Формулы для расчета двухпролетной балки с разными пролетами на равномерно распределенную нагрузку
В малоэтажном частном строительстве к двухпролетным балкам с разными по длине пролетами чаще всего относятся наслонные стропила с подкосами и коньковым брусом. Но и при расчете стальных балок перекрытия, укладываемых сразу на два помещения разной ширины, возникает такая же ситуация.
Двухпролетные балки с тремя шарнирными опорами являются один раз статически неопределимыми конструкциями. Для расчета таких балок можно воспользоваться методом трех моментов или методом перемещений. А можно и готовыми формулами, которые приводятся в данной статье.
Рисунок 732.1. Балка с двумя разными по длине пролетами.
1. Сначала определяется (по уравнениям 3 моментов) момент на промежуточной опоре В:
MВ = — q(a 3 + b 3 )/8L = — q(a 2 — ab + b 2 )/8
2. После этого определяются опорные реакции:
RA = qa/2 + MB/a = qa/2 — q(a 3 + b 3 )/8La
RC = qb/2 + MВ/b = qb/2 — q(a 3 + b 3 )/8Lb
RB = qL/2 + q(a 3 + b 3 )/8La + q(a 3 + b 3 )/8Lb
RA + RB + RC — qL = qa/2 + qb/2 + qL/2 — q(a 3 + b 3 )/8La + q(a 3 + b 3 )/8La — q(a 3 + b 3 )/8Lb + q(a 3 + b 3 )/8Lb — qL = qL- qL = 0
3. Для определения максимального изгибающего момента в первом пролете а сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:
«Q»х = RA — qx = 0
x = RA/q
M1пр = RAx — qx 2 /2
4. Для определения максимального изгибающего момента во втором пролете b сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:
«Q»х = RC — qx = 0
x = RC/q
M2пр = RCx — qx 2 /2
5. Для определения максимального прогиба в первом пролете а сначала определяется точка, где угол наклона поперечного сечения равен 0. Для этого сначала определяется угол наклона поперечного сечения в начале балки:
fВ = — θАa + RAa 3 /6EI — qa 4 /24EI = 0
θAa = RAa 3 /6EI — qа 4 /24EI
θA= RAa 2 /6EI — qа 3 /24EI = (4RAa 2 — qа 3 )/24EI
— ΘA + RAx 2 /2EI — qx 3 /6EI = 0
Кубическое уравнение будет иметь вид:
qx 3 /6EI — RAx 2 /2EI + ΘA = 0
f1пр = -ΘAх + RAx 3 /6EI — qx 4 /24EI =
(-x((4RAa 2 — qа 3 )) + 4RAx 3 — qx 4 )/24EI
Для второго пролета прогиб можно определить сходным образом. Вот собственно и все основные формулы.
На этом пока все.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).
Расчет двухпролетной балки
Люди добрые, помогите и направьте на путь верный, учусь считать двухпролетную неразрезную двутавровую балку.
Задача следующая, есть двухпролетная двутавровая балка N30 R=200 W=592 см3, пролетами по 3 м, опирание на трех опорах шарнирное. Необходимо посчитать какую максимальную нагрузку выдержит балка на 1 мп при условии сплошного ее раскрепления.
Сначала опишу свой алгоритм действий: Думаю найти максимально возможный момент который выдержит балка Mmax=RW=2000*592=11840
Затем из формул М=-gl2/8 и M=9gl2/128 нахожу нагрузку g=M128/9l2-она и будет максимально возможной для данной балки.
Верно ли я рассуждаю?
Затем я полагаю нужен расчет по прогибу: fmax=l/250 = 300/250=1,2см, по формуле fmax=-gl4/185EI нахожу g= f185EI/l4
Дайте совет, хочу уметь считать такие балки.
Просмотров: 6223
| hoholagent |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от hoholagent |
Регистрация: 15.05.2009
Сообщений: 6,062
принцип верный
| mainevent100 |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от mainevent100 |
Регистрация: 02.03.2015
Сообщений: 15
Сообщение от mainevent100
принцип верный
ТО есть замечаний вобще никаких нет?
| hoholagent |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от hoholagent |
Регистрация: 12.10.2011
Сообщений: 2,531
hoholagent вы полистайте книгу http://dwg.ru/dnl/?Dnl%5Btitle%5D=%D. B0%D1%82%D1%8C там есть правильные формулы, для учёбы в самый раз.
__________________
Не пытайтесь исправить прошлое. Лучше приложите все усилия, чтобы не испортить будущее.
Регистрация: 22.10.2014
Сообщений: 2
Подход верный, только все ручные расчеты я проверяю в МКЭ программе. На ручных расчетах можно легко арифметически ошибиться.
Регистрация: 02.03.2015
Сообщений: 15
Сообщение от *KSV*
hoholagent вы полистайте книгу http://dwg.ru/dnl/?Dnl%5Btitle%5D=%D. B0%D1%82%D1%8C там есть правильные формулы, для учёбы в самый раз.
А в моих формулах есть ошибка? Где именно подскажите пожалуйста, вроде все с учебных материалов брал. Те учебники которые вы сбросили по ЖБ конструкциям.
| hoholagent |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от hoholagent |
Регистрация: 06.06.2012
Харьков, Украина
Сообщений: 2,454
hoholagent, Вам нужны СНиП II-23-81 и СНиП 2.01.07-85. В первом есть проверки на прочность и устойчивость, во втором проверки на прогибы и указания по учету нагрузок. Для двухпролетной балки более невыгодной может оказаться неравномерная загрузка пролетов. Также нужно проверить опорные конструкции на реакции от балок.
Формулы из поста№1 для изгибающих моментов и прогибов в случае равномерно загруженной двухпролетной балки правильные.
Регистрация: 15.05.2009
Сообщений: 6,062
Сообщение от ZVV
hoholagent, Вам нужны СНиП II-23-81 и СНиП 2.01.07-85.
да нее, зачем студенту заморачиваться?
если формулы взяты правильные (всех ведь не запомнишь), то все ОК. может быть, только учесть, что из формулы прогиба находится нормативная нагрузка qn, а из расчета прочности — расчетная
| mainevent100 |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от mainevent100 |
Регистрация: 02.03.2015
Сообщений: 15
Сообщение от ZVV
Для двухпролетной балки более невыгодной может оказаться неравномерная загрузка пролетов. Также нужно проверить опорные конструкции на реакции от балок.
ООО, вот это мне тоже интересно. то есть нужно проверить балку в случае когда нагружен один пролет а второй нет, так? А под опорными конструкциями вы понимаете например колонны? То есть я те опорные реакции в узлах прилагаю на каждую из колонн соответственно, и например если у меня колонна двутавровая тоже то можно попробовать просчитать колонну? Так?
Я до расчета колонн еще не бобрался, если у кого есть методика под рукой ткните пожалуйста!
| hoholagent |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от hoholagent |
Регистрация: 06.06.2012
Харьков, Украина
Сообщений: 2,454
Сообщение от hoholagent
ООО, вот это мне тоже интересно. то есть нужно проверить балку в случае когда нагружен один пролет а второй нет, так?
Конструкции нужно проверить на все возможные варианты загружений (это есть в СНиП 2.01.07-85).
Сообщение от hoholagent
А под опорными конструкциями вы понимаете например колонны? То есть я те опорные реакции в узлах прилагаю на каждую из колонн соответственно, и например если у меня колонна двутавровая тоже то можно попробовать просчитать колонну? Так?
Колонны, стены, фундаменты — смотря какой конструктив. По расчету каркаса в целом смотрите учебники по металлическим конструкциям (если колонны стальные), например учебник Беленя Е.И., но это дело не простое и может потребовать значительных затрат времени.
Регистрация: 02.03.2015
Сообщений: 15
Скажите а если например эта балка которую я считаю, будет выступать в виде главной балки на которую ложаться второстепенные балки и по ним уже железобетонный монолитный настил. Нагрузка на главную балку будет считаться равномерно-распределенной? Например балку посчитаю на максимально возможную нагрузку с переводом ее на 1 м2 жб настила (естественно с учетом нагрузки от настила итд). Пусть по расчету максимально на балку опирается 10м2 с грузовой площади настила, по расчету проходит 1 тона на м2, то есть на 10 м2 я могу расположить 10 ящиков весом по 1й тонне и с размерами подошвы 1х1м это будет максимальная нагрузка и наихудший вариант, и если я расположу 7 ящиков по 1 тонне на этих же 10 м2 в любых местах с данным видом покрытия мне что , нужно будет считать балку как от сосредоточеной нагрузки, или можно будет пренебречь этим и считать нагрузку равномерной?
А если теоретически мне нужно будет дать информацию что на данное перекрытие можно нагрузить по 1т на 1 м2 оборудования, то вышеуказанная мною процедура расчета верна?
| hoholagent |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от hoholagent |
Регистрация: 06.06.2012
Харьков, Украина
Сообщений: 2,454
Сообщение от hoholagent
Скажите а если например эта балка которую я считаю, будет выступать в виде главной балки на которую ложаться второстепенные балки и по ним уже железобетонный монолитный настил. Нагрузка на главную балку будет считаться равномерно-распределенной? Например балку посчитаю на максимально возможную нагрузку с переводом ее на 1 м2 жб настила (естественно с учетом нагрузки от настила итд). Пусть по расчету максимально на балку опирается 10м2 с грузовой площади настила, по расчету проходит 1 тона на м2, то есть на 10 м2 я могу расположить 10 ящиков весом по 1й тонне и с размерами подошвы 1х1м это будет максимальная нагрузка и наихудший вариант, и если я расположу 7 ящиков по 1 тонне на этих же 10 м2 в любых местах с данным видом покрытия мне что , нужно будет считать балку как от сосредоточеной нагрузки, или можно будет пренебречь этим и считать нагрузку равномерной?
А если теоретически мне нужно будет дать информацию что на данное перекрытие можно нагрузить по 1т на 1 м2 оборудования, то вышеуказанная мною процедура расчета верна?
Если задана распределенная нагрузка на перекрытие (обычно есть в задании на проектирование), то считать на распределенную нагрузку. Если есть тяжелое оборудование — считать нужно на сосредоточенные нагрузки от этого оборудования.
Расчет двухпролетной неразрезной балки с выключающейся связью Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ / FREE VIBRATION / ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ / FORCED VIBRATION / ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ СИЛЫ / EQUIVALENT STATIC LOADS / ВЫКЛЮЧАЮЩАЯСЯ СВЯЗЬ / ПРОГРЕССИРУЮЩЕЕ ОБРУШЕНИЕ / PROGRESSIVE COLLAPSE / DISABLED CONSTRAINTS
Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Петров Иван Александрович
Подробно рассмотрен расчет двухпролетной неразрезной балки с распределенной массой с выключающейся связью . Рассмотрены два примера: выключение связи в системе, находящейся в положении статического равновесия, и в системе, совершающей вынужденные колебания . Приведены формулы для определения перемещений и эквивалентных статических сил , с помощью которых определяется напряженно-деформированное состояние в системе после выключения связи.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Петров Иван Александрович
Анализ колебаний конструкций с выключающимися связями
Определение эквивалентных статических сил при расчете систем с выключающимися связями
Динамический расчет подкрановой фермы при конструктивно нелинейной работе ее элементов
Расчет динамических догружений в стержневой пространственной системе с внезапно выключающимися элементами
Динамический анализ конструкций с разрушающимися связями
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Analysis of a continuous double-s pan beam that has disabled constraints
The objective of this article is to present the analysis of a double-span beam that has disabled constraints , including its analysis in the state of static equilibrium and in the event of forced vibrations. Hereinafter, the original system is entitled System 1, while the system that has disabled constraints is System 2. The analysis is performed in furtherance of the following pattern. First, System 1 static analysis and System 2 static and dynamic properties analysis is executed. Later, we calculate the deflection and the internal force of System 2 as the consequence of disabled constraints . By comparing the process of static equilibrium of System 2 and the process of free vibrations of System 2, we identify that the moment of flexion in the mid-span increases by 85 %, while the support moment increases by 66 %. The analysis of the system that has disabled constraints in the process of forced vibrations is the same as the analysis demonstrated hereinbefore, except that the initial condition is calculated differently. By disabling constraints, we can both reduce and increase the peak values of displacement of the system in the process of forced vibrations. This research proves that the proposed method can be used to calculate defl ection and the internal force of static and dynamic systems having disabled constraints . That can be very important in evaluation of the safety of structures after destruction of their individual elements.
Текст научной работы на тему «Расчет двухпролетной неразрезной балки с выключающейся связью»
РАСЧЕТ ДВУХПРОЛЕТНОЙ НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ С ВЫКЛЮЧАЮЩЕЙСЯ СВЯЗЬЮ
Подробно рассмотрен расчет двухпролетной неразрезной балки с распределенной массой с выключающейся связью. Рассмотрены два примера: выключение связи в системе, находящейся в положении статического равновесия, и в системе, совершающей вынужденные колебания. Приведены формулы для определения перемещений и эквивалентных статических сил, с помощью которых определяется напряженно-деформированное состояние в системе после выключения связи.
Ключевые слова: свободные колебания, вынужденные колебания, эквивалентные статические силы, выключающаяся связь, прогрессирующее обрушение.
Выводы формул, теоретическое обоснование, на которых основан алгоритм и выполнен пример расчета в данной статье, даны в [1, 2].
I. В качестве первого примера рассмотрим расчет системы, находящейся в положении статического равновесия, с выключающейся связью.
Общая схема расчета: рассматриваются последовательно две системы — до и после выключения связей; результат выключения связей — возбуждение свободных колебаний в системе; начальные условия (начальные смещения), определяющие свободные колебания, вычисляются из статических расчетов системы со связью (система 1) и системы без связи (система 2). Эквивалентные статические силы вычисляются по формулам, приведенным в [2]. Определяется напряженно-деформированное состояние системы без связи. Схема алгоритма:
1. Система с распределенной массой редуцируется системой с конечным числом степеней свободы.
2. Выполняется статический расчет систем 1 и 2 МКЭ. Записываются начальные условия, определяющие свободные колебания.
3. Система 2 рассчитывается на свободные колебания МКЭ. Определяются перемещения масс в главных координатах.
4. Вычисляются эквивалентные статические силы и напряженно-деформированное состояние системы 2.
Исходные данные. Рассматривается двухпролетная неразрезная балка (рис. 1, а) с жесткими закреплениями на концах. Выключающаяся связь в середине пролета балки (рис. 1, б). Поперечное сечение балки — двутавр 30Б1, с характеристиками А = 41,9210-4 м2, Е1 = 1329,27т м2.
д = 1 т/м д = 1 т/м
Рис. 1. Система 1 (а), система 2 (б)
Решение. 1. Распределенная масса редуцируется точечными массами. В результате получены расчетные схемы системы до и после выключения связи (рис. 2).
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
0,75 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 0,75 m 0,75 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 0,75 m
* 1500×4=6000 ^ 1500×4=6000 f J, 1500×4=6000 > 1500×4=6000 | а б
Рис. 2. Расчетные схемы системы 1 (а) и системы 2 (б)
Для иллюстрации адекватности системы с точечными массами сравнивались эпюры моментов при статическом приложении нагрузки системы 1 (рис. 3, а, б) и системы 2 (рис. 3, в, г).
2,8125 ^2,8125 2,8125 J1,8125
2,8125. J1,8125 11,8125,
«ULJ-UJJJ1111111 lil 1111 LLLLLu^ ■
Рис. 3. Эпюры моментов. Единицы измерения — тм
В результате редуцирования погрешность значения эпюры моментов системы 1 в пролете А = (1,6875 -1,5)/1,5 = 12,5 %, на опорах А = 6,3 % ; системы 2 — в пролете А = 3,1 %, на опорах А = 1,6 %. На основании результатов сравнения возможно считать, что распределенная масса заменена точечными массами с достаточной степенью приближения.
2. Выполняется статический расчет МКЭ системы 1 (см. рис. 2, а) и системы 2 (см. рис. 2, б). На основании результатов расчета записываются векторы, отображ а-ющие перемещения масс в положении статического равновесия системы 1 — и системы 2 — (рис. 4).
Рис. 4. Перемещения масс в системе 1 и системе 2
Вектор = ¡1 — ¡2 определяет начальные условия (перемещения) и, соответственно, характер свободных колебаний в системе после выключ ения связи (см. рис. 4). Если 2-у — 22 , т.е. выключения связи не происходит, вектор А2ст = 0 — свободные колебания в системе не возбуждаются.
3. Расчет системы 2 (рис. 2, б) на свободные колебания МКЭ производится в любом программном комплексе (в данном случае ПК SCAD [3]), в результате которого вычисляются собственные частоты и формы системы без связи.
Матрица собственных форм Ф [4—6], столбцами которой являются векторы собственных форм, имеет вид
Удобно воспользоваться свойствами нормированных форм. Постоянный нормирующий множитель вычисляется по формуле
где r — номер формы (частоты) собственных колебаний; j — номер точечной массы; n — количество масс (в данном расчете n = 7).
Нормированные векторы собственных форм и матрица нормированных собственных фо рм определяются из выражений
Индексы N далее опускаем. Ортогональность и нормирование собственных форм проверяется по формуле ФТМФ = E, где E — единичная матрица.
Вычислив вектор начальных перемещений масс системы (рис. 2, б) в главных коордо натах
запишем уравнения движения масс системы 2:
агсв (t ) = e~»r’a0r C0s (p’rt) + «»Г sin (p’rt)
где у — коэффициент внутреннего трения (для данного расчета у = 0,15); p* — собственная частота с учетом трения; r = 1, 2, . n — номер собственной формы (частоты).
4. Формулы для нахождения вектора эквивалентных статических сил и вектора перемещений масс приведены в [2]
где Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой квадраты собственных частот.
Величины эквивалентных статических сил вычисляются в момент максимального прогиба балки. Этому моменту соответствует половина пе ооо го периода колебаний: tpaC4 = п/p*1 = 0,178 с. График перемещений 52дин (t) = Фасв (t) + z2 приведен на рис. 5 [7]. На графике момент времени t = 0 — время выключения связи. Вектор ^2дин (t) показывает перемещение каждой^ массы относительно своего положения равновесия, т.е. относительно положения z2 (см. рис. 4).
Результаты расчета. Вектор эквивалентных статических сил вычисляется из выражения (7) при t = tpac4
=Yf, p’r=v pr — nr, (6)
Эпюра моментов от действия вычисленных эквивалентных статических сил и имеющейся статической нагрузки построена на рис. 7, а. Для сравнения приведена эпюра моментов (рис. 7, б), построенная по расчетной схеме, в соответствии с которой выключающаяся связь учитывается добавлением нагрузки, равной удвоенной реакции в выключающейся связи. Подобный подход используется в [8].
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
Рис. 5. График колебаний масс в системе относительно положения 2г
На рис. 6 приведен график изменения значений момента на опорах и в пролете при действии эквивалентных статических сил (как функций от времени) (7) и имеющейся статической нагрузки.
Рис. 6. Изменение значений момента на опорах и в пролете
II. В качестве второго примера рассмотрим расчет этой же системы при выключении связи в процессе колебаний.
Общая схема расчета точно такая же, как и общая схема расчета из примера I, за исключением начальных условий для 2-й системы: начальное смещение — сумма
Лzст и динамического перемещения системы 1 в момент выключения связей, начальная скорость — скорость системы 1 в момент выключения связей.
0,15 т 0,63 т 1,30 т 1,72 т 1,30 т 0,63 т 0,15 т ^
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Рис. 7. Эпюры моментов, единицы измерения — тм
Начальные условия для 2-й системы (после выключения связей) определялись по формулам
¿20 = ¿1 (*0)- Лст ‘ ¿20 = ¿1 (‘X (8)
где t0 — время выключения связей; Лгст определена по формуле (1).
¿1 (‘) = Ф1 а1 (‘), ¿1 (‘) = Ф1 а (‘) — уравнения движения и скоростей м асс системы 1;
где Ф1 — нормированная матрица собственных форм системы 1 (4); а1 ^) — уравнения движения масс системы 1 в главных координатах.
Решение уравнения движения системы 2 — это сумма решений уравнений движения вынужденных колебаний (при действии внешней динамической нагрузки) и свободных колебаний (при выключении связей):
а2 — (‘) = а2 гв(‘) + а2 гсв(‘). (9)
Уравнения вынужденных колебаний в главных координатах:
а2„(0 = \ЬГ (т)Уг (рг, ‘ — т) сСт = (‘), (10)
где Хгг — ¡-й элемент вектора г-й нормированной формы системы 2.
где Г = Л в»- з1п(р>) — импульсная переходная функция для г-й формы колеба-
ний; ^ (t) — внешняя динамическая нагрузка, приложенная в ¡-й массе; р* — собственная частота системы 2 с учетом трения (6).
Уравнения свободных колебаний в главных координатах:
где а20г, аа20г — начальное отклонение и скорость системы 2 в главных координатах,
которые определяются из выражений а20 = Ф2ТМ2 ¿20, а&20 = Ф2ТМ2 ¿20.
Перемещения и эквивалентные статические силы системы 2 вычисляются по формулам
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
(7) = Ф2 а2 (г), S2 = М2Ф2Л2 а2 (/). (12)
Рассматривалась балка, на которой установлено оборудование с гармоническими нагрузками, и оценивалось влияние времени выключения связи (и величины перемещений в этот момент). При расчете принималось (рис. 8): #(г) = Q0 б1п(ю г), Q0 = 1,5 т— амплитуда внешней нагрузки, ю = 62рад / с — частота внешней нагрузки.
Рис. 8. Расчетные схемы системы 1 (а) и системы 2 (б).
Влияние выключения связи оценивалось в момент нахождения масс системы 1 в крайнем нижнем при г = 0,946 с (рис. 9) и в крайнем верхнем положении при г = 0,996 с (рис. 10).
Рис. 9. График колебаний масс в системе с выключением связи при г = 0,946 с
Свободные колебания после выключения связи возбуждаются также при нулевом перемещении в начальной системе (системе 1) и максимальной скорости в мо -мент выключения связи.
Выводы. Приведенный алгоритм, по нашему мнению, является обоснованным и достаточно простым. Существенно, что при расчете могут быть использованы какие-либо из многочисленных программных комплексов МКЭ.
Выключение связи в системе, находящейся в положении статического равновесия, дает увеличение значения момента в пролете в 1,65 раза и на опорах в 1,85 раз по сравнению с системой без связи, находящейся в положении статического равновесия (см. рис. 2, б, 3, г и 7, а). По сравнению с одной из ранее применяемых методик (см. рис. 7, б) приведенный расчет дает существенное уточнение.
В системе, совершающей вынужденные колебания, выключение связи может как уменьшать пиковые значения перемещений (см. рис. 5 и 9), так и увеличивать (см. рис. 5 и 10). Это зависит от фазы внешней динамической нагрузки в момент выключения связи.
Рис. 10. График колебаний масс в системе с выключением связи при t = 0,996 с
Использование приведенного алгоритма для расчета систем с выключающимися связями не представляет особой сложности: алгоритм основан на результатах расчетов МКЭ по одному из многочисленных программных комплексов. Полученные значения вводятся как исходные данные в программу, написанную в системе компьютерной математики.
1. Чернов Ю.Т. К расчету систем с выключающимися связями // Строительная механика и расчет сооружений. 2010. № 4. С. 53—57. Режим доступа: http://elibrary.ru. Дата обращения: 18.06.12.
2. ЧерновЮ.Т., ПетровИ.А. К определению эквивалентных статических сил при расчете систем с выключающимися связями // Вестник МГСУ 2012. № 4. С. 98—101. Режим доступа: http://vestnikmgsu.ru. Дата обращения: 18.06.12.
3. Вычислительный комплекс SCAD / В.С. Карпиловский, Э.З. Криксунов, А.А. Маляренко и др. М. : Изд-во АСВ, 2008. 592 с.
4. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Универ У. Колебания в инженерном деле. М. : Машиностроение, 1985. 472 с.
5. Дарков А.В., ШапошниковН.Н. Строительная механика. М. : Высш. шк., 1986. 607 с.
6. Чернов Ю.Т. Вибрации строительных конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2011. 382 с.
7. Salvatore Mangano. Mathematica Cookbook. O’Reilly Media, 2010. 830 p.
8. Перельмутер А.В., Криксунов Э.З., Мосина Н.В. Реализация расчета монолитных жилых зданий на прогрессирующее (лавинообразное) обрушение в среде вычислительного комплекса «SCAD Office» // Инженерно-строительный журнал. 2009. № 2. С. 13—18. Режим доступа: http:// engstroy.spb.ru. Дата обращения: 18.06.12.
Поступила в редакцию в июле 2012 г.
Об авторе: Петров Иван Александрович — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ivpetrov87@yandex.ru.
Для цитирования: Петров И.А. Расчет двухпролетной неразрезной балки с выключающейся связью // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 148—155.
Расчет двухпролетной балки с консолями
Двухпролетные балки являются статически неопределимыми конструкциями, хоть с консолями, хоть без. Рассчитываются такие балки с использованием метода сил или метода опорных моментов. Ничего особенно сложного в таких расчетах нет, тем не менее, если пролеты у балки одинаковые, то далеко не всегда есть желание проходить всю процедуру расчетов с учетом того, что для бесконсольных двухпролетных балок с равными пролетами все основные данные для расчета уже давно определены и ничего считать особенно не надо. К тому иногда длина консолей изначально не задается и если стоит задача подобрать соответствующую длину для консолей, то производить каждый раз соответствующие расчеты желание пропадает и вовсе.
В таких случаях можно воспользоваться таким полезным принципом, как принцип суперпозиции, смысл которого в том, что если на какую-либо конструкцию действует несколько нагрузок, то рассчитывать конструкцию на совместное действие нагрузок вовсе не обязательно. Можно рассчитать конструкцию на действие каждой отдельно взятой нагрузки, а затем полученные результаты сложить.
Например для двухпролетной бесконсольной балки с равными пролетами, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, все основные расчетные данные уже давно определены. Достаточно в имеющиеся формулы подставить значения длины пролета и действующей нагрузки. В целом эпюра моментов для двухпролетной бесконсольной балки будет выглядеть так:
Рисунок 346.1. Эпюра моментов для двухпролетной балки с равными пролетами при действии равномерно распределенной нагрузки.
МВ = — ql 2 /8 (1.2)
A = C = 3ql/8 (1.3)
B = 10ql/8 (1.4)
Соотношение опорных реакций В/А = 10/3 = 3.33.
Между тем, если добавить к бесконсольной балке консоли и к этим консолям приложить такую же равномерно распределенную нагрузку, как и в пролетах, то эпюра изгибающих моментов изменит свой вид, да и значения опорных реакций изменятся. Как, мы сейчас и выясним.
Если двухпролетная балка имеет консоли длиной k, то в результате действия нагрузки на одну консоль возле опоры А будет действовать изгибающий момент:
В данном случае знак «-» означает, что растягивающие напряжения будут действовать в верхней части поперечных сечений балки на опоре. А еще в результате действия нагрузки на консоль будет возникать изгибающий момент и на опоре В.
Если нагрузка будет действовать только на одну из консолей, то согласно закономерностей, определенных при расчете балок методом моментов, значение момента на опоре В будет с обратным знаком и в 4 раза меньше значения момента на опоре А (если балка 1 раз статически неопределимая). Т.е. момент на опоре В будет равен:
А момент на опоре С будет равен нулю. Теперь нам ничто не мешает определить опорные реакции. Чтобы создать момент на опоре В, равный указанному, опорная реакция С должна быть равна:
С = МВ/l = qk 2 /8l (2.3)
тогда, чтобы получить на опоре А момент, равный указанному, исходя из уравнения моментов:
С2l + Bl = qk 2 /4 + Bl = — qk 2 /2 (2.4.1)
B = (- qk 2 /2 — qk 2 /4)/l = -3qk 2 /4l (2.4.2)
Тогда реакция на опоре А, исходя из условий равновесия системы:
А + В + С = qk (2.5.1)
A = qk — B — C = qk + 3qk 2 /4l — qk 2 /8l = qk + 5qk 2 /8l (2.5.2)
При этом эпюра моментов будет выглядеть так:
Рисунок 346.2. Эпюра моментов для двухпролетной балки с одной загруженной консолью.
Проверим, не ошиблись ли мы где-нибудь в расчетах. Если составить уравнение моментов для крайнего левого сечения, то суммарный момент в этом сечении должен быть равен нулю. Для простоты расчетов примем значение k = l. Тогда
C3l — B2l + Al — ql 2 /2 = 3(ql 2 /8) — 2(6ql 2 /8) + 13ql 2 /8 — 4ql 2 /8 = 0 (2.6)
Тогда, если равномерно распределенная нагрузка действует на обе консоли, то
МА = МС = — qk 2 /2 (3.1)
МВ = 2qk 2 /8 = qk 2 /4 (3.2)
A = C = qk + qk 2 /8l + 5qk 2 /8l = qk + 3qk 2 /4l (3.3)
B = 2(- 3qk 2 /4l) = -3qk 2 /2l (3.4)
При этом эпюра моментов для балки, у которой загружены обе консоли, будет выглядеть так:
Рисунок 346.3. Эпюра моментов для двухпролетной балки с двумя загруженными консолями.
Если у консолей балки есть некоторая вполне определенная длина, например, k = l/4, тогда для двухпролетной шарнирно опертой балки с двумя консолями, на которые действует равномерно распределенная нагрузка:
МА = МС = — ql 2 /(2·4 2 ) = — ql 2 /32 (4.1)
МВ = ql 2 /(4·4 2 ) = ql 2 /64 (4.2)
A = C = ql/4 + 3ql 2 /64l = 19ql/64 (4.3)
B = — 3ql 2 /32l = — 3ql/32 (4.4)
Соответственно, если равномерно распределенная нагрузка действует по всей длине балки, включая консоли, то
Рисунок 346.4. Суммарная эпюра моментов для балки с консолями загруженной по всей длине.
МА = МС = — ql 2 /(2·4 2 ) = — ql 2 /32 (5.1)
МВ = — ql 2 /8 + ql 2 /64 = — 7ql 2 /64 (5.2)
A = C = 3ql/8 + 19ql/64 = 43ql/64 (5.3)
B = 10ql/8 — 3ql/32 = 37ql/32 (5.4)
Соотношение опорных реакций в этом случае составляет В/А = 37·2/43 = 1.721.
Если длина консолей балки будет составлять k = l/3, тогда для двухпролетной шарнирно опертой балки с двумя консолями, на которые действует равномерно распределенная нагрузка:
МА = МС = — ql 2 /(2·3 2 ) = — ql 2 /18 (4.1)
МВ = ql 2 /(4·3 2 ) = ql 2 /36 (4.2)
A = C = ql/3 + 3ql 2 /36l = 16ql/36 (4.3)
B = — 3ql 2 /32l = — 3ql/18 (4.4)
Соответственно, если равномерно распределенная нагрузка действует по всей длине балки, включая консоли, то
МА = МС = — ql 2 /(2·4 2 ) = — ql 2 /18 (5.1)
МВ = — ql 2 /8 + ql 2 /36 = — 7ql 2 /36 (5.2)
A = C = 3ql/8 + 16ql/36 = 59ql/72 (5.3)
B = 10ql/8 — 3ql/18 = 78ql/72 (5.4)
Соотношение опорных реакций в этом случае составляет В/А = 78/59 = 1.322
Таким образом действие нагрузки на консоли балки приводит к появлению изгибающих моментов на опорах А и С и к уменьшению изгибающего момента на опоре В. Кроме того уменьшается разница между значениями опорных реакций. На основании полученных данных мы можем даже построить график, отражающий изменение соотношения В/А при изменении длины консоли:
Рисунок 346.5. График, отражающий изменение соотношения опорных реакций при изменении длины консоли.
А теперь несколько слов о том, зачем еще эти формулы могут понадобиться.
Например, вы рассчитываете сплошную фундаментную плиту, которая может рассматриваться как балка, у которой нагрузки от стен — это опорные реакции, а давление, оказываемое плитой на основание — это распределенная нагрузка. Так вот, если на плиту опираются 3 стены (2 наружных и одна внутренняя), то нагрузки от стен очень редко пропорциональны опорным реакциям для двухпролетной балки. Так как в реальности опоры балки могут перемещаться относительно вертикальной оси, проще говоря, фундамент будет проседать, то такое несоответствие между нагрузками от стен и опорными реакциями для балки будет приводить к тому, что плита просядет не равномерно.
Кроме того, поперечные сечения бесшарнирной балки на крайних опорах будут иметь некоторый угол наклона по отношению к горизонтальной оси. Это означает, что стены будут отклоняться от вертикали, что может привести к трещинам в стенах из натурального или искусственного камня, если не будут приняты соответствующие меры по усилению стен. Другими словами в стенах будут возникать горизонтальные растягивающие напряжения. А если нагрузка от внутренней стены будет меньше требуемой по расчету, то это приведет к дополнительному увеличению угла наклона на крайних опорах, а значит и к увеличению горизонтальных растягивающих напряжений. Кстати сказать, это относится и к сплошным фундаментным плитам, рассматриваемым как однопролетные балки.
В принципе определить прогиб или угол поворота — не проблема. Как известно, чем больше жесткость балки — тем меньше прогиб и угол поворота, однако это означает, что минимизация прогиба или угла поворота выльется в дополнительную толщину сплошной фундаментной плиты — бесконсольной балки, а устройство консолей соответствующей длины позволяет минимизировать угол поворота плиты на крайних опорах и неравномерность проседания фундамента.
Расчет балки с разными по длине пролетами и консолями
Ну а если балка имеет неравные по длине пролеты и консоли, то формулы значительно усложнятся (первая консоль обозначается ниже как а, первый пролет — b, второй пролет — с, вторая консоль — d, расчет выполняется на основе расчета двухпролетной бесконсольной балки с разными пролетами и двухпролетной балки с одной консолью) и будут выглядеть так:
1. Сначала определяется момент на опоре С:
2. Затем дополнительный момент на опоре В:
3. В итоге момент на опоре В:
MВ = — q(a 3 + b 3 )/8L + q(aс 2 + bd 2 )/(4(a + b))
4. Дополнительные опорные реакции:
RA + RB + RC — qd = qd + qd 2 /2b + qd 2 /(4(a + b)) + qbd 2 /(4a(a + b)) = — qd 2 /2b — qd 2 /(4(a + b)) — qbd 2 /(4a(a + b))= qd- qd = 0
6. Итоговые опорные реакции:
RA = q(а/2 — (a 3 + b 3 )/8La + c + с 2 /2a + с 2 /(4(a + b)) + bd 2 /(4a(a + b)))
RC = q(b/2 — (a 3 + b 3 )/8Lb + ас 2 /(4b(a + b)) + d + d 2 /2b + d 2 /(4(a + b)))
RB = qL/2 + q(a 3 + b 3 )/8La + q(a 3 + b 3 )/8Lb — qс 2 /2a — qс 2 /(4(a + b)) — qас 2 /(4b(a + b)) — qd 2 /2b — qd 2 /(4(a + b)) — qbd 2 /(4a(a + b))
7. Для определения максимального изгибающего момента в первом пролете а сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:
8. Для определения максимального изгибающего момента во втором пролете b сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:
Примечание: в данном случае значение х будет определяться не от начала, а от конца балки.
9. Для определения максимального прогиба в первом пролете а сначала определяется точка, где угол наклона поперечного сечения равен 0. Для этого сначала определяется угол наклона поперечного сечения в начале балки:
fB = — θн(a + c) + RAa 3 /6EI — q(a + с) 4 /24EI + qc 4 /24EI + θнc = 0
θн(a + с — c) = RAa 3 /6EI — q((a + с) 4 — c 4 )/24EI
θн = (4RAa 3 /6EI — q((a + с) 4 — c 4 ))/(24EIa) = (4RAa 2 — q((a + с) 4 — c 4 )/a)/24EI
— Θн + RA(х — с) 2 /2EI — qx 3 /6EI = 0
10. Кубическое уравнение будет иметь вид:
qx 3 /6EI — RA(х — с) 2 /2EI + Θн = 0
fпр = qc 4 /24EI + θн(c — х) + RA(х — с) 3 /6EI — qx 4 /24EI =
(qc 4 + (4RAa 2 — q((a + с) 4 — c 4 )/a)(c — х) + 4RA(х — с) 3 — qx 4 )/24EI
fA = (qc 4 + (4RAa 2 — q((c + a) 4 — qc 4 )/a)(c — c) + 4RA(a — a) 3 — qc 4 )/24EI = (qc 4 — qc 4 )/24EI = 0
fВ = (qc 4 + (4RAa 2 — q((c + a) 4 — qc 4 )/a)(c — c — a) + 4RA(c + a — c) 3 — q(c + a) 4 )/24EI = (qc 4 + (4RAa 2 — q((c + a) 4 — qc 4 )/a)(- a) + 4RAa 3 — q(c + a) 4 )/24EI = (qc 4 — 4RAa 3 + q((c + a) 4 — qc 4 + 4RAa 3 — q(c + a) 4 )/24EI = 0
Примечание: по указанным формулам можно получить значение прогиба в любой точке пролета, подставляя соответствующее значение х.
На этом пока все.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
- Расчет конструкций . Фундамент . Расчет фундаментной плиты
- Расчет конструкций . Основы строймеха и сопромата . Двухпролетные балки
01-05-2021: Ника
В формулах 5.1 и 5.2 ошибки вроде как есть.
23-05-2021: Доктор Лом
Был бы признателен, если бы вы указали, какие именно ошибки. Я что-то их не нахожу.
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).
| 35215208680f6fbd |