648 Постройте касательную к окружности с центром О: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой.
Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №648
к главе «Глава VIII. Окружность. §1. Касательная к окружности».
Построить касательную к окружности параллельную данной прямой
С помощью циркуля и линейки постройте общие касательные к двум данным окружностям.
Подсказка
Сведите задачу к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету (или примените гомотетию).
Решение
Первый способ.
Пусть O 1 и O 2 — центры окружностей радиусов R и r ( R > r ). Предположим, что некоторая прямая касается окружностей в точках A и B соответственно, причём эти точки лежат по одну сторону от прямой O 1 O 2 . Опустим перпендикуляр O 2 H из центра меньшей окружности на радиус O 1 A большей окружности, проведённый в точку касания. Тогда O 1 ABO 2 — прямоугольник. В прямоугольном треугольнике O 1 HO 2 известны катет O 1 H = R — r и гипотенуза O 1 O 2 .
Отсюда вытекает следующее построение. Прямоугольный треугольник O 1 HO 2 строим по катету R — r и гипотенузе O 1 O 2 . Продолжение катета O 1 H за точку H есть искомая точка касания A . Через точку A проводим прямую, перпендикулярную O 1 A , и опускаем на неё перпендикуляр O 2 B из точки O 2 .
Поскольку O 1 ABO 2 — прямоугольник, то
O 2 B = AH = O 1 A — O 1 H = R — ( R — r ) = r .
Значит, точка B лежит на окружности с центром O 2 , а т.к. O 2 B AB , то прямая AB — касательная и к этой окружности.
Поскольку возможны ровно два положения точки H относительно прямой O 1 O 2 , то задача имеет два решения.
Построение в случае, когда R = r , очевидно.
Построение общих внутренних касательных аналогично изложенному. Оно отличается лишь тем, что прямоугольный треугольник O 1 HO 2 строится по гипотенузе O 1 O 2 и катету R + r (а не R — r ).
Ясно, что построение общих внутренние касательных возможно лишь в случае, когда расстояние между центрами окружностей не меньше суммы радиусов. Если O 1 O 2 = r + R , то общая внутренняя касательна единственна (в этом случае окружности касаются внешним образом).
Второй способ.
Пусть R > r . Найдем центр гомотетии данных окружностей. Для этого проведём произвольный радиус O 1 M 1 первой окружности и параллельный ему радиус O 2 M 2 второй окружности. При этом точки M 1 и M 2 могут лежать либо по одну сторону от прямой O 1 O 2 , либо — по разные.
В каждом из этих случаев искомый центр Q гомотетии есть точка пересечения прямых M 1 M 2 и O 1 O 2 (в первом случае коэффициент гомотетии равен , во втором — ( — ).
Поскольку при гомотетии касательная переходит в касательную (прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью), то достаточно провести из точки Q касательную к одной из окружностей. Ясно, что она будет касательной и ко второй.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 386 |
№648 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Похожие решебники
Атанасян, Бутузов
Атанасян, Бутузов
Популярные решебники 8 класс Все решебники
Александрова
Александрова, Загоровская, Богданов
Enjoy English
Биболетова, Бабушис
Дорофеев, Суворова, Бунимович
Котова, Лискова
Мордкович, Семенов, Александрова
Шмелёв, Флоренская
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям
Построение общей внешней касательной к двум окружностям . Даны две окружности (а это значит, что даны также и их центры O1 и O2). И требуется построить к ним общую внешнюю касательную, то есть такую касательную, что данные окружности лежат от неё по одну сторону. Радиус большей окружности — называем R, радиус меньшей окружности — r. И сначала внутри большей окружности построим вспомогательную окружность вокруг того же центра и радиуса (R-r). Затем построим из центра меньшей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности, и требуемая внешняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной.
Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился AC = R — r. Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1.
Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (мне нравится точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр маленькой данной окружности.
Прямая HO2 пересекла меньшую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равноотстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает меньшую данную окружность в некоторой точке (называем её N).
Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в P, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в Z — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внешней касательной к двум данным окружностям.
И вот почему: NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к малой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и продлим его до пересечения с прямой TN (точку пересечения называем U). Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой . Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник , в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу r. Теперь можем найти длину отрезка O1U (состоящего из O1H и HU). Длина равна сумме длин O1H и HU, то есть (R — r) + r = R. Выходит, что U отстоит от O1 на R, то есть U лежит на большой данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к большой данной окружности. Построение закончено.