Касательные напряжения при косом изгибе

Наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе

Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения длиной l, нагруженную вертикальной силой P (рис. 9.1). Главная центральная ось балки (ось симметрии) y составляет некоторый малый угол с направлением действия нагрузки (наличие технологического брака).

Разложим силу P на составляющие: .

Воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим отдельно действие каждой составляющей.

Нагрузки и вызывают в поперечном сечении, расположенном на некотором расстоянии z от правого конца балки, изгибающие моменты:

Оба изгибающих момента будут наибольшими в жесткой заделке:

Формула суммарных нормальных напряжений при косом изгибе в произвольном поперечном сечении балки для некоторой точки с координатами x и y:

,

где – главные моменты инерции; h – высота, а b – ширина поперечного сечения балки. Значения изгибающих моментов и координат исследуемой точки подставляются в формуле нормальных напряжений при косом изгибе по абсолютному значению, а знак каждого из слагаемых определяется по физическому смыслу.

Наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе возникнут в поперечном сечении, расположенном в жесткой заделке, в наиболее удаленных от соответствующих нейтральных осей точках 1 и 2:

.

В точке 1 напряжения будут растягивающими: ,

а в точке 2 – точно такими же по величине, но сжимающими: .

В формулах максимальных нормальных напряжений при косом изгибе – осевые моменты сопротивления балки относительно главных центральных осей инерции.

Касательные напряжения при косом изгибе

Косой изгиб

— Что называется сложным сопротивлением?

— Что называется сложным изгибом? Что собой представляет изогнутая ось балки при действии сложного изгиба? Какие внутренние силовые факторы при этом возникают в поперечных сечениях балки?

— Какой случай изгиба называется косым изгибом?

— Возможен ли косой изгиб при чистом изгибе?

— В каких случаях возникает косой изгиб?

— Как вычисляются нормальные напряжения в точках поперечного сечения при косом изгибе с помощью принципа сложения действия сил?

— В каких точках поперечного сечения возникают наибольшие напряжения при косом изгибе?

— Записать формулу для определения нормальных напряжений в поперечных сечениях балки при косом изгибе. Почему в прочностных расчётах не учитывают касательные напряжения?

— Записать формулу для определения положения нейтральной линии при косом изгибе?

— Как взаимно ориентированы силовая и нейтральная линии при косом изгибе? Записать формулу?

— Как определяется значение полного прогиба при косом изгибе?

— Как определяются деформации при косом изгибе?

— Может ли балка круглого поперечного сечения испытывать косой изгиб?

— Почему в точках сечения одинаково удаленных от нейтральной линии напряжения должны быть одинаковы?

— Что собой представляет нейтральная линия?

— Как записывается уравнение нейтральной линии?

— Через какую точку сечения проходит нейтральная линия при косом изгибе и что она делает с этим сечением?

— Применимо ли определение “косой изгиб” для балки круглого поперечного сечения? Обоснуйте.

— Проходит ли нейтральная ось при косом изгибе через центр тяжести сечения? Обоснуйте.

— Какие точки сечения будут опасными при косом изгибе?

— Как определяют перемещения при косом изгибе?

— Как определяется угол наклона нейтральной линии?

— Показать почему балки квадратного и круглого сечения не испытывают косого изгиба.

— Косой изгиб. Вычисление напряжений. Нулевая линия.

— Косой изгиб. Вычисление перемещений.

— Кручение с плоским изгибом. Вычисление напряжений.

— Кручение с косым изгибом. Вычисление напряжений.

— Кручение с косым изгибом. Расчет вала круглого сечения.

— Кручение с косым изгибом. Вычисление диаметра вала по различным теориям прочности.

Онлайн-калькулятор «Косой изгиб, подбор сечения»

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Совместное действие нормальных и касательных напряжений при косом изгибе балки

При проверке на совместное действие нормальных и касательных напряжений по формуле 44 СП 16.13330.2011 при косом изгибе балки из двух составных двутавровых профилей соединённых горизонтальными и вертикальными связями

мне не вполне удалось разобрался с применением некоторых пояснений СП к указанному условию. Так σу определяется как «то же(что и σх в смысле определяемое аналогичным образом? прим.), перпендикулярное продольной оси балки, в том числе σloc».
Получается, что если определять σу аналогичным σх способом т.е. для указанного сечения как σy=M y_max*b c /I y + σloc, то напряжения первого слагаемого σy не будут перпендикулярны продольной оси балки (будут параллельны), и складывать их с перпендикулярными оси местными напряжениями σloc будет не верно.
Если же предположить, что σy и есть σloc(как и принято в некоторых примерах расчетов), то как понимать слова «в том числе σloc» предполагающие что σloc являются лишь составляющей частью σy и как учитывать нормальные напряжения в стенке балки от горизонтальных сил совместно с напряжениями от вертикальных сил, и касательными напряжениями?

Просмотров: 9685
Регистрация: 15.09.2010
Сообщений: 1,287

СНиП II-23-81* «Стальные конструкции». Стр. 12, пункт 5.14*, формула 33:
(σx^2-σx*σy+σy^2+3*τxy^2)^0.5 Если правую часть данной формулы закинуть в знаменатель левой части, то в числителе левой части получится диковинный коэффициент 0,87 (1/1,15=0.869565217). Здорово переделали формулу учёные товарищи, нечего сказать.
σy в старом СНиПе были, наверное, вертикальные напряжения в стенке балки от прямого, непосредственного действия нагрузки.
«То же», видимо, надо понимать как нормальные напряжения в срединной плоскости стенки балки, перпендикулярные оси балки.
Один дядька из НИИЖБа получал σy тупым делением вертикальной погонной нагрузки q на толщину стенки. Никаких My_max*bc/Iy при этом не использовал.
То, что Вы посчитали как σy — то же что и σx, но от горизонтальной погонной нагрузки на балку. А Iy Вам придётся считать уже как составное сечение: два связанных двутавра из горизонтальной плоскости.
А σloc — напряжения от сосредоточенных воздействий. Ну, к примеру, если у Вас на балку опирается подребрённая плита: погонная нагрузка от самой плиты приводит к σy, а сосредоченная от второстепенных балок-рёбер приводит к σloc.

Регистрация: 11.03.2009
Сообщений: 109

В старом СНиПе действительно проверка суммарного напряжения в стенке балки от совместного действия нормальных и касательных напряжений проводилась только для прямого изгиба, в новом — не понять. Логика подсказывает мне, что независимо от указаний СНиПа, проверка на совместное действие нормальных касательных напряжений при косом изгибе будет не лишней. В данном случае, как я понимаю, за нормальные напряжения σx нужно принять суммарные нормальные напряжения от действия вертикальной и горизонтальной нагрузок, а также принять предпосылку, что касательные и локальные напряжения от горизонтальной нагрузки воспринимаются полками двутавров и на рассчитываемую стенку влияния не оказывают.

Регистрация: 15.09.2010
Сообщений: 1,287

Как раз стенка и воспринимает львиную долю и касательных, и локальных напряжений (ну, от вертикальной нагрузки). А от горизонтальной — тут уже полки становятся стенками (и наоборот).
1. Считаете момент инерции относительно горизонтальной оси одного двутавра.
2. То же, двух. В Вашем случае (одинаковые двутавры с одинаковыми полками на одном уровне) значит помножить на два.
3. Считаете нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости.
4. Считаете статический момент полусечения всего сечения.
5. Считаете статический момент верхних полкок относительно нейтральной оси.
6. Считаете в обоих местах τ=Q*S/(I*t) 7. Смотрите тау по оси балки
8. Если балка неразрезная, то считайте момент на опоре и сигму икс в данном месте,»тау под полкой» вставляете в формулу №33 старого СНиП. И сигму y. Сигма лок тоже туда входит, если рядом с опорой как назло есть ещё и «сосредоточка». Один мужик разрешал её не учитывать, если до проверяемого места не менее какого-то расстояния. Расстояние это я сейчас точно не помню. Тут Вам в помощь Mysopromat.ru.
Сигму лок считайте по формуле 31 пункта 5.13 старого СНиП.
Это только для напряжений от вертикальной составляющей нагрузки. Потом примерно то же самое надо повторить для горизонтальной. Единственная радость: для замкнутых сечений старый СНиП милостливо разрешил ФИ балочное принять равным единице. Хотя трудно сказать, можно ли Ваше сечение считать замкнутым.

Регистрация: 10.09.2007
Сообщений: 10,592

Offtop: Вроде все и так ясно — это голый сопромат, главное не забывать, что напряжения для проверки берут для оной точки, а не максимальные по сечению.

Регистрация: 11.03.2009
Сообщений: 109

Может быть я не совсем понятно выразил свои мысли. Перечислю предпосылки:
1. Необходимые геометрические характеристики составного сечения нам известны(мы их рассчитали) и мы понимаем, как и зачем мы это сделали.
2. Мы знаем(рассчитали) нормальные напряжения в искомой точке (примыкающие к полкам точки стенки, далее «точка») от действия вертикальной и горизонтальной нагрузок(отдельно). Чтобы получить результирующее нормальное напряжение мы их сложили. Результирующее нормальное напряженые мы будем вводить в формулу 33 СНиПа вместо σx.
3. Мы знаем(рассчитали) касательное напряжение τ ху в от вертикальной нагрузки, а касательным напряжением в точке от горизонтальных нагрузок пренебрегаем.
4. Мы суммировали, напряжения σloc от сосредоточенной и σy_расп от распределённой вертикальной нагрузки в σy (мы бы вообще не стали их разделять, если бы напряжения от сосредоточенной нагрузки несколько не уменьшались, распределяясь через полку по трапеции). Аналогичными напряжениями от горизонтальных нагрузок для рассчитываемой точки сечения мы также пренебрегаем.
Подствляем всё это в формулу 33 СНип или в формулу 44 СП (как вы правильно заметили, они отличаются только оформлением) и получаем искомые напряжения в точках от совместного действия нормальных и касательных напряжений при косом изгибе.
Или я не вполне прав?
Offtop: P.S. Что напряжения мы берём в данной точке, а не максимальные, мы конечно же не забыли(нам СНиП не дал).

Регистрация: 18.05.2011
Сообщений: 397
Capiton

как понимать слова «в том числе σloc» предполагающие что σloc являются лишь составляющей частью σy

Так и понимать. Там дальше нарисованы варианты возникновения σloc и показано как его считать, но это не исчерпывает всех возможных случаев нагружения, вызывающих σloc. Например вертикальная нагрузка, передаваемая через дополнительные элементы, приваренные к полке и/или стенке. Посмотрите дальше подкрановую балку — там видно, как σloc оказываются составляющей частью σy. В любом случае σy — это напряжение, действующее в стенке (в полке оно пренебрежимо мало) по вертикальной оси.

как учитывать нормальные напряжения в стенке балки от горизонтальных сил совместно с напряжениями от вертикальных сил, и касательными напряжениями?

Нормальные напряжения при косом изгибе со стесненным кручением — формула (106) СП16.
Определение касательных напряжений в сложном составном сечении — это более сложная задача и в общем случае по формуле не получится, приходится использовать численные методы, хотя для некоторых (в т.ч. два двутавра, сваренные в короб) можно и формулы найти. Ну, а после того, как получены в некоторой точке нормальные и касательные напряжения, проверка производится по той самой формуле СП, котору Вы приводите.

8.1. Косой изгиб

Косой изгиб – частный случай сложного сопротивления, при котором силовая плоскость не совпадает с главными плоскостями инерции. Рис. 8.1. При въезде автомобиля на наклонную плоскость линия действия силы F не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки В общем случае косого изгиба в поперечных сечениях возникают четыре внутренних усилия: две поперечные силы Qz, Qy и два изгибающих момента Mz, My. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость при расчете длинных балок часто пренебрегают ввиду их малости. Так, для прямоугольника и круга соответственно В дальнейшем будем учитывать только изгибающие моменты. Напряжения при косом изгибе Изгибающий момент М (рис. 8.3, а) в сечении раскладывают на две его составляющие, действующие в главных плоскостях инерции От каждого из внутренних усилий возникают нормальные напряжения, приложенные к одной паре площадок. Две другие пары площадок свободны от напряжений. Имеет место линейное напряженное состояние. Нормальные напряжения в произвольной точке с координатами z, y определяют суммой напряжений от моментов Mz, My (рис. 8.3, в): Из рисунка следует, что опасными являются точки, в которых складываются напряжения с одним знаком, то есть точки A и C: Рис. 8.2. В начале движения мостового крана вдоль пролета цеха, и при его торможении возникает горизонтальная сила вследствие инерции груза Правила знаков: из анализа знаков напряжений (рис. 8.3, г) следует, что для получения верного результата по формулам (8.1) и (8.2) необходим как учет знака изгибающего момента, так и выбор (назначение) направления координатных осей в сечении. Направление координатных осей следует выбирать так, чтобы в первом квадранте координатной системы z0y (где z > 0; y > 0) изгибающий момент вызывал растягивающие напряжения. Рис. 8.4. Примеры выбора направления координатных осей при косом изгибе Рис. 8.3. Взаимное положение силовой плоскости и главных плоскостей инерции при косом изгибе (а); внутренние усилия в произвольном сечении бруса (б); характер распределения напряжений в произвольном сечении бруса (в); напряженное состояние в произвольных точках поперечного сечения бруса (г) Нейтральная линия при косом изгибе В уравнении (8.2), связывающем напряжение в произвольной точке с ее координатами, переменными являются координаты z, y. Поскольку они в первой степени, то, следовательно, напряжения распределяются по линейному закону и должна быть линия, на которой напряжения равны нулю. Нейтральная линия (нейтральная ось) – геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю. Приравняв (8.2) нулю получают уравнение нейтральной линии вида y = k ⋅ x + b: то есть уравнение прямой с угловым коэффициентом где собственно угловой коэффициент вычисляют Анализ уравнений (8.3), (8.4) 1. Свободный член уравнения (8.3) равен нулю, следовательно, прямая проходит через начало координат. Нейтральная линия разделяет сечение на сжатую и растянутую области. 2. Углы α и β в уравнении (8.4) имеют разные знаки, следовательно, силовая и нейтральная линии лежат в разных плоскостях. Углы α и β откладывают в одном направлении, но от разноименных осей (см. рис. 8.3, в). 3. Углы α ≠ β, следовательно, силовая F-F и нейтральная линии не перпендикулярны (см. рис. 8.3, в). Рис. 8.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и график прямой линии, известные из школьного курса Расчет на прочность при косом изгибе Поскольку напряженное состояние линейное (рис. 8.3, г), результаты расчета по любой из гипотез прочности совпадают. Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Их положение определяют графически после построения нейтральной линии (рис. 8.3, в). Условие прочности, вытекающее из уравнения (8.1): Условие прочности, вытекающее из уравнения (8.2): то есть такое же как при плоском изгибе, но с множителем в скобках большим единицы. Выполняют три вида расчетов: поверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки. Проектный расчет. Требуемый размер поперечного сечения находят из условия прочности (8.6): Искомый параметр находится по обе стороны от знака неравенства. Полученное уравнение – трансцендентное, то есть не могущее быть выраженным алгебраическим выражением. Такие уравнения решают методом итераций, то есть методом последовательных приближений. Для стандартного прокатного профиля (двутавра, швеллера…) отношение Wz Wy зависит от размеров профиля. Так, для двутавров от № 10 до № 60 отношение Wz Wy изменяется в диапазоне от 6,12 до 14,07. Поэтому в первом приближении принимают среднее число из указанного диапазона (например, 10). Подбирают профиль, а затем выполняют поверочный расчет. Следующая проба – уточненная. Перегрузку выше 5 % не допускают. Пример 8.1. Подобрать размер двутавра для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой. Дано: q = 5 кН/м; α = 10°; ℓ = 2 м; [σ] = 200 МПа. Решение. Из условия прочности при косом изгибе: требуемый момент сопротивления Принимаем двутавр № 18: Wz = 143 см3; Wy = 18,4 см3. Поверочный расчет: 0,174 163 МПа Недогрузка 100 18,2 % Принимаем двутавр № 16: Wz = 109 см3; Wy = 14,5 см3. Поверочный расчет: 0,174 210 МПа Перегрузка 100 5 % Такая перегрузка допустима. Напряжения при плоском изгибе, то есть при α = 0 Сопоставление напряжений при косом и плоском изгибах: Вывод: напряжения при косом изгибе больше, чем при плоском изгибе в 2,29 раз. Косой изгиб опаснее плоского. Пример 8.2. Подобрать размеры поперечного сечения деревянной балки с отношением высоты к ширине с = h/b = 2 . Дано: F = 2 кН; α = 30°; ℓ = 3 м; [σ] = 10 МПа. Решение. Из условия прочности при косом изгибе: требуемый момент сопротивления С другой стороны, Из эпюры моментов Mmax= F·ℓ = 2·3 = 6 кН·м. Тогда Принимаем: b = 0,12 м, h = 0,24 м. Выполняем поверочный расчет: Вывод: косой изгиб опаснее плоского. Пример 8.3. Подобрать размеры прямоугольного сечения балки с отношением высоты к ширине h/b = 1,6. Материал балки сталь 40 (σт = 340 МПа). Дано: F = 10 кН; q = 30 кН/м; а = 1,3 м; с = 1,5 м. Решение. Имеем разновидность косого изгиба, при котором оба силовых фактора действуют в разных главных плоскостях инерции (рис. а). Внутренние усилия определяем методом сечений (рис. б и в), начиная со свободного конца, чтобы избежать процедуры определения опорных реакций в защемлении (в общем случае их шесть). Результаты расчета заносим в таблицу и строим эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях (рис. г, д). Опасным оказалось сечение в защемлении. При этом изгибающий момент от силы F вызывает растяжение в точках В и С, сжатие – в точках A и D. Распределенная нагрузка деформирует балку так, что растягивающие напряжения возни- кают в точках A и B, сжимающие – в точках C и D. Опасными являются точки, в которых складываются напряжения с одним знаком: точки В и D. Условие прочности имеет вид: где изгибающие моменты а моменты сопротивления Назначим допускаемое напряжение, выбрав [nт] из диапазона [nт] = 1,3-2,3 Перепишем условие прочности в виде: откуда требуемое значение ширины сечения 0,0989 м; Принимаем: ширина сечения b = 0,1 м, высота сечения h = 1,6·0,1= 0,16 м. участок II участок усилия 0 ≤ x ≤ a 0 ≤ x ≤ c Деформация балок при косом изгибе С использованием универсального уравнения упругой линии (метода начальных параметров) или энергетического метода для некоторых случаев плоского изгиба найдено максимальное значение прогиба – стрела прогиба f. Деформацию балок при косом изгибе определяют путем геометрического сложения векторов прогибов в направлениях главных центральных осей инерции. Так, для первого из приведенных выше примеров Величину полного прогиба определяют: то есть так же, как и при плоском изгибе, но с множителем (корнем), большим единицы. Положение плоскости изгиба (направление перемещения центра тяжести сечения) определяется углом γ: Из сопоставления формул (8.8) и (8.4) следует, что нейтральная плоскость и плоскость изгиба взаимно перпендикулярны (tg γ = –tg β) и не совпадают с силовой плоскостью: Пример 8.4. (Беляев Н. М. Сборник задач. № 6.9) При установке на опоры двутавра № 60, предназначенного для работы на изгиб в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка, и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол α = 1°. Определить связанное с этим увеличение нормальных напряжений и полного прогиба двутавра. Решение Для двутавра № 60: Wz = 2560 см3; Wy = 182 см3; Iz = 76806 см4; Iy = 1726 см4. Сопоставим максимальные напряжения при косом и плоском изгибах В случае плоского изгиба балка прогибается в вертикальном направлении на величину fy. При косом изгибе величина полного прогиба От вертикального направления балка отклоняется на угол, определяемый как Увеличение полного прогиба составит: Ответ: напряжения увеличились на 24,5, а полный прогиб – на 26,6 %.

• Главная
• Заказать работу
• Онлайн калькулятор стоимости работы