Натуральная величина треугольника начертательная геометрия

Как в начертательной геометрии найти натуральную величину треугольника

Начертательная геометрия предоставляет несколько методов нахождения натуральной величины треугольника: (1) вращение вокруг линии уровня, (2) плоскопараллельное перемещением и (3) замена плоскостей проекций. Преобразование чертежа — построить проекцию равную натуральной величине треугольника.

Метод плоскопараллельного перемещения

Найти натуральную величину треугольника методом плоскопараллельного перемещения можно за два этапа: первое перемещение переводит треугольник в проецирующее положение, второе — перемещает с вращением до совмещения с плоскостью параллельной плоскости проекций.

Произвольным плоскопараллельным перемещением произведено преобразование положения треугольника до горизонтально проецирующего положения. Это перемещение преобразует горизонтальную проекцию треугольника в отрезок прямой. Второе перемещение выполнено до положения треугольника параллельно фронтальной плоскости проекций.

Метод вращения вокруг фронтали

При вращении треугольника вокруг фронтали, вершины перемещаются по окружностям во фронтально проецирующих плоскостях. Используя фронталь как базовую линию (основание) треугольника, методом прямоугольного треугольника определены расстояния от фронтали до вершин. Из вершин опущены перпендикуляры к фронтали и на их фронтальных проекциях построены отрезки равные натуральной величине расстояний от вершин до фронтали. Полученный треугольник равен натуральной величине исходного и соответствует фронтальной проекции исходного треугольника повёрнутого вокруг фронтали до положения параллельного фронтальной плоскости проекций.

Метод замены плоскостей проекций

В плоскости треугольника проведена фронталь f. Перпендикулярно фронтали построена плоскость проекций П₅, которая заменяет горизонтальную проекцию. На П₅ заданный треугольник проецируется в отрезок прямой линии. Вторая замена проекции выполнена параллельно плоскости треугольника A₆B₆C₆=АВС . На П₆ все отрезки треугольника проецируются в натуральную величину, и следовательно проекция треугольника равна натуральной величине.

Чертежик

Натуральная величина треугольника определяется 2 методами:

1. замена плоскостей проекции;
2. плоскопараллельное перемещение.

Это задание является обязательным для студентов в учебных заведениях и для его решения необходимо изучить тему: » Способы преобразования чертежа».

Для наглядности я использовал определенное задание и на его примере покажу как находится натуральная величина треугольника.

Алгоритм определения натуральной величины плоскости:

Замена плоскостей проекции

1.) Для построения чертежа использовал задание, расположенное снизу. Первоначально строятся точки по координат в плоскостях П1 и П2.

2.) Строится дополнительная горизонтальная линия 1 1 в верхнем изображении (проводится линия от средне расположенной точки по высоте), затем опускают дополнительные отрезки на нижнее изображение (как указано на рисунке снизу) и соединяют прямой. Эта прямая необходима для того, чтобы на ней расположить вспомогательную плоскость.

3.) Построив прямую на нижнем рисунке, чертится под углом 90 0 ось Х 1 (от точки С1 располагаем на произвольном расстоянии, но не слишком далеко). Затем отмеряются расстояния:

• от С2 до оси Х;
• от В2 до оси Х;
• от А0 до оси Х.

Полученные размеры откладываются от оси Х1 (размеры указаны разными цветами на рисунке снизу) и соединяют, далее подписываются точки.

4.) Строится еще одна дополнительная ось Х2, расположенная параллельно отрезку В 4 С 4 А 4. От точек В4,С4 и А4 проводят прямые перпендикулярные оси Х2.

5.) Отмеряются расстояния:

• от В1 до Х1;
• от С1 до Х1;
• от А1 до Х1.

Полученные результаты измерений откладываются от иси Х2 (на изображении снизу отмечены зелеными и голубым цветами).

6.) Соединяются точки и подписывают полученную плоскость заглавными «Н.В.»

Плоскопараллельное перемещение

7.) Откладывается отрезок на оси Х (обозначен синим цветом).

8.) Переносятся точки на текущее построение.

9.) Соединяют точки, получившиеся при переносе из плоскостей проекций. 10.) Методом вращения точки А2′, С2′ переносятся на горизонтальную прямую, а точка В2′ не меняет свое положение (относительно ее и происходило вращение).11.) Откладывается точка (располагают от оси Х на небольшом расстоянии, т.е. произвольном), относительно которой и будет откладываться плоско параллельное перемещение плоскости. 12.) От точек А2′, С2′ и В2′ опускаются прямые. Далее циркулем необходимо отмерить расстояния:

• от С1 до В1;
• от С1 до А1.

Затем эти размеры откладываются от С1′ (обозначены красным и синим цветами).

13.) Соединяются и подписываются точки (А1′, В1′ и С1′). Опускают прямые от С2″ и А2″14.) От точек С1 и А1 отводят прямые до пересечения с прямыми опущенными от точек С2″ и А2″. В месте пересечения ставится точка.15.) Завершающим шагом является соединение точек и обводка линиями всего чертежа.Пример чертежа на тему «Натуральная величина треугольника» смотрите здесь.

Начертательная геометрия — натуральная величина треугольника

Натуральная величина треугольника определяется методами начертательной геометрии: замена плоскостей проекций, плоскопараллельное перемещение и вращение вокруг линии уровня. Все способы сводятся к преобразованию чертежа и получению проекции на которой плоскость треугольника параллельна плоскости проекций.

Способ замены плоскостей проекций

В плоскости треугольника проведена линия уровня (горизонталь). Используя линию частного положения, выполняется замена фронтальной проекции так, что плоскость содержащая треугольник занимает проецирующее положение и треугольник проецируется в отрезок. Параллельно плоскости треугольника проводится плоскость проекции заменяющая горизонтальную проекцию. В результате, новая проекция треугольника соответствует натуральной величине.

Способ вращения вокруг горизонтали

Способ вращения вокруг горизонтали сводится к построению треугольника в плоскости проекций с вершинами расположенными на расстоянии от горизонтали равном натуральной величине этого расстояния в исходном треугольнике. Подобное построение соответствует вращению вершин треугольника до положения параллельного горизонтальной плоскости проекций.

Натуральная величина расстояния от горизонтали определяется способом прямоугольного треугольника. От вершины проводится перпендикуляр к горизонтали. Этот перпендикуляр используется в качестве катета основания прямоугольного треугольника. Второй катет строится с длинной равной расстоянию между вершиной исходного треугольника и горизонтали измеренному вдоль оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций.

Способ плоскопараллельного перемещения

Используя фронталь треугольника выполняется перемещение во фронтальной плоскости выполняется до положения, при котором плоскость треугольника займёт горизонтально проецирующее положение. Это положение получается при вертикальном положении фронтали. Координата Y точек треугольника при плоскопараллельном перемещении не изменится. Второе плоскопараллельное перемещение выполняется в горизонтальной плоскости до положения параллельно фронтальной проекции треугольника.

Натуральная величина отрезка прямой и углы наклона прямой к плоскостям проекций

17*. Найти натуральную величину отрезка прямой АВ, заданного его проекциями, и определить углы наклона прямой к плоскостям V и Н (рис. 15).

Р е ш е и и е. Как известно, натуральная величина отрезка может быть определена как величина гипотенузы прямоутольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на какой-либо плоскости проекций, а другим — разность расстоянии концов отрезка до этой же плоскости. Если одним из катетов является горизонт, проекция, то угол между гипотенузой и этим катетом равен углу наклона (а) прямой к горизонт, плоскости проекций. Угол наклона (р) этой же прямой к фронт, пл. проекций определяется из треугольника, в котором в качестве первого катета взята фронт, проекция отрезка, а второй катет определен по разности расстоянии концов отрезка до фронт, пл. проекции.

Для определения натуральной величины отрезка АВ и углова α и β на рис. 15 построены прямоугольные треугольники ba А и b’a’ А . В треугольнике ЬаА катет аА равен разности расстояний точек А и В до горизонт, пл. проекций. В треугольнике Ь’а’ А катет а’ А равен разности расстояний точек А и В до фронт, пл. проекций.

18. Определить натуральную величину отрезка прямой АВ (рис. 16) и углы наклона его к плоскостям проекций.

19. Определить натуральную величину отрезка заданной прямой между ее фронт. (N) и горизонт. (M) следами и углы наклона этой прямой к обеим плоскостям проекции (рис. 17).

20*. Отложить на заданной прямой отрезок АВ, равный l (рис. 18, а).

Решение. На заданной прямой (рис. 18, б) берем произвольный отрезок АК и определяем его натуральную величину. Строим прямоугольный треугольник с катетами ak и k K , равным разности расстояний точек А и К от пл. Н. На гипотенузе построенного треугольника откладываем отрезок а B заданной длины l. Из точки B проводим прямую параллельно k K . Получаем точку b и горизонт, проекцию ab искомого отрезка АВ, равного l. По точке b находим точку b’; а’b’ — фронт. проекция искомого отрезка АВ.

21. На прямой АВ (рис. 19) отложить отрезок АС, равный l.

22*. Провести в первой четверти через точку А (рис. 20, а) прямую, составляющую с пл. Н угол α = 30° и с пл. V угол β = 45°.

Решение. Следует проверить условие: каждый из углов (α и β) должен быть острым, а сумма этих углов должна быть или меньше 90° (для прямой общего положения), или равна 90° (для профильной прямой). В задании α + β = 30°+ 45° = 75°, т. е. меньше 90°. Следовательно, построение может быть выполнено.

С углами α и β мы уже встречались и задаче 17*. Если задаться каким-либо отрезком АВ прямой и принять его за гипотенузу некоторого прямоугольного треугольника, то, зная углыа α и β, можно построить два таких треугольника (рис. 20, б). В одном из них (с углом α) катет А—1 выражает горизонт, проекцию отрезка АВ, а катет В—1 — разность расстояний концов отрезка АВ от пл. H; в другом треугольнике (с углом β) катет А—2 выражает фронт, проекцию отрезка АВ, а катег В—2 — разность расстояний концов отрезка от пл. V.

Теперь можно построить чертеж (рис. 20, в).

Откладываем на линии связи а’а от точки а’ вниз отрезок а’—3, равный найденному на рис. 20,б катету В—1. Через точку 3 проводим прямую, перпендикулярную к линии связи а’а, а из точки а’ проводим дугу окружности, радиус которой должен равняться катету А—2 (рис. 20, б). В пересечении прямой и дуги получим точку b’.

Для построения точки b откладываем на линии связи а’а от точки а вниз отрезом а—4, равный катету В—2 (рис. 20, б), проводим через точку 4 прямую перепендикулярно к линии связи а’а и находим на ней точку b.

При точном построении проекция ab (рис. 20,в) должн.а получиться равной катету А—1 (рис. 20,6).

Конечно, можно получить при тех же данных еще три положения отрезка АВ; соответствующие чертежи показаны на рис. 20, г. Построение по существу не отличалось бы от приведенного на рис. 20, в.

23. Через точку А (рис. 21) провести (вправо вниз, от себя) прямую, составляющую с пл. Н угол α = 15° и с пл. V угол β = 30° до пересечения ее с пл. V.