Натуральная величина сечения тела вращения

Натуральная величина фигуры сечения

Задача сечения фигуры (тела) плоскостью решается как пересечение прямых принадлежащих поверхности тела (рёбра или образующие) с секущей плоскостью. Проекция фигуры сечения очевидна, если секущая занимает проецирующее положение. Если задание содержит секущую плоскость общего положения, то целесообразно заменить плоскость проекций на плоскость перпендикулярную горизонтали или фронтали. Фигура сечения на исходных проекциях строится с использованием условия принадлежности точки прямой (например ребра гранного тела).

Так как в результате построений, обычно получается проецирующее положение фигуры сечения, то удобно использовать метод замены плоскостей проекций или метод поворота фигуры вокруг проецирующей оси.

Сечение пирамиды фронтально проецирующей плоскостью

Замена горизонтальной плоскости проекций на плоскость параллельную секущей даёт проекцию, которая равна натуральной величине сечения.

Сечение конуса плоскостью заданной следами

Первая замена выполнена так, что секущая плоскость и фигура сечения занимают проецирующее на П₄ положение. Вторая замена П₁ на П₅, которая проводится параллельно плоскости сечения.

Натуральная величина фигуры сечения призмы способом вращения

Дана наклонная призма с горизонтальными основаниями и рёбрами общего положения. Плоскость общего положения α заданная следами пересекает призму. Найти сечение призмы плоскостью и построить натуральную величину фигуры сечения способом вращения вокруг линии уровня (горизонтального следа секущей плоскости).

Плоскость проекции П₄ построена перпендикулярно горизонтальному следу и заменяет проекцию П₁. На П₄ секущая плоскость проецируется в прямую. Точка F выбранная на фронтальном следе и построенная на П₄ определяет (совместно с проекцией горизонтального следа) проекцию α₄. Фигура сечения призмы полностью определена на П₄ и правило принадлежности точки прямой позволяет построить горизонтальную и фронтальную проекции сечения по линиям проекционных связей.

Натуральная величина сечения построена способом вращения вокруг горизонтали (1) до совмещения фигуры сечения с горизонтальной плоскостью проекций.

Наклонные сечения тел вращения.

Сечение конуса.Если секущая плоскость будет проходить через образующую (прямую), то в сечении получим треугольник, если через направляющую (окружность) — окружность. Все остальные сечения кругового конуса будут лекальными кривыми второго порядка, а именно: — эллипсом, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса; — параболой — секущая плоскость параллельна одной из образующих; — гиперболой — секущая плоскость параллельна двум образующим. На рис. 8.4 выполнен чертеж конуса, и показана секущая плоскость А-А, которая пересекает все образующие данного конуса. Следовательно, фигура сечения будет ограничена эллипсом, а отрезокА2B2является его фронтальной проекцией Натуральную величину сечения можно построить по законам построения эллипса. Для этого на оси х откладываем большую ось эллипсаАВи малуюCD. Причем, малая ось эллипса определяется как хорда (CD) параллели, делящей пополам фронтальную проекцию сечения. Сечение шара.Как известно, любое сечение шара плоскостью является кругом. В зависимости от положения секущей плоскости, окружность, ограничивающая фигуру сечения, может спроецироваться в: — окружность, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций; — отрезок прямой>, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций; — эллипс, если секущая плоскость наклонена к плоскости проекций. Так как сечение шара — круг (рис. 8.7), то построение его натуральной величины сводится к определению радиуса окружности. Участок линии сеченияА3В3является диаметром этой окружности. Поэтому для построений на новую осьх1линиями связи переносятся точкиОиВ, после чего радиусом, равным расстоянию между ними, проводится окружность — граница фигуры сеченияА-А. Сечение цилиндра если пересекаются все образующие (Y1), представляет плоскую кривую второго порядка — окружность или эллипс, принадлежащую секущей плоскости. В частом случае, при определенном расположении секущей плоскости (Y2), когда она проходит через две образующие, сечение цилиндра представляет собой прямоугольник Сечение прямого кругового цилиндра дает — окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности. Билет 20Билет 23Билет 24 Сущность определения натуральной величины отрезка прямой методом вращения состоит в том, что сохраняя основную систему плоскостей проекции П1-П2 неизменной, проецируемому отрезку придают путем вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости такое положение, при котором на комплексном чертеже будет получено его натуральная величина. Пример построения Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X. По линиям связи находим точку M»₁. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости. Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»₁ и M»₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом. 1) Проводим прямую, замеряем радиус черной штуки и таким же радиусом чертим окружность на первом виде. 2) Чертим прямую, проходящую через вершину нашего сечения. Точки сечения будут лежать на окружности. 3) Замеряем координату У на первом виде по зеленой штуке и переносим на третий вид. 4) Повторяем действие один и получаем наверное(. ) то что нужно. Билет 26

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A’A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A₀B’ треугольника A₀A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П₁, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’₁F’₁ (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’₁F’₁ = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E»₁ и F»₁. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M»₁. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»₁ и M»₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

Сечение тел вращения плоскостью.

Круг (фиг.305,б), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения. Такое сечение называется нормальным сечением;
Эллипс (фиг.305,в), если секущая плоскость наклонена к оси вращения.
1. Сечение цилиндра фронтальной плоскостью (фиг.306).

Прямой круговой цилиндр поставлен основанием на плоскость П₁ и рассечен фронтальной плоскостью μ .
Требуется:
а) Построить проекции сечения;
б) Построить развертку поверхности усеченного цилиндра;
в) Построить аксонометрические проекции усеченного цилиндра.
I. Горизонтальная проекция A₁B₁C₁D₁ фигуры сечения представляет собой хорду, по которой разрезается горизонтальная проекция основания цилиндра, совпадающая с горизонтальной проекцией μ₁ секущей плоскости, а фронтальная проекция фигуры сечения изобразится в виде прямоугольника A₂B₂C₂D₂ , разного натуральной величине фигуры сечения.
II. Развертку поверхности неусеченного цилиндра строим по диаметру основания D и высоте Н цилиндра, размеры которых выявлены на проекциях в натуральную величину.
Затем определяем длину L ∩ дуги отсеченной части окружности основания и укорачиваем длину боковой развертки (_ПD) на размер L , в результате получаем развертку боковой поверхности усеченного цилиндра. Оставшиеся части оснований — сегменты — изображаем, пользуясь размером k .
Присоединив к стороне A₀D₀ фигуру сечений — прямоугольник А₀В₀С₀D₀ , получим полную развертку поверхности усеченного цилиндра.
III. Построение аксонометрических проекций усеченных цилиндров осуществляется в следующем порядке: строим проекции неусеченного цилиндра по размерам D и Н так, чтобы основание цилиндра лежало в плоскости П₁ . Пользуясь размером k , изображаем часть цилиндра, оставшуюся после сечения.
Выявляем контур оставшейся части цилиндра, обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем фигуру сечения.
2. Сечение цилиндра фронтально — проектирующей плоскостью, пересекающей его по боковой поверхности (фиг.307).

I, а. Прямой круговой цилиндр поставлен основанием на плоскость П₁ и рассечен фронтально-проектирующей плоскостью δ .
Требуется:
а) Построить проекции сечения;
б) Найти натуральную величину фигуры сечения;
в) Построить развертку поверхности усеченного цилиндра;
г) Построить аксонометрическую проекцию усеченного цилиндра.
Для решения этих задач воспользуемся образующими. На горизонтальной проекции цилиндра берем восемь равномерно расположенных точек (их можно взять и больше) и принимаем их за горизонтальные проекции образующих.
I, б. Находим фронтальные проекции образующих. Фронтальная и горизонтальная проекции фигуры сечения выявлены на чертеже без дополнительных построений: фронтальная проекция сечения — прямая, расположенная на фронтальной проекции δ₂ ; горизонтальная проекция — окружность, совпадающая с горизонтальной проекцией цилиндра; профильная проекция — эллипс, строится, как третья проекция, по двум данным. В случае, когда фронтально — проектирующая плоскость будет иметь угол наклона к плоскости П₁ равный 45° , профильная проекция сечения выявится кругом.
I, в. Натуральная величина фигуры сечения — эллипс — найдена способом перемены плоскостей проекций.
II. Пользуясь размерами D и Н , строим развертку боковой поверхности неусеченного цилиндра вместе с нанесенными на его поверхность образующими, причем разрез боковой поверхности цилиндра может быть.сделан по любой образующей, например по образующей, на которой лежит точка A 7 .
Переносим на образующие развертки части образующих, оставшихся после сечения (размеры их выявлены на фронтальной проекции).

Точки А 7 ₀, А 8 ₀, A 1 ₀, А 2 ₀ A 3 ₀, A 4 ₀, А 5 ₀ А 6 ₀, А 7 ₀ соединяем плавной кривой линией, она является линией сечения, по которой поверхность цилиндра рассечена фронтально — проектирующей плоскостью δ . Линия сечения представляет собой синусоиду.
Для получения развертки поверхности усеченного цилиндра к любой точке прямой (выпрямленной окружности основания) присоединяем нижнее основание, а к точке А’₀ линии сечения — фигуру сечения — эллипс.
III. Построение аксонометрических проекций усеченных цилиндров осуществляем в следующем порядке: строим проекции неусеченного цилиндра, наносим на его боковую поверхность образующие, пользуясь размерами k и k . На образующих от нижнего основания откладываем оставшиеся части образующих (размерь; берем с фронтальной проекции). Соединяем между собой верхние точки A 1 ‘, A 2 ‘, А 3 ‘. A 8 ‘ плавной кривой при помощи лекала и получаем аксонометрию фигуры сечения. Выявляем контур оставшейся части цилиндра, обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем фигуру сечения.