Потенциал
В одной точке электростатического поля разные заряды могут обладать различной потенциальной энергией, но отношение потенциальной энергии W p к заряду q для данной точки поля оказывается постоянной величиной. Эту величину принимают за энергетическую характеристику данной точки поля.
Физическая величина, равная отношению потенциальной энергии электрического заряда в электрическом поле к заряду, называется потенциалом электрического поля:
Отсюда потенциальная энергия W p заряда в электростатическом поле равна произведению заряда д на потенциал (р электрического поля в данной точке:
Значение потенциальной энергии электрического заряда в данной точке электрического поля определяется не только характеристиками электрического поля, но и знаком заряда, помещенного в данную точку поля, и выбором нулевого уровня отсчета потенциальной энергии.
Потенциал — величина скалярная. Если в некоторой точке пространства двумя зарядами одновременно созданы электрические поля с потенциалами 
и 
, то потенциал 
двух электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов 
и 
:
Аналогичным способом можно найти потенциал электрического поля, созданного любым числом электрических зарядов.
Физика. 10 класс
§ 21. Работа силы однородного электростатического поля. Потенциал
Потенциал электростатического поля как его энергетическая характеристика. Из выражений (21.1) и (21.2) следует, что потенциальная энергия пробного заряда q0 в данной точке поля пропорциональна величине этого заряда. Следовательно, отношение не зависит от заряда и является энергетической характеристикой электростатического поля, получившей название потенциал.
Потенциал электростатического поля в данной точке пространства — физическая скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещённого в данную точку поля, к значению этого заряда:
За единицу потенциала в СИ принят вольт (В). Единица названа в честь итальянского учёного Алессандро Вольта (1745–1827), внёсшего большой вклад в изучение электрических явлений. 1 В — потенциал такой точки электростатического поля, в которой заряд 1 Кл обладал бы потенциальной энергией 1 Дж.
Потенциал φ электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от него в вакууме или в воздухе определяют соотношением
Знак заряда-источника поля определяет знак потенциала этого поля.
Поскольку потенциальная энергия заряда в электростатическом поле зависит от выбора нулевой точки, то эта зависимость сохраняется и для потенциала. Если принять, что на бесконечно большом расстоянии от источника поле отсутствует, т. е. потенциальная энергия системы «заряд ‒ электростатическое поле» на бесконечности равна нулю, то потенциал поля в данной точке можно определить следующим образом:
Если электрическое поле создано в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, то потенциал поля
Следует отметить, что потенциал поля, создаваемого положительным зарядом, уменьшается по мере удаления от заряда, а потенциал поля, создаваемого отрицательным зарядом, увеличивается.
Из формулы (21.5) следует, что во всех точках поля, находящихся на расстоянии r от точечного заряда Q, потенциал φ одинаковый. Эти точки расположены на поверхности сферы радиусом R, центр которой находится в той же точке, что и заряд Q.
Потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиусом R, заряд которой Q, в вакууме в точках вне сферы на расстоянии r > R от её центра, определяют по формуле . В точках, находящихся на поверхности и внутри сферы по формуле .
От теории к практике
Электростатическое поле создано точечным неподвижным зарядом Q. Потенциал поля в точке, расположенной от заряда Q на расстоянии r = 27 см, φ = 80 В. В эту точку помещают пробный заряд q0. Определите: а) значение заряда, создающего поле; б) значение пробного заряда, если его потенциальная энергия в данной точке поля Wп = –0,8 мкДж.
Потенциал является скалярной величиной. Поэтому, если в данной точке пространства электростатическое поле создано системой точечных зарядов, то потенциал результирующего поля в этой точке равен алгебраической сумме потенциалов полей в этой же точке пространства, создаваемых каждым из точечных зарядов системы в отдельности:
т. е. для потенциала выполняется принцип суперпозиции.
Геометрическое место точек в электростатическом поле, потенциалы которых одинаковы, называют эквипотенциальной поверхностью.
Используя эквипотенциальные поверхности, можно представлять графически электростатические поля. Через каждую точку поля проходят только одна линия напряжённости и одна эквипотенциальная поверхность. В каждой точке электростатического поля линия напряжённости и эквипотенциальная поверхность взаимно перпендикулярны ( рис. 116.1 ). Представление электростатического поля с помощью эквипотенциальных поверхностей, как и термин «потенциал», ввёл немецкий учёный К. Ф. Гаусс в 1840 г.
1. Как определить работу силы однородного электростатического поля по перемещению электрического заряда?
2. Как вы понимаете утверждение «электростатическое поле потенциально»? Как связана работа силы электростатического поля по перемещению электрического заряда с изменением потенциальной энергии заряда в этом поле?
3. Какие две физические величины характеризуют электростатическое поле в любой его точке?
4. Что называют потенциалом электростатического поля?
5. Чему равен потенциал электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от него?
6. Как определить потенциал электростатического поля, созданного несколькими точечными зарядами?
7. Докажите, что работа силы электростатического поля по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю.
8. В чём проявляется сходство электростатического и гравитационного полей?
9. Положительно заряженная частица перемещается под действием только сил электростатического поля на некоторое расстояние. В какой точке траектории движения частицы — начальной или конечной — потенциал поля выше, если модуль её скорости: а) возрастает; б) убывает?
10. Отрицательно заряженная частица перемещается из состояния покоя под действием только сил электростатического поля на некоторое расстояние. В какой точке траектории движения частицы — начальной или конечной — потенциал поля выше?
11. Чему равен потенциал электростатического поля равномерно заряженной сферы радиусом R на расстоянии r от её центра, если: а) r ≤ R; б) r > R , а заряд сферы Q?
Какая физическая величина определяется отношением потенциальной энергии электрического заряда в эл
При перемещении пробного заряда в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении равна (рис. 1.4.1):
Работа электрических сил при малом перемещении заряда
Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле
Электростатическое поле обладает важным свойством:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.
Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.
Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.
Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными .
На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда и две различные траектории перемещения пробного заряда из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Работа Δ кулоновских сил на этом перемещении равна
Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния между зарядами и его изменения Δ. Если это выражение проинтегрировать на интервале от = 1 до = 2, то можно получить
Работа кулоновских сил при перемещении заряда зависит только от расстояний 1 и 2 начальной и конечной точек траектории
Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.
Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов то при перемещении пробного заряда работа результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ кулоновских полей точечных зарядов: Так как каждый член суммы не зависит от формы траектории, то и полная работа результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.
Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда , помещенного в эту точку, принимается равной нулю.
Потенциальная энергия заряда , помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе 10, которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда из точки (1) в точку (0):
(В электростатике энергию принято обозначать буквой , так как буквой обозначают напряженность поля.)
Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.
Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).
| 12 = 10 + 02 = 10 – 20 = p1 – p2. |
Потенциальная энергия заряда , помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда.
Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:
Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.
Работа 12 по перемещению электрического заряда из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ1 – φ2) начальной и конечной точек:
| 12 = p1 – p2 = φ1 – φ2 = (φ1 – φ2). |
В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В).
Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:
Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Потенциал φ∞ поля точечного заряда на расстоянии от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:
Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при , где – радиус шара.
Для наглядного представления электростатическое поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности .
Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала .
Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.
Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда
В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.
Если пробный заряд совершил малое перемещение вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:
| Δ12 = Δ = (φ1 – φ2) = – Δφ, |
где Δφ = φ1 – φ2 – изменение потенциала. Отсюда следует
Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии.
Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов:
| φ = φ1 + φ2 + φ3 + . |
Какая физическая величина определяется отношением потенциальной энергии электрического заряда в эл
Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда:
,
где Wп1 и Wп2 – потенциальные энергии заряда q в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q, изменение потенциальной энергии равно
.
При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r1 и r2 от заряда Q,
.
Если поле создано системой точечных зарядов Q1, Q2, ¼ , Q n , то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле:
.
Приведённые формулы позволяют найти только изменение потенциальной энергии точечного заряда q, а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q, находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q, получим
,
где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥ ), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид
.
При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную. В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q:
.
Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Qi ( i = 1, 2, . , n). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением
,
где rij — расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.
Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля, определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, j = Wп / q , откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).
Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e :
.
Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q1, Q2 ¼ , Q n имеем
,
где r i — расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j , до заряда Qi . Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то
,
где r — расстояние от элементарного объема d x, dy, dz до точки (x, y, z), где определяется потенциал; V — объем пространства, в котором распределен заряд.
Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q ( j 1 — j 2 ) .
Если по аналогии с потенциальной энергией считать, что в точках, бесконечно удалённых от электрических зарядов — источников поля, потенциал равен нулю, то работу сил электрического поля при перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность можно представить как A ¥ = q j 1.
Таким образом, потенциал â данной точке электростатического поля — это физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную: j = A ¥ / q .
В некоторых случаях потенциал электрического поля нагляднее определяется как физическая величина, численно равная работе внешних сил против сил электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку. Последнее определение удобно записать следующим образом:
.
В современной науке и технике, особенно при описании явлений, происходящих в микромире, часто используется единица работы и энергии, называемая электрон-вольтом (эВ). Это работа, совершаемая при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками с разностью потенциалов 1 В: 1 эВ = 1,60 × 10 — 1 9 Кл × 1 В = 1,60 × 10 — 1 9 Дж.
1) Дайте определение потенциала данной точки поля и разности потенциалов двух точек поля.
2) Приведите графики зависимостей напряженности поля и потенциала от расстояния для равномерно заряженной сферической поверхности. Дайте их объяснение и обоснование.