ясны, но которые тоже, возможно, не обошлись без числа .

Отечественный географ В. В. Пиотровский сравнил средние характеристические размеры природных рельефов в следующем ряду: песчаный рифель на отмелях, дюны, сопки, горные системы Кавказа, Гималаев и др. Оказалось, что в среднем увеличение размера составляет 3,14. Аналогичная закономерность, похоже, обнаружена недавно в рельефе Луны и Марса. Пиотровский пишет: «Тектонические структурные формы, образующиеся в земной коре и выраженные на ее поверхности в виде форм рельефа, развиваются в результате каких-то общих процессов, происходящих в теле Земли, они пропорциональны размерам Земли». Уточним — пропорциональны соотношению линейных и дуговых ее размеров.

В основе указанных явлений, возможно, лежит так называемый закон распределения максимумов случайных рядов, или «закон троек», сформулированный еще в 1927 году Е. Е. Слуцким.

Статистически по закону троек происходит формирование морских прибрежных волн, что знали еще древние греки. Каждая третья волна в среднем чуть выше соседних. А в ряду этих третьих максимумов каждый третий, в свою очередь, выше своих соседей. Так образуется знаменитый девятый вал. Он — пик «периода второго ранга». Некоторые ученые предполагают, что по закону троек происходят и колебания солнечной, кометной и метеоритной активностей. Интервалы между их максимумами составляют девять-двенадцать лет или приблизительно 3 2 . Как считает доктор биологических наук Г. Розенберг, можно продолжить построение временных последовательностей следующим образом. Период третьего ранга 3 3 соответствует интервалу между сильными засухами, составляющему в среднем 27-36 лет; период 3 4 — циклу вековой солнечной активности (81-108 лет); период 3 5 — циклам оледенений (243-324 года). Совпадения станут еще лучше, если мы отступим от закона «чистых» троек и перейдем к степеням числа . Кстати, их очень легко вычислять, так как 2 почти равно 10 (когда-то в Индии число даже определялось как корень из 10). Можно и дальше продолжать подгонку циклов геологических эпох, периодов и эр под целые степени тройки (что и делает, в частности, Г. Розенберг в сборнике «Эврика-88», 1988 г.) или же числа 3,14. И всегда можно принять желаемое за действительное с той или иной точностью. (В связи с подгонками вспоминается математический анекдот. Докажем, что нечетные числа суть числа простые. Берем: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д., а 9 здесь — ошибка опыта.) И все же идея о неочевидной роли числа p во многих геологических и биологических явлениях, похоже, не совсем пустая, и, возможно, в будущем она еще себя проявит.

Число е и однородность времени и пространства

Теперь перейдем ко второй великой мировой константе — числу е. Математически безупречное определение числа е с помощью ряда, приведенного выше, по существу, никак не проясняет его связи с физическими или иными природными явлениями. Как же подойти к этой проблеме? Вопрос непростой. Начнем, пожалуй, со стандартного явления распространения электромагнитных волн в вакууме. (Причем вакуум мы будем понимать как классическое пустое пространство, не касаясь сложнейшей природы физического вакуума.)

Всем известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, равной 1) описывает экспоненциальная функция e iβt =cos βt + isin βt , где β — частота гармонических колебаний. Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул — формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (1707-1783) по первой букве его фамилии и названо число е.

Указанная формула хорошо известна студентам, но ее необходимо пояснить учащимся нематематических школ, ибо в наше время из обычных школьных программ исключены комплексные числа. Комплексное число z = x+iy состоит из двух слагаемых — чисел действительного (x) и мнимого, которое представляет собой действительное число у, умноженное на мнимую единицу . Действительные числа отсчитывают вдоль действительной оси О х , а мнимые — в том же масштабе вдоль мнимой оси О у , единицей которой служит i, причем длина этого единичного отрезка есть модуль | i | =1. Поэтому комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами (х, у). Итак, необычный вид числа е с показателем, содержащим только мнимые единицы i, означает наличие лишь незатухающих колебаний, описываемых косинусоидой и синусоидой.

Ясно, что незатухающая волна демонстрирует соблюдение закона сохранения энергии для электромагнитной волны в вакууме. Такая ситуация имеет место при «упругом» взаимодействии волны со средой без потерь ее энергии. Формально это можно выразить так: если перенести начало отсчета по оси времени, энергия волны сохранится, так как у гармонической волны останутся те же амплитуда и частота, то есть энергетические единицы, а изменится лишь ее фаза, часть периода, отстоящая от нового начала отсчета. Но фаза на энергию не влияет именно по причине однородности времени при смещении начала отсчета. Итак, параллельный перенос системы координат (он называется трансляцией) законен в силу однородности времени t. Теперь, наверно, в принципе понятно, почему однородность по времени приводит к закону сохранения энергии.

Далее, представим себе волну не во времени, а в пространстве. Наглядным примером ее может служить стоячая волна (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежная песчаная рябь. Математически эта волна вдоль оси О х запишется как e iх =cos х + isin х. Ясно, что и в этом случае трансляция вдоль х не изменит ни косинусоиды, ни синусоиды, если пространство однородно вдоль этой оси. Опять-таки изменится лишь их фаза. Из теоретической физики известно, что однородность пространства приводит к закону сохранения количества движения (импульса), то есть массы, умноженной на скорость. Пусть теперь пространство однородно по времени (и закон сохранения энергии выполняется), но неоднородно по координате. Тогда в различных точках неоднородного пространства оказалась бы неодинаковой и скорость, так как на единицу однородного времени приходились бы различные значения длины отрезков, пробегаемых за секунду частицей с данной массой (или волной с данным импульсом).

Итак, можно сформулировать второй основной тезис:

2. Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии — через однородность времени, импульса — через однородность пространства.

И все-таки, почему именно число е, а не какое-то другое вошло в формулу Эйлера и оказалось в основании волновой функции? Оставаясь в рамках школьных курсов математики и физики, ответить на этот вопрос непросто. Эту проблему автор обсуждал с теоретиком, доктором физико-математических наук В. Д. Эфросом, и мы попытались пояснить ситуацию следующим образом.

Важнейший класс процессов — линейные и линеаризованные процессы — сохраняет свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая служит решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (этот тип уравнений изучается на первом-втором курсах вузов и колледжей). А ее ядром служит приведенная выше формула Эйлера. Так что решение содержит комплексную функцию с основанием е, такую же, как уравнение волны. Причем именно е, а не другое число в основании степени! Потому что только функция е х не изменяется при любом числе дифференциро ваний и интегрирований. И следовательно, после подстановки в исходное уравнение только решение с основанием е даст тождество, как и надлежит правильному решению.

А теперь запишем решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, описывающее распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, приводящего к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Мы видим, что формула Эйлера умножается на действительную переменную величину e αt , которая есть амплитуда волны, изменяющаяся во времени. Выше мы полагали ее для простоты постоянной и равной 1. Так можно делать в случае незатухающих гармонических колебаний, при α = 0. В общем же случае любой волны поведение амплитуды зависит от знака коэффициента a при переменной t (времени): если α > 0, амплитуда колебаний возрастает, если α < 0, затухает по экспоненте.

Возможно, последний абзац труден для выпускников многих обычных школ. Он, однако, должен быть понятен студентам вузов и колледжей, которые основательно штудируют дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

А теперь положим β = 0, то есть уничтожим колебательный множитель с числом i в решении, содержащем формулу Эйлера. От бывших колебаний останется только затухающая (или нарастающая) по экспоненте «амплитуда».

Для иллюстрации обоих случаев представим себе маятник. В пустом пространстве он колеблется без затухания. В пространстве с сопротивляющейся средой колебания происходят с экспоненциальным затуханием амплитуды. Если же отклонить не слишком массивный маятник в достаточно вязкой среде, то он будет плавно двигаться к положению равновесия, все более замедляясь.

Итак, из тезиса 2 можно вывести такое следствие:

Следствие 1. При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при β = 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине .

Сформулированный принцип математически выглядит так: ∆I ~ I∆t, где, допустим, I — сигнал, а ∆t — малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала ∆I. Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим lnI ~ kt. Или: I ~ e kt — закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала (в зависимости от знака k). Таким образом, закон пропорцио нальности прироста величины самой величине приводит к натуральному логарифму и тем самым к числу е. (Причем здесь это показано в виде, доступном для школьников выпускного класса, знающих элементы интегрирования.)

По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идет множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т. д. Особо отметим универсальный психофизический закон Вебера — Фехнера (почему-то игнорируемый в образовательных программах школ и вузов). Он гласит: «Сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения».

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естествен но, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению). Согласно закону: 1) малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения; 2) в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов. Возьмем для примера чай: стакан чая с двумя кусками сахара воспринимается раза в два более сладким, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с 10 кусками. Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться по силе в ~ 10 10 , а ухом — в ~ 10 12 раз. Живая природа приспособилась к таким диапазонам. Она защищается, логарифмируя (путем биологического ограничения) поступающие раздражите ли, иначе рецепторы погибли бы. На законе Вебера — Фехнера основана широко применяемая логарифмическая (децибельная) шкала силы звука, в согласии с которой работают регуляторы громкости аудиоаппаратуры: их смещение пропорционально воспринимаемой громкости, но не силе звука! (Ощущение пропорционально lg / 0 . За порог слышимости принято р 0 = 10 -12 Дж/м 2 с. На пороге имеем lg1 = 0. Увеличение силы (давления) звука в 10 раз соответствует примерно ощущению шепота, которое выше порога на 1 бел по шкале логарифмов. Усиление звука в миллион раз от шепота до крика (до 10 -5 Дж/м 2 с) по логарифмической шкале есть увеличение на 6 порядков или на 6 Бел.)

Наверное, подобный принцип оптимально экономичен и при развитии многих организмов. Это можно наглядно наблюдать по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семян в корзинке подсолнуха, чешуек в шишках. Расстояние от центра прирастает по закону r = ae kj . В каждый момент скорость прироста линейно пропорциональна самому этому расстоянию (что легко видеть, если взять производную от записанной функции). По логарифмической спирали выполняют профили вращающихся ножей и фрез.

Следствие 2. Наличие только мнимой части функции при α = 0, β 0 в решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами описывает множество линейных и линеаризованных процессов, в которых имеют место незатухающие гармонические колебания.

Это следствие возвращает нас к уже рассмотренной выше модели.

Следствие 3. При реализации следствия 2 происходит «смыкание» в единой формуле чисел и е посредством исторической формулы Эйлера в ее первоначальном виде е i = -1.

В таком виде Эйлер впервые опубликовал свою экспоненту с мнимым показателем степени. Нетрудно выразить ее через косинус и синус в левой части. Тогда геометрической моделью этой формулы будет движение по окружности с постоянной по абсолютному значению скоростью, которое есть сумма двух гармонических колебаний. По физической сущности в формуле и ее модели отражаются все три фундаментальных свойства пространства-времени — их однородность и изотропность, а тем самым все три закона сохранения.

Положение о связи законов сохранения с однородностью времени и пространства, бесспорно, правильно для евклидова пространства в классической физике и для псевдоевклидова пространства Минковского в Общей теории относительности (ОТО, где четвертой координатой служит время). Но в рамках ОТО возникает естественный вопрос: а как обстоит дело в областях огромных гравитационных полей, вблизи сингулярностей, в частности, у черных дыр? Мнения физиков здесь расходятся: большинство считают, что указанные фундаментальные положения сохраняются и в этих экстремальных условиях. Однако есть и иные точки зрения авторитетных исследователей. И те и другие работают над созданием новой теории квантовой гравитации.

Чтобы в двух словах представить себе, какие здесь возникают проблемы, процитируем слова физика-теоретика академика А. А. Логунова: «Оно (пространство Минковского. — Авт .) отражает свойства, общие для всех форм материи. Это обеспечивает существование единых физических характеристик — энергии, импульса, момента количества движения, законов сохранения энергии, импульса. Но Эйнштейн утверждал, что такое возможно только при одном условии — в случае отсутствия гравитации <. >. Из этого утверждения Эйнштейна следовало, что пространство-время становится не псевдоевклидовым, а гораздо более сложным по своей геометрии — римановым. Последнее уже отнюдь не однородно. Оно меняется от точки к точке. Появляется свойство кривизны пространства. В нем исчезает и точная формулировка законов сохранения, как они были приняты в классической физике. <. >Если говорить строго, то в ОТО в принципе нельзя ввести законы сохранения энергии-импульса, их нельзя сформулировать» (см. «Наука и жизнь» №№ 2, 3, 1987 г.).

Фундаментальные константы нашего мира, о природе которых мы говорили, известны не только физикам, но и лирикам. Так, иррациональное число , равное 3,14159265358979323846. вдохновило выдающегося польского поэта ХХ века, лауреата Нобелевской премии 1996 года Виславу Шимборскую на создание стихотворения «Число Пи», цитатой из которого мы закончим эти заметки:

— число, достойное восхищения:
Три запятая один четыре один.
Каждая цифра дает ощущение
начала — пять девять два,
ведь до конца не дойти никогда.
Взглядом всех цифр не объять —
шесть пять три пять.
Арифметических действий —
восемь девять —
уже не хватает, и трудно поверить —
семь девять —
что не отделаться — три два три
восемь —
ни уравнением, которого нет,
ни шутливым сравнением —
оных не счесть.
Двинемся дальше: четыре шесть.
(Перевод с польского — Б. Г.)

Осмысление понятия «удельная величина»

Урок «Количество теплоты и удельная теплоёмкость». 8-й класс

Мышление – это деятельность «чтобы узнать»,
а о вещах ничего нельзя узнать, не проследив,
что они делают и что с ними делается.

В процессе обучения физике разумность деятельности является наиважнейшей задачей. Примером построения образа, выработки умения «вращать» его мысленно, рассматривая с разных сторон, под разными углами является формирование понятия удельной величины. Удельные величины (т.е. доли) рассматриваются в течение всего курса физики и представляют собой в обобщённом виде отношение двух физических величин:

– удельная теплоёмкость ~ Q/m;

– удельная электропроводность ~ R/l, ~ R/S;

– удельная теплота сгорания топлива L/m;

– удельная теплота парообразования /m;

Так как разумность действия подразумевает ориентацию на существенные свойства и отношения, то развёртывание наполняет эти соотношения разнообразным смыслом. Например, целесообразно предложить учащимся составить таблицу из отношений физических величин и развернуть их, т.е. охарактеризовать на примерах из собственного опыта.

Примеры выполнения задания

Отношения разнородных величин

• m/ V: масса отварного картофеля/объём воды; масса полученного творога/объём молока; масса резинового шарика/объём вдуваемого воздуха.
• V/ m: объём тарелки/масса супа; объём древесины/масса полученной бумаги; объём шкафа/масса одежды.
• m/t: масса яблок/время роста; масса банана/время съедания; масса куска сахара/время растворения. (Это уже не скорости. – Ред.)
• t/V: время расчёсывания волос/объём волос; время таяния льда/объём льда; время/объём песка в песочных часах.
• E/t: затраченная энергия/время тренировки; энергия аккумулятора/время работы плеера; энергия зарядки мобильного телефона/время работы.
• S/V: площадь пожара/объём воды; площадь поверхности головы/объём волос; площадь поля/объём жидких удобрений.
• S/m: площадь разрушений/масса взрывчатки; площадь Красной площади/масса собравшихся людей; площадь парка/масса памятников.

Отношения однородных величин:

Придуманные образы и наполнение отношений смыслом являются превращёнными формами жизненных ситуаций учащихся. После такого обдумывания отношений величин легко ввести понятие удельной теплоёмкости в 8-м классе на уроке «Количество теплоты и удельная теплоёмкость».

Учитель. Когда мы рассматривали движение шарика по наклонной плоскости, то установили, что в отсутствие сопротивления движению полная механическая энергия сохраняется. Но при наличии трения этот закон не выполняется, т.к. изменяются состояния тел: когда механическая энергия убывает, обычно тела нагреваются. Приведите примеры.

Учащиеся. Удар молотка о свинцовую плиту; натирание ластиком крышки стола; сгибание и разгибание проволоки.

Учитель. Могут происходить и другие изменения. Например, при вылетании пробки из бутылки с газированной водой под давлением газа газ охлаждается. При размельчении тела наоборот нагреваются. Аналогичные явления происходят при плавлении или отвердевании вещества. Что меняется во всех этих примерах в веществе, из которого состоят тела?

Учащиеся. Взаимодействие молекул, изменение характера их движения, т.е. внутренняя энергия.

Учитель. Изменение внутренней энергии может происходить не только при совершении работы. Например, при остывании горячей воды в стакане никакой работы не совершается, а внутренняя энергия убывает. Происходит просто передача тепла. Для характеристики этого процесса введено понятие количества теплоты Q. Исследуем, от чего оно зависит. Если в ванну с холодной водой добавить стакан кипятка, то увеличение температуры будет незаметным. А когда стакан кипятка окажет существенное влияние?

Учащиеся. Когда массы тел соизмеримы.

Учитель. Значит, изменение внутренней энергии зависит от массы тела. Как можно охарактеризовать эту зависимость?

Учащиеся. Изменение внутренней энергии прямо пропорционально массе тела.

Учитель. Другими словами, на каждую долю массы тела приходится определённое изменение внутренней энергии. А теперь возьмём две совершенно равные массы воды. Но в одном сосуде вода горячая, а в другом холодная. Поставим на одинаковые плитки. Какая вода будет нагреваться дольше до кипения?

Учитель. Что это означает?

Учащиеся. Холодной воде требуется больше сообщить тепла.

Учитель. Значит и изменение внутренней энергии холодной воды будет больше. Сделайте вывод.

Учащиеся. Изменение внутренней энергии прямо пропорционально изменению температуры тела. То есть на каждый градус температуры приходится определённое изменение внутренней энергии.

Учитель. Замечу, что чем выше температура тела, тем дольше оно остывает. Возьмём тела одинаковой массы, нагретые до одинаковой температуры. Пронаблюдаем, под каким из цилиндров: латунным, железным или алюминиевым расплавится больше воска. (Демонстрация.) Сделайте вывод.

Учащиеся. Под цилиндрами расплавилось разное количество воска. Значит цилиндры отдали разное количество теплоты. Отсюда следует, что изменение внутренней энергии зависит от рода вещества.

Учитель. Для характеристики тепловых свойств веществ используют удельную теплоёмкость. Её выражают в Дж/(кг Ч град). Учёные определили удельную теплоёмкость многих веществ. Это свойство зависит от температуры, но очень незначительно, так что эту зависимость мы не будем учитывать. Что показывает удельная теплоёмкость?

Учащиеся. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 °С. Или количество теплоты, выделившегося при остывании 1 кг вещества на 1 °С.

Учитель. Обобщим: от чего зависит изменение внутренней энергии?

Учащиеся. От массы, разности температур, рода вещества.

Учитель. Для вычисления количества теплоты, передаваемого или отдаваемого телом, существует формула: Q = cm (t₂ – t₁). Теперь обратимся к таблице удельных теплоёмкостей:

– У какого вещества самая большая удельная теплоёмкость? самая маленькая? что это означает?

– Можно ли на пламени свечи вскипятить ведро воды? Почему?

– Можно ли передать некоторое количество теплоты, не вызывая этим повышение его температуры?

– Как быстрее остудить горячий чай: бросить в него сахар сразу или подождав 5 мин? Растворение сахара идёт с поглощением тепла.

– Одинаковое ли количество теплоты необходимо для нагревания газа до одной и той же температуры в сосудах, закрытых поршнем, если в одном сосуде поршень перемещается, а в другом неподвижен?

– Какое тело нагреется до более высокой температуры: кусок свинца или стали той же массы, если по ним ударить молотком одинаковое число раз с одинаковой силой?

Как показывает практика, единожды тщательно отработанное понятие удельной величины не вызывает в дальнейшем изучении физики никаких трудностей при введении понятий: удельная теплота плавления, парообразования, сгорания и другие.

Людмила Николаевна Рагулина окончила Ленинградский ГПИ им. А.И.Герцена в 1976 г. по специальности «Физика», учитель физики высшей квалификационной категории, педагогический стаж 29 лет. Работала в основном в СВАО г. Москвы в школах № 247, 1122, 266. Отличник народного просвещения, ветеран труда, кустовой методист округа «Лианозово», лауреат конкурса «Лучшие учителя России» 2006 г., неоднократно награждалась грамотами городского комитета, МДО и др. Только за последние 4 года её ученики 12 раз побеждали в олимпиадах и конкурсах проектов. Под руководством профессора МГУ им. М.В.Ломоносова, д.п.н. Ю.А.Самоненко проводит в школе диссертационное исследование на тему «Создание комфортной обучающей среды с усилением методологического компонента в естественнонаучном образовании школьников». Главная идея работы – внедрение деятельностного подхода в образовании с использованием здоровьесберегающих технологий, с учётом психологических и поведенческих нарушений детской психики и хронического или эпизодического стресса.Сейчас на завершающем этапе находится методическая разработка элективного курса по физике I ступени «Гимнастика ума». В этом курсе на простых примерах дети научаются рассуждать и самостоятельно исследовать явления. Среди выпускников есть учёные, преподаватели не только средних школ, но и таких вузов, как МФТИ, РУДН и даже Кембриджского университета. Муж Александр – художник-реставратор, обе дочери защитили степени магистров, внучке Машеньке уже годик. Людмила Николаевна любит шить и вязать – но где взять на это время?

Маленькая физика

Репринтное издание представляет собой издание, которое было выпущено после сканирования страниц какой – либо книги, рукописи или иных выбранных для репринта изданий, без изменения текста. Однако стоит учитывать то, что особенности бумаги, переплета, наличие дефектов, исправлений или опечаток может отличаться от оригинала.

Репринтная книга состоит из качественных копий оригинального ценного экземпляра, что позволяет читателю насладиться старинным особенным шрифтом, а так же особой полиграфией, которая свойственна для времени, когда был выпущен в свет оригинал книги.

Репринтное издание не имеет характерного запаха старых книг, не содержит спор грибков и бактерий, пыли, старые нити не рвутся, бумага не рассыпается.

Книга знакомит читателей с физическими основами техники.
Автор опирается не на учебные опыты, как это делается в школьных курсах физики, а на примеры из производственной практики.
Изложение отличается наглядностью, текст прекрасно иллюстрирован.
Книга предназначена в первую очередь для рабочих, которые занимаются самообразованием или учатся в вечерних школах и техникумах; она может быть полезна также учащимся средних школ и преподавателям физики.

Содержание
От редактора перевода
Предисловие
Введение
1. Физика — наука, прокладывающая дорогу технике
А. Механика
I. Агрегатные состояния и строение вещества
1. Твердое, жидкое и газообразное состояния
2. Каждое тело занимает некоторое пространство
3. 102 основных вещества
4. Атомы и молекулы
5. Кристаллическая решетка
II. Силы
7. Измерение сил. Действие сил
8. Изображение сил на чертежах
9. Сложение и разложение сил
10. Сила тяжести. Центр тяжести
11. Вес и масса
12. Удельный вес
13. Давление
14. Действие и противодействие
15. Инертность тел
16. Сила трения
17. Центростремительная сила
18. Молекулярные силы
III. Движение
19. Скорость
20. Равномерное прямолинейное движение
21. Ускоренное и замедленное прямолинейное движение
22. Свободное падение тел
23. Вращательное движение
24. Колебания маятника
25. Упругие колебания
26. Волны
27. Наложение волн
IV. Сила и движение
28. Сила и прямолинейное движение
29. Вращательный момент и вращательное движение
30. Мощность
31. Работа
32. Энергия
33. Закон сохранения энергии
V. Большие грузы, малые силы
34. Рычаг
35. Десятичные весы
36. Полиспаст
37. Наклонная плоскость
VI. Жидкости
38. Уровень
39. Сообщающиеся сосуды
40. Давление в жидкостях
41. Подъемная сила жидкости
VII. Газы
42. Атмосферное давление
43. Давление и объем
44. Воздушный поток
Б. Звук
45. Звуковые волны
46. Ультразвук
В. Теплота
47. Тепловое расширение
48. Количество теплоты и удельная теплоемкость
49. Изменение агрегатного состояния
50. Механический эквивалент теплоты
51. Перенос теплоты
Г. Свет
I. Лучи света
52. Сила света. Освещенность
53. Изображения в зеркалах
54. Преломление света
55. Фокус
56. Изображения предметов, создаваемые выпуклой линзой
II. Оптические приборы
57. Фотографический аппарат
58. Проекционный аппарат
59. Лупа
60. Микроскоп
III. Волновая природа света
61. Световые волны
62. Интерференция световых волн
Д. Магнетизм
63. Магниты
64. Магнитное поле
Е. Электричество
I. Электрический ток
65. Тепловое действие электрического тока
66. Магнитное действие тока
67. Химическое действие тока
68. Вольт, ампер, ом
69. Сопротивление проводов
70. Закон Ома
71. Способы включения электрических приборов
72. Мощность и энергия электрического тока
73. Постоянный ток
74. Переменный ток
75. Трехфазный ток
76. Магнитное поле тока
II. Получение электрической энергии
77. Получение электрической энергии из механической
78. Получение электрической энергии из химической
79. Получение электрической энергии за счет теплоты
80. Электризация трением и электрическое поле
III. Передача электрической энергии по проводам
81. Передача на далекие расстояния
82. Трансформатор
IV. Электрические приборы
83. Лампы накаливания
84. Дуговая лампа
85. Электролизные установки
86. Телеграф
87. Телефон
88. Усилители на электронных лампах
89. Громкоговоритель ‘
90. Электрические измерительные приборы
91. Рентгеновские трубки
V. Электрические колебания. Электромагнитные волны
92. Емкость
93. Самоиндукция
94. Электрический колебательный контур
95. Излучение и прием электромагнитных волн
96. Модулирование высокочастотных колебаний для передачи музыки и речи
97. Шкала электромагнитных волн
Ж. Получение механической энергии
98. Водяные турбины
99. Паровые турбины и паровые машины
100. Двигатели внутреннего сгорания
101. Электродвигатели
3. Атомная энергия
102. Строение атома
103. Периодическая система элементов
104. Строение атомов различных элементов
105. Изотопы
106. Превращение элементов
107. Технические применения атомной энергии
Ответы к упражнениям
Алфавитный указатель

Маленькие задачи по физике

Приведу несколько задач, в основном из физики. Мне они нравятся. Надеюсь они понравятся и Вам.

Забудем о черных дырах, темной энергии и материи; забудем о коте Шредингера, большом взрыве и эволюции Вселенной; забудем о струнах и суперструнах; и даже о фракталах забудем. В этих темах, как и в политике, большинство считает себя возможным высказаться. И высказываются. И много говорилось и говорится дельного, а еще больше говорилось и говорится путаницы и просто нелепицы. Каюсь, к этому и я приложил руку. А давайте вернемся к простоте классической физики и к ее понятным задачам. Иногда полезно спуститься с небес на землю.

Для большинства задач я не привожу решения. Самое полезное – найти самому решение. Конечно, задачи не для профессионального физика, исключая задачу о ленте и о пушке.

Большинство задач, так или иначе, обсуждалось в Internete. Но время идет и приходят новые поколения и, может быть, для них задачи будут в новинку.

Я айтишник. Тогда почему пишу о физике? По образованию я физик. Когда сменил профессию, то с большим энтузиазмом начал проектировать и программировать. Мне грезилось, что лет за двадцать-тридцать программирование так шагнет вперед, что не нужно будет реализовывать алгоритм в деталях, а нужно будет только описывать постановку задачи. И что я вижу по прошествии тридцати лет? Я достиг возраста, когда можно и побрюзжать. И я так и сделаю. Если судить по рубрике “лучшие публикации ” Хабра, то программирование во многом топчется на месте. То же вечное копание в языках программирования, осложненное тем, что их число выросло на два порядка(навскидку). Добавилась беда словоблудия псевдоанглицизмов:

шефердить пропозал, фичи, баги и пропертя, хакатон, фронтенд и бэкенд, хадуп, лид, ярд, разраб, митинг, чо напилил, вjobывать, гайд-бук, ревью, пушить; есть кодоанализатор, но работает он не по пушу (и уж тем более не в момент написания кода), а с сильным запозданием и проверяет не на том уровне что всякие sonar cube и прочие pvs. пул-реквест; не делать ничего от слова совсем, ЕГАИС, пофиксить, офер, сабж. сама по себе БСП это отличная вещь (как и БПО и БИП), миста, фьюж, ЗУП, рептилойды, клюшкина ЗиК, трэш, из всех типовых конф меньше всего всегда вмешивался в код именно ЗуП/ЗиК и их модули в УПП/КА, чувак открывает пуллреквест, чувак назначает себя ревьювером, чувак пишет LGTM, чувак мержит код, это будет деанон, скилл, легаси, аутстафе, тикет, я проэстимировал таску в два дня, фетчить; скоуп задачи теперь позволял мне слегка отрефакторить болото, полное говна, в котором я всё время плаваю; сабметод, почти сотня человек в аутстафе (половина всей компании) оказалась «в ожидании нового проекта», cчитай — лимбически безработными.

Эти перлы игры в форму я выбрал всего из двух статей Хабра и комментариев к ним. И, похоже, этот стиль одобряется Хабром. И, похоже по умолчанию, что лох тот, кто этого стиля не придерживается. Классика не в почете у постмодерна. Да, описанный стиль мне напоминает некое крикливое, приниженное подобие стиля постмодернизма. По этому поводу есть прекрасная книга “Интеллектуальные уловки. Критика современной философии постмодерна”. Авторы Жан Брикмон, Ален Сокал. Особенно хорошо в ней “Приложение А. Нарушая границы: к трансформативной герменевтике квантовой гравитации”. Так и хочется написать статью «Нарушая границы: к трансформативной герменевтике языков программирования». Но, увы, талант не тот.

А ведь в физике и математике несравненно больше поводов насытить язык терминологическими новациями(бордизмы, кобордизмы, гомотопии, гомологии, когомологии. ). И в физике и математике английский, несомненно, не в меньшей мере применяется чем в программировании.

Но почему то в физике и математике нет такого англизированного поноса как в программировании. Физики и математики сохраняют человеческий язык и без нужды не выпендриваются. А если вводят термин, то четко его определяют и обосновывают его необходимость.

В общем, я разочарован прогрессом в программировании. Может деньги его тормозят? Может тормозит очень низкий порог вхождения, когда почти любой юнец быстро начинает «ваять», зарабатывать и учить других с «легкостью в мыслях необыкновенной». Каюсь, и со мной так было. Меньше чем за год программирования, я уже был руководителем проекта и думал, что я ухватил бога за бороду. Но скоро я вернулся к реальности. Прошли десятилетия, а я, к сожалению, не вижу большого прогресса в программировании. «А воз и ныне там». А вот в физике за последние тридцать лет сделано столько всего: открытие ускоренного расширения Вселенной, теория струн и суперструн, квантовый компьютинг… И, главное, появилась стандартная модель.

Удрученный застоем в основах информатики, я предпочитаю писать статьи по физике, математике, а не статьи по программированию.

Для затравки начнем совсем с элементарных задач и задач не из физики. Их решение даст повод поразмышлять о причудах интеллекта.

Букварь Арнольда

Российский математик Арнольд привел такую задачку.

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег все равно не хватило. Сколько стоил букварь?

Если ответ не приходит быстро в голову, то вы уже не дитя. И я убедился, что уже далеко не дитя. Увы, ответ не пришел мне мгновенно.

Арнольд говорил, что чем более важный и остепененный был человек, тем медленнее он решал эту задачу. Похоже, что многознание мешает быстрому непосредственному мышлению, а предпочитает применить шаблон опыта.

Толстой и три шапки

Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Продавец возвращает ей деньги. Cколько потерял продавец?

(По легенде, эта задачка придумана Львом Толстым для второго класса церковноприходской школы(ЦПШ). Сейчас её правильно могут решить только 30% старшеклассников, только 20% студентов ВУЗов и только 10% работников банков и кредитных учреждений.)

Когда-то давно, я рассказал об этой задаче программистам у себя на работе. Что ни человек, то разный ответ. Один руководитель проекта насмерть сражался за свой неправильный ответ. А разрабатывал он в своем проекте и бухучет. Так вот, в конце-концов, он составил журнал банковских проводок, подбил баланс и пришел к правильному ответу.
Ну и как вам нравится уровень 2-го класса ЦПШ!

А теперь переходим к физике.

Вольт в степени ампер

Из математики мы знаем, что умножение определяется через сложение. Например:

Но почему тогда в физике вольт можно умножать на ампер, но вольты с амперами нельзя складывать. Какая физика препятствует этому?

Более того, можно вольт делить на ампер, а вот складывать и вычитать нельзя.

Аналогично, степень определяется через умножение. Например: . Тогда почему нельзя возводить вольт в ампер?

Возможна ли такая ситуация: я подаю напряжение на черный ящик, замеряю ток в цепи, замеряю данное на выходе и получаю, что оно изменяется как функция ? Ответ с точки зрения математики, я нашел в книге Бриджмена “Анализ размерностей” и в книге Когана «Размерность физической велич
ины»(написана явно по следам Бриджмена). К своему стыду я приведенного ответа не знал.
Но все равно, я не могу принять его физически. Где, физическая, а не математическая аргументация?

Рассуждения Бриджмена почти убеждают. Но, а если я посажу в черный ящик, человека с аккумулятором и реостатом…(что еще надо?) и он в ответ на I и U на входе, он на выходе дает . Все это можно сделать. Опровергает ли это построения Бриджмена? Можно возразить что это не естественный пример. Хорошо, уберем человека из черного ящика и посадим на его место автомат с программой . А это опровергает ли построения Бриджмена? Мне скажут, что это опять искусственный прибор. Но это, если знать устройство черного ящика. Или, может, удовлетвориться ответом, что если мы имеем дело с прибором, то нужно сделать вывод, что это не натуральное устройство, а искусственное, которое, поэтому, не подвластно естественным законам?

В какой бильярд труднее играть в большой или маленький?

И шары и кии и лузы и стол, бильярда уменьшены в одинаковой степени. Бильярдист не изменился. В какой бильярд труднее играть в большой или маленький?

Землетрясения и земная ось

Может ли сдвинуться земная ось в результате землетрясения? Может ли измениться продолжительность суток в результате землетрясения?

Вот информация из масс-медиа.

11 марта 2011 года землетрясение магнитудой 8,9 произошло в Японии. Его эпицентр находился в 373 километрах северо-восточнее Токио, а очаг залегал на глубине 24 километров.

Специалист Лаборатории реактивного движения (JPL) НАСА Ричард Гросс (Richard Gross) считает, что землетрясение могло привести к смещению оси Земли примерно на 15 сантиметров в сторону 139-го градуса восточной долготы. Продолжительность дня должна сократиться на 1,6 микросекунды.

Специалисты Национального института геофизики и вулканологии Италии сообщили о том, что, по их расчетам, в результате землетрясения ось сместилась почти на 10 сантиметров.

27 февраля 2010 года землетрясение магнитудой 8,8 произошло в Чили. Исследователь лаборатории реактивного движения NASA Ричард Гросс предположил, что в результате подземных толчков, вращение Земли изменилось. Используя сложную модель, Гросс вместе с группой ученых рассчитал, что землетрясение могло сократить каждый земной день на 1,26 микросекунды. Кроме того, землетрясение отклонило ось вращения Земли на 2,7 мс (в проекции на поверхности около 8 см).

По данным лаборатории реактивного движения НАСА (США), в результате землетрясения протяженность суток сократилась на 6,8 микросекунд, а земная ось сместилась примерно на 7 сантиметров.

А что думает по этому поводу физика? Рассматриваем систему отсчета с началом в центре Земли и неподвижную относительно звезд. Как мы знаем из физики она достаточно инерциальна. Тогда ось вращения Земли совпадает с прямой, вдоль которой направлен вектор момента количества движения Земли. Из физики известен закон сохранения момента количества движения. Согласно ему, никакие внутренние пертурбации в системе не меняют момента количества движения этой системы. Значит, никакой внутренний земной катаклизм не меняет момента количества движения. Вот если он становится внешним, то дело другое. Примеры катаклизмов, носящих внешний характер: падение астероида, выброс части Земли в Космос, гравитационное воздействие Луны.

Итак, ось не может сместиться в результате землетрясения на Земле, если только не произошло выброса в космос. Но вот кора земная или лед на полюсе могут сдвинуться. И если на полюсе был воткнут флаг, то в результате землетрясения, он может оказаться уже воткнутым не точно на полюсе. Но это сдвинулась не ось, а сдвинулась поверхность.

Далее, если не меняется момент количества движения, то и угловая скорость не изменится и, значит, не изменится и продолжительность суток.

Юла в миске

Занимаю годовалого внука, запуская юлу. Она убегает то под диван, то под стол. Надоедает ползать за ней. Начинаю пускать её в круглой миске, чтобы юла не убегала.

Обнаруживаю эффект вылета юлы из миски: если миску немного качнуть по кругу, то юла начинает с ускорением взбираться по стенке и иногда стремительно вылетает из миски. Собственный момент переходит в орбитальный. Что за механизм этого перехода?
Миску желательно брать с дном плавно сопрягающимся со стенками. Для получения эффекта обычно нужно попробовать несколько раз.

Камень пробивает лед

Начало зимы. На пруду тонкий, свежий, гладкий лед. Беру камень и швыряю его на лед, чтобы пробить его. Если камень пробивает лед, то виден эффект круговой воздушной волны — расходящееся кольцо-пузырь, в конце концов, распадающееся на отдельные пузыри.

Как и почему кольцо-пузырь образовывается? Захват каменем воздуха за собой? Нет. Это я экспериментально проверил: даже если камень застревает во льду и препятствует проникновению воздуха, картина остается такой же, как и при проникновении камня через лед.

• Когда круг распадется на пузыри?
• С какой скоростью расширяется круг?

Ложка сахара

Любая физическая задача для своего практического решения требует некоторого упрощения. Так при движении брошенного рукой камня, можно пренебречь силой трения камня о воздух. Далее, для уточнения, можно ввести трение пропорциональное скорости камня. А потом можно ввести и квадратичный по скорости член. И уже такую модель проще исследовать на компьютере. А еще нужно учесть изменение силы гравитации с высотой. А еще нужно учесть изменение плотности воздуха с высотой… Поэтому можно говорить о некоей иерархии упрощений. Для каждой точности, требуется своя иерархия упрощений.

Но для некоторых задач эту иерархию мне не удалось определить.

Вот два примера.

Сколько максимально сахара можно зачерпнуть ложкой практически? Теоретически – бесконечно. Но физика – это учет реальности: сыпучесть, дрожание руки, сосуда, воздуха, наклон ложки, форма частиц сахара… Я не мог предложить простую реалистичную модель. А Вы сможете?

Аналогичная задача: стопка домино в которой каждая костяшка, сдвинута по отношению к нижней. Получается стопка с наклоном в сторону сдвига, так что костяшки сдвигаются все больше, по отношению к нижней. Теоретически сдвиг верхней костяшки можно сделать бесконечным по отношению к нижней костяшке.

А в реальности какой возможный максимальный сдвиг?

“Просто Землю вращают, куда захотят, наши сменные роты на марше”

Незабываемый первый курс физфака БГУ. Общага. Вечер в 113 комнате. Легли спать. Начался треп на всякие темы. Появляется такая задача. Прыгнул кузнечик. Вот он приземляется, но не останавливается, а сразу опять отталкивается и т.д. И все в одну сторону. Каждый раз он толкает землю как у Высоцкого роты. Спрашивается, как сильно он сможет раскрутить землю при сколь угодно большом времени своих прыжков? Ну, а потом можно перейти и к ротам Высоцкого.

Долго обсуждаем, спорим, потом раздается голос: “ А как с сохранением момента количества движения для замкнутой системы?” И всем стало ясно.

Однако каков силовой механизм, который мешает бесконечной раскрутке?

По ветру быстрее ветра или прок от богатства

Может ли яхта плыть быстрее ветра?

Этот вопрос мне задал по телефону мой племянник бизнесмен. Я возмутился и сказал, что это бред. А в ответ: у моего знакомого есть яхта и он утверждает, что можно плыть быстрее ветра. Скоро я понял в чем дело.

Этот случай заставил меня задуматься вот о чем. Оказывается богатому практически доступны некоторые вещи, которые бедному теоретику кажутся абсурдными. Став богатым, мой племянник стал мыслить раскованнее, шире. Он стал более интересным. Раскованность мышления привела его бизнес в Германию, где он предложил фирме хитроумную схему ухода от налогов. Немцы на него изумленно посмотрели и покрутили у виска рукой: закон нельзя обходить!

Скоро Германия ему надоела и он вернулся в РБ. Теперь он о немцах отзывается почему-то, не иначе как с эпитетом “квадратные”.

Острая волна на воде или прок от созерцания

Тот кто сидел на рыбалке или просто так на берегу озера и наблюдал за его поверхностью в неветреный день, наверняка видел эффект острой волны: иногда на поверхности воды возникает возбуждение и в виде острого клина(конус Маха?), бежит по воде прямо или с искривлением, и через мгновение пропадает. Похоже на то? как от щуки убегает рыба по поверхности воды. Но как я ни пытался обнаружить что-нибудь предметное на острие клина, ничего не обнаружил. Скорость острия клина – раз в десять больше скорости обычной круговой волны на воде. Описания эффекта не нашёл ни в одной монографии по гидродинамике. Так когда и как образуется клиновидная волна на воде?

Пушка и ОТО

Это задача Фейнмана. С Земли выстреливают вертикально вверх из пушки снаряд с атомными часами. В конце-концов он падает на Землю. Достают часы и сверяют с земными. Какие часы будут отставать из-за эффектов ОТО? Временем ускорения при выстреле пренебречь.

Некоторые доктора наук начинали вычислять, вычислять…

Для нефизиков скажу, что нужно привлечь принцип эквивалентности ОТО и доказанный факт, что чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее идут часы.

Какой механизм столкновений, при котором установится распределение Максвелла?

В термодинамическом равновесии скорости молекул газа распределены по Максвеллу. А это распределение говорит, что могут быть молекулы со сколь угодно большими скоростями. Что за абсурд, хоть и маловероятный? И если даже признать наличие предела индивидуальной энергии молекулы, то как понять механизм неравномерного распределения? Например, стартуем от одинаковых скоростей. Начинаются столкновения, в результате которых, якобы, происходит перераспределение энергии. Обычно рассматривают упругие удары. Но при упругом ударе энергия измениться не может. А при неупругом энергия может только потеряться. Так какой же механизм столкновений, при котором установится распределение Максвелла? Как возникают большие скорости отдельных молекул?

Вектор скорости

Скорость есть вектор. Если точка участвует в двух скоростях, то результирующая скорость есть векторная сумма этих двух скоростей. Этим воспользовался Галилей, при определении скорости тела, брошенного под углом к горизонту. Это движение есть суперпозиция двух движений – вертикального, управляемого силой тяжести и горизонтального – движения по инерции.
А теперь рассмотрим движение стрелы в луке. Стрела упирается в середину тетивы. Половина тетивы тянется к одной вершине лука, а другая половина тянется к другой вершине лука. Значит движение основания стрелы есть суперпозиция двух указанных движений.

Соответственно результирующая скорость основания стрелы(да и всей стрелы) есть векторная сумма скоростей движения к концам лука. А теперь представим, что мы очень сильно растянули лук, так что можно считать, что половинки тетивы почти параллельны и скорости их движения равны v. Тогда результирующая скорость равна 2v, а это значит, что стрела должна оторваться от тетивы. Абсурд. Так в чем дело?

Откуда взялась энергия?

Я и мой сын едем в деревню на автомобиле. Сын задает мне вопрос. “Вот мы едем со скоростью v. Пусть у меня в руках камень массой m. Я бросаю его вперед со скоростью v. До броска камень имел кинетическую энергию относительно земли. При броске я ему добавил такую же энергию . Значит, исходя из энергетического баланса, общая кинетическая энергия у него будет . В то же время вычислим кинетическую энергию по определению этой энергии: . Разница с первым подходом . Парадокс. Балансовый подход не согласуется с кинетическим подходом от определения. В чем дело? Объясни, как физик по образованию ”

Сходу объяснить парадокс я не мог. Удивился сам. Более того, решив потом задачу формульно, то бишь формально, я на уровне интуиции не могу согласиться с решением. Такая ситуация нередка(для среднего уровня мышления, видимо). Так, например, движение гироскопа следует из уравнений Ньютона. Но все равно, очень трудно объяснить почему не падает волчок исходя из силовой точки зрения, а не исходя из закона движения кинетического момента. И это только небольшой шаг от прямого применения законов Ньютона к применению следствий из этих законов. А что уж тогда говорить о статистической физике, например.

Расширение Вселенной

К стене прикреплена полоска резины длиною , ее начинают растягивать с постоянной скоростью без разрывов до бесконечности, к моменту начала растяжения по ней начинает ползти точечная улитка( с конца ленты к точке привязки) со скоростью меньшей скорости растяжения , спрашивается: доползет ли она до края и за сколько времени?)

Эта задача появилась так. Была конференция по физике элементарных частиц. Обед. Физик-теоретик Л.Б.Окунь предлагает разным теоретикам решить приведенную задачу с целью проверки быстроты мышления теоретиков. А.Д. Сахаров выдал ответ за две минуты.

Мне понадобилось часа два, чтобы набросать решение, в котором, однако, я не был уверен. Потом я засомневался в правильности решения и потратил ещё два дня на приведение решения к аккуратному виду. Впрочем, в правильности решения на 100% я не уверен и сейчас.
Не правда ли, задача похоже на задачу движения космической ракеты в расширяющейся вселенной? Кстати и на растягивающейся ленте в любой ее точке будет наблюдаться эффект расширения – все окружающие точки убегают от нее.

Два дня назад взял в руки книгу Гарднера, мэтра занимательной математики, и обнаружил эту задачу в дискретном варианте. Да, ничто не ново под Луной”.

А если улитка движется от точки привязки к другому концу?

• размерность
• энергия
• расширение Вселенной