Момент от равномерно распределенной нагрузки

Защемленная по концам балка, нагруженная равномерно-распределенной нагрузкой

Цель: Нагружение защемленной по концам балки в одной плоскости без учета деформаций поперечного сдвига. Проверяются значения максимальных поперечного перемещения и изгибающих моментов.

Файл с исходными данными: 4_4.spr

Формулировка задачи: Защемленная по концам балка нагружается равномерно распределенной нагрузкой q. Определить максимальные поперечное перемещение w и изгибающие моменты М.

Ссылки: Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. — Киев: Наук. думка, 1988.

Исходные данные:

E = 2.0·10 11 Па	— модуль упругости,
μ = 0.3	— коэффициент Пуассона,
l = 3 м	— длина балки;
F = 14.2·10 -4 м 2	— площадь поперечного сечения;
I = 2.44·10 -6 м 4	— момент инерции;
q = 10 кН/м	— значение нагрузки.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема плоская рама, 10 стержневых элементов типа 2, 11 узлов.

Результаты решения в SCAD

Эпюра изгибающего момента М (кН*м)

Значение поперечных перемещений w (мм).

Сравнение решений:

Поперечное перемещение в середине пролета балки, мм

Изгибающий момент в середине пролета балки, кН·м

Изгибающий момент на опоре балки, кН·м

Замечания: При аналитическом решении прогиб в центре балки может быть вычислен по следующей формуле ( «Справочник по сопротивлению материалов» стр. 352):

Изгибающие моменты в заделке вычисляются по следующей формуле:

Изгибающий момент в центре балки:

Для машиностроения Мех.мат / Лекция №4-механика

Для балки, приведенной на рис. 4 (лекция 3) построим эпюры Q и М. Реакции опор мы уже определили. Вначале определим значения Q по длине балки.

На отрезке между точками А и В возьмем сечение на расстоянии z, от левого конца балки. Поперечная сила для этого сечения равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к левой части балки. На эту часть балки действует сила R_A, поворачивающая сечение по часовой стрелке, т.e. положительная и распределенная нагрузка q на участке z₁, поворачивающая сечение против часовой стрелки, а следовательно, отрицательная.

Q₁=R_A—qz₁=30-20z₁.

Это уравнение наклонной прямой. Для ее построения нужно знать две точки на прямой. Определим значения Q на границах участка, т.е. в сечениях А и В.

при z₁=0; Q₁=30 кН;

при z₁=2 м; Q₁ =30-202 = –10 кН.

Проводим нулевую линию Q и наклонную прямую по значениям Q₁. Наклонная прямая пересекла нулевую линию, в точке пересечения Q₁=0. Как известно из курса высшей математики, если первая производная какой-либо функции равна нулю, то функция при этом значении аргумента имеет экстремум (максимум или минимум). Поперечная сила является первой производной от изгибающего момента, следовательно, в сечении, где Q₁=0 изгибающий момент будет экстремальным. Его значение нам нужно обязательно определить, так как оно может быть самым большим для балки и по нему будет производиться расчет на прочность. Для этого определим значение z₁, при котором Q₁=0;

Q₁=30-20z₁=0;

Второе сечение возьмем между точками Д и С, будем рассматривать правую часть балки. Это облегчит нам подсчеты. На нее действуют внешний момент m и сила R_Д. Момент — это пара сил, т.е. две равные и противоположно направленные силы, поэтому его не учитываем. Сила R_Д действует против часовой стрелки, поэтому будет создавать отрицательную поперечную силу:

Q₂=—R_Д=-50 кН.

Это уравнение горизонтальной прямой. Проводим на эпюре эту прямую на участке ДС.

Третье сечение берем тоже справа между точками С и В. На правую часть действуют: против часовой стрелки R_Д (отрицательная) и по часовой стрелке F (положительная).

Q₃=—R_Д+F=-50+40=-10 кН.

Это уравнение тоже представляет собой горизонтальную прямую. Строим ее на участке СВ.

Эпюра Q построена.

Проверка: Значения поперечных сил для левой и правой частей балки должно совпасть, если в этом сечении не приложена сосредоточенная сила. Если же сосредоточенная сила приложена, то значения Q должны различаться на величину этой силы. В сечении В значения Q совпадают, и там нет сосредоточенной силы.

Изгибающий момент в сечении численно равен алгебраической сумме всех внешних моментов, вычисленных относительно сечения и приложенных к рассматриваемой части балки.

Для первого сечения М определится как сумма моментов от R_A и от q. Момент от R_A стремится изогнуть балку выпуклостью вниз (положительный), а распределенная нагрузка  вверх (отрицательный момент).

.

Момент от равномерно распределенной нагрузки определяется как произведение q на отрезок z (получается сосредоточенная сила) и на плечо этой силы, т.е. .

Это уравнение параболы, так как z во второй степени. Параболу строят по двум граничным точкам дугой навстречу нагрузке. Если парабола имеет экстремум, то дополнительно ищут третью (экстремальную) точку. В данном примере нужно найти три точки параболы:

при z₁= 0, М₁ = 0;

при z₁=2 м, М₁=302-102 2 =20 кНм;

при z₁=1,5 м, М₁=301,5-101,5 2 =22,5 кНм.

По полученным точкам строим параболу на эпюре М.

Во втором сечении изгибающий момент вызывают два момента: m и сила R_Д. Момент m стремится согнуть балку выпуклостью вверх (отрицательный), а сила R_Д, наоборот  вниз (положительный момент).

M₂=R_Дz₂ —m=50z₂-40.

Это уравнение наклонной прямой. Определим граничные значения M₂:

при z₂ = 0 , M₂= -40кНм;

при z₂=1м, M₂= 10кНм.

Проводим прямую на эпюре М.

На третьем отрезке балки возникают три момента: m, момент от R_Д и момент от F.

M₃= —m+ R_Дz₃—F(z₃-1)= -40+50z₃-40(z₃-1).

Уравнение упрощать не следует, так как при нахождении граничных значений пользоваться этой формулой будет удобнее. Подставим граничные условия.

при z₃ = 1м, M₃= -40+50-0=10кНм;

при z₃=2м, M₃= -40+502-40(2-1)=20кНм.

Проводим прямую на эпюре М по участку СВ. Эпюра М построена.

Проверка: Значения изгибающих моментов для левой и правой частей балки должны совпасть, если в этом сечении не приложен внешний момент: если же приложен, то должны различаться на величину этого момента.

В сечении В нет внешнего момента и значения для левой и правой частей балки совпадают, следовательно, эпюра М построена правильно.

Кроме этого, возможна еще одна проверка. Если рассматривать эпюру М слева направо, то при возрастании М значения Q  положительные и, наоборот, с убыванием М поперечная сила отрицательная. Это следует из законов дифферинциального исчисления: если функция убывает, то первая производная отрицательная и наоборот.

Опасным считается сечение, где изгибающий момент максимален без учета знака (безразлично с точки зрения прочности изгибать балку вниз или вверх). Из эпюры видим, что опасное сечение будет в точке Д, знак «минус» отбрасывают:

M_max=40кНм.

Экстремальное значение М на первом участке оказалось меньше этого значения, но, не решив задачу, нельзя было этого установить, поэтому экстремальные значения М всегда следует определять.

2. Построение эпюр Q и М по характерным точкам

Построение эпюр по характерным точкам значительно упрощает решение задачи, но для этого следует запомнить следующие правила:

А. Для эпюры Q:

1. На участках балки, где приложена равномерно распределенная нагрузка эпюра представляет собой наклонную прямую. Это следует

2. На участках, свободных от нагрузки эпюра изображается горизонтальными прямыми.

3. В сечении, где приложена внешняя сила эпюра делает скачок на величину этой силы.

4. Внешний момент на эпюру влияния не оказывает.

5. B концевом сечении поперечная сила равна сосредоточенной, приложенной в нем.

1. На участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра представляет собой параболу, направленную выпуклостью навстречу нагрузке. Это следует из условия:

2. На участке, свободном от нагрузок, эпюра представляет наклонную прямую, в частном случае горизонтальную прямую (Q должно быть равно нулю). Это следует из условия:

3. В сечении, где приложен внешний момент, эпюра делает скачок на величину этого момента.

4. В концевых сечениях балки изгибающий момент равен нулю, если не приложен внешний момент: если же приложен  то значению этого момента.

5. В сечениях, где начинается или кончается распределенная нагрузка эпюра плавно переходит от прямой к параболе и наоборот.

6. В сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент экстремален.

Рассмотрим пример (рис. 2).

Определим реакции опор:

Реакции определены правильно.

Построим эпюру Q. Построение будем осуществлять слева. Согласно п.5 в сечении А поперечная сила равна , причем знак «плюс», так как сечение сила поворачивает по часовой стрелке. Откладываем значение 25 кН.

Согласно п.1 на участке, где равномерно распределенная нагрузка, эпюра изображается наклонной прямой. Следует определить, будет возрастать Q или убывать. Нагрузка q действует вниз, следовательно, для левой части балки будет поворачивать сечение против часовой стрелки и Q будет убывать. Определим Q в точке В:

Q=R_A—q1=25-401=-15кН.

Наклонная прямая пересекает нулевую линию. В точке пересечения будет экстремальное значение М. Определим z при котором Q равно нулю:

Q=R_A-qz=0;

Участок ВС свободен от нагрузки, поэтому согласно п.2 эпюра изображается горизонтальной прямой.

Согласно п.4 внешний момент не влияет на эпюру, а согласно п.3 в сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра делает скачок на величину этой силы. В точке С есть сила R_С=45кН. Эта сила поворачивает сечение по часовой стрелке (положительная), поэтому откладываем 45 кН вверх.

На участке СД, свободном от нагрузки, согласно п.2. будет горизонтальная прямая.

Проверка: Будем рассматривать балку справа. В сечении Д согласно п.5 поперечная сила будет равна F, причем положительная (по часовой стрелке). Значения Q при рассмотрении слева и справа для точки Д совпали, следовательно эпюра Q построена правильно.

Построим эпюру М.

Начнем слева. Согласно п.4 в точке А изгибающий момент равен 0.

Согласно п.1 на участке АВ эпюра изображается параболой выпуклостью вверх. В точке В изгибающий момент равен:

M=R_A1-q10,5=25-400,5=5кНм.

Экстремальное (максимальное для участка АВ) значение:

М=R_A0,625-q0,625=7,81кНм.

Согласно п.2 на участке, свободном от нагрузки эпюра изображается наклонной прямой:

M_С=R_A2-q11,5=252-4011,5=-10кНм.

Дальнейшее построение эпюры будем осуществлять справа. Согласно п.4 в концевом сечении M=0, а на участке ДС будет наклонная прямая (п.2).

M_С=-301=-30 кНм.

Знак » минус» взят потому, что балка от силы F изгибается выпуклостью вверх.

Проверка: Значения изгибающих моментов для левой и правой частей балки должны совпасть, если в этом сечении нет внешнего момента. В точке С приложен внешний момент m=20кНм, поэтому значения должны различаться на эту величину. Следовательно, эпюра построена правильно. Согласно п.5 в точке В будет плавный переход от параболы к прямой, если эпюра построена в масштабе.

Опасным будет сечение С:

M_max=30кНм.

Техническая механика

Как мы уже знаем, любая сила характеризуется тремя свойствами: модулем (скалярной размерностью), вектором (направлением в пространстве) и точкой приложения. Для того, чтобы иметь полное представление о характере и последствиях воздействия любой силы на тело или элемент конструкции, необходимо знать — какова величина этой силы, куда она направлена и к какой точке приложена.
В действительности сила не может быть приложена к точке, поскольку точка — безразмерная, бесконечно малая единица пространства, поэтому фактически силы воздействуют на очень малую площадку, размерами которой пренебрегают. Такие силы (приложенные к ничтожно малой площадке тела) называют сосредоточенными .

В реальности часто встречаются силы, приложенные не к точке, а к объему или поверхности тела, например сила тяжести, давления ветра, воды и т. п., т. е. нагрузку воспринимает не бесконечно малая площадка, а значительная площадь или объем тела. Такие силы называют распределенными .
Примером распределенной силы (обычно употребляют выражение «распределенная нагрузка») может послужить выпавший на крышу дома снег. Сила тяжести снежного покрова давит на всю поверхность крыши, нагружая одинаково (или неодинаково) каждую единицу ее площади, а не какую-либо точку.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью, обычно обозначаемой латинской буквой q .
Интенсивность — это сила, приходящаяся на единицу длины (или площади) нагруженного участка.
Интенсивность в системе единиц СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м) или, соответственно, в ньютонах на квадратный метр (для нагрузки, действующей на площадь).

Интенсивность воздействия силы на площадь характеризует такие физические понятия, как давление и напряжение. В плоской системе рассматривается интенсивность действия силы на единицу длины.

Распределенная нагрузка, имеющая постоянную интенсивность по всей длине участка называется равномерно распределенной (см. рисунок 1) .

При решении задач статики распределенную нагрузку заменяют ее равнодействующей. Модуль равнодействующей равномерно распределенной нагрузки равен Q = ql (см. рисунок) .
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки Q прикладывается в середине отрезка АВ .

Распределенная нагрузка, имеющая переменную интенсивность, называется неравномерно распределенной (рис. 2) .
Примером такой нагрузки может служить меняющееся по высоте давление воды на плотину или снег, лежащий на крыше неровным слоем.
Определение точки С приложения равнодействующей неравномерно распределенной нагрузки производится путем геометрических расчетов и построений. Равнодействующая сила Q при таких нагрузках равна площади фигуры, охватываемой эпюрой нагрузки, а точка С приложения равнодействующей расположена в центре тяжести этой фигуры.

Нагрузки, распределенные по поверхности (по площади), характеризуются давлением, т. е. силой, приходящейся на единицу площади. В системе единиц СИ давление измеряется в Паскалях (Па) или ньютонах на квадратный метр (Н/м 2 ).

Пример решения задачи с распределенной нагрузкой

Задача: Балка находится в равновесии под действием сосредоточенной силы F = 100 Н и равномерно распределенной нагрузки q = 60 Н/м (см. схему 3) .
Необходимо определить реакцию R_В опоры В .

Решение .
Поскольку по условию задачи необходимо определить реакцию опоры В , составим уравнение моментов сил относительно опоры А , учитывая, что равномерно распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой:
Q = ql , где l = (10 — 5) метров — часть балки, к которой приложена распределенная нагрузка .
Точка приложения сосредоточенной силы Q расположена в середине той части балки, к которой приложена распределенная нагрузка; плечо этой силы относительно опоры А будет равно: h = (10 — 5)/2 = 2,5 м.
Cоставляем уравнение моментов сил относительно опоры А из условия, что балка находится в состоянии равновесия (уравнение равновесия) .

• сила R_В создает относительно точки А положительный момент, плечо которого равно 10м;
• сила F создает относительно точки А отрицательный момент, плечо которого равно 5 м;
• распределенная нагрузка q создает (посредством силы Q и плеча h ) относительно точки А отрицательный момент.

Получаем уравнение равновесия балки, в котором лишь одна неизвестная величина ( R_В ) :

ΣM = 10R_В — qlh — 5F = 10R_В — q(10-5)(10-5)/2 — 5F = 0 , откуда находим искомую реакцию опоры R_В :

Момент распределенной нагрузки

Определение величины момента M создаваемого равномерно распределенной нагрузкой q в произвольной точке балки.

Вопрос: Как определить момент в заданной точке балки, возникающий от распределенной нагрузки?

Ответ: При расчетах балок, в сопромате часто возникает задача определить изгибающий момент в сечениях балки вызванный действием равномерно распределенной нагрузки q .

В этом случае, как правило, удобнее пользоваться понятием равнодействующей силы R_q , которой можно заменить распределенную нагрузку.

Рассмотрим пример нахождения момента в произвольной точке C от равномерно распределенной между точками A и B нагрузки интенсивностью q .

Для определения момента нагрузки необходимо знать ее длину a и расстояние z от любого ее края до рассматриваемой точки.

Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей R_q , которая для равномерного случая распределения будет располагаться ровно посередине нагрузки, при этом ее величина определяется как произведение интенсивности q нагрузки на ее длину a

Как известно момент силы определяется произведением силы на плечо

В данном случае силой в вышеуказанном выражении является равнодействующая R_q .

Плечом этой силы является расстояние от точки C до равнодействующей нагрузки

Таким образом, момент нагрузки равен произведению интенсивности q нагрузки на ее длину a и на расстояние от ее середины до рассматриваемой точки a/2+z

M_С=R_ql=qa(a/2+z)

Для случая, когда точка лежит в пределах действия нагрузки, аналогично:

M_С= R_ql=qa(a/2-z)

1. В случае действия неравномерно распределенной нагрузки ее интенсивность задается функцией.
2. Для нагрузки, распределенной по площади (объему) при вычислении равнодействующей вместо длины надо подставлять площадь (объем) ее действия.
3. Момент части распределенной нагрузки определяется аналогично.