Длина волны
Под длиной волны принято понимать промежуток между двумя соседними точками волны, находящимися в одинаковых фазах колебания.
В большинстве случаев, эту величину обозначают буквой из греческого алфавита – лямбда λ.
Параметр длины волн будет напрямую зависеть от характеристик той среды, внутри которой волна распространяется – через газ, жидкую среду, твердое тело или вакуум.
В качестве яркого примера волнообразного явления можно привести звук, свет, волны на море, вызванные ветром. Наверняка каждому приходилось в обычной жизни не раз сталкиваться со множеством видов волн.
Синусоидальная волна
В любой линейной среде волновые картины можно описать вне зависимости от того, как распространяются синусоидальные компоненты. Длина волны в синусоидальном сигнале при постоянной скорости перемещения волны находится:
- v− показатель величины фазовой скорости волны.
В диспергирующих средах, сама фазовая скорость будет находиться в зависимости от частоты волн.
Как известно, электромагнитное излучение также имеет волновую природу. Более того, его скорость численно равна скорости распространения света.
В случае со звуковыми волнами, скорость их распространения в нормальных условиях составляет 343 метра в секунду.
Стоячая (стационарная) волна
Под стоячей (стационарной) волной принято считать такую волну, каждая из точек которой на волновой оси имеет постоянную и связанную с ней амплитуду.
Данный вид волн рассматривается, например, в качестве суммы пары бегущих синусоидальных волн при противоположно направленных скоростях. Отсюда вывод: период колебания, длина волны и ее скорость связаны между собой точно так же, как и в бегущей волне.
В качестве яркого примера можно привести скорость света, которая определяется через наблюдение за стационарными волнами внутри идеального вакуума.
Математическое представление волн и волновых явлений
Так называемая синусоидальная волна удобна в математическом представлении.
На оси х, как правило, обозначают время распространения волны, а по оси у – положение волны (в том числе, ее амплитуду).
Второй вариант – через использование волновых чисел и угловой частоты. В этом случае показатель длины волны и волновое число будут связаны с частотой и скоростью.
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите,с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
Задача 1.
Необходимо найти длину волны, распространяющейся со скоростью 5 метров в секунду. Причем известно, что волна за десять секунд успевает производить 4 полных колебания.
В данном случае можно просто использовать формулу:
Задача 2:
Требуется найти длину колебательной волны, если известно, что дистанция между первой и четвертой стационарными волнами – 15 см.
Длину стоячей волны можно найти по формуле:
С другой стороны:
Здесь Где и n1и n2 являются порядковыми номерами вспученностей.
Согласно условию, n1=1 и n2=4.
Приравняв обе правые части уравнений, можно получить следующее соотношение:
Следовательно, ответом задачи будет — λ=0,1 метра.
Формула длины волны
Длиной волны называют кратчайшее пространственное расстояние между ее точками, совершающими колебания в одной фазе. Обозначают длину волны, чаще всего буквой $\lambda$ .
Для синусоидальных волн $\lambda$ – это расстояние, на которое волна распространяется за один период (T). Длину волны в этом случае еще называют пространственным периодом. Тогда формулой длины волны можно считать выражение:
где v – скорость распространения волны, $\nu=\frac$ – частота колебаний, $k=\frac<\omega>$ – волновое число, $T=\frac<\omega>$ – период волны, $\omega$ – циклическая частота волны.
Длина стоячей волны
Длиной стоячей волны($\lambda_$) называют расстояние в пространстве между двумя пучностями (или узлами):
где $\lambda$ – длина бегущей волны. Надо заметить, что расстояние между соседними пучностью и узлом связывает равенство:
Длина бегущей волны
В бегущей волне длина волны связана с фазовой скоростью (vph) формулой:
Длина бегущей волны
Разность фаз и длина волны
Две точки волны находящиеся на расстоянии $\Delta x$ имеют при колебании разность фаз ($\Delta \varphi$), которая равна:
Длина электромагнитной волны
Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^$ м/с), следовательно, длина электромагнитной волны в вакууме, может быть рассчитана при помощи формулы:
Длина электромагнитной волны в веществе равна:
где $n=\sqrt$ – показатель преломления вещества, $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества, $\mu$ – магнитная проницаемость вещества.
Отметим, что все рассматриваемые формулы относят к случаю T=const.
Единицы измерения длины волны
Основной единицей измерения длины волны в системе СИ является: [$\lambda$]=м
Примеры решения задач
Задание. Каково приращение длины электромагнитной волны, имеющей частоту v=1 МГц при ее переходе в немагнитную среду, которая имеет диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$=2?
Решение. Так как речь в условии задачи идет о немагнитной среде, в которую переходит волна, то считаем магнитную проницаемость вещества равной единице ($\mu$=1).
Длина рассматриваемой нами волны в вакууме равна:
Длина волны в веществе:
Используя выражения (1.1) и (1.2) найдем изменение длины волны:
Проведем вычисления, если нам известно помимо данных приведенных в условии задачи, что $c \approx 3 \cdot 10^$ м/с- скорость света в вакууме, и v=1 МГц=10 6 Гц:
Ответ. Длина волны уменьшится на 150 м
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 469 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Какова длина плоской синусоидальной волны, которая распространяется по оси X. Две точки, которые находятся на оси X расположенные на расстояниях 2 м и 3 м от источника совершают колебания с разностью фаз равной $\Delta \varphi=\frac$ . Каким будет период колебаний в волне, если ее скорость в данной среде равна v=2м/с?
Решение. Сделаем рисунок.
Основой для решения задачи будет формула:
Выразим из (2.1) искомую длину волны, получим:
Период колебаний связан с длиной волны формулой:
C учетом (2.2), имеем:
Ответ. $\lambda \approx 3,3 \mathrm ; T \approx 1,67 \mathrm$
Перевод волнового числа в длину волны
Волны де Бройля – волны, связанные с любой движущейся материальной частицей. Любая движущаяся частица (например, электрон) ведёт себя не только как локализованный в пространстве перемещающийся объект — корпускула, но и как волна, причём длина этой волны даётся формулой λ = h/р, где h = 6.6·10 -34 Дж . сек – постоянная Планка, а р – импульс частицы. Эта волна и получила название волны де Бройля (в честь французского физика-теоретика Луи де Бройля, впервые высказавшего гипотезу о таких волнах в 1923 г.). Если частица имеет массу m и скорость v Волновые свойства макроскопических объектов не проявляются из-за малых длин волн. Так для тела массой 200 г, движущегося со скоростью 3 м/сек, длина волны что лежит далеко за пределами наблюдательных возможностей. Однако для микрочастиц длины волн лежат в доступной наблюдению области. Например, для электрона, ускоренного разностью потенциалов 100 вольт, длина волны что соответствует размеру атома.
Для расчёта длины волны де Бройля частицы массы m, имеющей кинетическую энергию E, удобно использовать соотношение
где E0 = mc 2 − энергия покоя частицы массы m,
λкомптон = h/mc − комптоновская длина волны частицы,
λкомптон (электрон) = 2.4·10 -12 м = 0.024 Å,
λкомптон (протон) = 1.32·10 -15 м = 1.32 фм.
Длина волны де Бройля фотона с энергией Е определяется из соотношения
λ(фм) = h/p = hc/E = 2π·197 МэВ·фм /E(МэВ).
Существование волн де Бройля доказано многочисленными экспериментами, в которых частицы ведут себя как волны. Так при рассеянии пучка электронов с энергией 100 эВ на упорядоченной системе атомов кристалла, играющего роль дифракционной решётки, наблюдается отчётливая дифракционная картина. Существование волн де Бройля лежит в основе работы электронного микроскопа, разрешающая способность которого намного порядков выше, чем у любого оптического микроскопа, что позволяет наблюдать молекулы и атомы, а также в основе методов исследования таких сверхмалых объектов, как атомные ядра и элементарные частицы, бомбардировкой их частицами высоких энергий. Метод дифракции частиц в настоящее время широко используется при изучении строения и свойств вещества.
Волны и ветер. Расчет характеристик волны
Пользователь оставил нам на сайте запрос — калькулятор штормовых баллов морской волны, где попросил создать калькулятор «Расчет по высоте волны и промежутками между волнами(частота)?».
Интуиция подсказывала, что какая-то зависимость между силой ветра и волнами есть. Так как я в теории волн не силен, пришлось вопрос слегка изучить.
Результат изучения в виде калькулятора чуть ниже, а под ним мои рассуждения на тему, родившиеся в результате копания в разных источниках, то есть немного теории. Сразу скажу, что калькулятор не рассчитывает, а точнее говоря, не прогнозирует высоту волны — это отдельная тема, которая рассмотрена здесь — Волны и ветер. Статистическое прогнозирование высоты волны.
Расчет характеристик волны
Период волны (секунды)
Глубина (метры)
Ускорение свободного падения
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Относительная глубина
Длина волны (метры)
Угловая частота (рад/с)
Волновое число
Фазовая скорость (м/с)
Групповая скорость (м/с)
Ссылка Сохранить Виджет
Теория
Достаточно очевидно, что волны на море не могут быть описаны одной синусоидой, так как образуются в результате наложения множества волн с разными периодами и фазами. Для примера можно посмотреть на картинку ниже, которая показывает волну, полученную в результате наложения трех разных синусоид.
Источник: «Wave disp» by Kraaiennest — Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons — http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_disp.gif#mediaviewer/File:Wave_disp.gif
Поэтому для анализа состояния моря обычно строят энергетический спектр, то есть откладывают по оси Y единицы энергии, а по оси X — частоту, получая таким образом плотность энергии — количество энергии, переносимой волнами с соответствующим диапазоном частот. И, как оказалось, под действием ветра, форма энергетического спектра меняется, причем чем сильнее ветер, тем более ярко на спектре выражен пик — волны определенных частот, переносящие наибольшее количество энергии. На картинке ниже как умел нарисовал, как это примерно выглядит.
Частоты, где наблюдается пик, называют доминантными. Соответственно, можно облегчить себе жизнь и рассчитать характеристики волны только для доминантной частоты. Как показала практика, это будет давать достаточно хорошее приближение к реальности.
Ну а что касается характеристик волны, на помощь приходит линейная теория волн, а именно, расчет гравитационных волн в линеаризованном приближении. Чтобы было понятнее о чем речь дальше, приведем несколько определений из Википедии:
Волны на поверхности жидкости — название разнообразных волн, возникающих на поверхности раздела между жидкостью и газом или жидкостью и жидкостью. Нижняя часть волны называется подошвой, верхняя — гребнем.
Гравитационные волны на воде — разновидность волн на поверхности жидкости, при которых сила, возвращающая деформированную поверхность жидкости к состоянию равновесия, есть просто сила тяжести, связанная с перепадом высот гребня и впадины в гравитационном поле.
Дисперсия волн — в теории волн различие фазовых скоростей линейных волн в зависимости от их частоты. То есть волны разной длины (соответственно, разной частоты) имеют разные скорости в среде, что убедительно демонстрирует опыт с преломлением света в призме. Это важно понимать для дальнейших рассуждений.
Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны: . Волновое число можно представить как разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра), либо количество пространственных периодов (гребней) волны, приходящееся на 2π метров.
Используя определение волнового числа можно записать следующие формулы:
Длина волны
Фазовая скорость (Скорость гребня)
Период волны (выраженный через угловую частоту)
Картинка для привлечения внимания — красная точка показывает фазовую скорость, зеленая — групповую скорость (скорость пакета волн).
Источник: «Wave group» by Kraaiennest — Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons — http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif#mediaviewer/File:Wave_group.gif
Закон дисперсии
Ключевым моментом в расчете характеристик волны является понятие закона дисперсии или дисперсионного уравнения (соотношения) .
Закон дисперсии или дисперсионное уравнение (соотношение) в теории волн — это связь частоты и волнового вектора (волнового числа) волны.
В общем виде это соотношение записывается как
.
Это соотношение для воды выведено в линейной теории волн для так называемой свободной поверхности, то есть поверхности жидкости, не ограниченной стенками сосуда или русла, и выглядит следующим образом:
,
где
g — ускорение свободного падения,
k — волновое число,
tanh — гиперболический тангенс,
h — расстояние от поверхности жидкости до дна.
Можно провести дальнейшее упрощение формулы, исходя из графика гиперболического тангенса. Заметим, что при kh, стремящемся к нулю, гиперболический тангенс может быть аппроксимирован своим аргументом, т. е. значением kh, а при kh, стремящемся к бесконечности, гиперболический тангенс kh стремится к единице. Последний случай, очевидно, относится к очень большим глубинам. Можно ли оценить, насколько они должны быть большие? Если взять гиперболический тангенс числа Пи, то его значение равно примерно 0.9964, что уже довольно близко к единице (число Пи взято для удобства работы с формулой). Тогда
.
То есть для расчета характеристик волны воду можно считать глубокой, если глубина больше хотя бы половины длины волны, и в большинстве мест мирового океана это условие соблюдается.
Вообще, исходя из графика гиперболического тангенса, используется следующая классификация волн по относительной глубине (соотношению глубины к длине волны).
1. Волны на глубокой воде
Глубина больше половины длины волны, гиперболический тангенс аппроксимируется единицей:
2. Волны на переходных глубинах
Глубина от одной двадцатой до одной второй длины волны, гиперболический тангенс не аппроксимируется:
3. Волны на мелкой воде
Глубина меньше одной двадцатой длины волны, гиперболический тангенс аппроксимируется своим аргументом:
Рассмотрим соотношения для этих случаев
Случай мелкой воды
Уравнение приобретает вид
,
откуда
Групповая скорость для случая мелкой воды
То есть, в соответствии с теорией, на мелкой воде волны не должны иметь дисперсии, так как фазовая скорость не зависит от частоты. Однако надо учитывать, что на мелкой воде начинают работать нелинейные эффекты, связанные с повышением амплитуды волны. Нелинейные эффекты сказываются, когда амплитуда волны становится сравнимой с её длиной. Одним из характерных эффектов в этом режиме является появление изломов на вершинах волн. Кроме того, появляется возможность опрокидывания волны — всем известный прибой. Эти эффекты пока не поддаются точному аналитическому расчёту.
Случай переходных глубин
Уравнение не упрощается, и тогда:
Групповая скорость для случая переходных глубин:
Заметим, что уравнение длины волны является трансцендентным, и находить его решение нужно численными методами. Например, используя Метод итераций (метод последовательных приближений).
Случай глубокой воды
Уравнение приобретает вид
,
откуда
Групповая скорость для случая глубокой воды:
Итак, измерив период волны, мы с достаточной точностью можем вычислить фазовую скорость, групповую скорость и длину волны. А измерение периода волны можно провести, например, засекая секундомером время прохождения гребней, то есть период — это наиболее доступная вещь, которую можно измерить без специальных приборов. Если вы где-то вблизи берега — надо представлять себе глубину, если глубины заведомо большие, то можно пользоваться формулами для глубокой воды, в которые глубина, как параметр, не входит. Так как у нас под рукой вычислительная мощь компьютера, калькулятор использует не упрощенные формулы, находя длину волны методом итераций (метод будет сходиться, так как производная функции меньше единицы).
Теперь возвращаемся к ветру. Собственно, постоянно дующий в одном направлении ветер это и есть то, что формирует волны, то, что сообщает волнам энергию.
И, довольно очевидно, для того чтобы сообщать волнам энергию, ветер должен дуть быстрее, или хотя бы со скоростью, равной фазовой скорости волны.
Здесь вводится определение полностью сформированной волны (fully developed sea). Полностью сформированная волна — волна, достигнувшая максимальных характеристик при данном ветре. То есть волна находится в состоянии равновесия по энергии — сколько сообщается энергии ветром, столько и уходит на движение. Не каждая волна достигает такого состояния, так как требуется, чтобы ветер постоянно дул над всей поверхностью, которую проходит волна в течении некоторого времени. И чем сильнее ветер, тем больше времени и больше расстояния требуется для формирования такой волны. Но зато уж если она сформировалась, ее фазовая скорость догонит скорость ветра.