Для узла а справедливо уравнение

Тема 3. Законы Кирхгофа и их применение для расчета электрических цепей

2. Первый закон Кирхгофа имеет вид:

3) I₁ + I₂ — I₃ + I₄ = 0

3. Уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи постоянного тока имеет вид:

1) I₁ R ₁+ I₂R₂ – I₃R₃+ I₄R₄= E₁+ E₂ – E₃ + E₄

4. Для внешнего контура АБВГ электрической цепи справедливо уравнение:

1) E₁ – E₂ – Е₃= I₂R₂ + I₁R₁

5. Для внутреннего контура АВГ электрической цепи справедливо уравнение:

2) E₁ – Е₃= I₃R₃ + I₁R₁

6. Для внешнего контура АБВ электрической цепи справедливо уравнение:

1) E₂ = -I₂R₂ + I₃R₃

7. Для узла А электрической цепи справедливо уравнение:

1)

8. Для узла B электрической цепи справедливо уравнение:

3)

9. Для электрической цепи указать неправильное уравнение:

4) ;

10. Уравнение по 2-ому закону Кирхгофа для контура adb имеет вид:

4)

11. Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а имеет вид:.

3)

12. Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А имеет вид:

13. Уравнение по 2-ому закону Кирхгофа для контураJ₁ имеет вид:

14. ТокI₂, если I₁=0,5А, I₃=0,3А, I₄=0,6А.

15. Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом

2) алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю;

16. Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом

1) алгебраическая сумма падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре;

17. Общее количество независимых уравнений по законам Кирхгофа, необходимое для расчета токов в ветвях заданной цепи, составит…

18. Количество уравнений, которые необходимо составить по первому закону Кирхгофа для заданной цепи, составляет…

Тема 4. Анализ цепей постоянного тока с одним источником энергии

1. Эквивалентное сопротивление цепи относительно источника ЭДС составит…

2. Если пять резисторов c сопротивлениями R₁= 100 Ом,

R₂ = 10 Ом, R₃= 20 Ом, R₄= 500 Ом, R₅= 1000 Ом соединены последовательно, то ток будет …

3. Внутренние сопротивления r_А, r_Б, r_В источников энергии находятся в соотношении

4. К.П.Д. η_А, η_Б, η_В источников электрической энергии находятся в соотношении …

5. Источник ЭДС работает в генераторном режиме, когда

2) ток, протекающий через источник, совпадает по направлению с ЭДС;

6. Внешняя характеристика источника ЭДС имеет вид:

1)

7. Источник ЭДС работает в режиме потребления энергии, когда

3)ток, протекающий через источник, противоположен по направлению ЭДС.

8 . Показание амперметра при U = 90 В, R = 30 Ом равно …

1) 1,5 A 2) 3 A 3) 2 А 4) 9 A 5) 1 A

9. Показание амперметра при U = 90 B, R = 30 Ом равно…

10. Показание вольтметра при U = 90 B, r = 30 Ом равно …

11. Ток I в электрической цепи при U = 10 B, E = 20 B, R = 5 Ом равен

12. Показание амперметра при R₁ = R₄ = 20 Ом, R₂ = R₃ = 30 Ом, E = 50В равно

13. Если ток I₃ = 0, E₁ = 10 В, R₁ = 2 Ом, R₂ = 4 Ом, E₂ равно…

1) 20B 2) 40B 3) 5B 4) 10B 5) 50B

14. Метод эквивалентного генератора применяют, когда необходимо определить

1) контурные токи;

2) потенциалы узлов;

3) ток в выделенной ветви;

4) частичные токи.

15. ЭДС источника энергии Е при сопротивлениях цепи R₁ = R₄ = 20 Ом, R₂ = R₃ = 30 Ом и показании амперметра 2 А равна

16. Сопротивление лампы накаливания с номинальными параметрами Uн =220В и Рн = 100 Вт равно …

17. Общее сопротивление двух ламп накаливания мощностью по 100 Вт включенных, параллельно на напряжение U = 200 В, равно …

18. Ток лампы накаливания номинальной мощностью Рн = 200 Вт, включенной на номинальное напряжение Uн = 200B, равен …

19. Напряжение сети U при падениях напряжения на соответствующих сопротивлениях U1=80B, U2=140B, U3=140B равно …

20. Ток I при потребляемой мощности Р=125 Вт и сопротивлениях цепи R1=10 Ом, R2=2 Ом, R3=8 Ом равен …

21. Показание вольтметра при U = 90 B, R = 30 Ом равно …

1)

23. Эквивалентное сопротивление R_ электрической цепи при R = 2Ом равно …

24. Эквивалентное сопротивление R_Э электрической цепи при R = 2 Ом равно …

25. Выражение для определения эквивалентного (входного) сопротивления R_Э цепи имеет вид:

1)

26. Выражение для определения эквивалентного (входного) сопротивления R_Э цепи имеет вид:

1)

27. Выражение для определения эквивалентного (входного) сопротивления R_Э цепи имеет вид:

28. Выражение для определения эквивалентного (входного) сопротивления R_Э цепи имеет вид:

2)

29. Выражение для определения эквивалентного (входного) сопротивления R_Э цепи имеет вид:

2)

30. Выражение для определения эквивалентного (входного) сопротивления R_Э цепи имеет вид:

3)

31. Выражение для определения эквивалентного (входного) сопротивления R_Э цепи имеет вид:

2)

32. Выражение для эквивалентного сопротивления R_Э электрической цепи имеет вид:

2)

33. Выражение для эквивалентного сопротивления R_Э электрической цепи имеет вид:

1)

34. Входное сопротивление R_Э электрической цепи при R1 = R2 = R3 = R4 = 50 Ом равно …

35. Входное сопротивление R_Э цепи R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 50 Ом равно…

36. Входное сопротивление R_Э электрической цепи при R1 = R2 = R3 = 50 Ом равно …

37. Входное сопротивление R_Э электрической цепи при R1 = R2 = R3 = 50 Ом равно …

38. Входное сопротивление R_Э электрической цепи при R1 = R2 = R3 = R4 = 50 Ом равно …

39. Входное сопротивление R_Э электрической цепи при R1 = R2 =0,5Ом, R₃ = R₅ = 10 Ом, R₄ =R₆ = R₇ = 5 Ом равно …

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.

Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).

При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопро-тивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.

Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и учасчках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Дополнительно по теме

• Элементы электрических цепей и схем
• Схемы замещения источников энергии
• Закон Ома для участка цепи с ЭДС
• Баланс мощностей для простой неразветвленной цепи
• Законы Кирхгофа и их применение
• Топологические графы
• Законы Кирхгофа в матричной форме
• Метод узловых потенциалов
• Метод контурных токов
• Уравнения цепи в матричной форме
• Расширенные узловые уравнения
• Преобразования в линейных электрических схемах

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.

В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.

Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).

На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I12=-I21; I13=-I31 и т.д.

Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами

Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).

Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

Например, для поверхности S (рис. 1.14,а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение , что можно также получить из уравнений (1.21) для узлов 3 и 4.

Чтобы установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех В ветвей схемы (рис. 1.13) В уравнений на основании закона Ома (1.11а):

где — сопротивление ветви, со-единяющей узлы р и у; Еру — суммарная ЭДС, действующая в ветви р — у в направлении от р к у; — потенциалы узлов р и у.

В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов В ветвей и потенциалов У узлов равняется В + У.

Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любому значению, в частности нулю. Если теперь из системы В уравнений (1.22) исключить оставшиеся неизвестными У — 1 потенциалов, то число уравнений уменьшится до В — (У — 1). Но исключение потенциалов из уравнений (1.22) приводит к уравнениям, связывающим ЭДС источников с напряжениями на резистивных элементах, т. е. к уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа.

Таким образом, число независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно В — (У- 1).

В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и ЭДС для схемы рис. 1.14, а по ( 1.126):

Сложив третье и четвертое уравнения и вычтя полученную сумму из первого, получим

Если применим второй закон Кирхгофа (1.206) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.

Аналогичным путем можно получить уравнения для других контуров:

для контура 1-3-2-1

для котуpa 2-4-3-2

Совместное решение любых пяти уравнений (1.21), (1.23) и (1.24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1.14, а. Если и результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимыми. Контуры необходимо выбрать гак. чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров — возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей. Например, контур 1-3-4-2-1 (рис. 1.14, а) можно получить из контуров 1-3-4-1 и 1-4-2-1 путем удаления ветви 1-4. Поэтому уравнение для контура 1-3-4-2-1 является следствием уравнений (1.23), (1.24а) и получается путем их суммирования. Далее будет дано наиболее общее правило выбора контуров, обеспечивающих получение независимых уравнений.

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений (1.20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения U52 (рис. 1.14, а) можно написать уравнение для контура 2-1-5-2

или для контура 5-4-2-5

откуда легко найти искомое напряжение.

Пользуясь законами Кирхгофа, написать два выражения для тока I0 в ветви с гальванометром (рис. 1.15), приняв известным в одном случае ток I, а в другом напряжение U.

На основании законов Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

Решив совместно эти уравнения, получим выражения для тока I0 при заданном напряжении U

и при заданном токе I

Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.

В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая всеми источниками мощность равна суммарной мощности приемников и мощности потерь в источниках (из-за внутренних сопротивлений)

В левой части (1.25) суммы алгебраические. Это значит, что если при заданных направлениях действия источника ЭДС (см. рис. 1.7) или тока (см. рис. 1.8) для тока I в источнике ЭДС или напряжения U12 на выводах источника тока получится отрицательное численное значение, то этот источник в действительности не разовьет мощность, а получит ее от других источников. Соответствующее слагаемое в левой части (1.25) получится со знаком минус. Если требуется найти необходимую мощность источников питания цепи, то такие слагаемые следует записать с обратным знаком в правой части (1.25).

Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

• Элементы электрических цепей и схем
• Схемы замещения источников энергии
• Закон Ома для участка цепи с ЭДС
• Баланс мощностей для простой неразветвленной цепи
• Законы Кирхгофа и их применение
• Топологические графы
• Законы Кирхгофа в матричной форме
• Метод узловых потенциалов
• Метод контурных токов
• Уравнения цепи в матричной форме
• Расширенные узловые уравнения
• Преобразования в линейных электрических схемах

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

• Принцип наложения (суперпозиции)
• Свойство взаимности
• Входные и взаимные проводимости, коэффициенты передачи
• Принцип компенсации. Зависимые источники
• Общие замечания о двухполюсниках и многополюсниках
• Линейные соотношения между напряжениями и токами
• Теорема о взаимных приращениях токов и напряжений
• Принцип эквивалентного генератора
• Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному

Методические указания по решению задач, модуль 5

Пример №1. Определить силу токов, текущих в ветвях, если e₁ = 1 В, e₂ = 2 В, e₃ = 3 В, r ₁ = 1 Ом, r ₂ = 0,5 Ом, r ₃ = Ом, R ₄ = 1 Ом, R ₅ = Ом.

Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

1. Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях (см. рис.). Если направление выбрано неверно, то в окончательном решении величина этого тока получиться отрицательной, а если верно – то положительной.
2. Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: т. А и т. С.

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа, оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, ACDA , ABCDA .

Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов. Если направление ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными. Следовательно: (если выбрать направление обхода против часовой стрелки)

Для контура ACDA : (направление обхода против часовой стрелки):

Система уравнений (1 – 3) являются замкнутой, решая эту систему находим:

Токи I ₁ и I ₂ получились отрицательными, это значит, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I ₃ положителен, следовательно, его направление выбрано правильно.

Пример №2. В схеме представленной на рисунке e₁ = 2,1 В, e₂ = 1,9 В, R ₁ = 45 Ом, R ₂ = 10 Ом, R ₃ = 10 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Применим правила Кирхгофа для данной разветвленной цепи. Наметим направления токов стрелками на схеме.

Для Узла А получим тождественное уравнение.

Для контура АВС по второму правилу Кирхгофа: .

Для контура ACD : .

(Вместо контура ACD или АВС можно было бы взять контур ABCD )

Имеем три уравнения с тремя неизвестными, т.е. система разрешима:

Þ решая эту систему, получим: I ₁ = 0,04 А; I ₂ = -0,01 А; I ₃ = 0,03 А.

Отрицательный знак у тока I ₂ указывает на то, что направление было выбрано неверно. Направление тока I ₂ в действительности будет идти от D к C , а не наоборот, как это было принято перед составлением уравнений.

Ответ: I ₁ = 0,04 А; I ₂ = -0,01 А; I ₃ = 0,03 А.

Пример №3. Три источника тока с ЭДС e₁ = 11 В, e₂ = 4 В и e₃ = 6 В и три реостата с сопротивлениями R ₁ = 5 Ом, R ₂ = 10 Ом, R ₃ = 20 Ом соединены как показано на схеме. Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.

Воспользуемся правилами Кирхгофа. Выберем произвольные направления токов. И направление обхода контуров по часовой стрелке.

Составим систему уравнений:

Пример №4. Источники тока электродвижущими силами e₁ и e₂ включены в цепь, как показано на схеме. Определить силы токов текущих в сопротивлениях R ₂ и R ₃, если e₁ = 10 В, e₂ = 4 В, а R ₁ = R ₄ = 2 Ом и R ₂ = R ₃ = 4 Ом. Сопротивлениями источников пренебречь.

Выберем направление обхода токов, как показано на рисунке, и направление обхода контуров по часовой стрелке.

Схема имеет два узла А и В. Составлять уравнения по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

Недостающие три уравнения получим по второму правилу Кирхгофа. Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый входила бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее используемых контуров.

Соответственно для контуров: AR ₁ BR ₂ A ; AR ₁ BR ₃ A ; AR ₃ BR ₄ A имеем:

Подставив в формулы (2), (3), (4) численные значения R и e получим:

Поскольку нужно найти только 2 тока, то удобно воспользоваться методом определителей. С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

Искомые значения токов найдем из выражений: и , где D – определитель системы уравнений.

D I ₂ и D I ₃ – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя D столбцами, составленных из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений:

Знак «–» у значения I ₃, свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, направление тока I ₃ было указано противоположно истинному.

Ответ: I ₂ = 0; I ₃ = –1 A ; ток I ₃ течет от узла В к узлу А.

Пример №5. На рисунке e₁ = 10 В, e₂ = 20 В, e₃ = 40 В, а сопротивления R ₁= R ₂= R ₃= R =10 Ом. Определите силу токов, протекающих через сопротивления ( I ) и через источник ЭДС ( I ‘). Внутреннее сопротивление источников ЭДС не учитывать.

Выберем направления токов.

I₃ × 10 = 20, I₂ × 10 = 30, I₁ × 10 + 3 × 10 = 40;

I ₁ ’ направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.

Ответ : I₁ = 1 A, I₂ = 3 A, I₃ = 2 A, I₁ ’ = –2 A, I₂ ’ = 0, I₃ ’ = 3 A.

Пример №6. Два источника тока ЭДС e₁ = 2 В и e₂ = 1,5 В и внутренними сопротивлениями r ₁ = 0,5 Ом и r ₂ = 0,4 Ом включены параллельны сопротивлению R = 2 Ом. Определите силу тока через это сопротивление.

Ответ: I = 0,775 А.

Пример №7. На рисунке e = 2 В, R ₁ = 60 Ом, R ₂ = 40 Ом, R ₃ = R ₄ = 20 Ом и R_G = 100 Ом. Определить силу тока I_G через гальванометр.

Ответ: I_G = –1,49 м A , направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.

Пример №8. Определить силу токов, текущих в ветвях, если E₁ = 1В, E₂ = 2В, E₃ = 3В, r₁ = 1 Ом, r₂ = 0,5 Ом, r₃ = 1/3 Ом, R₄ = 1 Ом, R₅ = 1/3 Ом. (см. рис.).

Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно, и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях. Выберем их так, как показано на рисунке. Если мы ошиблись в выборе направления какого-нибудь тока, то в окончательном решении величина этого тока получится отрицательной, если же случайно выбрано правильное направление тока, то его величина будет положительной.

Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: точки А и С. Для узла А по первому правилу Кирхгофа получим:

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа. Оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, АСDА, АВСDА. Рассмотрим контур АВСА. В этом контуре имеется две ЭДС (Е₁ и Е₂), три резистора (r₁, r₂, R₄) и два тока (I₁ и I₂). Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов. Если направления ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными.

Выберем за положительное направление обхода контура АВСА направление против часовой стрелки; ЭДС Е₁ направлена против часовой стрелки следовательно, ее считаем положительной; ЭДС Е₂ направлена по часовой стрелке (т.е. против направления обхода контура); следовательно, она войдет в уравнение второго правила Кирхгофа со знаком минус. Ток I₁ проходит через резисторы r₁ и R₄, и его направление совпадает с направлением обхода контура. Ток I₂ проходит через резистор r₂ и направлен против направления обхода. Следовательно, ток I₁ положителен, ток I₂ отрицателен. По второму правилу Кирхгофа для контура АВСА получаем:

Если выбрать за положительное направление обхода этого контура направление по часовой стрелке, то по второму правилу Кирхгофа найдем:

Получено уравнение (1), умноженное на (–1). Очевидно, что эти уравнения эквивалентны. Таким образом, сущность второго правила Кирхгофа не зависит от произвольного выбора направления обхода контура.

Рассмотрим контур АСDА. Выберем за положительное направление обхода этого контура направление против часовой стрелки. Применяя второе правило Кирхгофа, получим:

Система уравнений (1 – 2) является замкнутой. Задача физически решена. Решая полученную систему уравнений, находим:

I₁ = – A, I₂= – A, I₃ = A.

Токи I₁ и I₂ получились отрицательными. Это означает, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I₃ положителен; следовательно, его направление случайно выбрано правильно.

1. Теория: Законы Кирхгофа

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I₁ — ток, втекающий в узел , а токи I₂ и I₃ — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I₂ и I ₃ в левую часть выражения (1), тем самым получим:

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E₁=12 в и E₂=5 в , с внутренним сопротивлением источников r₁=r₂=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

так как I₁ и I ₂ втекают в узел А , а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

Для внутреннего левого контура:

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

12 = 0,1I₁ +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I₂

12 = 0,1I₁ + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

12 = 0,1I₁ + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I₁– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I₁ + 4I₁ – 140.

12 + 140= 4,1I₁

Теперь в выражение I = 2I₁– 70 подставим значение

I₁=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I₂=I — I₁

I₂=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I₂ означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I ₂ вытекает из узла А .

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!