Закон кирхгофа для магнитной цепи

1.3. Законы Кирхгофа для магнитных цепей.

Законы Кирхгофа для магнитных цепей. При расчетах магнитных цепей, как и электрических, используют первый и вто­рой законы (правила) Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма маг­нитных потоков в любом узле магнитной цепи равна нулю:

Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей следует из прин­ципа непрерывности магнитного потока, известного из курса физи­ки (см. также § 21.8 [1]).

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма паде­ний магнитного напряжения, вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме МДС вдоль того же контура:

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей, по сути дела, есть иная форма записи закона полного тока.

Перед тем как записать уравнения по законам Кирхгофа, сле­дует произвольно выбрать положительные направления потоков в ветвях и положительные направления обхода контуров.

Если направление магнитного потока на некотором участке сов­падает с направлением обхода, то падение магнитного напряжения

этого участка входит в сумму ∑U_m со знаком плюс, если встречно ему, то со знаком минус.

Аналогично, если МДС совпадает с направлением обхода, она входит в ∑Iw со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.

В качестве примера составим уравнения по законам Кирхгофа для разветвленной магнитной цепи, изображенной на рис. 14.12.

Левую ветвь назовем первой, и все относящиеся к ней величины запишем с индексом I (поток Ф₁, напряженность поля H₁, длина пути в стали l₁, длина воздушного зазора δ₁, МДС I₁w₁).

Среднюю ветвь назовем второй, и все относящиеся к ней величи­ны будут соответственно с индексом 2 (поток Ф₂, напряженность поля H₂, длина пути в стали l₂, длина воздушного зазора δ₂, МДС I₂w₂).

Все величины, относящиеся к правой ветви, имеют индекс 3 (поток Ф₃, длина пути на вертикальном участке l΄₃, суммарная дли­на пути на двух горизонтальных участках l΄΄₃).

Произвольно выберем направление потоков в ветвях. Положим, что все потоки (Ф₁, Ф₂, Ф₃) направлены вверх (к узлу а). Число урав­нений, которые следует составить по законам Кирхгофа, должно быть равно числу ветвей цепи (в рассматриваемом случае нужно составить три уравнения).

По первому закону Кирхгофа необходимо составить столько уравнений, сколько в цепи узлов без единицы (см. § 2.8 [1]).

В цепи (рис. 14.12) два узла; следовательно, по первому закону Кирхгофа составим одно уравнение:

По второму закону Кирхгофа следует составить число уравне­ний, равное числу ветвей, за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. В рассматриваемом примере по второму закону Кирхгофа составим 3 — 1 = 2 уравнения.

Первое из этих уравнений составим для контура, образованного первой и второй ветвями, второе — для контура, образованного первой и третьей ветвями (для периферийного контура).

Перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо выбрать положительное направление обхода контуров. Будем обходить контуры по часовой стрелке.

Уравнение для контура, образованного первой и второй ветвя­ми, имеет вид

где H_δ1 и H_δ2 — напряженности поля соответственно в воздушных зазорах δ1 и δ2.

В левую часть уравнения вошли слагаемые H₁l₁ и H_δ1δ₁ со знаком плюс, так как на первом участке поток Ф₁ направлен согласно с обходом контура, слагаемые H₁l₁ и H_δ2δ₂ — со знаком минус, так как поток Ф₂ направлен встречно обходу контура.

В правую часть уравнения МДС I₁w₁ вошла со знаком плюс, так как она направлена согласно с обходом контура, а МДС I₂w₂ — со знаком минус, так как она направлена встречно обходу контура.

Составим уравнение для периферийного контура, образованно­го первой и третьей ветвями:

Совместно решать уравнения (а) — (в) с тремя неизвестными (Ф₁, Ф₂, Ф₃) не будем, так как в § 14.8 [1] дается решение рассматрива­емой задачи более совершенным методом, чем метод на основе законов Кирхгофа — методом двух узлов.

Применение к магнитным цепям всех методов, исполь­зуемых для расчета электрических цепей с нелинейными резистора­ми. В гл. 13 [1] подробно рассматривались различные методы расчета электрических цепей с НР. Эти методы полностью применимы и к расчету магнитных цепей, так как и магнитные и электрические цепи подчиняются одним и тем же законам — законам Кирхгофа.

Аналогом тока в электрической цепи является поток в магнит­ной цепи, аналогом ЭДС — МДС, аналогом вольт-амперной харак­теристики нелинейного резистора — вебер-амперная характери­стика участка магнитной цепи.

Магнитные цепи. Закон Ома и закон Кирхгофа для магнитных цепей

Министерство образования Нижегородской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Уренский
индустриально-энергетический техникум»
Магнитные цепи
Магнитной цепью называют устройство,
замыкается магнитный поток.
Бывают разветвленные и неразветвленные.
Неразветвленная цепь
в
котором
Разветвленная цепь
Кроме того, магнитные цепи бывают однородные и
неоднородные.
Однородные цепи изготавливают из одного материала, они
имеют одинаковую площадь сечения.

4. Закон Ома и закон Кирхгофа для магнитных цепей

Закон Ома:
Магнитное напряжение на любом участке определяется
UM H l
В итоге
где
UM
Ф
;
RM
B l
0
Ф l
, т.к.
0 S
H
B
0
;
B
Ф
S
U M Ф RM ,
RM
l
0 S
магнитное сопротивле ние
Магнитный поток прямо пропорционален
напряжению
и
обратно
пропорционален
сопротивлению.
магнитному
магнитному

5.

Законы Кирхгофа
1 закон: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле
магнитопровода равна 0.
Ф 0
2 закон: основан на законе полного тока
Алгебраическая сумма падений магнитного напряжения вдоль
замкнутого контура равна алгебраической сумме МДС,
действующих в контуре.
FM U M Нl
Закон Ома и закон Кирхгофа для расчета магнитных цепей не
используют, т.к. магнитное сопротивление, в отличие от
электрического, зависит от величины магнитного напряжения.
Для расчета магнитных цепей используют закон полного тока.

Занятие 27. Основные законы магнитной цепи. Расчет простейших магнитных цепей

Расчет магнитных цепей проводится на основе законов Кирх­гофа для магнитных цепей. Этих законов два.

Первый закон Кирхгофа

Применяют к магнитным узлам разветвленной магнит­ной цепи. Согласно этому закону алгебраическая сумма потоков равна нулю.

Для цепи (см. рис. 26.2) имеем

Второй закон Кирхгофа

Применяют к магнитным контурам. В соответствие с этим законом алгебраиче­ская сумма магнитных напряжений равна алгебраической сумме намагничивающих сил в контуре.

Для контура АВСD (см. рис.26.1) получаем

или

Где: — магнитные напряжения на различных участках магнитной цепи

Единицей магнитного напряжения является Ампер (А)

Рис.27.1. ко второму закону Кирхгофа

Часто при расчете магнитных цепей применяют закон Ома для участка магнитной цепи. По аналогии с электрической цепью маг­нитное сопротивление выражается отношением

Магнитное сопротивление магнитопровода цепи, изображен­ной на рис.26.2. равно:

Рис.27.2. к расчету магнитного сопротивления цепи

Магнитное сопротивление воздушного зазора R_м.в.той же цепи равно.

Где: — магнитные напряжения магнитопровода и воздушного зазора соответственно;

S — площадь магнитного сер­дечника.

б) Примеры расчета магнитной цепи.

При расчете неразветвленной магнитной цепи различают две задачи: прямую и обратную.

В прямой задачеизвестны геометрические размеры, магнитные свойства магнитопровода и значение маг­нитной индукцииВ или магнитного потока Ф.

В обратной задачепо заданному значению МДС обмотки расчета магнитной цепи определяется магнитный поток или индукции. Причем задача решается методом последовательных приближений, когда произвольно задаются значением искомого магнитного потока и решают прямую задачу, находя соответствующую МДС. Если она не соответствует заданной, изменяют значение потока и снова решают прямую задачу. Процесс повторяют до получения удовлетворительного совпадения расчетной МДС с заданной.

Рассмотрим прямую задачу для магнитной цепи (см. рис.26.2).

Последовательность решения:

• По закону полного тока

Где:

• Поток связан с индукцией соотношением Ф =BS,поэтому при заданном потоке находим индукциюВ.
• Затем по кривой намагничивания В(Н)находимН,
• затем находим Iw.

Задача: Определить количество витков обмотки электромагнита (рис.26.3.) , если ток электромагнита I=20А, а поток, при котором якорь начинает притягиваться равен Ф=30∙10 -4 Вб. Магнитопровод изготовлен из электротехнической стали ЭЗЗО. Размеры электромагнита: l₁ = 30 см; l₂=5 см; l₃ = l₄ = 12 см; l_в = 0,5 см; S₁= 30 см 2 ; S₃ = 25 см 2 . Рис.27.3. Магнитная цепь электромагнита Решение:

1. Определим магнитную индукцию на участках магнитопровода:

2) По кривой намагничивания для стали Э330 ( см. рис.26.4) определяем напряженность магнитного поля Н₁иН₃ Рис.27.4. Кривая намагничивания стали Э330 Напряженность в воздушном зазоре Н_в= 8 ∙ 105В₁= 8∙105А/м. Магнитодвижущая сила Iw =Н₁(2l₁+l₄)+ H_в∙2l_в+ H₃(2l₂+ l₃) = 312,5 ∙ (2 ∙30 + 12) ∙ 10 -2 + 8∙10 5 ∙2∙ 0,5 ∙10 -2 + +500(2∙2,25 + 12) ∙10 -2 = 8310 А. Число витков

Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей.

Указанная в предыдущей лекции формальная аналогия между электрическими и магнитными цепями позволяет распространить все методы и технику расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока на нелинейные магнитные цепи. При этом для наглядности можно составить эквивалентную электрическую схему замещения исходной магнитной цепи, с использованием которой выполняется расчет.

Нелинейность магнитных цепей определяется нелинейным характером зависимости , являющейся аналогом ВАХ и определяемой характеристикой ферромагнитного материала . При расчете магнитных цепей при постоянных потоках обычно используют основную кривую намагничивания. Петлеобразный характер зависимости учитывается при расчете постоянных магнитов и электротехнических устройств на их основе.

При расчете магнитных цепей на практике встречаются две типичные задачи:

— задача определения величины намагничивающей силы (НС), необходимой для создания заданного магнитного потока (заданной магнитной индукции) на каком — либо участке магнитопровода ( задача синтеза или “прямая“ задача );

— задача нахождения потоков (магнитных индукций) на отдельных участках цепи по заданным значениям НС ( задача анализа или “обратная” задача ).

Следует отметить, что задачи второго типа являются обычно более сложными и трудоемкими в решении.

В общем случае в зависимости от типа решаемой задачи (“прямой” или “обратной”) решение может быть осуществлено следующими методами:

При этом при использовании каждого из этих методов первоначально необходимо указать на схеме направления НС, если известны направления токов в обмотках, или задаться их положительными направлениями, если их нужно определить. Затем задаются положительными направлениями магнитных потоков, после чего можно переходить к составлению эквивалентной схемы замещения и расчетам.

Магнитные цепи по своей конфигурации могут быть подразделены на неразветвленные и разветвленные. В неразветвленной магнитной цепи на всех ее участках имеет место один и тот же поток, т.е. различные участки цепи соединены между собой последовательно. Разветвленные магнитные цепи содержат два и более контура.

Регулярные методы расчета

Данными методами решаются задачи первого типа — ”прямые” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и основные геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала и магнитный поток или магнитная индукция в каком-либо сечении магнитопровода. Требуется найти НС, токи обмоток или, при известных значениях последних, число витков.

1. Прямая” задача для неразветвленной магнитной цепи

Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:

1. Намечается средняя линия (см. пунктирную линию на рис.1), которая затем делится на участки с одинаковым сечением магнитопровода.

2. Исходя из постоянства магнитного потока вдоль всей цепи, определяются значения индукции для каждого — го участка:

3. По кривой намагничивания для каждого значения находятся напряженности на ферромагнитных участках; напряженность поля в воздушном зазоре определяется согласно

4. По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи определяется искомая НС путем суммирования падений магнитного напряжения вдоль контура:

где — длина воздушного зазора.

2. “Прямая” задача для разветвленной магнитной цепи

Расчет разветвленных магнитных цепей основан на совместном применении первого и второго законов Кирхгофа для магнитных цепей. Последовательность решения задач данного типа в целом соответствует рассмотренному выше алгоритму решения “прямой” задачи для неразветвленной цепи. При этом для определения магнитных потоков на участках магнитопровода, для которых магнитная напряженность известна или может быть вычислена на основании второго закона Кирхгофа, следует использовать алгоритм

В остальных случаях неизвестные магнитные потоки определяются на основании первого закона Кирхгофа для магнитных цепей.

В качестве примера анализа разветвленной магнитной цепи при заданных геометрии магнитной цепи на рис. 2 и характеристике ферромагнитного сердечника определим НС , необходимую для создания в воздушном зазоре индукции .

Алгоритм решения задачи следующий:

1. Задаем положительные направления магнитных потоков в стержнях магнитопровода (см. рис. 2).

2. Определяем напряженность в воздушном зазоре и по зависимости для — значение .

3. По второму закону Кирхгофа для правого контура можно записать

откуда находим и по зависимости — .

4. В соответствии с первым законом Кирхгофа

Тогда , и по зависимости определяем .

5. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для искомой НС имеет место уравнение

Графические методы расчета

Графическими методами решаются задачи второго типа — “обратные” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала, а также НС обмоток. Требуется найти значения потоков (индукций) на отдельных участках магнитопровода.

Данные методы основаны на графическом представлении вебер — амперных характеристик линейных и нелинейных участков магнитной цепи с последующим решением алгебраических уравнений, записанных по законам Кирхгофа, с помощью соответствующих графических построений на плоскости.

1. “Обратная” задача для неразветвленной магнитной цепи

Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:

1. Задаются значениями потока и определяют для них НС , как при решении “прямой” задачи. При этом следует стремиться подобрать два достаточно близких значения потока, чтобы получить , несколько меньшую и несколько большую заданной величины НС.

2. По полученным данным строится часть характеристики магнитной цепи (вблизи заданного значения НС), и по ней определяется поток, соответствующий заданной величине НС.

При расчете неразветвленных магнитных цепей, содержащих воздушные зазоры, удобно использовать метод пересечений, при котором искомое решение определяется точкой пересечения нелинейной вебер — амперной характеристики нелинейной части цепи и линейной характеристики линейного участка, строящейся на основании уравнения

где — магнитное сопротивление воздушного зазора.

2. “Обратная” задача для разветвленной магнитной цепи

Замена магнитной цепи эквивалентной электрической схемой замещения (см. рис. 3, на котором приведена схема замещения магнитной цепи на рис. 2) позволяет решать задачи данного типа с использованием всех графических методов и приемов, применяемых при анализе аналогичных нелинейных электрических цепей постоянного тока.

В этом случае при расчете магнитных цепей, содержащих два узла (такую конфигурацию имеет большое число используемых на практике магнитопроводов), широко используется метод двух узлов. Идея решения данным методом аналогична рассмотренной для нелинейных резистивных цепей постоянного тока и заключается в следующем:

1. Вычисляются зависимости потоков во всех — х ветвях магнитной цепи в функции общей величины — магнитного напряжения между узлами и .

2. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа Соответствующие данной точке потоки являются решением задачи.

Итерационные методы расчета

Данные методы, сущность которых была рассмотрена при анализе нелинейных резистивных цепей постоянного тока, являются приближенными численными способами решения нелинейных алгебраических уравнений, описывающих состояние магнитной цепи. Как было отмечено выше, они хорошо поддаются машинной алгоритмизации и в настоящее время широко используются при исследовании сложных магнитных цепей на ЦВМ. При анализе относительно простых цепей, содержащих небольшое число узлов и нелинейных элементов в эквивалентной электрической схеме замещения (обычно до двух-трех), возможна реализация методов “вручную”.

В качестве примера приведем алгоритм расчета магнитной цепи на рис. 1, в которой при заданных геометрии магнитопровода, характеристике материала сердечника и величине НС F необходимо найти поток Ф.

В соответствии с пошаговым расчетом для данной цепи можно записать

Задаемся значением , вычисляем для -х участков магнитопровода , по кривой намагничивания находим , подсчитываем и по (1) определяем для следующего приближения и т.д., пока с заданной погрешностью не будет выполняться равенство .

Статическая и дифференциальная индуктивности катушки
с ферромагнитным сердечником

Пусть имеем катушку с ферромагнитным сердечником, представленную на рис. 4.

В соответствии с определением потокосцепления

и на основании закона полного тока , откуда

Из соотношений (2) и (3) вытекает, что функция качественно имеет такой же вид, что и . Таким образом, зависимости относительной магнитной проницаемости и индуктивности также подобны, т.е. представленные в предыдущей лекции на рис. 2 кривые и качественно аналогичны кривым и .

Статическая индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником

Если магнитную проводимость сердечника на рис. 4 обозначить через , то и , откуда

Используя соотношение (4), покажем влияние воздушного зазора на индуктивность катушки.

Пусть катушка на рис. 4 имеет воздушный зазор . Тогда полное магнитное сопротивление контура

Таким образом, воздушный зазор линеаризует катушку с ферромагнитным сердечником. Зазор, для которого выполняется неравенство , называется большим зазором.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие два типа задач встречаются при расчете магнитных цепей? Дайте им характеристику.
2. Какие существуют методы расчета магнитных цепей?
3. Какими методами решаются «обратные» задачи?
4. Как влияет воздушный зазор на индуктивность нелинейной катушки?
5. Что такое большой зазор?
6. В магнитной цепи на рис. 2 заданы и . Составить алгоритм расчета длины воздушного зазора .
7. Составить алгоритм итерационного расчета потока в воздушном зазоре магнитной цепи на рис. 2 при заданной НС .
8. Запишите закон электромагнитной индукции с использованием статической и дифференциальной индуктивностей.

• Что такое ИБП
• Отличие источников
• Как рассчитать мощность
• Перед включением ИБП
• Библиотека ИБП
• Запрос стоимости ИБП