Что такое поток в физике

Поток векторного поля

Прежде чем рассматривать следующую интегральную теорему — теорему о дивергенции,— хотелось бы разобраться в одной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваивается. Мы уже определили вектор h, представляющий количество тепла, протекающего сквозь единицу площади в единицу времени. Положим, что внутри тела имеется замкнутая поверхность S, ограничивающая объем V (фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает из этого объема. Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность S.

Обозначим через da площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху, то

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого кубика и обозначать его dV, подразумевая, что

Кое-кто пишет и d 2 a вместо da, чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо dV пишут также d 3 V. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Поток тепла через элемент поверхности da равен произведению площади на составляющую h, перпендикулярную к da. Мы уже определяли n — единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3). Искомая составляющая h равна

и тогда поток тепла сквозь da равен

А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности. Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности

Этот интеграл мы будем называть «поток h через поверхность». Мы рассматриваем h как «плотность потока» тепла, а поверхностный интеграл от h — это общий поток тепла наружу через поверхность, т. е. тепловая энергия за единицу времени (джоули в секунду).

Мы хотим эту идею обобщить на случай, когда вектор не представляет собой потока какой-то величины, а, скажем, является электрическим полем. Конечно, если это будет нужно, то и в этом случае все равно можно проинтегрировать нормальную составляющую электрического поля по площади. Хотя теперь она уже не будет ничьим потоком, мы все еще будем употреблять слово «поток». Мы будем говорить, что

Слову «поток» мы придаем смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. То же определение будет применяться и тогда, когда поверхность незамкнута.

А возвращаясь к частному случаю потока тепла, обратим внимание на те случаи, когда количество тепла сохраняется. Представьте себе, к примеру, материал, в котором после первоначального подогрева не происходит ни дальнейшего подвода, ни поглощения тепла. Тогда, если из какой-то замкнутой поверхности наружу поступает тепло, содержание тепла во внутреннем объеме должно падать. Так что в условиях, когда количество тепла сохраняется, мы говорим, что

где Q — запас тепла внутри S. Поток тепла из S наружу равен со знаком минус быстроте изменения со временем общего запаса тепла Q внутри S. Это толкование возможно оттого, что речь идет о потоке тепла, и оттого, что мы предположили, что количество тепла сохраняется. Конечно, если бы внутри объема создавалось тепло, нельзя было бы говорить о полном запаса тепла в нем.

Укажем теперь на интересное свойство потока любого вектора. Можете при этом представлять себе вектор потока тепла, но верно это будет и для произвольного векторного поля С. Представьте себе замкнутую поверхность S, окружающую объем V. Разобьем теперь объем на две части каким-то «сечением» (фиг. 3.4). Получились два объема и две замкнутые поверхности. Объем V₁ окружен поверхностью S₁, составленной частью из прежней поверхности S_a и частью из «сечения» S_ab. Объем V₂ окружен поверхностью S₂, составленной из остатка прежней поверхности (S_b) и замкнутой сечением S_ab. Зададим вопрос: если мы рассчитаем поток через поверхность S₁ и прибавим к нему поток сквозь поверхность S₂, будет ли их сумма равна потоку через первоначальную поверхность? Ответ гласит: «Да». Потоки через часть S_ab, общую обеим поверхностям S₁ и S₂, в точности сократятся. Для потока вектора С из V₁ можно написать

Заметьте, что во втором интеграле мы обозначили внешнюю нормаль к S_ab буквой n₁, если она относится к S₁, и буквой n₂, если она относится к S₂ (см. фиг. 3.4). Ясно, что n₁ = –n₂, и тем самым

Складывая теперь уравнения (3.14) и (3.15), мы убеждаемся, что сумма потоков сквозь S₁ и S₂ как раз равна сумме двух интегралов, которые, взятые вместе, дают поток через первоначальную поверхность S=S_a + S_b.

Мы видим, что поток через всю внешнюю поверхность S можно рассматривать как сумму потоков из тех двух частей, на которые разрезан объем. Эти части можно еще разрезать: скажем, V₁ разбить пополам. Опять придется прибегнуть к тем же доводам. Так что для любого способа разбиения первоначального объема всегда остается справедливым то свойство, что поток через внешнюю поверхность (первоначальный интеграл) равен сумме потоков изо всех внутренних частей.

III. Основы электродинамики

Магнитный поток — скалярная физическая величина, характеризующая число линий магнитной индукции поля, пронизывающих замкнутый контур.

Нормаль — перпендикуляр к плоскости контура.

Анализ формулы позволяет заключить, что магнитный поток изменится, если изменить угол наклона контура, площадь контура, интенсивность магнитного поля.

Контур — замкнутый провод. При изучении магнитного поля контур «усиливают», используя катушку.

Поток вектора магнитной индукции

Пример 2

Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.

Решение

Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние d x . Это говорит о совершении силой работы, равной:

δ A = F d x ( 2 . 1 ) .

Элементарная работа δ A может быть выражена как:

δ A = I ‘ d Φ ( 2 . 2 ) .

Произведем то же с силой, применяя формулы ( 2 . 1 ) , ( 2 . 2 ) . Получаем:

F d x = I ‘ d Φ → F = I ‘ d Φ d x ( 2 . 3 ) .

Используем выражение, которое было получено в примере 1 :

d Φ = — μ 0 2 π I l d x x → d Φ d x = — μ 0 2 π I l x ( 2 . 4 ) .

Произведем подстановку d Φ d x в ( 2 . 3 ) . Имеем:

F = I ‘ μ 0 2 π I l x ( 2 . 5 ) .

Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует 4 силы, причем на стороны A B и D C равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:

F A B → + F D C → = 0 ( 2 . 6 ) , то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:

F → = F A D → + F B C → ( 2 . 6 ) .

Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:

F = F A D — F B C ( 2 . 7 ) .

Произведем поиск силы F A D , действующей на сторону A D , применив формулу ( 2 . 5 ) , где x = b :

F A D = I ‘ м 0 2 π I l b ( 2 . 8 ) .

Значение F B C будет:

F B C = I ‘ μ 0 2 π I l b + a ( 2 . 9 ) .

Для нахождения искомой силы:

F = I ‘ μ 0 2 π I l b — I ‘ μ 0 2 π I l b + a = I I ‘ μ 0 l 2 π 1 b — 1 b + a .

Ответ: F = I I ‘ μ 0 l 2 π 1 b — 1 b + a . Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.

Khan Academy does not support this browser.

Чтобы пользоваться «Академией Хана», необходимо обновить ваш веб-браузер. Чтобы начать обновление, выберите один из предложенных ниже вариантов.

If you’re seeing this message, it means we’re having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Course: Физика > Модуль 13

Урок 4: Магнитный поток и закон Фарадея
Поток и магнитный поток
Что такое магнитный поток?
Введение в закон Фарадея
Правило Ленца
Пример применения закона Фарадея
Введение в закон Фарадея
Ток, возникший вследствие перемещения стержня в магнитном поле
Применение закона Фарадея для генерации электрического тока
© 2024 Khan Academy

Что такое магнитный поток?

Узнайте, что такое магнитный поток и как его находить.

Что такое магнитный поток?

Магнитный поток является мерой общего магнитного поля, проходящего сквозь заданную площадь. Это очень удобный инструмент для описания эффекта, оказываемого магнитным полем на объект, занимающий такую же площадь. Величина магнитного потока зависит от выбранной площади. Мы можем выбрать любую площадь, какую захотим, и любым образом ориентировать её в пространстве относительно магнитного поля.

Если мы изображаем магнитное поле силовыми линиями , тогда каждая силовая линия, проходящая через выбранную площадь, делает свой вклад в общий магнитный поток. Также имеет значение угол, под которым силовая линия пересекает эту плоскость. Если силовая линия пересекает её под очень небольшим углом, то и вклад её в магнитный поток будет небольшим. При вычислении магнитного потока мы учитываем только ту составляющую вектора магнитного поля, которая перпендикулярна исследуемой площади.

Если мы возьмём фрагмент плоскости площадью A ‍

, то между вектором магнитного поля (с модулем B ‍

) и нормалью (перпендикуляром) к плоскости образуется угол θ ‍

. Тогда магнитный поток будет равен:

Объяснение
В общем случае магнитный поток находится при помощи скалярного произведения векторов. Если B → ‍

— вектор магнитной индукции, а A → ‍

— вектор, перпендикулярный рассматриваемой плоскости, тогда: Φ = B → ⋅ A → ‍