Конев В.В. Скалярные и векторные поля
Циркуляция векторного поля 
Циркуляция
Дивергенция
Направление обхода контура считается положительным , если при движении по контуру ограниченная им область остается слева.
Отметим, что вектор 
направлен по касательной к линии L и dr = dl. Поэтому скалярное произведение 
можно записать в виде 
, где 
– проекция вектора A на направление касательного вектора l. По этой причине для обозначения циркуляции используется также символическое выражение 
.
Учитывая, что 
и 
, а также используя свойство скалярного произведения векторов, выражение под знаком обсуждаемого интеграла можно представить в виде
.
Таким образом, циркуляция векторного поля A записывается в любой из нижеприведенных форм:
Циркуляция векторного поля. Формула Стокса
Заключительный урок по основам векторного анализа будет посвящён ещё одной характеристике векторного поля под названием циркуляция. С чем у нас ассоциируется этот термин на обывательском уровне? Циркуляция воздуха, циркуляция жидкости в некоторой системе; причём латинский корень данного слова (circulare) говорит нам, о том, что процесс идёт «по кругу».
Всё верно, понятие циркуляции пришло в теорию поля из гидродинамической задачи, где нужно было оценить движение жидкости по замкнутому контуру. Построим простейшую модель: пусть в некой замкнутой трубе циркулирует жидкость, и её движение описывается полем скоростей . Рассмотрим произвольную замкнутую линию тока . Упрощённо будем полагать, что каждой точке линии соответствует торчащий из неё вектор поля, который показывает направление и скорость движения жидкости в данной точке.
Циркуляция () векторного поля по контуру – это скалярная величина, численно равная криволинейному интегралу 2-го рода по этому контуру:
Согласно общему принципу интегрирования, данный интеграл объёдиняет проекции «торчащих» из контура векторов на координатные оси по всем бесконечно малым кусочкам контура, что и является оценкой движения жидкости. И непосредственно из интеграла видно, что циркуляция зависит от двух вещей:
– длины самого контура (чем длиннее, тем больше циркуляция);
– скорости течения * (чем длиннее векторы «эф», тем больше их бесконечно малые проекции и тем больше значение ).
* Со временем понятие циркуляции распространилось на произвольное векторное поле, где циркулировать в прямом смысле нечему
При этом контур, очевидно, можно обойти двумя способами: в одном направлении или в противоположном. В обоих случаях получится одно и то же абсолютное значение циркуляции с разными знаками (если, конечно, ). На практике чаще используется обход против часовой стрелки – когда для «идущего по контуру» человека ограниченная контуром область остаётся по левую руку. Такое направление обхода называют положительным.
Следует также заметить, что требование замкнутости контура не является обязательным – циркуляцию можно вычислить и по произвольной кусочно-гладкой линии, которая позволяет беспроблемно интегрировать. Однако исторически и методически сложилось так, что в практических задачах контур, как правило, замкнут.
И, если расписать криволинейный интеграл циркуляции для векторного поля подробно, то перед нами «откроется» её физический смысл:
А именно, циркуляция равна работе векторного поля по замкнутому контуру , о которой я, в том числе упоминал на первом уроке по теории поля. Этот смысл больше характерен для силовых полей, но и в гидродинамической модели результат можно интерпретировать как работу поля скоростей по перемещению материальной точки.
Таким образом, сегодня у нас будет две задачи «в одном флаконе»! К тому же криволинейных интегралов по пространственным контурам мы почти не решали, и сейчас самое время наверстать упущенное:
Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении.
Решение: изобразим треугольник на чертеже и обязательно пометим стрелочками порядок его обхода:
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна криволинейному интегралу 2-го рода по данному контуру, и в силу свойства аддитивности:
Как говорится, разделяй и властвуй:
1) Вычислим циркуляцию по отрезку :
По точкам и найдём направляющий вектор прямой :
, и поскольку его «зетовая» координата равна нулю, то канонические уравнениЯ прямой принимают следующий вид: . Мысленно проверяем, что координаты точек «а» и «бэ» удовлетворяют полученным уравнениям. Так как , то у нас есть возможность свести криволинейный интеграл к определённому интегралу с интегрированием по «икс» или по «игрек». Из левой пропорции выражаем:
и находим дифференциал: – таким образом решение сведётся к переменной «икс», которая в соответствии с направлением интегрирования изменяется (смотрим на чертёж!) от 3 до 1:
Как вариант, из уравнений прямой можно выразить , найти и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 2. Не упускаем отличную возможность проверки:
2) Вычислим циркуляцию векторного поля по отрезку :
Направляющий вектор соответствующей прямой найдём по точкам :
– и поскольку все его координаты отличны от нуля, то нам не удастся «обнулить» какую-либо переменную в криволинейном интеграле. Что делать? Запишем параметрические уравнения прямой – по точке (удобнее взять начало пути) и направляющему вектору :
Нетрудно видеть, что началу отрезка соответствует значение , а концу – значение . Осталось найти дифференциалы параметрических уравнений:
и АККУРАТНО подставить весь скарб:
3) И, наконец, вычислим циркуляцию поля по отрезку :
Поскольку путь лежит в плоскости , то «игрековая» координата будет равна нулю, что позволяет нам свести решение к определённому интегралу по «икс» либо по «зет». Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
– не забываем мысленно проверить, что координаты точек удовлетворяют полученным уравнениям.
Из пропорции проще выразить , найти и проинтегрировать по «зет» (внимание!) от 2 до 0 – строго по направлению обхода:
Не позволяй душе лениться – теперь выразим , найдём и проинтегрируем по «икс» от 0 до 3:
, что и требовалось проверить.
Кстати, и в первом, и в этом пункте можно использовать и параметрические уравнения – кому как удобнее.
Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутому контуру:
Ответ:
Скорее всего, вам не очень понятен этот результат с точки зрения гидродинамики, и чуть позже я объясню его смысл. Но прежде ответим на старый сакраментальный вопрос: а нельзя ли проще?
Формула Стокса
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку его ротора через поверхность , натянутую на данный контур в направлении, которое соответствует направлению обхода контура:
а именно, если смотреть на поверхность из острия её нормальных векторов (вектора), то путь по контуру должен быть ВИДЕН НАМ, как осуществляемый ПРОТИВ часовой стрелки. Посмотрите на треугольник (чертёж выше) со стороны острия единичного нормального вектора . Обход контура осуществляется против часовой стрелки? Да*. Значит, это и есть нужный вектор нормали, и поэтому нам следует вычислить поверхностный интеграл по верхней стороне треугольника.
* Посмотрите на ситуацию и с другой стороны треугольника
По формуле Стокса:
, где – единичный вектор нормали верхней стороны треугольника.
Примечание: по сути, в правой части записан поверхностный интеграл 2-го рода – уже сведённый к поверхностному интегралу 1-го рода
Найдём роторную функцию поля . Чтобы не запутаться, выпишем компоненты поля, и возьмём частные производные в «роторном» порядке:
Таким образом:
, следовательно, наше поле потенциально и:
Ну ещё бы – если вспомнить физический смысл циркуляции (работа векторного поля по контуру), и вспомнить о том, что работа по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, то всё встаёт на свои места.
Таким образом, циркуляция векторного поля равна нулю не только по треугольнику , но и вообще по любому замкнутому контуру пространства. Из чего становится понятен и гидродинамический смысл задачи: представьте, что треугольник находится внутри замкнутой трубы. Поскольку поле скоростей потенциально, то циркуляция будет равна нулю не только по данному треугольнику, но и по любой внутренней замкнутой линии. Это говорит нам о том, что движение жидкости в трубе разнонаправлено и скомпенсировано – сколько циркулирует в одном направлении – столько проциркулирует и в другом.
На самом деле формулой Стокса мы пользовались и раньше: если контур полностью лежит в плоскости , то получается её частный случай под названием формула Грина:
, где – замкнутая область, ограниченная контуром . И фактически сейчас мы прорешали пространственный аналог Примера 12 урока Криволинейные интегралы по замкнутому контуру.
Интересно отметить, что рассмотренное в задаче поле является не только потенциальным, но ещё и соленоидальным:
Такие поля (одновременно потенциальные и соленоидальные) называют гармоническими. И под этот термин мне всегда представляется полноводная широкая река с ровным течением, по которой величественно, без малейшего отклонения от прямого курса плывёт разный мусор целая флотилия ладей. И в этом действительно есть какая-то завораживающая гармония. Однако, то лишь ассоциация – самостоятельно придумайте «бурный» пример 😉
В курсе векторного анализа существует целый раздел, посвящённый гармоническим полям, но сейчас мы возвращаемся к делам практическим, и для самостоятельного решения я предлагаю вам аналогичную задачу:
Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении двумя способами: а) непосредственно, б) по формуле Стокса.
Это более распространённый случай, где все отрезки лежат в координатных плоскостях, и поэтому здесь можно обойтись исключительно декартовыми координатами. Впрочем, параметрические уравнения тоже неплохой вариант, ибо буковка там всего одна =) – главное, правильно разобраться с пределами изменения параметра.
При использовании формулы Стокса не путаемся – в ней вычисляется поток НЕ САМОГО поля , а его ротора . И да, тут потребуется составить уравнение плоскости.
НЕ ЛЕНИМСЯ и обязательно решаем это задание! Оно, может быть, не слишком интересно с точки зрения содержания, но крайне полезно для отработки техники решения криволинейных интегралов. В конце урока можно ознакомиться с образцом решения и некоторыми рациональными приёмами вычислений, позволяющими минимизировать трудозатраты и уменьшить риск ошибок.
Помимо контура-треугольника, пожалуй, популярнее только окружность:
Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура непосредственно и по формуле Стокса
Решение: предложенные уравнения задают окружность, лежащую в плоскости , радиуса 2 с центром на оси . Причём, в условии ничего не сказано о порядке обхода контура, и мы, в принципе, можем выбрать любой из них. Пойдём «традиционным» путём:
1) Вычислим работу векторного поля непосредственно. С «иксом», «игреком», «зет» и их дифференциалами тут всё прозрачно:
и осталось проконтролировать пределы изменения параметра:
– если , то – белая точка контура (см. чертёж);
– если , то – самая верхняя точка контура.
Таким образом, при изменении окружность «прорисовывается» в противоположном направлении по отношению к нашему порядку обхода, и поэтому интеграл следует взять от до 0:
Ответ:
Отрицательный знак говорит нам о том, что циркуляция осуществляется (полностью или преимущественно) против выбранного нами порядка обхода, и если бы мы обошли окружность в противоположном направлении, то получилось бы
2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:
Найдём роторную функцию:
Поскольку поверхность , натянутая на контур , представляет собой плоскую фигуру (круг), то для всех её точек единичный вектор нормали может «смотреть» лишь в две стороны. Какой вектор выбрать: или ? Вспоминаем правило: из острия вектора обход контура должен быть ВИДЕН НАМ против часовой стрелки. Этому условию удовлетворяет вектор . Обязательно взгляните на круг и с другой стороны – с этой точки зрения контур обходится ПО часовой стрелке, и поэтому вектор не годится.
Теперь заряжаем формулу Стокса:
Здесь можно сослаться на то, что интеграл равен площади -круга: и сразу дать ответ , но мы пойдём академичным путём.
Коль скоро, поверхность «полноценно» проецируется лишь на плоскость , то ничего не остаётся, как применить частную формулу . Особо подчёркиваю, что это частный случай, и если бы под интегралом были хоть какие-то переменные, то потребовалась бы полная версия
Но у нас всё проще:
И здесь снова можно сослаться, что полученный двойной интеграл численно равен площади круга такого же радиуса, но я таки «добью» интеграл с помощью «экзотического» перехода к полярным координатам в плоскости . С порядком обхода тут всё ясно:
– обратите внимание, что полярный угол изменяется в стандартном направлении, от полуоси в сторону полуоси . Грубо говоря, роль «игрека» здесь выполняет переменная «зет», а значит :
Ответ:
Если выбрать другое направление обхода окружности , то придётся использовать противоположно направленный вектор , из-за чего, очевидно, сменится знак. Однако отрицательный знак ничем не хуже положительного и говорит лишь о том, что мы подсчитали циркуляцию полностью или преимущественно «против течения».
Пара задач для самостоятельного решения. Попроще:
Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура непосредственно и по формуле Стокса. Выбрать положительное направление обхода.
В образце я привёл скрупулезное решение, но на практике можно пользоваться и геометрическим смыслом интегралов, обычно преподаватели к этому относятся лояльно.
И задачка позанятнее:
Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура
Контур здесь представляет собой линию пересечения цилиндра и плоскости, а именно, эллипс; и, кстати, на уроке о тройных интегралах в Примере 7 я рассказывал, как построить такое сечение. Интересно отметить, что тут можно легко обойтись без чертежа, поскольку требуется найти абсолютное значение циркуляции, то направление обхода не имеет значения – просто тупо интегрируем по «тэ» от 0 до . С параметрическими уравнениями «косого» эллипса, думаю проблем возникнуть не должно. Но, это палка о двух концах – возможно, вам покажется проще решение вторым способом.
Существует и более сложные задачи, однако в рамках данного урока этого будет достаточно, ибо лучше проще – да понятнее. Кроме того, я далеко не всё рассказал по теме, в частности о том, что само понятие ротора определяется через циркуляцию и поверхность, натянутую на контур + ещё один интересный момент, который касается поверхности. Читайте, например, 3-й том Фихтенгольца.
Ну а я поздравляю вас с успешным прохождением занимательного курса по теории поля. Надеюсь, он был понятен, интересен и полезен, и теперь никому не будут страшнЫ, по крайне мере, навороченные обозначения в учебниках.
Всё что осталось сделать – это вручить вам в руки лопату и отправить на обширное поле векторного анализа =) Дополнительные задачи с решениями есть в соответствующем архиве банка решений, библиотеке mathprofi.com, или в этом решебнике. Только будьте осторожны и критичны – недочёты и ошибки могут быть где угодно.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: изобразим контур интегрирования на чертеже:
а) Решим задачу непосредственно:
1) Вычислим циркуляцию по отрезку . Так как , то:
Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
, откуда выразим:
При этом изменяется от 0 до 3:
Проверьте решение другим способом!
2) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:
Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
, откуда:
Найдём дифференциал:
изменяется от 3 до 0:
Самостоятельно проведите решение по переменной «зет»
3) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:
Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
В данном случае выгоднее выразить
изменяется от 3 до 0:
Таким образом, циркуляция по замкнутому контуру:
б) Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса:
Найдём ротор векторного поля:
. В данном случае:
Таким образом:
Составим уравнение плоскости по точке и векторам :
Запишем вектор нормали этой плоскости: и найдём соответствующий единичный вектор:
Примечание: из острия данного вектора обход контур виден нам против часовой стрелки, следовательно, это и есть нужный вектор нормали
Найдём скалярное произведение:
Таким образом:
Для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода используем формулу , где – проекция треугольника на плоскость .
В данном случае:
Двойной интеграл численно равен площади треугольника :
Пример 4: Решение: выполним чертёж:
1) Вычислим работу векторного поля непосредственно:
Таким образом:
2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:
, где – поверхность, натянутая на контур
Найдём . В данном случае:
Скалярное произведение:
Таким образом:
Спроецируем поверхность на плоскость и воспользуемся формулой
, где – проекция поверхности . В данном случае :
Перейдем к полярным координатам в плоскости :
Пример 5: Решение: запишем параметрические уравнения цилиндра:
(любое действительное число)
Подставим первые два уравнения в уравнение плоскости:
Таким образом, сечение цилиндра плоскостью (эллипс) определяется уравнениями:
Найдём дифференциалы:
и вычислим циркуляцию векторного поля по контуру Г в направлении, которое соответствует изменению параметра в пределах :
Выполнять упрощения и считать интегралы, конечно же, удобнее по отдельности =)
Постарайтесь прийти к этому же результату, используя формулу Стокса.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Конев В.В. Скалярные и векторные поля
Свойства циркуляции векторного поля
Циркуляция
Дивергенция
( Справка : Область называется односвязной, если любую лежащую в ней замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в произвольную точку, не выходя за границы области.)
Такое разбиение можно осуществить, выбрав на контуре L любые две точки и соединив их линией AB (как это показано на рисунке 1).
Рис. 1. Разбиение замкнутого контура L на две петли.
Действительно, контур L 1 включают в себя часть контура L (дугу ACB) и линию BA, тогда как контур L 2 состоит из оставшейся части контура L (дуги BDA) и линии AB.
Это означает, что ненулевой вклад в сумму циркуляций по контурам L 1 и L 2 дают только те части этих контуров, которые вместе составляют первоначальный контур L, тогда как линия, соединяющая точки A и B, проходится дважды – во взаимно противоположных направлениях и, следовательно, соответствующие интегралы в сумме компенсируют друг друга (согласно свойству 1).
Приведенные аргументы сохраняют свою силу и при дальнейшем разбиении контура L на большее число петлей, ибо при суммировании циркуляций по всем образованным контурам интегралы по смежным линиям будут взаимно уничтожаться, так что сумма таких циркуляций сведется к циркуляции по первоначальному контуру. Результаты таких рассуждений можно представить в следующем обобщенном виде.
Следствие . Если область, ограниченную замкнутым контуром L, разбить произвольным образом на n элементов, ограниченных контурами , то циркуляция вектора A по внешнему контуру L равна сумме циркуляций по всем контурам разбиения:
§4. Циркуляция векторного поля
Пусть F i j k – векторное поле, заданное в некоторой области , и функции , , – непрерывно дифференцируемые в области . Пусть L – гладкая кривая, расположенная в области .
называется работой векторного поля F вдоль кривой L.
В случае если L – замкнутая кривая, то криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля F вдоль кривой L.
Таким образом, циркуляция поля F равна:
В случае когда векторное поле F – плоское, его циркуляция вдоль замкнутой кривой L задается интегралом:
Формула Стокса
Теорема (Стокс). Пусть – гладкая ориентируемая поверхность, а L – замкнутая гладкая кривая, являющаяся границей поверхности . Пусть n – единичная нормаль к поверхности , задающая одну из ее сторон. Пусть векторное поле F – непрерывно дифференцируемо на и L. Тогда
причем направление обхода контура L выбрано так, что при взгляде с конца вектора n оно происходит против часовой стрелки.
Левый интеграл в формуле (5) представляет собой циркуляцию векторного поля F вдоль контура L, а правый – поток ротора этого поля через поверхность . Поэтому формулу Стокса удобно записывать в векторной форме:
т.е. поток ротора векторного поля F через ориентированную поверхность равен циркуляции поля F вдоль контура L этой поверхности (проходимого в положительном направлении).
В случае, когда векторное поле F – плоское, формула Стокса принимает вид формулы Грина:
Формулу Стокса применяют для вычисления циркуляции векторного поля. Однако следует помнить, что для того, чтобы можно было применить формулу Стокса к контуру , необходимо, чтобы область , в которой лежит была поверхностно односвязной.
Область называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура , найдется поверхность , границей которого является контур L.
Пример 1. Найти циркуляцию плоского векторного поля F по замкнутой кривой L в положительном направлении:
- F , L – окружность, задаваемая уравнением
- F , L – контур треугольника , где , , .
Решение. а) Запишем параметрические уравнения окружности: , , . Находим , .
Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
б) Первый способ.
Контур L есть объединение отрезков , и . Поэтому циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
Вычислим каждый из интегралов. Вдоль отрезка имеем и, стало быть, . Следовательно,
Вдоль отрезка имеем и . Поэтому
И вдоль отрезка имеем и . Следовательно,
Таким образом, циркуляция поля F вдоль контура L будет равна: Ц
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Грина:
где областью D является треугольник . В нашем случае , . Следовательно, , . Тогда циркуляция поля F вдоль контура L будет равна
Пример 2. Вычислить циркуляцию пространственного векторного поля F i j k вдоль эллипса L, получающегося пересечением цилиндра с плоскостью (при взгляде с положительного направления оси обход контура L совершается против часовой стрелки).
Первый способ.
Запишем параметрические уравнения эллипса: , , . При изменении параметра от до получаем требуемое направление обхода контура L. Вычислим теперь циркуляцию:
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Стокса, причем в качестве поверхности , ограничиваемой кривой L, выберем часть плоскости , лежащей внутри цилиндра . Единичную нормаль к плоскости выберем так, чтобы, глядя с ее конца, направление обхода контура L проходило против часовой стрелки. Такой единичной нормалью будет вектор n . По формулу Стокса имеем:
Вычисление последнего интеграла сведем вычислению двойного интеграла по области , являющейся проекцией поверхности на плоскость . Этой областью будет круг . Поскольку , то окончательно получаем:
Контрольные вопросы:
- Дайте определение работы векторного поля F вдоль кривой L.
- Дайте определение циркуляции векторного поля F вдоль кривой L.
- Приведите формулу Стокса.
- Дайте определение поверхностно односвязной области.