Пересечение конуса и цилиндра

Лекция 8. Пересечение кривых поверхностей

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты . Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

В общем случае кривые поверхности второго порядка (цилиндр, конус, сфера) пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Эта лекальная кривая строится по точкам.

В общем случае эти точки находятся как точки пересечения образующих одной поверхности с образующими другой, а потом точки последовательно соединяют линией с учётом видимости.

8.1. Частные случаи

Теорема Монжа 1 . Две поверхности, описанные вокруг общей сферы, пересекаются по двум плоским кривым (Рисунок 8.1).

Крайние образующие цилиндров пересекаются в точках 1, 2, 3, 4.
Цилиндры пересекаются по эллипсам.

Крайние образующие пересекаются в точках 1, 2, 3, 4.

Теорема Монжа 2 . Если две пересекающиеся поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, параллельную некоторой плоскости проекций, то на эту плоскость проекций линия их пересечения проецируется в кривую второго порядка. Если это условие не выполнено, то – в кривую четвертого порядка. Эту плоскость называют плоскостью параллелизма .

Рассмотрим четыре примера пересечения тел вращения, у которых оси вращения лежат в одной плоскости, параллельной плоскости проекций π₂ (Рисунок 8.4). Следовательно, данная плоскость является плоскостью симметрии пересекающихся тел, параллельная плоскости проекций π₂. Это означает, что линия пересечений тел проецируется на плоскость проекций π₂ как кривая второго порядка – парабола.

8.2. Алгоритм построения точек кривой пересечения двух поверхностей

1. Выполним анализ кривых пересечения цилиндра и конуса (Рисунок 8.5): у данных тел есть общая плоскость симметрии, параллельная плоскости проекций π₂, следовательно, (согласно второй теореме Монжа) на π₂ кривые пересечения тел 4-го порядка проецируются в виде кривых второго порядка. Поскольку при этом получается две ветви, следовательно, это будет гипербола.
2. Строим характерные точки: пересечение крайних образующих на π₂ цилиндра и конуса, точки 1, 2, 3, 4.
3. Для нахождения точек, лежащих на крайних образующих на π1 цилиндра, введём плоскость σ⊥π2 и σ//π1 проходящую через фронтальную проекцию оси вращения цилиндра. В результате данная плоскость пересечет цилиндр по крайним образующим, а конус – по окружности радиусом Rσ. Построенные на π1 сечения пересекутся в точках 5, 6, 7, 8. По линии проекционной связи строим их фронтальные проекции.
4. Для построения самых близких друг к другу точек кривой на π2 введём плоскость γ⊥π3, проходящую через вершину конуса и касательную к цилиндру. Данная плоскость пересечёт конус по треугольнику SAB. Построив образующие конуса SA, SB и цилиндра 11-12, на их пересечении определим точки 11, 12. Точки 9, 10 построим симметрично точкам 11 и 12.
5. Для построения дополнительных промежуточных точек, можно ввести вспомогательные секущие плоскости (посредники) параллельно σ.

Рисунок 8.5 – Построение линии пересечения конуса и цилиндра

На анимации ниже представлена последовательность построения линии пересечения конуса и цилиндра.

Рисунок 8.6 – Последовательность построения линии пересечения конуса и цилиндра

8.3. Задачи для самостоятельной работы

1-2. Построить линию пересечения поверхностей вращения (Рисунки 8.7, 8.8).

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты . Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

• Главная ›
• Начертательная геометрия ›
• Лекции ›
• Лекция 8. Пересечение кривых поверхностей

Построение линии пересечения конуса вращения с цилиндром вращения

Для нахождения точки пересечения 3 рассекаем обе поверхности горизонтальной плоскостью гамма. Сечением конуса является окружность, сечением цилиндра – прямоугольник. В их пересечении находим точки 3.

Аналогичным способом определяем дополнительные точки пересечения 4, 5 и 6.

По определенным точкам строим линию пересечения конуса и цилиндра.

№ вар.	ХK	YK	ZK	R	h	XE	YE	ZE	R	Цена	в корзину	№ вар.
1	80	70	0	45	100	50	70	32	35	60 руб.	в корзину	1
2	80	70	0	45	100	50	70	32	30	60 руб.	в корзину	2
3	80	72	0	45	100	53	72	32	32	60 руб.	в корзину	3
4	80	72	0	45	100	60	72	35	35	60 руб.	в корзину	4
5	70	70	0	44	102	50	70	32	32	60 руб.	в корзину	5
6	75	70	0	45	98	65	70	35	35	60 руб.	в корзину	6
7	75	70	0	45	98	70	70	35	35	60 руб.	в корзину	7
8	75	72	0	45	98	75	72	35	35	60 руб.	в корзину	8
9	75	72	0	43	98	80	72	35	35	60 руб.	в корзину	9
10	75	75	0	44	102	50	75	35	35	60 руб.	в корзину	10
11	80	75	0	43	102	85	75	36	36	60 руб.	в корзину	11
12	80	75	0	43	102	85	75	40	35	50 руб.	в корзину	12
13	80	75	0	42	102	80	75	40	35	60 руб.	в корзину	13
14	80	70	0	42	102	80	70	40	32	60 руб.	в корзину	14
15	80	70	0	42	100	75	70	40	32	60 руб.	в корзину	15
16	70	72	0	43	100	75	72	42	32	60 руб.	в корзину	16
17	70	72	0	44	100	70	72	40	32	60 руб.	в корзину	17
18	70	74	0	44	100	70	74	36	32	60 руб.	в корзину	18

Пересечение конуса и цилиндра.

1. Оси конуса и цилиндра скрещиваются под прямым углом и параллельны плоскости П₂ (фиг.342,а). Ось вращения конуса перпендикулярна плоскости П₁ .
В данном случае наиболее удобно применить вспомогательные горизонтальные секущие плоскости.
Горизонтальные и фронтальные проекции характерных точек С, D, E, F линии пересечения контурных образующих цилиндра находят при помощи горизонтальных секущих плоскостей x₁, x₂, x₃ . Горизонтальные проекции соответствующих параллелей конуса — окружности — пересекают горизонтальные проекции образующих цилиндра в точках С₁, D₁, Е₁ и F₁ . Эти точки являются горизонтальными проекциями характерных точек; фронтальные проекции С₂, D₂, Е₂ и F₂ этих точек найдены при помощи вертикальных линий связи; они лежат на проекциях λ 1 ₂, λ 2 ₂, λ 3 ₂ .

Характерные точки на контурной образующей PR конуса находят при помощи пересечения прямой (ее профильной проекции) с окружностью — профильной проекцией основания цилиндра (точки А₃, В₃ ).
По этим профильным проекциям искомых точек находят сначала их фронтальные проекции A₂ и В₂ , а потом горизонтальные проекции А₁ В₁ (построение видно из чертежа).
Проекции промежуточных точек K, H, N и М ( К₁, H₁, N₁, М₁ и К₂, Н₂, N₂, M₂ ) находят при помощи вспомогательных горизонтальных плоскостей λ 4 и λ 5 (фиг.342,б).
Найденные горизонтальные и фронтальные проекции всех точек соединяют плавной кривой и получают искомые проекции линии пересечения. Заметим, что фронтальные и горизонтальные проекции контурных образующих цилиндра явятся границами между видимой частью линии пересечения и невидимой.
2. Для построения аксонометрической проекции (диметрии) пересекающихся поверхностей конуса с цилиндром сначала строят диметрическую проекцию усеченного конуса и основание цилиндра (фиг.343,а);

потом на контуре основания цилиндра наносят точки, пользуясь размерами а , а 1 и b , b 1 . Через эти точки проводят образующие и на них откладывают соответствующие длины образующих до поверхности конуса; получают точки Е’, N’, С’, . . .,Н’ . Затем эти точки последовательно соединяют плавной кривой, которая явится диаметрической проекцией линии пересечения (фиг.343,б).

Пересечение конуса и цилиндра

Пошаговый алгоритм решения задачи №8 — построение линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра

Необходимо построить линию пересечения поверхностей вращения — конуса с цилиндром вращения. Оси вращения данных поверхностей расположены взаимно перпендикулярно и являются проецирующими соответственно плоскостей проекций.

Для решения такой задачи по начертательной геометрии необходимо знать:

— построение поверхностей вращения на комплексном чертеже
по заданным координатам точек;

— частные случаи пересечений конуса и цилиндра вращения проецирующей плоскостью;

— метод секущей плоскости для построения линии пересечения
поверхностей.

Порядок решения Задачи

1. В правой части листа бумаги формата A3 согласно варианту задания строятся очерки поверхностей конуса и цилиндра вращения в горизонтальной и фронтальной проекциях.

Рис.8.1

Рассматривая полученный чертеж, нетрудно заметить, что линия пересечения данных поверхностей уже имеется во фронтальной плоскости проекций, т.е. она задана исходным чертежом, выделяем ее красным цветом (искомая линия). Таким образом, для решения задачи остается спроецировать (перенести) ее на горизонтальную плоскость.

2. Построение линии пересечения начинаем с отметки опорных точек. Это точки, выше (ниже) которых правее (левее) нет линии пересечения, заметим, кстати, что линия пересечения может располагаться только в местах, одновременно принадлежащих обоим поверхностям.

Опорными точками на фронтальной проекции будут 1’ и 6’. Нахождение их на горизонтальной проекции не представляет затруднений. Они будут находиться на крайних образующих конуса, которые проецируется на эту плоскость прямой линией Sb. Перенеся их по линиям связи, получаем 1 и 5 (рис.8.2.а).

Рис.8.2

3. Далее, применяем метод секущей плоскости, которую можно проводить через определенный интервал или через характерные точки линии пересечения, проводим первую секущую плоскость ’ через точку 2’. Из частных случаев известно, что если секущая плоскость во фронтальной проекции пересекает конус перпендикулярно оси вращения, то в горизонтальной плоскости сечение будет в виде окружности с радиусом, взятым от оси вращения до очерка поверхности (крайней правой или левой образующих). Проводим указанную окружность данного радиуса R_a в горизонтальной плоскости, ставя ножку циркуля в центр конической поверхности. Поскольку точка 2 одновременно принадлежит конической и цилиндрической поверхности и находится в секущей плоскости, то ее горизонтальная проекция должна находиться в пересечении горизонтальных проекций от секущей плоскости по конусу и цилиндру.

Уже отмечалось, что горизонтальная проекция от секущей плоскости, по конусу — окружность; а по цилиндру — прямая линия, т.к. секущая плоскость проходит параллельно оси вращения цилиндра.

Тогда из проекции точки 2’ проводим линию связи (прямую линию сечения цилиндра) пересечения ее с окружностью и получаем горизонтальные проекции точки 2. Очевидно, что проекций точки будут две: одна — на лицевой стороне конуса 2 (нижняя точка в горизонтальной плоскости проекций), вторая — на тыльной стороне поверхности конуса 2₁ (верхняя точка в горизонтальной плоскости проекций) (рис.8.2.б).

4. Точно таким же способом находим горизонтальные проекции остальных точек 4 и 5, т.е. через их фронтальные проекции проводим секущие плоскости, в горизонтальной плоскости проекций — соответствующие окружности, на которые проецируем указанные точки (рис.8.3 — б).

5. Полученные горизонтальные проекции точек соединяем последовательно плавной линией с учетом видимости, которая определяется относительно обоих поверхностей. Видимость по конусу будет полной, поскольку в горизонтальной проекции любая точка, лежащая на ее поверхности будет видимой. Видимость по цилиндру определяется таким образом, что все точки, находящиеся выше диаметра цилиндра на фронтальной проекции, будут видимыми на горизонтальной проекции, а все точки, находящиеся ниже диаметра цилиндра на фронтальной проекции — на горизонтальной будут невидимыми (рис.8.3 -б).

Итак, в горизонтальной плоскости точки 1, 2, 3 будут видимыми, а точки 4, 5, 6 будут невидимыми, в точке 3 (3; 3₁) происходит смена видимости. Соединяя видимые точки контурной линией, а невидимые пунктирной, получаем искомую линию пересечения заданных поверхностей.

Рис.8.3

В заключение отметим два замечания:

1. В практике и в вариантах заданий встречаются так называемые полные и неполные пересечения поверхностей. При неполном пересечении, когда одна поверхность не полностью пересекает другую ( в нашем случае) линия пересечения есть одна замкнутая петля; при полном пересечении, когда одна поверхность полностью пересекает другую, линия пересечения распадается на несколько замкнутых ветвей и их будет столько, сколько полных пересечений участков заданных поверхностей. В предлагаемых вариантах заданий рассматриваются задачи с 2-3 петлями линии пересечений. Построение их такое же, как и рассмотренное построение (рис.8.4)

Рис.8.4

2. Предлагаемые задачи на пересечение поверхностей могут быть решены методом образующих, когда через заданную линию пересечения поверхностей проводится ряд образующих, отмечаются точки пересечения этих образующих с заданной линией пересечения, затем эти образующие вместе с точками на них проецируются на сопряженную плоскость проекций.

Раздел: Начертательная геометрия /

• Рекомендуем
• Комментарии
• Наши товары

Начертательная геометрия -чертежи д

Читать далее

Эпюры и чертежи по начертательной г

Читать далее

Начертательная геометрия — че

Читать далее

Пошаговое решение домашнего задания

Читать далее