Векторное произведение правило правой руки

Для векторного произведения

Правило буравчика (винта) для векторного произведения: Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, то буравчик (винт), вращающийся таким же образом, будет завинчиваться в направлении вектора-произведения.

· (Под винтом и буравчиком здесь имеются в виду винт с правой резьбой, каковых абсолютное большинство в технике и что является в ней повсеместным стандартом [7] , или буравчик также с правым винтом на острие, каково также абсолютное большинство реальных инструментов).

· Это можно переформулировать в терминах часовой стрелки, поскольку правый винт по определению это такой винт, который завинчивается (вперед), когда мы вращаем его по часовой стрелке.

Вариант правило буравчика (винта) для векторного произведения через часовую стрелку: Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю и смотреть с той стороны, чтобы это вращение было для нас по часовой стрелке, вектор-произведение будет направлен от нас (завинчиваться вглубь часов).

Правило правой руки для векторного произведения (первый вариант):

Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения.

Правило правой руки для векторного произведения (второй вариант):

Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и первый (большой) палец правой руки направить вдоль первого вектора-сомножителя, второй (указательный) — вдоль второго вектора-сомножителя, то третий (средний) покажет (приблизительно) направление вектора-произведения (см. рисунок).

Применительно к электродинамике по большому пальцу направляют ток (I), вектор магнитной индукции (B) направляют по указательному, а сила (F) будет направлена по среднему пальцу. Мнемонически правило легко запомнить по аббревиатуре FBI (сила, индукция, ток или Федеральное Бюро Расследований (ФБР) в переводе с английского) и положению пальцев руки, напоминающему пистолет.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Правило левой и правой руки для магнитного поля

Принцип правила правой и левой руки для векторных величин

В физике существуют известные правила для векторного расчета, которые часто используется, при решении задач. Их принято называть следующими терминами:

• основное правило правой руки;
• правило левой руки;
• правило буравчика.

Иными словами, они называются, мнемоническими правилами или законами. Данному определению соответствует специальные приемы и способы, которые значительно упрощают процесс изучения и запоминания нужной информации. Которые позволяют образовывать определенные ассоциации. Они проводят специальные параллели между определенными абстрактными объектами. Которые имеют визуальные и кинестетические представления.

Основоположником в физике вышесказанного мнемонического правила является ученый П. Буравчик.

Правило Буравчика, предоставляет возможность определить векторное направление, которое получается в результате произведения нескольких векторов.

Применение правила буравчика и левой руки в физике

Представим, что на поле под действием силы, можно повесить на довольно тонком и простом проводе рамку, которая проводит силу тока. Она будет вращаться и будет располагаться определенным образом. Аналогичным образом будет движение магнитной стрелки. Этот процесс напрямую характеризует о векторном свойстве физической величины, которая является определяющей магнитного поля. Поэтому, направление вектора, будет напрямую зависеть от направления силы тока в рамке и расположения магнитной стрелки.

Следовательно, магнитная индукция — это величина или показатель, который показывает основные характеристика магнитного поля.

Этот показатель, является одним из главных параметров, который характеризует, в каком именно состоянии может находится, непосредственно в данный момент, магнитное поле. Следовательно, нужно обязательно уметь определять его величину и направление.

Векторное направление индукционной магнитной силы, возможно вычислить, применяя следующие основные законы и правила:

• Правила, которое принято называть, правилом правого винта;
• Правило правой руки.

Перечисленные способы, изобразим и рассмотрим на рисунке.

Рассмотрев рисунок приходим к выводу: что направление силовой магнитной индукции, в характерном месте, принято считать, как направление, по которому лежит перпендикуляр (\[\underline\]).

Положительная нормаль (n) будет направлена таким же образом, как перемещение поступательного правого винта.

Существуют способы выяснить, какое направление будет для векторной магнитной индукции, в определенной точке на рассматриваемом поле. Для этого нужно предоставить возможность рамке преобразоваться в

положение равновесия. Затем на практике применить правило правого винта.

Рассмотрим правило правой руки. Для этого необходимо произвести и запомнить несколько простых действий. Которые всегда будут помогать при решении задач. А именно:

сжать правую руку в не сильно плотный кулак.

отогнуть большой палец руки под прямым углом, который равен 90°.

рука должна размещаться, таким образом, чтобы большой палец указывал основное направление силы тока;

согнутые четыре пальца, будут указывать направление линий поля магнитной индукции, создающие ток.

Сторону куда будет направлен ток, указывает касательная линия в каждой точке поля применительно к силовой линии.

Рассмотрим соленоид (разновидность катушки индукции).

Для этого обхватим правой ладонью соленоид. Таким образом, чтобы четыре пальца совпадали непосредственно с направлением тока в нем. Следовательно, отогнутый палец, который расположен под прямым углом, будет указывать, как непосредственно направлено магнитное поле. Которое создается у него внутри.

Из разделов физики известно, что если в магнитном поле наблюдается перемещение с места на место проводников, то в этом случае будет возникать индукционный ток.

Стоит отметить, что правило правой руки можно применять, для определения и вычисления направления течения индукционного тока, в данных проводниках.

Также нужно запомнить, что индукционные линии магнитного поля, обязательно должны входить в открытую ладонь, которая входит в правую руку. Палец руки нужно отогнуть под прямым углом на девяносто градусов. Далее направить ее по направлению скорости перемещения проводника. Четыре пальца, которые вытянуты, указывают как будет направлен индукционный ток.

Данным правилом можно пользоваться при вычислении электродвижущей индукционной силы в определенном контуре.

Выполнить нужно несколько действий:

• нужно охватить контур, четырьмя согнутыми пальцами, где электродвижущая сила, при применении магнитного потока;
• большой палец руки отогнуть и направить по направлению потока или против его направления.

Нет времени решать самому?

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно). Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Векторное произведение векторов

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора. Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос: если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР: , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны. Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке: – «а» умножается на «бэ», а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание: чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости, и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки. Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он).

Теперь совместите указательный палец левой руки с тем же вектором , а средний – с вектором . При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис .

Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение 😉 Или просто попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются.

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица, чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение: Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ:

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ:

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры, соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ:

Пора подбросить дров в огонь:

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение: Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов. Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор. О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ:

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров 😉

Векторное произведение векторов в координатах

С векторами, заданными в координатах, всё тоже просто и прозрачно. Сразу обращаю внимание на то, что разговор пойдёт о координатах ортонормированного базиса. В общем случае аффинного базиса нижеприведённая формула будет нерабочей. Кстати, кто ещё не успел ознакомиться с базисами, рекомендую статью Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Согласно свойствам определителя, если в определителе две строки переставить местами, то он сменит знак. Этот факт полностью соответствует свойству антикоммутативности векторного произведения.

Данный определитель всегда раскрываем по первой строке, что продемонстрировано выше. Если есть трудности с определителями и формула не очень понятна, пожалуйста, посетите урок Как вычислить определитель, всё станет на свои места.

Что получается в результате раскрытия определителя?

В результате получается ВЕКТОР. А как иначе? Векторное произведение – это же вектор.

Найти векторное произведение векторов и его длину.

Решение: Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), и во-вторых, его длину.

1) Найдём векторное произведение:

В результате получен вектор , или, ещё можно записать .

Существует очень хороший способ проверки: как следует из определения, вектор должен быть ортогонален векторам . Ортогональность векторов, как мы разбирались, проверяется с помощью скалярного произведения:

Если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя.

2) Вычислим длину векторного произведения. Используем простейшую формулу для вычисления длины вектора, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников:

Ответ:

В плане технических обозначений здесь, наоборот, вместо громоздкой конструкции выгодно использовать букву , поскольку она сокращает запись

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Даны векторы . Найти и вычислить .

Решение с ответом в конце урока. Будьте внимательны!

Огонь камина в самом разгаре, и самое время добавить живительный геометрический смысл в наши задачи:

Даны вершины треугольника . Найти его площадь.

Решение: Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:

Ответ:

Рассмотренную задачу можно решить ещё двумя способами – было не обязательно выбирать стороны . Решение также допустимо провести через векторы либо . Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. Настоятельно рекомендую выполнить схематический рисунок, чтобы лучше понять вышесказанное.

Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения. Действительно, если находить , то получим противоположно направленный вектор , но формула вычисления длины вектора всё равно «съест» эти минусы. Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в Примерах № 6, 7, поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Это пример для самостоятельного решения.

В заключение первого раздела рассмотрим обещанную задачу урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов:

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение: Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ: а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Смешанное произведение векторов

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не компланарны.
С компланарными векторами разберёмся ниже (что такое компланарность векторов, подробно разъяснено в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов).

2) Векторы взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ: . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда, построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание: чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах :

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.

Смешанное произведение компланарных векторов

Если векторы компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такого вырожденного параллелепипеда равен нулю: .

Немного отвлекусь от темы, возможно, не все знают ответы на следующие вопросы:
– Чему равны длина и ширина точки?
– Чему равна площадь прямой?
– Чему равен объём плоскости?

С позиции геометрии ответ таков: нулю

Смешанное произведение векторов в координатах

Способ расчёта смешанного произведения векторов чисто алгебраический:

Смешанное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой:

Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса – это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

В различных источниках на ваши головы выльют тонны различных свойств смешанного произведения. С практической точки зрения считаю важным отметить лишь некоторые вещи:

Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя. А по свойству определителя, при перестановке двух строк он меняет знак. Таким образом, при перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы – слева направо, и тоже в строгом порядке:

Значение определителя от этого не изменится (см. статью Свойства определителя и понижение его порядка). Дело вкуса.

Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то

Такое задание уже было! В конце урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов мы разбирали задачу «доказать, что три вектора образуют базис пространства», где рассчитывали определитель третьего порядка и получали некоторое число. Так вот: по сути – мы находили смешанное произведение трёх векторов. И с геометрической точки зрения полученное число по модулю равнялось объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах! Ну, а если получался ноль, то делали вывод, что векторы компланарны и базиса не образуют.

Закидываем остатки Буратино в огонь:

Вычислить:
а) смешанное произведение векторов;
б) объём параллелепипеда, построенного на векторах ;
в) объём тетраэдра, построенного на векторах .

Решение: Всё быстро и просто:

а) По формуле смешанного произведения:

(Определитель раскрыт по первому столбцу)

б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю смешанного произведения данных векторов:

в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:

Ответ:

В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объёму добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет всё-таки не очень.

На практике, по моей субъективной оценке, в 95-99% случаев требуется вычислить объём треугольной пирамиды:

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины

Решение: Чайникам рекомендую выполнить схематический рисунок пирамидки, чтобы лучше понять суть проводимых действий.

Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды :

Ответ:

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Чем-то похоже на задачу предыдущей части урока о площади треугольника.

Объём тетраэдра – хит смешанного произведения, поэтому заключительный счастливый номер пусть будет таким же:

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения рассмотрены векторы, отложенные от «традиционной» точки .

Остались только веселящие душу угольки, и в заключение хочу добавить, что в общем виде смешанное произведение векторов определено в аффинной системе координат. Более подробную информацию и формулы можно почерпнуть у тандема Атанасяна-Базылева.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: По соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 5: Решение:
1) Выразим вектор через вектор :

2) Вычислим длину векторного произведения:

Ответ:

Пример 7: Решение: 1) Найдём векторное произведение:

2) Вычислим длину векторного произведения:

Ответ:

Пример 9: Решение: Найдём вектор:
.
Векторное произведение:

Площадь параллелограмма:

Ответ:

Пример 13: Решение: Найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)
Вычислим объём пирамиды :

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Правило буравчика Эта статья или раздел нуждается в переработке Пожалуйста улучшите статью в соответствии с правилами на

Пра́вило буравчика (пра́вило винта́) — любое из множества вариантов мнемонического правила для определения направления векторного произведения и тесно связанного с этим выбора правого базиса в трёхмерном пространстве, соглашения о положительной ориентации базиса в нём, и соответственно — знака любого аксиального вектора, определяемого через ориентацию базиса.

Прямой провод с током.
Ток (I), протекая через провод в направлении хода буравчика (винта) ↖ , создаёт магнитное поле (B) вокруг провода в направлении вращения ручки буравчика (головки винта) ⟳

Как правило, выбор одного из двух возможных направлений аксиального вектора считается чисто условным; он лишь должен происходить всегда одинаково, чтобы в конечном результате вычислений не оказался перепутан знак. Для этого и служат правила, описанные в этой статье: они позволяют всегда придерживаться одного и того же выбора.

Применение правила править

Главное правило, которое может использоваться и в варианте правила буравчика (винта) и в варианте правила правой руки — это правило выбора направления для базисов и векторного произведения (или даже для чего-то одного из двух, так как одно прямо определяется через другое). Главным оно является потому, что его достаточно для использования во всех случаях вместо всех остальных правил, если только знать порядок сомножителей в соответствующих формулах.

Выбор правила для определения положительного направления векторного произведения и для положительного базиса (системы координат) в трехмерном пространстве — тесно взаимосвязаны.

Левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Принято считать положительным и использовать по умолчанию правый (это общепринятое соглашение; но, если особые причины заставляют отойти от данного соглашения — это должно оговариваться явно)

Оба эти правила чисто условны, однако принято (по крайней мере, если обратное явно не оговорено) считать, и это общепринятое соглашение, что положительным является правый базис, а векторное произведение определяется так, что для положительного ортонормированного базиса (базиса прямоугольных декартовых координат с единичным масштабом по всем осям, состоящего из единичных векторов по всем осям) выполняется следующее:

где косым крестом обозначена операция векторного умножения.

По умолчанию же общепринято использовать положительные (и таким образом правые) базисы. Левые базисы принято использовать в основном когда использовать правый очень неудобно или вообще невозможно (например, если у нас правый базис отражается в зеркале, то отражение представляет собой левый базис, и с этим ничего не поделаешь).

Поэтому правило для векторного произведения и правило для выбора (построения) положительного базиса взаимно согласованы.

Они могут быть сформулированы так:

Для векторного произведения править

Правило буравчика (винта) для векторного произведения: «Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, то буравчик (винт), вращающийся таким же образом, будет завинчиваться в направлении вектора-произведения».

• (Под винтом и буравчиком здесь имеются в виду винт с правой резьбой, которая считается общепринятым стандартом, или буравчик также с правым винтом на острие, каково также абсолютное большинство реальных инструментов).
• Это можно переформулировать в терминах часовой стрелки, поскольку правый винт по определению это такой винт, который завинчивается (вперед), когда мы вращаем его по часовой стрелке.

Вариант правила буравчика (винта) для векторного произведения через часовую стрелку: «Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю и смотреть с той стороны, чтобы это вращение было для нас по часовой стрелке, вектор-произведение будет направлен от нас (завинчиваться вглубь часов)».

Правило правой руки для векторного произведения (первый вариант): «Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения».

Правило правой руки для векторного произведения (второй вариант): «Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и первый (большой) палец правой руки направить вдоль первого вектора-сомножителя, второй (указательный) — вдоль второго вектора-сомножителя, то третий (средний) покажет (приблизительно) направление вектора-произведения» (см. рисунок).

Применительно к электродинамике по большому пальцу направляют ток (I), вектор магнитной индукции (B) направляют по указательному, а сила (F) будет направлена по среднему пальцу. Мнемонически правило легко запомнить по аббревиатуре FBI (сила, индукция, ток или Федеральное Бюро Расследований (ФБР) в переводе с английского) и положению пальцев руки, напоминающему пистолет.

Для базисов править

Все эти правила могут быть, конечно, переписаны для определения ориентации базисов. Перепишем только два из них:

x, y, z — правая система координат.

Правило правой руки для базиса: «Если в базисе (состоящем из векторов вдоль осей x, y, z) первый (большой) палец правой руки направить вдоль первого базисного вектора (то есть по оси x), второй (указательный) — вдоль второго (то есть по оси y), а третий (средний) окажется направленным (приблизительно) в направлении третьего (по z), то это правый базис (как и оказалось на рисунке)».

Правило буравчика (винта) для базиса: «Если вращать буравчик и векторы так, чтобы первый базисный вектор кратчайшим образом стремился ко второму, то буравчик (винт) будет завинчиваться в направлении третьего базисного вектора, если это правый базис».

Всё это, конечно, соответствует расширению обычного правила выбора направления координат на плоскости (х — вправо, у — вверх, z — на нас). Последнее может быть ещё одним мнемоническим правилом, способным заменить правило буравчика, правой руки и т. д. (впрочем, пользование им, вероятно, требует иногда определённого пространственного воображения, так как надо мысленно повернуть нарисованные обычным образом координаты до совпадения их с базисом, ориентацию которого мы хотим определить, а он может быть развернут как угодно).

Формулировки правила буравчика (винта) или правила правой руки для специальных случаев править

Выше упоминалось о том, что все разнообразные формулировки правила буравчика (винта) или правила правой руки (и другие подобные правила), в том числе все упоминаемые ниже, не являются необходимыми. Их не обязательно знать, если знаешь (хотя бы в каком-то одном из вариантов) общее правило, описанное выше и знаешь порядок сомножителей в формулах, содержащих векторное произведение.

Однако многие из описанных ниже правил хорошо приспособлены к специальным случаям их применения и поэтому могут быть весьма удобны и легки для быстрого определения направления векторов в этих случаях.

Правило правой руки или буравчика (винта) для механического вращения скорости править

Правило правой руки или буравчика (винта) для угловой скорости править

Известно, что вектор скорости данной точки связан с вектором угловой скорости и вектором , проведённым из неподвижной точки в данную, как их векторное произведение:

Очевидно, поэтому к определению направления вектора угловой скорости применимы правило винта и правило правой руки, описанные выше для векторного произведения. Однако в данном случае правила могут быть сформулированы в ещё более простом и запоминающемся варианте, так как речь идет о вполне реальном вращении:

Правило буравчика (винта): «Если вращать винт (буравчик) в том направлении, в котором вращается тело, он будет завинчиваться (или вывинчиваться) в ту сторону, куда направлена угловая скорость».

Правило правой руки: «Если представить, что мы взяли тело в правую руку и вращаем его в направлении, куда указывают четыре пальца, то оттопыренный большой палец покажет в ту сторону, куда направлена угловая скорость при таком вращении».

Правило правой руки или буравчика (винта) для момента импульса править

Полностью аналогичны правила для определения направления момента импульса, что неудивительно, поскольку момент импульса пропорционален угловой скорости с положительным коэффициентом.

Правило правой руки или буравчика (винта) для момента сил править

правила тоже в целом аналогичны, однако сформулируем их явно.

Правило буравчика (винта): «Если вращать винт (буравчик) в том направлении, в котором силы стремятся повернуть тело, винт будет завинчиваться (или вывинчиваться) в ту сторону, куда направлен момент этих сил».

Правило правой руки: «Если представить, что мы взяли тело в правую руку и пытаемся его повернуть в направлении, куда указывают четыре пальца (силы, пытающиеся повернуть тело направлены по направлению этих пальцев), то оттопыренный большой палец покажет в ту сторону, куда направлен вращающий момент (момент этих сил)».

Правило правой руки и буравчика (винта) в магнитостатике и электродинамике править

Для магнитной индукции (закона Био — Савара) править

Правило буравчика (винта): «Если направление поступательного движения буравчика (винта) совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вектора магнитной индукции поля, создаваемого этим током».

Правило правой руки

Правило правой руки: «Если обхватить проводник правой рукой так, чтобы оттопыренный большой палец указывал направление тока, то остальные пальцы покажут направление огибающих проводник линий магнитной индукции поля, создаваемого этим током, а значит и направление вектора магнитной индукции, направленного везде по касательной к этим линиям».

Для соленоида править

Правило правой руки: «Если обхватить соленоид ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца были направлены вдоль тока в витках, то отставленный большой палец покажет направление линий магнитного поля внутри соленоида».

Для тока в проводнике, движущемся в магнитном поле править

Правило правой руки: «Если ладонь правой руки расположить так, чтобы в неё входили силовые линии магнитного поля, а отогнутый большой палец направить по движению проводника, то четыре вытянутых пальца укажут направление индукционного тока».

Для уравнений Максвелла править

Поскольку операция ротор (обозначаемая rot), используемая в двух уравнениях Максвелла, может быть записана формально как векторное произведение (с оператором набла), а главное потому, что ротор векторного поля может быть уподоблен (представляет собой аналогию) угловой скорости вращения жидкости, поле скоростей течения которой изображает собой данное векторное поле, можно воспользоваться для ротора теми формулировками правила, которые уже описаны выше для угловой скорости.

Таким образом, если крутить буравчик в направлении завихрения векторного поля, то он будет ввинчиваться в направлении вектора ротора этого поля. Или: если направить четыре пальца правой руки, сжатой в кулак, в направлении завихрения, то отогнутый большой палец покажет направление ротора.

Из этого следуют правила для закона электромагнитной индукции, например: «Если указать отогнутым большим пальцем правой руки направление магнитного потока через контур, если он растет, и противоположное направление, если он убывает, то согнутые пальцы, охватывающие контур, покажут направление, противоположное (из-за знака минус в формуле) направлению ЭДС в этом контуре, индуцируемой меняющимся магнитным потоком».

Правила для закона Ампера — Максвелла в целом совпадают с правилами, приведёнными выше для вектора магнитной индукции, создаваемой током, только в данном случае надо добавить к электрическому току через контур поток быстроты изменения электрического поля через этот контур и говорить о магнитном поле можно в терминах его циркуляции по контуру.

Правила левой руки править

Первое правило левой руки править

Если расположить ладонь левой руки так, чтобы линии индукции магнитного поля входили во внутреннюю сторону ладони, перпендикулярно к ней, а четыре пальца направлены по току, то отставленный на 90° большой палец укажет направление силы, действующей со стороны магнитного поля на проводник с током. Эта сила называется силой Ампера. Это правило левой руки для тока

Второе правило левой руки править

Если движется заряд, а магнит покоится, то для определения направления силы действует правило левой руки: «Если левую руку расположить так, чтобы линии индукции магнитного поля входили во внутреннюю сторону ладони перпендикулярно к ней, а четыре пальца были направлены по току (по движению положительно заряженной частицы или против движения отрицательно заряженной), то отставленный на 90° большой палец покажет направление действующей силы Лоренца или Ампера».

Примеры править

Сила Лоренца (F), Ток (I), Магнитное поле (B)

См. также править

• Буравчик
• Векторное произведение
• По часовой стрелке и против часовой стрелки

Комментарии править

1. Математические детали общего понятия ориентации базиса, о котором здесь идёт речь — см. в статье Ориентация.
2. Можно проверить, что в целом это действительно так, исходя из элементарного определения векторного произведения: Векторное произведение есть вектор, перпендикулярный обоим векторам-сомножителям, а по величине (длине) равный площади параллелограмма. То же, какой из двух возможных векторов, перпендикулярных двум заданным, выбрать — и есть предмет основного текста, правило, позволяющее это сделать и дополняющее приведённое здесь определение, указано там.
3. Левая резьба применяется в современной технике только тогда, когда применение правой резьбы привело бы к опасности самопроизвольного развинчивания под влиянием постоянного вращения данной детали в одном направлении — например, левая резьба применяется на левом конце оси велосипедного колеса. Помимо этого, левая резьба применяется в редукторах и баллонах для горючих газов, чтобы исключить подсоединение к кислородному баллону редуктора для горючего газа.
4. В том числе они могут быть в своих случаях и более удобными, чем общее правило, и даже иногда сформулированы достаточно органично, чтобы особенно легко запоминаться; что, правда, по-видимому, всё же не делает запоминание их всех более лёгким, чем запоминание всего одного общего правила.
5. Даже если мы имеем дело с достаточно асимметричным (и асимметрично расположенным относительно оси вращения) телом, так что коэффициентом пропорциональности между угловой скоростью и моментом импульса служит тензор инерции, несводимый к численному коэффициенту, и вектор момента импульса тогда вообще говоря не параллелен вектору угловой скорости, тем не менее правило работает в том смысле, что направление указывается приблизительно, но этого достаточно, чтобы сделать выбор между двумя противоположными направлениями.
6. Строго говоря, при этом сопоставлении есть ещё постоянный коэффициент 2, но в данной теме это не важно, так как речь идет сейчас только о направлении вектора, а не о его величине.
7. Не обязательное требование.

Источники править

Ссылки править

• Правило буравчика (видео) от 9 апреля 2016 на Wayback Machine

• Проставить сноски, внести более точные указания на источники.
• Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры

Дата публикации: Декабрь 25, 2023, 10:05 am
Самые читаемые

Ланиадо (больница)

Ланиадо

Ландыши (группа)

Лангъяха (приток Пякупура)

Лангенес, Нурланн

Лакутино

Лайтфут, Аманда

Лайдинен

Лайон, Калеб

Лазаревац (община)

© Copyright 2021, Все права защищены.

Eta statya ili razdel nuzhdaetsya v pererabotke Pozhalujsta uluchshite statyu v sootvetstvii s pravilami napisaniya statej Pra vilo buravchika pra vilo vinta lyuboe iz mnozhestva variantov mnemonicheskogo pravila dlya opredeleniya napravleniya vektornogo proizvedeniya i tesno svyazannogo s etim vybora pravogo bazisa a v tryohmernom prostranstve soglasheniya o polozhitelnoj orientacii bazisa v nyom i sootvetstvenno znaka lyubogo aksialnogo vektora opredelyaemogo cherez orientaciyu bazisa Pryamoj provod s tokom Tok I protekaya cherez provod v napravlenii hoda buravchika vinta sozdayot magnitnoe pole B vokrug provoda v napravlenii vrasheniya ruchki buravchika golovki vinta Kak pravilo vybor odnogo iz dvuh vozmozhnyh napravlenij aksialnogo vektora schitaetsya chisto uslovnym on lish dolzhen proishodit vsegda odinakovo chtoby v konechnom rezultate vychislenij ne okazalsya pereputan znak Dlya etogo i sluzhat pravila opisannye v etoj state oni pozvolyayut vsegda priderzhivatsya odnogo i togo zhe vybora Soderzhanie 1 Primenenie pravila 1 1 Dlya vektornogo proizvedeniya 1 2 Dlya bazisov 2 Formulirovki pravila buravchika vinta ili pravila pravoj ruki dlya specialnyh sluchaev 2 1 Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya mehanicheskogo vrasheniya skorosti 2 1 1 Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya uglovoj skorosti 2 1 2 Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya momenta impulsa 2 1 3 Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya momenta sil 2 2 Pravilo pravoj ruki i buravchika vinta v magnitostatike i elektrodinamike 2 2 1 Dlya magnitnoj indukcii zakona Bio Savara 2 2 2 Dlya solenoida 2 2 3 Dlya toka v provodnike dvizhushemsya v magnitnom pole 2 2 4 Dlya uravnenij Maksvella 3 Pravila levoj ruki 3 1 Pervoe pravilo levoj ruki 3 2 Vtoroe pravilo levoj ruki 4 Primery 5 Sm takzhe 6 Kommentarii 7 Istochniki 8 SsylkiPrimenenie pravila pravitGlavnoe pravilo kotoroe mozhet ispolzovatsya i v variante pravila buravchika vinta i v variante pravila pravoj ruki eto pravilo vybora napravleniya dlya bazisov i vektornogo proizvedeniya ili dazhe dlya chego to odnogo iz dvuh tak kak odno pryamo opredelyaetsya cherez drugoe Glavnym ono yavlyaetsya potomu chto ego dostatochno dlya ispolzovaniya vo vseh sluchayah vmesto vseh ostalnyh pravil esli tolko znat poryadok somnozhitelej v sootvetstvuyushih formulah Vybor pravila dlya opredeleniya polozhitelnogo napravleniya vektornogo proizvedeniya i dlya polozhitelnogo bazisa sistemy koordinat v trehmernom prostranstve tesno vzaimosvyazany nbsp Levaya na risunke sleva i pravaya sprava dekartovy sistemy koordinat levyj i pravyj bazisy Prinyato schitat polozhitelnym i ispolzovat po umolchaniyu pravyj eto obsheprinyatoe soglashenie no esli osobye prichiny zastavlyayut otojti ot dannogo soglasheniya eto dolzhno ogovarivatsya yavno Oba eti pravila chisto uslovny odnako prinyato po krajnej mere esli obratnoe yavno ne ogovoreno schitat i eto obsheprinyatoe soglashenie chto polozhitelnym yavlyaetsya pravyj bazis a vektornoe proizvedenie opredelyaetsya tak chto dlya polozhitelnogo ortonormirovannogo bazisa e x e y e z displaystyle vec e x vec e y vec e z nbsp bazisa pryamougolnyh dekartovyh koordinat s edinichnym masshtabom po vsem osyam sostoyashego iz edinichnyh vektorov po vsem osyam vypolnyaetsya b sleduyushee e x e y e z displaystyle vec e x times vec e y vec e z nbsp gde kosym krestom oboznachena operaciya vektornogo umnozheniya Po umolchaniyu zhe obsheprinyato ispolzovat polozhitelnye i takim obrazom pravye bazisy Levye bazisy prinyato ispolzovat v osnovnom kogda ispolzovat pravyj ochen neudobno ili voobshe nevozmozhno naprimer esli u nas pravyj bazis otrazhaetsya v zerkale to otrazhenie predstavlyaet soboj levyj bazis i s etim nichego ne podelaesh Poetomu pravilo dlya vektornogo proizvedeniya i pravilo dlya vybora postroeniya polozhitelnogo bazisa vzaimno soglasovany Oni mogut byt sformulirovany tak Dlya vektornogo proizvedeniya pravit Pravilo buravchika vinta dlya vektornogo proizvedeniya Esli narisovat vektory tak chtoby ih nachala sovpadali i vrashat pervyj vektor somnozhitel kratchajshim obrazom ko vtoromu vektoru somnozhitelyu to buravchik vint vrashayushijsya takim zhe obrazom budet zavinchivatsya v napravlenii vektora proizvedeniya Pod vintom i buravchikom zdes imeyutsya v vidu vint s pravoj rezboj kotoraya schitaetsya obsheprinyatym standartom c ili buravchik takzhe s pravym vintom na ostrie kakovo takzhe absolyutnoe bolshinstvo realnyh instrumentov Eto mozhno pereformulirovat v terminah chasovoj strelki poskolku pravyj vint po opredeleniyu eto takoj vint kotoryj zavinchivaetsya vpered kogda my vrashaem ego po chasovoj strelke Variant pravila buravchika vinta dlya vektornogo proizvedeniya cherez chasovuyu strelku Esli narisovat vektory tak chtoby ih nachala sovpadali i vrashat pervyj vektor somnozhitel kratchajshim obrazom ko vtoromu vektoru somnozhitelyu i smotret s toj storony chtoby eto vrashenie bylo dlya nas po chasovoj strelke vektor proizvedenie budet napravlen ot nas zavinchivatsya vglub chasov nbsp Pravilo pravoj ruki dlya vektornogo proizvedeniya pervyj variant Esli narisovat vektory tak chtoby ih nachala sovpadali i vrashat pervyj vektor somnozhitel kratchajshim obrazom ko vtoromu vektoru somnozhitelyu a chetyre palca pravoj ruki pokazyvali napravlenie vrasheniya kak by ohvatyvaya vrashayushijsya cilindr to ottopyrennyj bolshoj palec pokazhet napravlenie vektora proizvedeniya nbsp a b c displaystyle vec a times vec b vec c nbsp Pravilo pravoj ruki dlya vektornogo proizvedeniya vtoroj variant Esli narisovat vektory tak chtoby ih nachala sovpadali i pervyj bolshoj palec pravoj ruki napravit vdol pervogo vektora somnozhitelya vtoroj ukazatelnyj vdol vtorogo vektora somnozhitelya to tretij srednij pokazhet priblizitelno napravlenie vektora proizvedeniya sm risunok Primenitelno k elektrodinamike po bolshomu palcu napravlyayut tok I vektor magnitnoj indukcii B napravlyayut po ukazatelnomu a sila F budet napravlena po srednemu palcu Mnemonicheski pravilo legko zapomnit po abbreviature FBI sila indukciya tok ili Federalnoe Byuro Rassledovanij FBR v perevode s anglijskogo i polozheniyu palcev ruki napominayushemu pistolet Dlya bazisov pravit Vse eti pravila mogut byt konechno perepisany dlya opredeleniya orientacii bazisov Perepishem tolko dva iz nih nbsp x y z pravaya sistema koordinat Pravilo pravoj ruki dlya bazisa Esli v bazise e x e y e z displaystyle e x e y e z nbsp sostoyashem iz vektorov vdol osej x y z pervyj bolshoj palec pravoj ruki napravit vdol pervogo bazisnogo vektora to est po osi x vtoroj ukazatelnyj vdol vtorogo to est po osi y a tretij srednij okazhetsya napravlennym priblizitelno v napravlenii tretego po z to eto pravyj bazis kak i okazalos na risunke Pravilo buravchika vinta dlya bazisa Esli vrashat buravchik i vektory tak chtoby pervyj bazisnyj vektor kratchajshim obrazom stremilsya ko vtoromu to buravchik vint budet zavinchivatsya v napravlenii tretego bazisnogo vektora esli eto pravyj bazis Vsyo eto konechno sootvetstvuet rasshireniyu obychnogo pravila vybora napravleniya koordinat na ploskosti h vpravo u vverh z na nas Poslednee mozhet byt eshyo odnim mnemonicheskim pravilom sposobnym zamenit pravilo buravchika pravoj ruki i t d vprochem polzovanie im veroyatno trebuet inogda opredelyonnogo prostranstvennogo voobrazheniya tak kak nado myslenno povernut narisovannye obychnym obrazom koordinaty do sovpadeniya ih s bazisom orientaciyu kotorogo my hotim opredelit a on mozhet byt razvernut kak ugodno Formulirovki pravila buravchika vinta ili pravila pravoj ruki dlya specialnyh sluchaev pravitVyshe upominalos o tom chto vse raznoobraznye formulirovki pravila buravchika vinta ili pravila pravoj ruki i drugie podobnye pravila v tom chisle vse upominaemye nizhe ne yavlyayutsya neobhodimymi Ih ne obyazatelno znat esli znaesh hotya by v kakom to odnom iz variantov obshee pravilo opisannoe vyshe i znaesh poryadok somnozhitelej v formulah soderzhashih vektornoe proizvedenie Odnako mnogie iz opisannyh nizhe pravil horosho prisposobleny k specialnym sluchayam ih primeneniya i poetomu mogut byt vesma udobny i legki dlya bystrogo opredeleniya napravleniya vektorov v etih sluchayah d Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya mehanicheskogo vrasheniya skorosti pravit Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya uglovoj skorosti pravit Izvestno chto vektor skorosti v displaystyle vec v nbsp dannoj tochki svyazan s vektorom uglovoj skorosti w displaystyle vec omega nbsp i vektorom r displaystyle vec r nbsp provedyonnym iz nepodvizhnoj tochki v dannuyu kak ih vektornoe proizvedenie v w r displaystyle vec v vec omega times vec r nbsp Ochevidno poetomu k opredeleniyu napravleniya vektora uglovoj skorosti primenimy pravilo vinta i pravilo pravoj ruki opisannye vyshe dlya vektornogo proizvedeniya Odnako v dannom sluchae pravila mogut byt sformulirovany v eshyo bolee prostom i zapominayushemsya variante tak kak rech idet o vpolne realnom vrashenii nbsp Pravilo buravchika vinta Esli vrashat vint buravchik v tom napravlenii v kotorom vrashaetsya telo on budet zavinchivatsya ili vyvinchivatsya v tu storonu kuda napravlena uglovaya skorost Pravilo pravoj ruki Esli predstavit chto my vzyali telo v pravuyu ruku i vrashaem ego v napravlenii kuda ukazyvayut chetyre palca to ottopyrennyj bolshoj palec pokazhet v tu storonu kuda napravlena uglovaya skorost pri takom vrashenii Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya momenta impulsa pravit Polnostyu analogichny pravila dlya opredeleniya napravleniya momenta impulsa chto neudivitelno poskolku moment impulsa proporcionalen uglovoj skorosti s polozhitelnym koefficientom e Pravilo pravoj ruki ili buravchika vinta dlya momenta sil pravit Dlya momenta sil vrashayushego momenta M i r i F i displaystyle vec M sum i vec r i times vec F i nbsp pravila tozhe v celom analogichny odnako sformuliruem ih yavno Pravilo buravchika vinta Esli vrashat vint buravchik v tom napravlenii v kotorom sily stremyatsya povernut telo vint budet zavinchivatsya ili vyvinchivatsya v tu storonu kuda napravlen moment etih sil Pravilo pravoj ruki Esli predstavit chto my vzyali telo v pravuyu ruku i pytaemsya ego povernut v napravlenii kuda ukazyvayut chetyre palca sily pytayushiesya povernut telo napravleny po napravleniyu etih palcev to ottopyrennyj bolshoj palec pokazhet v tu storonu kuda napravlen vrashayushij moment moment etih sil Pravilo pravoj ruki i buravchika vinta v magnitostatike i elektrodinamike pravit Dlya magnitnoj indukcii zakona Bio Savara pravit Pravilo buravchika vinta Esli napravlenie postupatelnogo dvizheniya buravchika vinta sovpadaet s napravleniem toka v provodnike to napravlenie vrasheniya ruchki buravchika sovpadaet s napravleniem vektora magnitnoj indukcii polya sozdavaemogo etim tokom nbsp Pravilo pravoj rukiPravilo pravoj ruki Esli obhvatit provodnik pravoj rukoj tak chtoby ottopyrennyj bolshoj palec ukazyval napravlenie toka to ostalnye palcy pokazhut napravlenie ogibayushih provodnik linij magnitnoj indukcii polya sozdavaemogo etim tokom a znachit i napravlenie vektora magnitnoj indukcii napravlennogo vezde po kasatelnoj k etim liniyam Dlya solenoida pravit Pravilo pravoj ruki Esli obhvatit solenoid ladonyu pravoj ruki tak chtoby chetyre palca byli napravleny vdol toka v vitkah to otstavlennyj bolshoj palec pokazhet napravlenie linij magnitnogo polya vnutri solenoida Dlya toka v provodnike dvizhushemsya v magnitnom pole pravit Pravilo pravoj ruki Esli ladon pravoj ruki raspolozhit tak chtoby v neyo vhodili silovye linii magnitnogo polya a otognutyj bolshoj palec napravit po dvizheniyu provodnika to chetyre vytyanutyh palca ukazhut napravlenie indukcionnogo toka Dlya uravnenij Maksvella pravit Poskolku operaciya rotor oboznachaemaya rot ispolzuemaya v dvuh uravneniyah Maksvella mozhet byt zapisana formalno kak vektornoe proizvedenie s operatorom nabla a glavnoe potomu chto rotor vektornogo polya mozhet byt upodoblen predstavlyaet soboj analogiyu uglovoj skorosti f vrasheniya zhidkosti pole skorostej techeniya kotoroj izobrazhaet soboj dannoe vektornoe pole mozhno vospolzovatsya dlya rotora temi formulirovkami pravila kotorye uzhe opisany vyshe dlya uglovoj skorosti Takim obrazom esli krutit buravchik v napravlenii zavihreniya vektornogo polya to on budet vvinchivatsya v napravlenii vektora rotora etogo polya Ili esli napravit chetyre palca pravoj ruki szhatoj v kulak v napravlenii zavihreniya to otognutyj bolshoj palec pokazhet napravlenie rotora Iz etogo sleduyut pravila dlya zakona elektromagnitnoj indukcii naprimer Esli ukazat otognutym bolshim palcem pravoj ruki napravlenie magnitnogo potoka cherez kontur esli on rastet i protivopolozhnoe napravlenie esli on ubyvaet to sognutye palcy ohvatyvayushie kontur pokazhut napravlenie protivopolozhnoe iz za znaka minus v formule napravleniyu EDS v etom konture induciruemoj menyayushimsya magnitnym potokom Pravila dlya zakona Ampera Maksvella v celom sovpadayut s pravilami privedyonnymi vyshe dlya vektora magnitnoj indukcii sozdavaemoj tokom tolko v dannom sluchae nado dobavit k elektricheskomu toku cherez kontur potok bystroty izmeneniya elektricheskogo polya cherez etot kontur i govorit o magnitnom pole mozhno v terminah ego cirkulyacii po konturu Pravila levoj ruki pravitPervoe pravilo levoj ruki pravit Esli raspolozhit ladon levoj ruki tak chtoby linii indukcii magnitnogo polya vhodili vo vnutrennyuyu storonu ladoni perpendikulyarno g k nej a chetyre palca napravleny po toku to otstavlennyj na 90 bolshoj palec ukazhet napravlenie sily dejstvuyushej so storony magnitnogo polya na provodnik s tokom Eta sila nazyvaetsya siloj Ampera Eto pravilo levoj ruki dlya toka Vtoroe pravilo levoj ruki pravit Esli dvizhetsya zaryad a magnit pokoitsya to dlya opredeleniya napravleniya sily dejstvuet pravilo levoj ruki Esli levuyu ruku raspolozhit tak chtoby linii indukcii magnitnogo polya vhodili vo vnutrennyuyu storonu ladoni perpendikulyarno k nej a chetyre palca byli napravleny po toku po dvizheniyu polozhitelno zaryazhennoj chasticy ili protiv dvizheniya otricatelno zaryazhennoj to otstavlennyj na 90 bolshoj palec pokazhet napravlenie dejstvuyushej sily Lorenca ili Ampera Primery pravit nbsp Sila Lorenca F Tok I Magnitnoe pole B Sm takzhe pravitBuravchik Vektornoe proizvedenie Po chasovoj strelke i protiv chasovoj strelkiKommentarii pravit Matematicheskie detali obshego ponyatiya orientacii bazisa o kotorom zdes idyot rech sm v state Orientaciya Mozhno proverit chto v celom eto dejstvitelno tak ishodya iz elementarnogo opredeleniya vektornogo proizvedeniya Vektornoe proizvedenie est vektor perpendikulyarnyj oboim vektoram somnozhitelyam a po velichine dline ravnyj ploshadi parallelogramma To zhe kakoj iz dvuh vozmozhnyh vektorov perpendikulyarnyh dvum zadannym vybrat i est predmet osnovnogo teksta pravilo pozvolyayushee eto sdelat i dopolnyayushee privedyonnoe zdes opredelenie ukazano tam Levaya rezba primenyaetsya v sovremennoj tehnike tolko togda kogda primenenie pravoj rezby privelo by k opasnosti samoproizvolnogo razvinchivaniya pod vliyaniem postoyannogo vrasheniya dannoj detali v odnom napravlenii naprimer levaya rezba primenyaetsya na levom konce osi velosipednogo kolesa Pomimo etogo levaya rezba primenyaetsya v reduktorah i ballonah dlya goryuchih gazov chtoby isklyuchit podsoedinenie k kislorodnomu ballonu reduktora dlya goryuchego gaza V tom chisle oni mogut byt v svoih sluchayah i bolee udobnymi chem obshee pravilo i dazhe inogda sformulirovany dostatochno organichno chtoby osobenno legko zapominatsya chto pravda po vidimomu vsyo zhe ne delaet zapominanie ih vseh bolee lyogkim chem zapominanie vsego odnogo obshego pravila Dazhe esli my imeem delo s dostatochno asimmetrichnym i asimmetrichno raspolozhennym otnositelno osi vrasheniya telom tak chto koefficientom proporcionalnosti mezhdu uglovoj skorostyu i momentom impulsa sluzhit tenzor inercii nesvodimyj k chislennomu koefficientu i vektor momenta impulsa togda voobshe govorya ne parallelen vektoru uglovoj skorosti tem ne menee pravilo rabotaet v tom smysle chto napravlenie ukazyvaetsya priblizitelno no etogo dostatochno chtoby sdelat vybor mezhdu dvumya protivopolozhnymi napravleniyami Strogo govorya pri etom sopostavlenii est eshyo postoyannyj koefficient 2 no v dannoj teme eto ne vazhno tak kak rech idet sejchas tolko o napravlenii vektora a ne o ego velichine Ne obyazatelnoe trebovanie Istochniki pravitSsylki pravitPravilo buravchika video Arhivnaya kopiya ot 9 aprelya 2016 na Wayback MachineDlya uluchsheniya etoj stati zhelatelno Prostavit snoski vnesti bolee tochnye ukazaniya na istochniki Najti i oformit v vide snosok ssylki na nezavisimye avtoritetnye istochniki podtverzhdayushie napisannoe Posle ispravleniya problemy isklyuchite eyo iz spiska Udalite shablon esli ustraneny vse nedostatki Istochnik https ru wikipedia org w index php title Pravilo buravchika amp oldid 133422751