Отличаются ли векторы переменного тока напряжения эдс от векторов физических величин

Что такое векторные диаграммы и для чего они нужны

Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электрических цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты, но имеющих разные амплитуды и начальные фазы. Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически. Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Векторные диаграммы являются совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи или их амплитудные значения.

Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = U_m sin ( ωt + ψ _и ).

Расположим под углом ψ и относительно положительной оси абсцисс х вектор U _m , длина которого в произвольно выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 1). Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Предположим, что вектор U _m , начиная с момента времени t = 0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения ω , равной угловой частоте изображаемого напряжения. В момент времени t вектор Um повернется на угол ωt и будет расположен под углом ωt + ψ и по отношению к оси абсцисс. Проекция этого вектора на ось ординат в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения: u = U_m sin ( ωt + ψ _и ).

Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора

Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором . При начальной фазе, равной нулю, когда u = 0 , вектор U _m для t = 0 должен быть расположен на оси абсцисс.

График зависимости любой переменной (в том числе и гармонической) величины от времени называется временной диаграммой . Для гармонических величин по оси абсцисс удобнее откладывать не само время t, а пропорциональную ему величину ω_t . Временные диаграммы полностью определяют гармоническую функцию, так как дают представление о начальной фазе, амплитуде и о периоде.

Обычно при расчете цепи нас интересуют только действующие ЭДС, напряжения и токи или амплитуды этих величин, а также их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому обычно рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядной. Такая диаграмма называется векторной диаграммой . При этом углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительные, и в обратном направлении, если они отрицательные.

Если, например, начальный фазовый угол напряжения ψ и больше начального фазового угла ψi то сдвиг по фазе φ = ψ _и — ψ_i и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока.

При расчете цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи или напряжения одной и той же частоты.

Предположим, что требуется сложить две ЭДС: e₁ = E_{1 m} sin ( ωt + ψ _1e ) и e ₂ = E _2m sin ( ωt + ψ _{2 e} ) .

Такое сложение можно осуществить аналитически и графически. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е₁ и е₂ в определенном масштабе представлены векторами E_{1 m} E _2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, взаимное расположение вращающихся векторов остается неизменным.

Рис. 2. Графическое сложение двух синусоидальных ЭДС одинаковой частоты

Сумма проекций вращающихся векторов E_{1 m} и E _2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Следовательно, при сложения двух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты получается синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E _m, равным геометрической сумме векторов E_{1 m} и E _2m: E _m = E_{1 m} + E _2m.

Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.

Указанный способ можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание двух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e₁— e₂ = e₁+ (- e₂), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, так как все расчеты цепей обычно выполняются для действующих ЭДС и токов.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Векторные диаграммы.

Применение векторных диаграмм наглядно представляет рассматриваемые процессы и упрощает расчеты. Векторные диаграммы являются совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи или их амплитудные значения. Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением:

u = U_m sin (ωt + ψ_u)

Под углом относительно оси Х изобразим вектор U_m, длина которого в масштабе равна амплитуде гармонической величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.

Предположим, вектор U с момента t = 0 вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения ω, равной угловой частоте функции. В момент t. U_m повернется на угол ωt и будет расположен под углом ωt + ψ_u по отношению оси абсцисс.

Рис. 8. Векторная диаграмма.

Его проекция на ось ординат равна мгновенному значению изображаемой функции u = U_m sin (ωt + ψ_u). Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором.

График зависимости любой переменной величины от времени называется временной диаграммой.

При расчетах требуются действующие ЭДС, напряжения и токи или амплитуды и их сдвиг по фазе. Поэтому рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядной – векторная диаграмма.

Сложение Е, I или U одной и той же частоты можно осуществить аналитически и графически с помощью векторов Е_m = Е_1m + Е_2m.

Тема: Электрические цепи синусоидального переменного тока.

В состав простых цепей переменного тока входят резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы и элементы, соединенные магнитной или емкостной связью с другими цепями.

В резисторах электроэнергия полезно преобразуется в другие виды энергии или рассеивается как тепловая. Резистивный элемент характеризуется сопротивлением. Любой из них обладает некоторой индуктивностью и емкостью. Влиянием L и С можно иногда пренебречь. Если влиянием L пренебречь нельзя, то на схеме изображается последовательное соединение сопротивления и индуктивности. Реальный L-элемент обладает кроме L и R. Иногда надо учитывать влияние емкости. Индуктивность L линейного элемента в генри (Гн) определяется отношением потокосцепления Ψ в веберах (Вб) к току I в амперах (А):

L = Ψ/I, ом с.

Взаимная индуктивность М в генри между цепями 1 и 2 определяется отношением потокосцепления Ψ₁₂ или Ψ₂₁ цепи 1 или 2 в веберах к току цепи 2 или 1 соответственно:

В реальной емкости имеются некоторые потери энергии. Поэтому С элемент надо изображать в виде параллельного соединения емкости С с проводимостью g. Потери энергии чаще всего невелики, поэтому С элемент изображается в виде идеальной емкости. Емкость С в фарадах определяется отношением заряда Q в кулонах к напряжению U:

Процессы в цепях переменного тока принципиально отличаются от процессов в цепях постоянного тока, I и U которых неизменны, при этом не изменяются электрические и магнитные поля, связанные с цепью. В цепях переменного тока при изменениях U и I изменяются магнитные и электрические поля, связанные с цепью. Возникают ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции, протекают зарядные и разрядные токи.

Основные физические законы сформулированы применительно к цепям постоянного тока. Но они справедливы и к цепям переменного тока, но только для реально существующих в каждый момент мгновенных значений величин. На основе выражений, составленных по этим законам для мгновенных значений, составляются уравнения и формулируются законы для векторов и изображений напряжений, ЭДС и токов в символическом виде. В цепях переменного тока также показываются условные положительные направления ЭДС, U и I.

1. Электрическая цепь переменного тока с активным сопротивлением R. Пренебрегаем очень малой L и С проводов цепи. Сопротивление переменному току будет больше сопротивления постоянному току за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающей среде. Поэтому в отличие от сопротивления постоянного тока сопротивление в цепи переменного тока называется активным.

Рис. 9. Электрическая схема, векторные и временные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с активным сопротивлением.

i = u/r = (U_m/r) sin ωt = I_m sin ωt,

где I_m = U_m/R — амплитуда тока.

Действующие напряжение и ток меньше амплитудных значений в √2 раз; следовательно I = U/r и I = U/r

Ток и напряжение для цепи только с R совпадают по фазе. (Реостаты, электрические лампы, нагревательные приборы и др.).

2. Электрическая цепь переменного тока с индуктивностью L. Рассмотрение элемента цепи с сосредоточенными параметрами, обладающего только L, является научной абстракцией.

Рис. 10. Электрическая схема, векторные и временные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с индуктивным сопротивлением.

Изменение тока в цепи с L вызывает возникновение ЭДС самоиндукции е , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока е действует навстречу току, а при уменьшении — в направлении тока, противодействуя его уменьшению.

Для тока: i = I_m sin ωt и при L = const:

E_L = — L di/dt = — ωL I_m cos ωt = — E_Lm cos ωt = E_Lm sin(ωt — π/2)

где Е_Lm = ω L I_m — амплитуда ЭДС самоиндукции.

ЭДС самоиндукции отстает по фазе от тока на угол π/2. Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее ЭДС самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку:

u = — E_L = L di/dt = ω L I_m cos ωt = U_Lm sin (ωt + π/2),

где U_Lm = ω L I_m — амплитуда напряжения. Для действующих тока и напряжения получаем выражения, аналогичные по форме закону Ома: U_L=ωLI и I = U_L/(ωL).

Величина ωL измеряется в Омах и называется индуктивным сопротивлением. Оно пропорционально частоте:

X_L = ωL = 2π f L.

3. Электрическая цепь переменного тока с емкостью С. Рассмотрение элемента цепи только с С также является научной абстракцией.

В цепи с идеальной С, включенной на напряжение переменного тока, происходит непрерывное перемещение электрических зарядов.

При увеличении напряжения ток в цепи конденсатора будет зарядным, а при уменьшении — разрядным. Мгновенный ток i равен скорости изменения заряда конденсатора:

i = dQ/dt = C du /dt,

где Q — заряд конденсатора, С — емкость конденсатора.

Рис. 11. Электрическая схема, векторные и временные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с емкостным сопротивлением.

Напряжение Uс на зажимах определяется отношением заряда Q к емкости С:

u_c = Q/C = ∫dQ/C = ∫i dt/C.

Если U_c = U_cm sin ωt, ток i будет равен:

i = C du/dt = ω C U_cm cos ωt = I_m sin(ωt + π/2)

Величина 1/ωC измеряется в Омах и называется емкостным сопротивлением X_c = 1/ωC = 1/2πfC и оно обратно пропорционально частоте приложенного напряжения. Действующее значения:

U_c = 1/ωC = x_c I, I = ω C U_c = U_c/x_c.

В цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол π/2.

4. Электрическая цепь с последовательным соединением активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Рассматриваем идеализированную цепь с сосредоточенными параметрами.

Рис. 12. Электрическая схема и векторные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с последовательным соединением R,L,C.

При u = U_m sin (ωt + ψ_u) ток будет равен i = I_m sin (ωt + ψ_i)

По 2-му закону Кирхгофа i r = u + E_L + E_c = u — L di/dt + ∫i dt/C, т. е.

U = U_q + U_L + U_c = i r + L di/dt + ∫i dt/C.

Это уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение 2-го порядка, частным решением которого является выражение синусоидального тока i = I_m sin (ωt + ψ_i), для которого надо найти:

I_m и ψ_i или φ = ψ_u — ψ_i .

Если ток изменяется по гармоническому закону, то и напряжения на участках цепи изменяются по этому же закону. Тогда: U = U_q + U_L + U_c — из векторной диаграммы. Из ∆ ОВF: U 2 = (rI) 2 + (X_L — X_c ) 2 I 2 и получаем:

Сопротивление цепи называется полным сопротивлением цепи. X = (X_L — X_c) называется реактивным сопротивлением цепи. Если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, то Х положительно и φ > 0 и напряжение цепи опережает ток. Если в цепи преобладает емкостное сопротивление, то Х — отрицательно и φ < 0 и ток опережает напряжение. Следовательно, в подобных цепях φ может изменяться в пределах —π/2 φ < π/2. Для комплексных действующих напряжений формула будет:

U = U_q + U_L + U_c = rI + j(X_L — X_c) I = Z I.

Законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных токов и напряжений, они справедливы и для комплексных напряжений и токов. Поэтому справедливо: I = U/Z.

Сумма комплексных токов в проводах, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю: I_к = 0.

Сумма комплексных ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных падений напряжения в ветвях этого контура:

E_к = [r_к + j(X­_L — X_C)] I_к = Z_к I_к .

5. Электрическая цепь с параллельным соединением активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С.

Рис. 13. Электрическая схема и векторные диаграммы напряжения и тока для электрической цепи с параллельным соединением R, L, C.

При u = U_m sin ωt общий ток по первому закону Кирхгофа будет:

i = i_q + i_L + i_c = (U_m/r) sin ωt + (U_m/ωL) sin (ωt — π/2) + ωCU_m sin (ωt + π/2).

Реактивный ток будет равен:

i_p = i_L + i_c = U_m[(1/ωL) — ωC] sin (ωt — π/2)

Если разделить стороны треугольника токов на векторной диаграмме на напряжение U, можно получить треугольник проводимостей и, учитывая соотношения для треугольника сопротивлений, получим:

cos φ = r/z; sin φ = x/z.

Соответственно токи и проводимости будут равны:

I_u = I cos φ = (U/z) (r/z) = (r/z 2 ) U = g U;

I_p = I sin φ = (U/z) (x/z) = (x/z 2 ) U = B U;

I = U/z = gU = √g 2 + B 2 U.

Векторы и сигналы переменного тока

Итак, как именно мы можем представить величины переменного напряжения или тока в виде векторов? Длина вектора представляет собой амплитуду сигнала, например:

Чем больше амплитуда сигнала, тем больше длина соответствующего вектора. Угол вектора представляет собой сдвиг фазы в градусах между рассматриваемым сигналом и другим сигналом, действующим в качестве «эталона» во времени.

Обычно фаза сигнала в цепи выражается относительно сигнала источника переменного напряжения (условно обозначенного как 0°). Помните, что фаза – это всегда относительная величина между двумя сигналами, это не абсолютная величина.

Чем больше сдвиг фаз (в градусах) между двумя сигналами, тем больше разница углов между соответствующими векторами.

Будучи относительной величиной, сдвиг фазы (угол вектора) имеет значение только по отношению к некоторому эталонному сигналу. Обычно этим «эталонным» сигналом является напряжение основного источника переменного напряжения в схеме. Если в схеме имеется более одного источника переменного напряжения, то в качестве эталона фазы один из этих источников выбирается произвольно.

Эта концепция опорной точки мало чем отличается от точки «земли», необходимой для опорного напряжения. С четко определенной точкой в схеме, объявленной как «земля», становится возможным говорить о напряжениях «в» отдельных точках схемы, понимая, что эти напряжения (всегда относительные между двумя точками) отсчитываются относительно «земли». Соответственно, с четко определенной точкой отсчета для фазы становится возможным говорить о напряжениях и токах в цепи переменного тока с определенными фазовыми углами.

Например, если ток в цепи переменного тока описывается как «24,3 мА при -64 градусах», это означает, что сигнал тока имеет амплитуду 24,3 мА и отстает на 64° от эталонного сигнала, которым обычно считается сигнал напряжения основного источника.

Резюме

• При использовании для описания величины переменного тока длина вектора представляет собой амплитуду сигнала, а угол вектора представляет собой фазовый угол сигнала относительно некоторого другого (эталонного) сигнала.

Учебник. Вынужденные колебания. Переменный ток

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если частота ω₀ свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δt. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1): e (t) = ℰ₀ cos ωt, где ℰ₀ – амплитуда, ω – круговая частота.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома: R J + q C + L d J d t = ℰ 0 cos ω t .

Величина L d J d t – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде u_R + u_C + u_L = e (t) = ℰ₀ cos ωt, где u_R (t), u_C (t) и u_L (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами U_R, U_C и U_L. При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм.

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам A и B колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ₁ и φ₂. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом Δφ = φ₁ – φ₂. Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов: C → = A → + B → .

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R, конденсатору с емкостью C и катушки с индуктивностью L. Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока J R R = u R = U R cos ω t ; J R = U R R cos ω t = I R cos ω t .

Здесь через I_R обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением RI_R = U_R.

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина R называется активным сопротивлением резистора.

2. Конденсатор в цепи переменного тока u C = q C = U C cos ω t ; J C = d q d t = C d u C d t = C U C ( — ω sin ω t ) = ω C U C cos ( ω t + π 2 ) = I C cos ( ω t + π 2 ) .

Соотношение между амплитудами тока I_C и напряжения U_C: 1 ω C I C = U C .

Ток опережает по фазе напряжение на угол π 2 .

Физическая величина X C = 1 ω C называется емкостным сопротивлением конденсатора.

3. Катушка в цепи переменного тока u L = L d J L d t = U L cos ω t ; J L = ∫ U L L cos ω t d t = U L ω L sin ω t = U L ω L cos ( ω t — π 2 ) = I L cos ( ω t — π 2 ) .

Соотношение между амплитудами тока I_L и напряжения U_L: ω L I_L = U_L.

Ток отстает по фазе от напряжения на угол π 2 .

Физическая величина X_L = ωL называется индуктивным сопротивлением катушки.

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I₀. Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного RLC-контура изображена на рис. 2.3.2.

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда ω L > 1 ω C или ω 2 > ω 0 2 = 1 L C . В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Из рисунка видно, что ℰ 0 2 = U R 2 + ( U L — U C ) 2 , откуда следует I 0 = ℰ 0 R 2 + ( ω L — 1 ω C ) 2 ; tg φ = ω L — 1 ω C R .

Из выражения для I₀ видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии ω L — 1 ω C = 0 или ω 2 = ω рез 2 = ω 0 2 = 1 L C

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω₀ электрической цепи называется электрическим резонансом. При резонансе ( I 0 ) рез = ℰ 0 R .

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений. Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов).

При последовательном резонансе (ω = ω₀) амплитуды U_C и U_L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают: ( U L ) рез = ( U C ) рез = ω 0 L ( I 0 ) рез = ℰ 0 R L C .

В § 2.2 было введено понятие добротности RLC-контура: Q = 1 R L C

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U_C напряжения на конденсаторе к амплитуде ℰ₀ напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми.

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Вынужденные колебания в RLC-контуре

Заказать цветы оптом в Питере

9046065.ru

Похожие публикации:

1. Ole объекты что это
2. Revit 2024 системные требования
3. Как настроить размерные стили в автокаде
4. Как обозначается град