Пересечение сферы и конуса

Пересечение поверхностей конуса и сферы

В предыдущем видеоуроке мы построили Пересечение конуса и цилиндра с использованием вспомогательных секущих плоскостей. В этом видеоуроке мы также будем использовать этот метод, но только уже для пересечения конуса и сферы.

Примечание

Решение задач по начертательной геометрии я произвожу в системе автоматизированного проектирования Автокад и Автокад 3D. Данный прием обучения позволит развить пространственное мышление и закрепить владение Автокад.

Алгоритм решения задачи на пересечение поверхностей конуса и сферы

• Определяем точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой, затем второй поверхности с первой.
• Определяем наивысшие и наинизшие точки линий пересечения конуса и сферы.
• Определяем промежуточные точки линии пересечения конуса и сферы.
• Все найденные точки пересечения последовательно соединяем сплайном, учитывая их видимость.

Более подробно в видеоуроке по начертательной геометрии в Автокад

Чертежик

Пересечение конуса и сферы в данной статье выполняется методом вспомогательных секущих плоскостей. Ниже представлено задание на определение линии пересечения фигур.

Порядок построения на пересечение конуса и сферы:

Первоначально находятся точки в нижнем изображении, затем полученные точки переносятся в верхнее изображение.

1.) Чертятся фигуры согласно заданию.

2.) Строятся и подписываются вспомогательные секущие плоскости. Можно указать первую точку, она находится в верхней части соприкосновения фигур. Смотрите на рисунок снизу.

3.) Плоскость «а» пересекает две фигуры (обозначено синим цветом). Чертятся окружности (синим цветом показаны) на нижнем изображении, опущенные от крайних точек фигур. В месте пересечения ставятся точки.

4.) Плоскость «m» (имеет сиреневый цвет) пересекла данные фигуры. В нижнем изображении также чертятся окружности (сиреневый цвет) и в месте пересечения указываются точки.

5.) Плоскость «n». Повторяются операции выполняемых в пунктах 4 и 3.

6.) Указывают последнюю точку, расположенная в нижней части пересечения фигур

7.) Все найденные точки переносятся из нижнего изображения в верхнее. Для более понятного представления я не зря показал линии разными цветами.

8.) Соединяются точки плавной линией. Соединив, можно уже увидеть как выглядит линия пересечения.

9.) Завершающим шагом является удаление всех дополнительных линий с последующим обведением контуров фигур.

Не стоит забывать про видимые и невидимые линии чертежа и их применение.

Кода все сделано, можно взглянуть на полученный чертеж.

Пересечение конуса и шара.

I. Ось шара и ось вращения конуса перпендикулярны плоскости П₁.
Фронтальные проекции характерных точек А и В определяются пересечением фронтальных проекций контурных образующих конуса с проекцией главного меридиана поверхности шара.
Фронтальные и горизонтальные проекции характерных точек определяются при помощи введения вспомогательной профильной плоскости θ . Эта плоскость рассекает сферу по окружности (радиус R ), проекция которой, пересекаясь с профильными проекциями контурных образующих конуса, дает точки С₃ и D₃ — профильные проекции характерных точек.
По этим профильным проекциям точек находят их горизонтальные и фронтальные проекции С₁ и D₁ С₂ и D₂ (фиг.344,а).

Проекции промежуточных точек Е, F, М, К, Р и Q определяются при помощи ряда вспомогательных горизонтальных плоскостей λ 1 , λ 2 , λ 3 . Эти плоскости пересекут каждое тело по соответствующей окружности — параллели, которые, пересекаясь между собой, определяют точки, одновременно принадлежащие поверхности шара и поверхности конуса, а следовательно, и линии пересечения.
Горизонтальные проекции параллелей конуса проведены из точки O 1 ₁ , а шара из точки O₁ .
Пересечения этих параллелей определяют горизонтальные проекции Е₁, F₁, М₁, Q₁, Р₁ и К₁ точек линии пересечения. Фронтальные проекции Е₁, F₁, М₁, Q₁, Р₁ и К₁ этих точек, найденные при помощи вертикальных линий связи, лежат на проекциях λ 1 ₂, λ 2 ₂, λ 3 ₂ .
Найденные как горизонтальные, так и фронтальные проекции всех точек соединяют плавными кривыми и получают искомые проекции линии пересечения (фиг.344,б).
Для построения аксонометрической проекции (изометрии) пересекающихся поверхностей конуса с шаром (фиг.345)

сначала строят изометрическую проекцию четверти шара и верхнее основание конуса (фиг.345,а). Потом строят горизонтальную вторичную проекцию точек линии пересечения (по ординатам и абсциссам). Из полученных проекций точек проводят прямые, параллельные оси z’ , на которых откладывают высоты (аппликаты точек линии перехода), взяв их с фронтальной проекции; после этого соединяют найденные точки плавной кривой и получают изометрическую проекцию линии пересечения (фиг.345,6).

II. Построение линий пересечения поверхностей вращения при помощи концентрических сфер.
При пересечении поверхности шара с поверхностью тела вращения, ось которого проходит через центр сферы, получается окружность. На (фиг.346) показано пересечение шара с прямым круговым цилиндром и прямым круговым конусом.

Показанные цилиндр и шар, а также конус и шар имеют общие оси вращения, поэтому данные тела называются соосными .
Эти соосные тела пересекаются по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных к их общей оси вращения.
Оси вращения цилиндра и конуса перпендикулярны плоскости П₁ . Горизонтальные проек-: ции линий пересечения выявлены окружной стями, а фронтальные — отрезками, равными натуральной величине диаметров.
Приведенные примеры являются основой спо-‘ соба построения линии пересечения поверхностей двух тел вращения при помощи концентрических сфер.
Разберем несколько примеров:

Научная электронная библиотека

Построение линии пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения.

Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы − способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения цилиндра с конусом вращения (рис.8.4).

Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают цилиндр и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.

Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения − окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром.

.

Рис. 8.4. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра с помощью вспомогательных секущих плоскостей

Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях:

— обе линии пересекающиеся поверхности − поверхности вращения;

-оси поверхностей вращения пересекаются;

— точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;

— плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций.

В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования чертежа.

Такие сферы применяют, если:

— одна из пересекающихся поверхностей — поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения;

— две поверхности имеют общую плоскость симметрии (т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй поверхности принадлежат одной плоскости — плоскости их симметрии);

.

Рис. 8.5. Пример построения линии пересечения поверхностей конусов с помощью концентрических сфер

Плоскость симметрии параллельна плоскости проекций (это условие при необходимости может быть обеспечено преобразованием чертежа).

Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и тора, оси которых скрещиваются с помощью эксцентрических сфер (рис. 8.6).

Ось конуса параллельна плоскости П₂, ось тора перпендикулярна плоскости П₂, окружность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости П₂. Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией а₂ и низшая d₂ — являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса. Для построения проекций промежуточных точек, например проекции b₂, выполняют следующие построения: выбирают на поверхности тора окружность, например с проекцией 1₂ 2₂ с центром в точке с проекцией 3₂.

.

Рис. 8.6. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и тора с помощью эксцентрических сфер

Перпендикуляр к плоскости этой окружности из точки с проекцией 3₂ является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией 1₂ 2₂. Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция О₁. Эта сфера радиусом R₁ пересекает конус по окружности с проекцией 4₂ 5₂. Пересечение проекций 1₂ 2₂ и 4₂ 5₂ является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b₂ одной из указанных точек — точки на видимом участке линии пересечения.

Построение проекций второй пары точек линии пересечения, из которых обозначена проекция c₂, выполнено с помощью отрезка 6₂ 7₂ − проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции c₂ − сфера радиусa R₂ с центром, проекция которого О₂. Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией 8₂ 9₂. В пересечении проекций 6₂ 7₂ и 8₂ 9₂ окружностей находим проекцию c₂ искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекающихся поверхностей.

Вопросы для самоконтроля

1) От каких параметров поверхности и плоскости зависит форма линии пересечения поверхности с плоскостью?

2) Каков алгоритм (порядок) определения линии пересечения поверхности плоскостью?

3) Какое положение плоскости пересечения по отношению к поверхности является предпочтительным для определения линии пересечения?

4) Какой способ построения линии пересечения называется способом вспомогательных сфер?

5) В каком случае при определении линии пересечения применяются концентрические (эксцентрические) сферы?

6) Какой способ построения линии пересечения необходимо применить, если две поверхности имеют общую плоскость симметрии?

7) Приведите пример определения линии пересечения поверхностей с помощью эксцентрических сфер.