Чему равно e в физике

Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ.

Наверно, любой абитуриент или студент на вопрос, что такое числа и е, ответит: — это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, а е — основание натуральных логарифмов. Если попросить определить эти числа более строго и вычислить их, студенты приведут формулы:

Графики функций у = arcsin x, обратной функции у = sin х
График функции у = arctg x, обратной функции у = tg х.

Функция нормального распределения (распределение Гаусса). Максимум ее графика отвечает наиболее вероятному значению случайной величины (например, длины предмета, измеренной линейкой), а степень «расплывания» кривой зависит от параметров а и «сигма».

Жрецы Древнего Вавилона посчитали, что солнечный диск укладывается на небосводе от рассвета до заката 180 раз и ввели новую единицу измерения — градус, равный его угловому размеру.

Размеры природных образований — песчаных дюн, холмов и гор — увеличиваются с каждым шагом в среднем в 3,14 раза.

Наука и жизнь // Иллюстрации
Наука и жизнь // Иллюстрации

Маятник, качаясь без трения и сопротивления, сохраняет постоянную амплитуду колебаний. Появление сопротивления приводит к экспоненциальному затуханию колебаний.

В очень вязкой среде отклоненный маятник движется к положению равновесия по экспоненте.
Чешуйки сосновых шишек и завитки раковин многих моллюсков располагаются по логарифмическим спиралям.
Наука и жизнь // Иллюстрации
Наука и жизнь // Иллюстрации
Логарифмическая спираль пересекает все лучи, выходящие из точки О, под одинаковыми углами.

е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + . 2,7183…

(напоминаем, что факториал n! =1 x 2 x 3 x … x n);

= 3(1+ 1/3x2 3 + 1 x 3/4x5x2 5 + . ) 3,14159…

(последним дан ряд Ньютона, есть и другие ряды).

Все это так, но, как известно, числа и е входят во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике. Значит, они отражают какие-то общие законы природы. Какие именно? Определения этих чисел через ряды, несмотря на их правильность и строгость, все же оставляют чувство неудовлетворенности. Они абстрактны и не передают связи рассматриваемых чисел с окружающим миром посредством повседневного опыта. Не удается найти ответы на поставленный вопрос и в учебной литературе.

Между тем можно утверждать, что константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, а — с изотропностью пространства. Тем самым они отражают законы сохранения: число е — энергии и импульса (количества движения), а число — вращательного момента (момента импульса). Обычно столь неожиданные утверждения вызывают удивление, хотя по существу, с точки зрения теоретической физики, в них нет ничего нового. Глубинный смысл этих мировых констант остается terra incognita для школьников, студентов и, по-видимому, даже для большинства преподавателей математики и общей физики, не говоря уже о других областях естествознания и экономики.

На первом курсе вуза можно поставить в тупик студентов таким, например, вопросом: почему при интегрировании функций типа 1/(х 2 +1) появляется арктангенс, а типа арксинус — круговые тригонометрические функции, выражающие величину дуги окружности? Иначе говоря, откуда при интегрировании «берутся круги» и куда они исчезают затем при обратном действии — дифференцировании арктангенса и арксинуса? Вряд ли на поставленный вопрос ответит сам по себе вывод соответствующих формул дифференцирования и интегрирования.

Далее, на втором курсе вуза при изучении теории вероятностей число появляется в формуле для закона нормального распределения случайных величин (см. «Наука и жизнь» № 2, 1995 г.); по ней можно, например, вычислить, с какой вероятностью монета упадет на герб любое число раз при, скажем, 100 подбрасываниях. А здесь где круги? Неужели сказывается форма монеты? Нет, формула для вероятности такая же и для монеты квадратной формы. И в самом деле — вопросы непростые.

А вот природу числа е полезно знать поглубже студентам-химикам и материаловедам, биологам и экономистам. Это поможет им понять кинетику распада радиоактивных элементов, насыщения растворов, износа и разрушения материалов, размножения микробов, воздействия сигналов на органы чувств, процессов накопления капиталов и т. д. — бесконечного множества явлений в живой и неживой природе и деятельности человека.

Число и сферическая симметрия пространства

Сначала сформулируем первый основной тезис, а затем поясним его смысл и следствия.

1. Число отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению. С изотропностью пространства связан закон сохранения вращательного момента.

Отсюда вытекают общеизвестные следствия, которые изучают в средней школе.

Следствие 1 . Длина дуги окружности, вдоль которой умещается ее радиус, составляет естественную дуговую и угловую единицу радиан .

Эта единица безразмерная. Чтобы найти число радианов в дуге окружности, надо измерить ее длину и разделить на длину радиуса этой окружности. Как мы знаем, вдоль любой полной окружности ее радиус укладывается приблизительно 6,28 раза. Точнее, длина полной дуги окружности составляет 2 радиан, причем в любых системах счисления и единицах длины. Когда изобретали колесо, оно получалось одинаковым и у индейцев Америки, и у кочевников Азии, и у негров Африки. Только единицы измерения дуги были разными, условными. Так, наш угловой и дуговой градус был введен вавилонскими жрецами, посчитавшими, что диск Солнца, находящегося почти в зените, укладывается 180 раз на небосводе от рассвета до заката. 1 градус 0, 0175 рад или 1 рад 57,3 ° . Можно утверждать, что и гипотетические инопланетные цивилизации без труда поняли бы одна другую, обменявшись посланием, в котором окружность разделена на шесть частей «с хвостиком»; это означало бы, что «партнер по переговорам» уже как минимум прошел стадию изобретения колеса и знает, что такое число .

Следствие 2. Предназначение тригонометрических функций — выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве.

Из сказанного ясно, что аргументы тригонометрических функций в принципе безразмерны, как и у других типов функций, т.е. это действительные числа — точки числовой оси, которые не нуждаются в градусном обозначении.

Опыт показывает, что школьники, студенты колледжей и вузов не без труда привыкают к безразмерным аргументам у синуса, тангенса и т. д. Далеко не каждый абитуриент сможет без калькулятора ответить на вопрос, чему приблизительно равен cos1 (примерно 0,5) или arctg /3. Последний пример особенно сбивает с толку. Часто говорят, что это бессмыслица: «дуга, арктангенс которой равен 60 о «. Если сказать именно так, то ошибка будет в неправомочном применении градусной меры к аргументу функции. А правильный ответ: arctg(3,14/3) arctg1 /4 3/4. К сожалению, сплошь и рядом абитуриенты и студенты говорят, что = 180 0 , после чего приходится их поправлять: в десятичной системе счисления = 3,14… . Но, конечно, можно сказать что радиан равно 180 0 .

Разберем еще одну нетривиальную ситуацию, встречающуюся в теории вероятностей. Она касается важной формулы вероятности появления случайной ошибки (или нормального закона распределения вероятностей), в которую входит число . По этой формуле можно, например, вычислить вероятность падения монеты на герб 50 раз при 100 подбрасываниях. Итак, откуда взялось в ней число ? Ведь никакие круги или окружности там вроде бы не просматриваются. А суть в том, что монета падает случайным образом в сферически симметричном пространстве, по всем направлениям которого и должны равноправно учитываться случайные колебания. Математики так и делают, интегрируя по кругу и вычисляя так называемый интеграл Пуассона, который равен и входит в указанную формулу вероятности. Наглядной иллюстрацией таких колебаний служит пример со стрельбой по мишени в неизменных условиях. Дырочки на мишени рассеяны по кругу (!) с наибольшей плотностью около центра мишени, а вероятность попадания можно вычислить по той же формуле, содержащей число .

«Замешано» ли число в природных структурах?

Попробуем разобраться в явлениях, причины которых далеко не ясны, но которые тоже, возможно, не обошлись без числа .

Отечественный географ В. В. Пиотровский сравнил средние характеристические размеры природных рельефов в следующем ряду: песчаный рифель на отмелях, дюны, сопки, горные системы Кавказа, Гималаев и др. Оказалось, что в среднем увеличение размера составляет 3,14. Аналогичная закономерность, похоже, обнаружена недавно в рельефе Луны и Марса. Пиотровский пишет: «Тектонические структурные формы, образующиеся в земной коре и выраженные на ее поверхности в виде форм рельефа, развиваются в результате каких-то общих процессов, происходящих в теле Земли, они пропорциональны размерам Земли». Уточним — пропорциональны соотношению линейных и дуговых ее размеров.

В основе указанных явлений, возможно, лежит так называемый закон распределения максимумов случайных рядов, или «закон троек», сформулированный еще в 1927 году Е. Е. Слуцким.

Статистически по закону троек происходит формирование морских прибрежных волн, что знали еще древние греки. Каждая третья волна в среднем чуть выше соседних. А в ряду этих третьих максимумов каждый третий, в свою очередь, выше своих соседей. Так образуется знаменитый девятый вал. Он — пик «периода второго ранга». Некоторые ученые предполагают, что по закону троек происходят и колебания солнечной, кометной и метеоритной активностей. Интервалы между их максимумами составляют девять-двенадцать лет или приблизительно 3 2 . Как считает доктор биологических наук Г. Розенберг, можно продолжить построение временных последовательностей следующим образом. Период третьего ранга 3 3 соответствует интервалу между сильными засухами, составляющему в среднем 27-36 лет; период 3 4 — циклу вековой солнечной активности (81-108 лет); период 3 5 — циклам оледенений (243-324 года). Совпадения станут еще лучше, если мы отступим от закона «чистых» троек и перейдем к степеням числа . Кстати, их очень легко вычислять, так как 2 почти равно 10 (когда-то в Индии число даже определялось как корень из 10). Можно и дальше продолжать подгонку циклов геологических эпох, периодов и эр под целые степени тройки (что и делает, в частности, Г. Розенберг в сборнике «Эврика-88», 1988 г.) или же числа 3,14. И всегда можно принять желаемое за действительное с той или иной точностью. (В связи с подгонками вспоминается математический анекдот. Докажем, что нечетные числа суть числа простые. Берем: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д., а 9 здесь — ошибка опыта.) И все же идея о неочевидной роли числа p во многих геологических и биологических явлениях, похоже, не совсем пустая, и, возможно, в будущем она еще себя проявит.

Число е и однородность времени и пространства

Теперь перейдем ко второй великой мировой константе — числу е. Математически безупречное определение числа е с помощью ряда, приведенного выше, по существу, никак не проясняет его связи с физическими или иными природными явлениями. Как же подойти к этой проблеме? Вопрос непростой. Начнем, пожалуй, со стандартного явления распространения электромагнитных волн в вакууме. (Причем вакуум мы будем понимать как классическое пустое пространство, не касаясь сложнейшей природы физического вакуума.)

Всем известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, равной 1) описывает экспоненциальная функция e iβt =cos βt + isin βt , где β — частота гармонических колебаний. Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул — формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (1707-1783) по первой букве его фамилии и названо число е.

Указанная формула хорошо известна студентам, но ее необходимо пояснить учащимся нематематических школ, ибо в наше время из обычных школьных программ исключены комплексные числа. Комплексное число z = x+iy состоит из двух слагаемых — чисел действительного (x) и мнимого, которое представляет собой действительное число у, умноженное на мнимую единицу . Действительные числа отсчитывают вдоль действительной оси О х , а мнимые — в том же масштабе вдоль мнимой оси О у , единицей которой служит i, причем длина этого единичного отрезка есть модуль | i | =1. Поэтому комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами (х, у). Итак, необычный вид числа е с показателем, содержащим только мнимые единицы i, означает наличие лишь незатухающих колебаний, описываемых косинусоидой и синусоидой.

Ясно, что незатухающая волна демонстрирует соблюдение закона сохранения энергии для электромагнитной волны в вакууме. Такая ситуация имеет место при «упругом» взаимодействии волны со средой без потерь ее энергии. Формально это можно выразить так: если перенести начало отсчета по оси времени, энергия волны сохранится, так как у гармонической волны останутся те же амплитуда и частота, то есть энергетические единицы, а изменится лишь ее фаза, часть периода, отстоящая от нового начала отсчета. Но фаза на энергию не влияет именно по причине однородности времени при смещении начала отсчета. Итак, параллельный перенос системы координат (он называется трансляцией) законен в силу однородности времени t. Теперь, наверно, в принципе понятно, почему однородность по времени приводит к закону сохранения энергии.

Далее, представим себе волну не во времени, а в пространстве. Наглядным примером ее может служить стоячая волна (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежная песчаная рябь. Математически эта волна вдоль оси О х запишется как e iх =cos х + isin х. Ясно, что и в этом случае трансляция вдоль х не изменит ни косинусоиды, ни синусоиды, если пространство однородно вдоль этой оси. Опять-таки изменится лишь их фаза. Из теоретической физики известно, что однородность пространства приводит к закону сохранения количества движения (импульса), то есть массы, умноженной на скорость. Пусть теперь пространство однородно по времени (и закон сохранения энергии выполняется), но неоднородно по координате. Тогда в различных точках неоднородного пространства оказалась бы неодинаковой и скорость, так как на единицу однородного времени приходились бы различные значения длины отрезков, пробегаемых за секунду частицей с данной массой (или волной с данным импульсом).

Итак, можно сформулировать второй основной тезис:

2. Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии — через однородность времени, импульса — через однородность пространства.

И все-таки, почему именно число е, а не какое-то другое вошло в формулу Эйлера и оказалось в основании волновой функции? Оставаясь в рамках школьных курсов математики и физики, ответить на этот вопрос непросто. Эту проблему автор обсуждал с теоретиком, доктором физико-математических наук В. Д. Эфросом, и мы попытались пояснить ситуацию следующим образом.

Важнейший класс процессов — линейные и линеаризованные процессы — сохраняет свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая служит решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (этот тип уравнений изучается на первом-втором курсах вузов и колледжей). А ее ядром служит приведенная выше формула Эйлера. Так что решение содержит комплексную функцию с основанием е, такую же, как уравнение волны. Причем именно е, а не другое число в основании степени! Потому что только функция е х не изменяется при любом числе дифференциро ваний и интегрирований. И следовательно, после подстановки в исходное уравнение только решение с основанием е даст тождество, как и надлежит правильному решению.

А теперь запишем решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, описывающее распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, приводящего к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Мы видим, что формула Эйлера умножается на действительную переменную величину e αt , которая есть амплитуда волны, изменяющаяся во времени. Выше мы полагали ее для простоты постоянной и равной 1. Так можно делать в случае незатухающих гармонических колебаний, при α = 0. В общем же случае любой волны поведение амплитуды зависит от знака коэффициента a при переменной t (времени): если α > 0, амплитуда колебаний возрастает, если α < 0, затухает по экспоненте.

Возможно, последний абзац труден для выпускников многих обычных школ. Он, однако, должен быть понятен студентам вузов и колледжей, которые основательно штудируют дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

А теперь положим β = 0, то есть уничтожим колебательный множитель с числом i в решении, содержащем формулу Эйлера. От бывших колебаний останется только затухающая (или нарастающая) по экспоненте «амплитуда».

Для иллюстрации обоих случаев представим себе маятник. В пустом пространстве он колеблется без затухания. В пространстве с сопротивляющейся средой колебания происходят с экспоненциальным затуханием амплитуды. Если же отклонить не слишком массивный маятник в достаточно вязкой среде, то он будет плавно двигаться к положению равновесия, все более замедляясь.

Итак, из тезиса 2 можно вывести такое следствие:

Следствие 1. При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при β = 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине .

Сформулированный принцип математически выглядит так: ∆I ~ I∆t, где, допустим, I — сигнал, а ∆t — малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала ∆I. Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим lnI ~ kt. Или: I ~ e kt — закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала (в зависимости от знака k). Таким образом, закон пропорцио нальности прироста величины самой величине приводит к натуральному логарифму и тем самым к числу е. (Причем здесь это показано в виде, доступном для школьников выпускного класса, знающих элементы интегрирования.)

По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идет множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т. д. Особо отметим универсальный психофизический закон Вебера — Фехнера (почему-то игнорируемый в образовательных программах школ и вузов). Он гласит: «Сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения».

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естествен но, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению). Согласно закону: 1) малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения; 2) в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов. Возьмем для примера чай: стакан чая с двумя кусками сахара воспринимается раза в два более сладким, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с 10 кусками. Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться по силе в ~ 10 10 , а ухом — в ~ 10 12 раз. Живая природа приспособилась к таким диапазонам. Она защищается, логарифмируя (путем биологического ограничения) поступающие раздражите ли, иначе рецепторы погибли бы. На законе Вебера — Фехнера основана широко применяемая логарифмическая (децибельная) шкала силы звука, в согласии с которой работают регуляторы громкости аудиоаппаратуры: их смещение пропорционально воспринимаемой громкости, но не силе звука! (Ощущение пропорционально lg / 0 . За порог слышимости принято р 0 = 10 -12 Дж/м 2 с. На пороге имеем lg1 = 0. Увеличение силы (давления) звука в 10 раз соответствует примерно ощущению шепота, которое выше порога на 1 бел по шкале логарифмов. Усиление звука в миллион раз от шепота до крика (до 10 -5 Дж/м 2 с) по логарифмической шкале есть увеличение на 6 порядков или на 6 Бел.)

Наверное, подобный принцип оптимально экономичен и при развитии многих организмов. Это можно наглядно наблюдать по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семян в корзинке подсолнуха, чешуек в шишках. Расстояние от центра прирастает по закону r = ae kj . В каждый момент скорость прироста линейно пропорциональна самому этому расстоянию (что легко видеть, если взять производную от записанной функции). По логарифмической спирали выполняют профили вращающихся ножей и фрез.

Следствие 2. Наличие только мнимой части функции при α = 0, β 0 в решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами описывает множество линейных и линеаризованных процессов, в которых имеют место незатухающие гармонические колебания.

Это следствие возвращает нас к уже рассмотренной выше модели.

Следствие 3. При реализации следствия 2 происходит «смыкание» в единой формуле чисел и е посредством исторической формулы Эйлера в ее первоначальном виде е i = -1.

В таком виде Эйлер впервые опубликовал свою экспоненту с мнимым показателем степени. Нетрудно выразить ее через косинус и синус в левой части. Тогда геометрической моделью этой формулы будет движение по окружности с постоянной по абсолютному значению скоростью, которое есть сумма двух гармонических колебаний. По физической сущности в формуле и ее модели отражаются все три фундаментальных свойства пространства-времени — их однородность и изотропность, а тем самым все три закона сохранения.

Положение о связи законов сохранения с однородностью времени и пространства, бесспорно, правильно для евклидова пространства в классической физике и для псевдоевклидова пространства Минковского в Общей теории относительности (ОТО, где четвертой координатой служит время). Но в рамках ОТО возникает естественный вопрос: а как обстоит дело в областях огромных гравитационных полей, вблизи сингулярностей, в частности, у черных дыр? Мнения физиков здесь расходятся: большинство считают, что указанные фундаментальные положения сохраняются и в этих экстремальных условиях. Однако есть и иные точки зрения авторитетных исследователей. И те и другие работают над созданием новой теории квантовой гравитации.

Чтобы в двух словах представить себе, какие здесь возникают проблемы, процитируем слова физика-теоретика академика А. А. Логунова: «Оно (пространство Минковского. — Авт .) отражает свойства, общие для всех форм материи. Это обеспечивает существование единых физических характеристик — энергии, импульса, момента количества движения, законов сохранения энергии, импульса. Но Эйнштейн утверждал, что такое возможно только при одном условии — в случае отсутствия гравитации <. >. Из этого утверждения Эйнштейна следовало, что пространство-время становится не псевдоевклидовым, а гораздо более сложным по своей геометрии — римановым. Последнее уже отнюдь не однородно. Оно меняется от точки к точке. Появляется свойство кривизны пространства. В нем исчезает и точная формулировка законов сохранения, как они были приняты в классической физике. <. >Если говорить строго, то в ОТО в принципе нельзя ввести законы сохранения энергии-импульса, их нельзя сформулировать» (см. «Наука и жизнь» №№ 2, 3, 1987 г.).

Фундаментальные константы нашего мира, о природе которых мы говорили, известны не только физикам, но и лирикам. Так, иррациональное число , равное 3,14159265358979323846. вдохновило выдающегося польского поэта ХХ века, лауреата Нобелевской премии 1996 года Виславу Шимборскую на создание стихотворения «Число Пи», цитатой из которого мы закончим эти заметки:

— число, достойное восхищения:
Три запятая один четыре один.
Каждая цифра дает ощущение
начала — пять девять два,
ведь до конца не дойти никогда.
Взглядом всех цифр не объять —
шесть пять три пять.
Арифметических действий —
восемь девять —
уже не хватает, и трудно поверить —
семь девять —
что не отделаться — три два три
восемь —
ни уравнением, которого нет,
ни шутливым сравнением —
оных не счесть.
Двинемся дальше: четыре шесть.
(Перевод с польского — Б. Г.)

что значит буква «Е» в физике, тока прописная, и формула её

«эпсилон» — угловое ускорение; проводимость среды; электронный захват; относительное удлинение; диэлектрическая проницаемость среды; энергия активации; иногда — ЭДС; ε0 — универсальная электрическая постоянная.

Vlad IlyuhinЗнаток (285) 9 лет назад
Остальные ответы
это может быть ЭДС, но формул есть несколько

в электростатике это диэлектрическая проницательность а в теме магните поле Е это электромагнитная индукция, формулы разные, тебе какую? а да еще эдс тоже такая же буква, я егэ сдавала и весь год к репетитору ходила, есть все формулы имеющиеся в физике, если что обращайся

fcedv rvwrvЗнаток (265) 12 лет назад
я точно не знаю,скорей электромагнитная индукция. В лабараторке такое слово есть)))
SolnishkoМудрец (10144) 12 лет назад

Е= — дельта Ф/ дельта t, (Ф так и пишет как русская) — закон электромагнитной идукции
Е= L*дельта I/дельта t
E= B*l (л маленькая прописная такая, увы а клавиатуре такой нет)*V(скорость)*sin альфа — эдс индукции в движущихся проводниках
это все из одной темы

fcedv rvwrv Знаток (265) чета я ничего не понял, можно тебе в скайп позвонить?
SolnishkoМудрец (10144) 12 лет назад
у меня микрофона нет чтоб разговаривать
Валера ТкаченкоУченик (232) 6 лет назад
Можешь мне формулы скунуть?)

Валера Ткаченко, чел через время разговаривает) 6 лет назад, он тебя уже не увидеть за это время у него наверное семья и дети а ты со своей формулай) не удевлюсь если и мне ответят) спустя 4 — 6 лет)

О ФОРМУЛЕ Е=MC2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

В статье рассматривается физический смысл формулы Е=mс2; приводятся сведения о том, как она появилась и имеются ли экспериментальные подтверждения её справедливости; делается вывод о неэквивалентности массы и энергии.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT THE FORMULA E=MC2

The article considers the physical meaning of the formula E=mc2; provides information about how it appeared and whether there are experimental confirmation of is validity; concludes that mass and energy are not equivalent.

Текст научной работы на тему «О ФОРМУЛЕ Е=MC2»

ISSN 2410-6070 ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА №12 / 2020

Федоровский В. Е.

Пенсионер, физик, бывш. раб. УЭХК,

г. Новоуральск, Р.Ф.

В статье рассматривается физический смысл формулы E=mc2; приводятся сведения о том, как она появилась и имеются ли экспериментальные подтверждения её справедливости; делается вывод о неэквивалентности массы и энергии.

масса, энергия, частица, излучение.

Retired, physicist, former employee of UECC,

ABOUT THE FORMULA E=MC2 Abstract

mass, energy, particle, radiation.

В университетах можно многому научиться, в том числе и глупости.

Формула Е=шс2 , где Е — энергия, m — масса, с — скорость света, считается самой знаменитой и фундаментальной формулой физики, которая говорит об эквивалентности массы и энергии. Главный смысл формулы, который следует из теории относительности, состоит в том, что масса и энергия могут превращаться друг в друга. То есть, если тело отдаёт энергию Е в виде излучения, то его масса уменьшается на величину Е/с2.

До создания теории относительности считалось, что действуют два закона — закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Масса и энергия — это два разных состояния материи. Между ними связь есть, но они не эквивалентны друг другу. Масса всегда имеет какую-то энергию, но не всякая энергия имеет массу.

Волны на воде и в воздухе — это колебания молекул воды и воздуха около положения равновесия с переносом энергии в направлении распространения волны. Электромагнитная волна (излучение) — это сложные колебания частиц эфира, распространяющиеся со скоростью света.

В одной из своих книг академик А. Мигдал писал: Физика немыслима без математики и математических понятий, но не сводится к ним. Более того, главное в физике — не формулы, а их интерпретация — понимание; именно оно питает интуицию. Физика развивается не с помощью математической логики, а с помощью физической интуиции [1].

Воспользуемся этим советом академика и попробуем представить себе хоть какой-нибудь

физический процесс, при котором частица, имеющая массу, превратилась бы в излучение.

Излучение — это волна, а любая волна подразумевает наличие среды, в которой происходят колебания частиц этой среды. Частица — это объект, а излучение — это явление, процесс. Поскольку невозможно представить себе, чтобы частица превратилась в среду, логично подвергнуть сомнению физический смысл формулы, который закладывается в неё теорией.

Попробуем понять, какие исходные предпосылки заложены в этой формуле теорией, имеется ли её экспериментальное подтверждение, и какой реальный физический смысл этой формулы.

Формулу Е=тс2 можно вывести следующим образом [2].

В теории относительности утверждается, что масса тел зависит от их скорости по формуле Лоренца т=то* [(1 — у2/с2)] А (- ‘/г), где V — скорость тела.

Если формулу Лоренца разложить по степеням по формуле бинома Ньютона и взять только два первых члена, а остальные отбросить за ненадобностью и предположить, что энергия тела, которая прирастает со скоростью, является кинетической, то тогда и получается формула Е= тс2.

Приводится вывод этой формулы и другим методом [3].

Рассматривается неподвижный относительно наблюдателя атом, который излучает два фотона в противоположные стороны. Атом теряет энергию, равную энергии двух фотонов, и остаётся неподвижным, поскольку суммарный импульс, равный нулю, до и после излучения не меняется.

Затем рассматривается та же ситуация при движущемся наблюдателе. С точки зрения наблюдателя атом движется, и импульс системы при излучении атомом фотонов не будет равен нулю.

Поскольку импульс тела равен его массе умноженной на скорость, а скорость атома не изменилась, приходится делать вывод, что изменилась масса атома. После этого и выводится формула Е=тс2.

Оба вывода этой формулы нельзя считать корректными.

В первом случае взяли преобразование Лоренца, по которому масса тела зависит от его скорости, что не имеет физического смысла, и с большими оговорками вывели эту формулу.

Во втором случае предположили, что импульс тела зависит от скорости движения наблюдателя. Из чего сделали вывод, что масса неподвижных тел увеличивается с увеличением скорости движения наблюдателя, что тоже абсурдно, и получили эту формулу.

Теперь рассмотрим, как определяется кинетическая энергия тел.

При увеличении скорости тела от 0 до V оно приобретает кинетическую энергию mv2/2. Можно ли представить себе физический процесс, при котором кинетическая энергия тела возрастает от 0 до mv2?

Такой процесс означает, что тело мгновенно приобрело скорость V, и никакой работы по разгону тела не совершалось. А такое может быть только в том случае, если масса покоя тела равнялась нулю, то есть, никакого тела и не было. А если тела не было, то у чего же масса покоя равна нулю?

С другой стороны, в формуле Е=тс2 речь идёт об энергии покоящегося тела. Тем не менее, в ней присутствует скорость. Как же можно перемножать массу покоя тела на скорость, да ещё фотонов, не имеющих массы покоя?

Где же в природе или в эксперименте можно наблюдать процессы превращения частиц или тел, имеющих массу покоя, в энергию излучения? Обратимся к экспериментальным фактам.

В рамках современной физики принято считать, что электрон и позитрон, имеющие массу покоя и эквивалентную ей энергию примерно по 0,5МэВ, могут аннигилировать с образованием двух гамма-квантов, которые получают энергию тоже по 0,5МэВ. А гамма-кванты с этой энергией могут из области, близкой к ядру атома, рождать пару электрон-позитрон, что и подтверждает справедливость формулы Е=тс2.

Нет, не подтверждает. Реакция аннигиляции — это взаимодействие материи и антиматерии, а не превращение нейтрона или электрона в излучение.

Кроме того, не объясняется — куда девается кинетическая энергия частиц, приобретённая ими при сближении до аннигиляции? К тому же, масса гамма-квантов вычисляется по формуле Е=тс2. Получается, что формулу объясняем этой же самой формулой.

Можно предположить, что никакой аннигиляции электрона с позитроном не происходит. При их соединении в энергию гамма-квантов переходит кинетическая энергия частиц, а сами частицы остаются в эфире в виртуальном виде в одном из фазовых состояний с минимальными энергиями. А после поглощения гамма-квантов частицы переходят в реальный мир, в другое фазовое состояние, наподобие молекул воды, которые при получении энергии переходят из жидкого состояния в состояние пара.

Хорошо изучено явление тормозного излучения электронов. Энергия излучения точно равна кинетической энергии электрона перед его остановкой. А сам электрон никуда не девается — он просто останавливается.

Мы также знаем, что атом может испускать и поглощать фотоны разных энергий. При передаче фотоном своей энергии электрону в атоме, электрон переходит на более высокоэнергетическую орбиту. А при переходе электрона на прежнюю орбиту атом излучает фотон с уменьшением своей общей энергии.

И разница в энергиях электрона до и после излучения определяет энергию излучённого фотона. То есть, происходит только передача энергии от фотона к электрону и обратно.

Известно, что в фотоэффекте, где фотон выбивает электрон из атома, не выполняется закон сохранения импульса. Этот факт позволяет утверждать, что у фотона нет массы и импульса, он передаёт электрону только энергию.

Далее. Когда были проведены первые испытания атомных бомб, то многие считали (и считают до сих пор), что причиной огромного выделения энергии при взрыве является переход части атомов вещества в излучение, что и подтверждает формулу Е=тс2.

Но и это утверждение не соответствует действительности.

Во многих физических справочниках приводится реакция деления ядер и-235 и соответствующий энергетический баланс этой реакции.

и (235,92) + п (1,0) -— Ва (145,56)* + Кг (88,36) + 3п (1,0)

Выделившаяся энергия распределяется следующим образом (цифры в процентах с точностью до 1%): кинетическая энергия осколков (бария и криптона) — 89, энергия бета-распада — 4, энергия гамма-квантов — 4, кинетическая энергия нейтронов — 3. Сумма нуклонов в обеих частях реакции одинакова.

Энергию взрыва на 96% составляет кинетическая энергия частиц и только 4% — доля излучения, которое образуется не за счёт распада массы, а при переходе энергии возбуждения ядра бария в энергию гамма-кваитов.

И только после развала ядра на частицы их кинетическая энергия превращается в энергию различных видов волн и излучений.

Другими словами, никакие частицы при взрыве в излучение не превратились, а произошёл только переход энергии из одного вида в другой.

Считается, что на Солнце происходит термоядерная реакция соединения изотопов водорода с образованием гелия и выделением большого количества энергии. И что энергия эта получается за счёт перехода в неё части массы реагирующих веществ.

Реакция записывается так: Б + Т——Не + п +17,6 МэВ.

Расшифруем. Дейтрон (ядро изотопа водорода — дейтерия), содержащий 1 протон и 1 нейтрон, соединяется с тритоном (ядром другого изотопа водорода — трития), содержащим 1 протон и 2 нейтрона. В результате реакции получается ядро гелия (2 протона и 2 нейтрона), 1 нейтрон и энергия.

И в этой реакции количество нуклонов в обеих частях реакции одинаково, то есть, ни одна частица никуда не делась. А полученная энергия — это кинетическая энергия ядра гелия (20%) и нейтрона (80%).

Всё вышесказанное означает, что нет ни одного эксперимента, который бы однозначно доказывал распад вещества, имеющего массу.

И это логично, поскольку надо помнить, в какие огромные плотности сжата материя в частицах. Плотность самых тяжёлых земных материалов составляет величину около 20г/см3. Плотность материи электрона — порядка миллиона тонн/см3, а протона и нейтрона — миллиарды тонн/см3.

Природе зачем-то понадобилось сжимать материю в частицах до таких чудовищных плотностей. Надо полагать, не для того, чтобы легко «разбазаривать» её направо и налево в виде излучений. А для того, чтобы мир был устойчив, и никакие огромные ядерные и термоядерные температуры не могли нарушить целостность «кирпичиков» этого мира.

Кроме того, в физических справочниках величины масс частиц, составляющих атом, указываются до шестого знака после запятой. Значит, не предполагается, что массы частиц могут меняться

Теперь рассмотрим, откуда возникает энергия атомного взрыва?

С увеличением порядкового номера элементов в таблице Менделеева в ядре элементов увеличивается и количество протонов, и количество нейтронов. Размер ядра увеличивается, и у элементов, начиная с атомного номера выше примерно 60, близкодействующие ядерные силы между нуклонами ослабевают.

При достаточно большом массовом числе и определённом соотношении протонов и нейтронов (например, в ядре и235) кулоновские силы отталкивания между протонами почти сравниваются с ядерными силами притяжения.

Достаточно небольшого «запала» в виде нейтрона малой энергии, попавшего в ядро и235, чтобы оно развалилось и выделилась энергия, эквивалентная величине потенциальной энергии отталкивания протонов в ядре.

Энергия атомного взрыва — это не распад частиц, не распад массы, а выделившаяся потенциальная энергия кулоновского отталкивания частиц в ядре после развала ядра.

Можно привести такую аналогию. В земной коре за многие миллионы лет существования Земли в реакциях с потреблением энергии образовались не только элементы с большим атомным весом, но и такие вещества, как нефть, газ, каменный уголь и др. При сжигании этих веществ часть запасённой в них энергии выделяется в виде тепла, и образуются новые вещества.

Количество атомов в исходных продуктах и в продуктах реакции этих веществ сохраняется. Происходит только образование новых молекул с другой по величине энергией связи между атомами. Для начала реакции их горения тоже достаточно небольшой энергии «запала», чтобы реакция началась.

Похожий процесс происходит и при «горении» урана.

Разница только в том, что при химических реакциях идёт перегруппировка вещества на уровне атомов, а в ядерных реакциях — на уровне ядер.

Теперь обратимся к понятию «дефект массы» ядерных реакций.

Имеются таблицы величин масс ядер различных элементов, определённых масс-спектрометрическим методом, из которых следует, что массы большинства ядер меньше суммы масс частиц, из которых они состоят.

Эту разницу масс назвали «дефектом массы» и решили, что часть массы составляющих ядро частиц переходит в энергию их связи в ядре. Такое утверждение тоже не соответствует действительности.

Сначала напрашивается логичный вывод — если суммарная масса частиц в различных реакциях, даже при очень больших температурах, не меняется, то не может быть и никакого реального дефекта массы.

Известно, что ещё в 1835г. К.Гауссом в электродинамике был открыт закон запаздывания потенциалов, суть которого в том, что при увеличении скорости электронов уменьшается сила их взаимодействия с магнитным полем, что создаёт ложное впечатление увеличения массы электронов [4].

По разным причинам этот закон долго не был опубликован, а потом появились уравнения Максвелла, теория относительности, и о законе забыли.

Кроме того, величина электрического поля, создаваемого ядром, всегда отличается от суммы электрических полей протонов, входящих в ядро.

Из-за нелинейной зависимости энергии связи нуклонов в ядре от их количества (в пересчёте на один нуклон), при увеличении атомного номера элемента примерно до 60, когда энергия связи нуклонов в ядре достигает максимального значения, электрическое поле ядра будет меньше суммы электрических полей составляющих его протонов.

По этим причинам измеряемая в ускорителях масса ядра будет казаться меньше суммы масс протонов его составляющих.

А для элементов с номером больше 60 эффект поменяет знак.

Поскольку ни в одном эксперименте не измеряли массу частиц напрямую, а учитывали только увеличение затрат энергии при движении частицы и на основании этого вычисляли массу по формуле Е=тс2, понятие «дефект массы» возникло из-за слепой веры в теорию относительности и неправильной интерпретации результатов измерений масс частиц в ускорителях [5].

Связь между энергией различных волн с массой частиц может быть только условная. Вот образный пример.

Если подложить под чашку весов с телом магнит, притягивающий к себе чашку, то при равновесии чашек масса тела будет казаться меньше массы гирь на другой чашке весов. А если соорудить устройство, чтобы чашка с телом отталкивалась от магнита, то «дефект массы» получится с обратным знаком.

Этот «дефект массы» можно связать с энергией магнитного поля по формуле E=kДm, где Е — энергия магнитного поля магнита там, где располагается тело, Дт — дефект массы, k — коэффициент пропорциональности между потенциальной энергией магнитного поля и «дефектом массы».

Чтобы знаки потенциальной энергии и изменения эквивалентной ей массы совпадали, следует считать энергию поля притяжения зарядов друг к другу положительной, а энергию поля отталкивания -отрицательной. Аналогичный пересчёт можно сделать и в случае атомной реакции.

Как уже говорилось выше, энергия атомного взрыва — это перешедшая в кинетическую энергию частиц потенциальная энергия их кулоновского отталкивания в ядре после его распада. Эту потенциальную энергию можно условно перевести в эквивалентную ей массу электромагнитной волны.

Частица массой т с кинетической энергией Е и электромагнитная волна с такой же энергией могут совершить одинаковую работу А. Поэтому можно перевести массу частицы в эквивалентную ей электромагнитную энергию волны по формуле Е=тс2.

Но такой перевод массы частиц в энергию излучения не имеет физического смысла, поскольку никакая масса в энергию не переходит.

Можно перевести и энергию электромагнитной волны в эквивалентную ей массу частиц по формуле Е=mv2/2. Но такой перевод тем более теряет физический смысл, поскольку не даёт однозначного ответа -для каждой скорости частиц будет своя величина массы, эквивалентной энергии Е.

Такие сравнения энергии и массы условны и не означают, что масса и энергия могут переходить друг в друга. Образно выражаясь, можно считать, например, что телевизор может переходить в недельный отдых в санатории, если их цены в рублях одинаковы.

Вот как выразил своё понимание связи массы с энергией выдающийся учёный Н.Тесла: Нет в материи иной энергии, помимо полученной ею из окружающей среды; и та идея, что масса конвертируема в энергию — из ряда нонсенсов [6].

1. В природе действует закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Масса и энергия не эквивалентны друг другу. Любая масса имеет какую-либо энергию, но не любая энергия имеет массу.

2. При любых химических и ядерных реакциях масса в энергию не переходит, она только перераспределяется между продуктами реакции. Энергия в массу тоже не превращается, она только переходит из одного вида в другой.

3. Поскольку масса и энергия не эквивалентны друг другу, формула Е=тс2 не имеет заложенного в неё физического смысла.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Поскольку любая масса, и любая энергия могут совершать определённую работу, из условия равенства произведённых ими работ можно условно пересчитывать энергию в эквивалентную ей массу по формуле Е = тс2.

Список использованной литературы: 1. А. Мигдал, «Квантовая физика для больших и маленьких», библ. «Квант», вып.75, 1989.

2. В. Петров, «Релятивистская масса и энергия», 2003 (эл. ресурс).

3. Журнал «Квант», №6, 2005.

4. Н. Носков, статья «Теория запаздывающих потенциалов против теории относительности» (эл. ресурс).

5. В. Комаров, «Материя и энергия» в кн. «Наука и миф», М, 1988.

6. О’Нил Дж. Джейкоб, «Гений, бьющий через край. Н.Тесла», 2009.

Числа π и e

Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром:

А вот смысл другой важной константы, e, имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590. (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.

Число e по определению — предел функции y = (1 + 1 / x) x при x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702.
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601.
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294.
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322.
∞	lim_{× → ∞}	= 2,7182818284590.

Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.

Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.

Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = k x . Эта функция обладает уникальным свойством при k = e, которое можно показать графически так:

В точке 0 функция принимает значение e 0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e 1 = e . Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e). В точке 2 значение e 2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.

Среди всех функций y = k x (например, 2 x , 10 x , π x и т. д.), функция e x — единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (e x )´ = e x . Почему-то именно число e = 2,7182818284590. нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.

Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.

Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:

e iπ + 1 = 0

Почему число 2,7182818284590. в комплексной степени 3,1415926535. i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.

Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.

Чему равно e в физике