Как найти площадь многоугольника зная периметр

3 класс. Как найти площадь и периметр многоугольника?

Вспоминаем школьную программу. Чтобы найти периметр многоугольника нужно сложить длину всех сторон. Полученная сумма и будет являться периметром:

Ну а площадь найти немного сложнее. Для этого нам нужно разделить этот многоугольник на две разные фигуры: квадрат (та, что побольше) и прямоугольник (та, что поменьше). Далее ищем площадь каждой фигуры отдельно, а затем суммируем площади:

Площадь фигуры считаем по известной формуле: S=a*b.

модератор выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
fatal ex [127K]
4 года назад

Периметр данного многоугольника можно найти сложив длинны всех его сторон, но для начала придётся найти длинны двух сторон — АВ и АК:

АВ = CD + EK = 2 + 1 = 3 см

AK = BC + DE = 4 + 2 = 6 см

Теперь можно найти периметр всей фигуры:

Р = AB + BC + CD + DE + EK + AK = 3 + 4 + 2 + 2 + 1 + 6 = 18 см

Площадь же многоугольника можно найти, как минимум пятью способами ( правда не уверен, что в третьем классе уже умеют находить площадь трапеций по длинам оснований и высоте — в данном случае трапеции ABCD и ADEK ). Для того, чтобы проще описать способы решения я добавил на чертёж ещё три точки ( впрочем, для разных вариантов решения не все точки потребуются одновременно ).

Вот такой чертёжик у меня получился

площадь многоугольника

Проще всего найти площадь этой фигуры так

S = S(ABEK) — S(CDEH) = AB * AK — CD * DE = 3 * 6 — 2 * 2 = 18 — 4 = 14 см²

S = S(ABCG) + S(DEGK) = AB * BC + DE * EK = 3 * 4 + 2 * 1 = 12 + 2 = 14 см²

S = S(BCDF) + S(AFEK) = BC * CD + AK * EK = 4 * 2 + 6 * 1 = 8 + 6 = 14 см²

S = S(BCDF) + S(AFDG) + S(DEKG) = BC * CD + AG * AF + DE * EK = 4 * 2 + 4 * 1 + 2 * 1 = 8 + 4 + 2 = 14 см²

Ну, и, наконец, пятый способ с трапециями ( извиняюсь, забыл провести на чертеже ещё и AD, впрочем в решении его величина не важна ):

S = S(ABCD) + S(ADEK) = BC * ( AB + CD )/2 + EK * ( DE + AK )/2 = 4 * ( 3 + 2 )/2 + 1 * ( 2 + 6 )/2 = 10 + 4 = 14 см²

Ответ: периметр многоугольника равен 18 см, а его площадь — 14 см²

Как найти площадь многоугольника?

Нужна универсальная формула, которой можно вычислить площадь любого многоугольника, лишь зная длину его сторон, сторон может быть любое количество, углы могут быть только тупые (т. е нет вогнутостей вовнутрь)

Лучший ответ

Любого или любого правильного многоугольника? ?
Площадь любого правильного многоугольника можно вычислять по формуле
S = n*a^2 / (4tg 180/n) где а длина сторона многоугольника, n -число сторон

Остальные ответы

разделить его на треугольники и сложить сумму площадей всех треугольников

Универсальной формулы нет, ведь произвольный многоугольник
не «жёсткая» фигура, его форму и площадь можно изменять, изменяя
углы. Только разбиением на треугольники.

Можете нарисовать треугольник или четырехугольник, в котором ВСЕ углы тупые?
Источник: Или это не углы такие.

Впрочем, если речь идёт о произвольном выпуклом («нет вогнутостей вовнутрь») многоугольнике, то необязательно, чтобы углы были только тупые; у любого выпуклого многоугольника может быть три острых внутренних угла.
Для площади произвольных выпуклых многоугольников универсальной формулы нет. Единственно возможный способ указал Ivantrs. Для правильного многоугольника — М. Мамишев.

нет такой. для многоугольников с числом сторон есть формулы, но они включают в себя углы или диагонали. например формула брахмагупты для 4-угольника или формулы 5 и 6-угольников
(приведены [ссылка заблокирована по решению администрации проекта])

Только по длинам сторон нельзя. По координатам вершин можно:

где

Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/Выпуклый_многоугольник

В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул: S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней; S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами; S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.

В общем на работе заморочился с собственным выведением площади. и задался вопросом, почем при большем кол-ве сторон и одинаковым периметром — площадь увеличивается.

Решил через площадь формулу многоугольника вывести S=Pr^2 / ( 4N*tg(180/n) ), где Pr — периметр, N — колличество сторон. Так вот выяснил что N*tg(180/N) -> ПИ, т. е. стремится к числу ПИ, при бесконечно высоких N. увеличивая тем самым площадь до площади идеального круга.
Превращая S=Pr^2 / 4ПИ.

Площадь многоугольника по периметру

Ребят есть площадка и есть только периметр, а сторон его нет . Нужно найти площадь, есть какие то варианты!?
Многоугольник с 12 разными сторонами!

fellichita

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от fellichita

Регистрация: 30.04.2008
Сообщений: 400
Был не прав.
Последний раз редактировалось -mavlin-, 22.09.2010 в 20:21 .
Регистрация: 20.12.2007
Щелково МО
Сообщений: 7,470

только очень приблизительно (в зависимости от формы многоуольника) — примите, что периметр описанной окружности равен периметру многоугольника. соответственно вычислите радиус окружности. а затем площадь описанной окружности. плюс-минус лапоть.

Forrest_Gump

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от Forrest_Gump

Регистрация: 08.02.2008
Сообщений: 8,460

Площадь многоугольника по координатам вершин: http://www.pm298.ru/reshenie/delen.php.
(http://yandex.ru/yandsearch?text=%D0. 5%D0%BA&lr=213)
Если это растр, вставить в кад, обвести точно плинией и в свойствах увидеть площадь и периметр. Последний для сравнения и оценки погрешности построения (обводки растрового контура)

Регистрация: 17.10.2007
Сообщений: 4,261
Сообщение от fellichita
есть какие то варианты!?
Всё-таки обзавестись теодолитом!

__________________
Дураки учатся на своих ошибках, умные на чужих, а мудрые смотрят на них и неспеша пьют пиво.

Клименко Ярослав

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от Клименко Ярослав

Сообщений: n/a
Сообщение от -mavlin-
Если я не ошибаюсь, то по периметру можно вычислить только площадь треугольника.
Теоретически можно вычислить и максимальную площадь многоугольника по известному периметру.
Регистрация: 30.07.2008
Сообщений: 579

Если принять, что это периметр окружности, и вычислить её площадь, то площадь твоего многоугольника будет точно меньше.
Во втором приближении прими, что это правильный многоугольник.
В других случаях по периметру нельзя найти площадь.

Регистрация: 09.07.2007
Тутошние мы.
Сообщений: 6,082

Совершенно невозможно. Даже если принять, что многоугольник выпуклый. Едиственное что можно (как тут уже отметили) найти максимально возможную площадь.
И триугольник по периметру не определить никак. Нужны стороны.
А начиная с четырёхугольника уже и размера всех сторон мало.
П.С. дополнительные данные, возможно, позволят оценить и минимально возможную площадь. Пока же она равна нулю.

Проектирование заборов уже в прошлом

Регистрация: 29.10.2009
Сообщений: 2,089

Даже если знать кол-во и размер сторон, площадь все равно не вычислить. Нужны также углы. (см. например «красный» и «желтый» многоугольники — периметр и стороны совершенно одинаковые, площадь очевидно разная). По известным сторонам без углов можно определить только площадь треугольника (см. «третий признак равенства 3-угольников»)

Последний раз редактировалось Meknotek, 22.09.2010 в 11:37 .

Как найти площадь многоугольника

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 45 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 466 374.

В этой статье:

Очень легко вычислить площадь правильного треугольника (это многоугольник!) и очень непросто сделать это в случае неправильного одиннадцатиугольника (это тоже многоугольник!). Данная статья расскажет вам, как вычислять площадь различных многоугольников.

Метод 1 из 3:

Вычисление площади правильного многоугольника по апофеме

Периметр – сумма сторон многоугольника.
Апофема – отрезок, соединяющий центр многоугольника и середину любой из его сторон (апофема перпендикулярна стороне).

Найдите апофему. Она, как правило, дана в условии задачи. Например, дан шестиугольник, апофема которого равна 10√3.

Шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Апофема делит одну сторону пополам, создавая прямоугольный треугольник с углами 30-60-90 градусов.
В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая углу в 60 градусов, равна x√3; углу в 30 градусов равна «х»; углу 90 градусов равна 2x. Если значение стороны x√3 равно 10√3, то х = 10.
«х» – это половина длины основания треугольника. Удвойте ее и найдете полную длину основания. В нашем примере основание треугольника равно 20 единицам. В свою очередь основание треугольника есть сторона шестиугольника. Таким образом, периметр шестиугольника равен 20 х 6 = 120.

площадь = 1/2 х 120 х 10√3
площадь = 60 х 10√3
площадь = 600√3

Упростите ответ. Возможно, вам придется записать ответ в виде десятичной дроби (то есть избавиться от корня). С помощью калькулятора найдите √3 и полученное число умножьте на 600: √3 х 600 = 1039,2. Это ваш окончательный ответ.

Метод 2 из 3: