Максимальное растяжение пружины формула

Расчетные формулы для пружин сжатия в метрических единицах измерения

При проектировании пружины подбирается диаметр проволоки, количество витков и длина свободной пружины L0 для указанной нагрузки, материала и сборочных размеров или диаметра пружины. Шаг резьбы пружины в свободном состоянии с рекомендуемыми диаметрами проволоки должен лежать в диапазоне 0,3 D ≤ t ≤ 0,6 D [мм].

Конструкция пружины определяется с учетом условия прочности τ ₈ ≤ u _s τ _A и рекомендуемых диапазонов некоторых геометрических параметров пружины:

L ₈ ≥ L _minF и D ≤ L ₀ ≤ 10 D и L ₀ ≤ 31,5 д. и 4 ≤ D/d ≤ 16 и n ≥ 2 и 12 d ≤ t < D

средний диаметр пружины [мм]

диаметр проволоки [мм]

шаг активных витков в ненагруженном состоянии [мм]

напряжение при кручении материала пружины полностью нагруженной пружины [МПа]

допустимое напряжение материала пружины при кручении [МПа]

коэффициент использования материала [-]

длина полностью нагруженной пружины [мм]

предельная длина пружины при испытании [мм]

количество активных витков [-]

Если в спецификации указаны условия безопасности при изгибе и условия проверки для усталостной нагрузки, они учитываются при проектировании пружины.

В следующем списке приведены процедуры различных типов проектирования пружины.

Процедуры разработки

1. Задание нагрузки, материала и сборочных размеров пружины

Сначала проверьте и рассчитайте входные значения.

Отрегулируйте диаметр каркаса и количество витков в соответствии с силой и геометрическими требованиями, указанными в предыдущей таблице Либо используйте значения диаметра пружины, указанные в спецификации

Во время подбора программа выполняет расчет, шаг за шагом, от малого к большому, диаметров всех пружинных проволок, которые соответствуют условиям прочности и геометрии. Если удовлетворяются все условия, процесс подбора завершается с выбранными значениями, независимо от других соответствующих диаметров пружинных проволок. Это значит, что программа пытается рассчитать конструкцию пружины с минимальным диаметром проволоки и наименьшим количеством витков.

2. Проектирование пружины для указанной нагрузки, материала и диаметра пружины

Сначала проверьте расчетные входные значения.

Подберите диаметр проволоки, число витков, длину в свободном состоянии и сборочные размеры с учетом приведенных выше требований к прочности и геометрическим параметрам, либо используйте произвольные сборочные размеры L ₁ или L ₈ , указанные в спецификации, или любое ограниченное значение рабочей деформации пружины.

Для проектирования пружины для указанного диаметра воспользуйтесь следующей формулой.

рабочее усилие в полностью нагруженной пружине [МПа]

средний диаметр пружины [мм]

поправочный коэффициент Валя [-]

напряжение при кручении материала пружины полностью нагруженной пружины [МПа]

допустимое напряжение материала пружины при кручении [МПа]

Если для этого диаметра проволоки не удается подобрать подходящую комбинацию размеров пружины, все диаметры пружинных проволок, которые соответствуют условиям прочности и геометрии, испытываются в восходящем порядке. Выполняется проверка подходящих витков, которые занесены под номерами в таблицу, на соответствие конструкции пружины условиям. В этом случае процесс подбора завершается с выбранными значениями, независимо от других соответствующих диаметров пружинных проволок, а пружина разрабатывается с минимальным диаметром проволоки и наименьшим количеством витков.

3. Проектирование пружины для указанной максимальной рабочей силы, материала, сборочных размеров и диаметра пружины

Сначала проверьте расчетные входные значения.

Затем подберите диаметр проволоки, количество витков, длину свободной пружины и минимальное рабочее усилие F ₁ таким образом, чтобы были выполнены вышеупомянутые условия прочности и геометрии.

Программа пытается рассчитать оптимальную конструкцию пружины для диаметра с помощью следующей формулы:

рабочее усилие в полностью нагруженной пружине [МПа]

средний диаметр пружины [мм]

поправочный коэффициент Валя [-]

напряжение при кручении материала пружины полностью нагруженной пружины [МПа]

допустимое напряжение материала пружины при кручении [МПа]

Если для этого диаметра проволоки не удается подобрать подходящую комбинацию размеров пружины, программа продолжает расчет всех диаметров пружинных проволок, которые соответствуют условиям прочности и геометрии, испытываются в восходящем порядке. Затем выполняется проверка подходящих витков, которые занесены под номерами в таблицу, на соответствие конструкции пружины требуемым условиям. В этом случае процесс подбора завершается, оставляются выбранные значения, другие подходящие диаметры пружинных проволок не рассматриваются. На этом этапе программа пытается рассчитать конструкцию пружины с минимальным диаметром проволоки и наименьшим количеством витков.

Проверочный расчет пружины

Расчет соответствующих значений сборочных размеров и рабочего отклонения для указанной нагрузки, материала и размеров пружины.

Сначала проверяются расчетные входные значения. Затем на основании приведенных ниже формул вычисляются сборочные размеры.

Длина предварительно нагруженной пружины

Длина полностью нагруженной пружины

длина пружины в свободном состоянии [мм]

рабочая сила в минимально нагруженной пружине [мм]

количество активных витков [-]

средний диаметр пружины [мм]

модуль упругости материала пружины [МПа]

диаметр проволоки [мм]

рабочее усилие в полностью нагруженной пружине [МПа]

Рабочая деформация

Расчет рабочих сил

Расчет соответствующих сил в рабочем состоянии, действующих в пружине, для указанного материала, сборочных размеров и размеров пружины. Сначала проверяются и рассчитываются входные данные, а затем выполняется расчет рабочих сил с помощью следующих формул:

Минимальное рабочее усилие

Максимальное рабочее усилие

Расчет выходных параметров пружины

Эта часть является общей для всех типов расчета пружины. Расчет производится в следующем порядке.

Жесткость пружины

Теоретическая предельная длина пружины

Предельная длина пружины при испытании

где верхний предел длины пружины в предельном состоянии L _9max :

для неторцевых концов

для торцевых концов при (n + nz)

для торцевых концов при (n + nz) > 10,5

Сумма минимально допустимого расстояния между активными витками пружины в полностью нагруженном состоянии

в то время, как для значений индекса пружины c < 5 используется значение c = 5

Отклонение пружины в состоянии предела

Предельная сила пружины

Расстояние между витками

Шаг активных витков

Деформация предварительно нагруженной пружины

Полная деформация пружины

Напряжение материала пружины при кручении при предварительном нагружении

Напряжение материала пружины при кручении при полном нагружении

Непрерывное продольное напряжение

Длина развернутой проволоки

l = 3,2 D (n + n _z ) [мм]

Масса пружины

Энергия деформации пружины

Собственная частота колебаний пружины

Критическая (предельная) скорость пружины, вызванная столкновением витков по инерции

Проверка нагрузки пружины

Значение используемых переменных:

расстояние между активными витками в ненагруженном состоянии [мм]

жесткость пружины [Н/мм]

диаметр проволоки [мм]

средний диаметр пружины [мм]

наружный диаметр пружины [мм]

внутренний диаметр пружины [мм]

обобщенное усилие, приходящееся на пружину [Н]

модуль упругости материала пружины при сдвиге [МПа]

рабочая деформация [мм]

поправочный коэффициент Валя [-]

запас прочности при пределе усталости [-]

длина развернутой проволоки [мм]

обобщенная длина пружины [мм]

верхний предел длины пружины в предельном состоянии [мм]

предельная длина пружины при испытании [мм]

масса пружины [кг]

время работы пружины с усталостной нагрузкой в тысячах сжатий [-]

количество активных витков [-]

длина торцевых витков [мм]

шаг активных витков в ненагруженном состоянии [мм]

обобщенная деформация (растяжение) пружины [мм]

суммарное минимально допустимое расстояние между активными витками пружины [мм]

коэффициент использования материала [-]

значение шлифовки дуги окружности [-]

плотность материала пружины [кг/м 3 ]

предел прочности при растяжении материала пружины [МПа]

обобщенное напряжение материала пружины при кручении [МПа]

предел выносливости в сдвиге пружины с усталостной нагрузкой [МПа]

допустимое напряжение материала пружины при кручении [МПа]

Максимальное растяжение пружины формула

Показано, что работа растяжения пружины A>kx_m 2 , где k — жесткость пружины, x_m — максимальное растяжение. При вычислении работы надо использовать значения x и dx, полученные из решения уравнения движения.

Показано, что работа растяжения пружины A>kx_m 2 , где k — жесткость пружины, x_m — максимальное растяжение. При вычислении работы надо использовать значения x и dx, полученные из решения уравнения движения.

It is shown, that work of a stretching of a spring A>kx_m 2 , where k — rigidity of a spring, x_m — the maximal stretching. At calculation of work it is necessary to use values x and dx, the equations of movement received from the decision.

Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен (рис. 1а), а к другому прикреплен груз массой m. Если пружину растянуть или сжать, то возникает сила F, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях x справедлив закон Гука — сила пропорциональна растяжению пружины: F = -kx. Постоянная k называется коэффициентом упругости, или жесткостью пружины. Знак минус означает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению x, т.е. к положению равновесия x = 0. Геометрически (рис. 1b) , k = tgβ, x_m — максимальное (амплитудное) растяжение пружины.

В курсах физики утверждается, что работа при растяжении от x = 0 до x_m будет равна

и эта работа равна потенциальной энергии пружины, растянутой (или сжатой) на величину x_m и обладающей жесткостью k. Однако это одно из заблуждений классической механики. Растягивающей силой, равной F = kx, нельзя растянуть пружину даже на долю микрона. Чтобы растянуть пружину, надо приложить растягивающую силу в виде (F₁ + k₁x ), где F₁ >0 (рис. 2а). Уравнение движения (II закон Ньютона) запишем в следующем виде:

Решение при нулевых начальных условиях (при t = 0, x =0 и V =0) имеет вид

Из решения следует, что если F₁ =0, то растяжения пружины не происходит. Амплитудные значения (при x = x_m):

Работу вычисляем по формуле , где F = F₁ — (k — k₁)x, а x и dx определяются из выражений (3) и (4). Работа, совершаемая растягивающей силой

Работа, совершаемая силой упругости пружины

Из соотношения (5) следует, что работа, совершаемая растягивающей силой, не зависит от величин F₁ и k₁ и равна работе

совершаемой постоянной силой F₀, при этом работа, совершаемая силой упругости пружины A_— 0 = -kx_m 2 разность работ ΔA₀ = kx_m 2 / 2 , конечная скорость при x = x_m На рис. 3 даны графики зависимостей V_m / V₀ и ΔA = kx_m 2 от величины отношения K₁ / K. ΔA — кинетическая энергия груза.

Рассмотрим случай растягивающей силы F_P > F₀ (рис.2b) F_P = F₂ + k₂x = F₂ — b 2 x , где b 2 = -k₂ = tgα. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

Его решение при нулевых начальных условиях имеет вид:

Работа, совершаемая растягивающей силой

Работа, совершаемая силой упругости пружины

Кинетическая энергия груза при x = x_m

На рис. 4 даны графики изменения безразмерных комплексов ΔA / kx_m 2 и V_m / V₀ в зависимости от величины отношения k₂ / k.

Рассмотрим третий способ растяжения пружины с грузом (рис. 2с). Прикладываем растягивающую силу F_a >>F₀ для растяжения пружины на некоторое расстояние x_a, затем сила F_a отключается, а оставшийся отрезок пути, равный x_m — x_a, груз проходит по инерции, используя запас кинетической энергии K_a, приобретенный в точке x_a. Для первого участка пути дифференциальное уравнение имеет вид

Его решение при нулевых начальных условиях:

Время движения до x = x_a

Работу вычисляем по формуле , где F(x) = F_a — kx, а x и dx определяются выражениями (14) и (15). Работа растяжения на участке до x = x₀

Работа, совершаемая силой упругости пружины на этом же участке

Кинетическая энергия, приобретенная грузом:

Для второго участка уравнение движения имеет вид

Начальные условия для этого уравнения примем в виде: при t = 0 координата x = x_a, скорость V_a определяется выражением (15) при t = t_a. Решение будет иметь вид:

Работа силы упругости пружины на участке от x = x_a до x_m определится интегралом , где x и dx определяются выражениями (21) и (21а):

где t_m ─ время движения груза от x=x_a до x = x_m. Условием достижения этой точки является равенство начальной кинетической энергии K_a работе силы упругости пружины A₂. Это равенство сводится к трансцендентному уравнению

Приведем численный пример. Груз массой m = 1 кг, прикрепленный к пружине с жесткостью k = 400 Н/м, растягивается силой F₀ = 80 Н на расстояние x_m = 0,2. Работа силы растяжения Дж, работа силы упругости пружины Дж, время t = 0,0785 с.

Проведем растяжение силой F_a по схеме, показанной на рис. 2с. Расчет сведем в таблицу 1.

Таблица 1.

Каково максимальное удлинение пружины? (28 марта 2013)

Два груза массой m каждый соединены пружиной. Одному грузу сообщают скорость V в сторону растяжения пружины. Жесткость пружины равна k. Каково максимальное удлинение пружины?

Задачу дал учитель, 10-й физматкласс. Казахстан, город Шымкент, школа 23.

• версия для печати
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Комментарии

Опубликовано 28 марта, 2013 — 21:38 пользователем afportal
А как соединены пружины — вертикально или горизонтально?

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 06:05 пользователем oleynik96
горизонтально, то бишь на столе лежат, трения нет, я думал, по закону сохранения энергии:

kx 2 / 2 = mV_o 2 / 2, ⇒

Не знаю, правильно ли?

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 08:52 пользователем В. Грабцевич
Примените закон сохранения энергии и импульса.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 09:23 пользователем oleynik96
а импульс здесь разве нужен? поясните, пожалуйста!

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 10:02 пользователем В. Грабцевич
Задача по физике? Вот и думайте, в первую очередь, о том, как протекает физический процесс.

Первому телу сообщили скорость в направлении растяжения пружины, пружина начнет растягиваться, в ней возникнет сила упругости. Реакция со стороны пружины на первое тело приведет к его торможению, скорость первого тела будет уменьшаться, реакция на второе тело тело приведет к его разгону, увеличению скорости. Итак, первое тело тормозит, второе разгоняется, пружина растягивается. Я описал начальное состояние, сразу после начала движения тел. Вы попробуйте размышлять дальше и опишите последующее движение тел. Не забудьте вопрос задачи, нас интересует момент максимальной деформации пружины.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 10:23 пользователем oleynik96

я согласен, что возникает сила упругости в пружине, но 2-е тело, которое первоначально покоилось, начнет разгоняться только тогда, когда 1-е тело полностью остановится — на мой взгляд, именно в этот момент и будет максимальная деформация

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 10:26 пользователем В. Грабцевич

Вопрос: первое тело начинает движение, пружина деформируется, на второе тело действует только реакция со стороны пружины, трения нет − что мешает двигаться второму телу сразу?

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 10:30 пользователем oleynik96

мне кажется, имеется в виду не трение скольжения, т.е. 1-е тело останавливается за счет пружины (трения о стол нет), а трение покоя есть у 2-е тела, и в начальный момент оно велико

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 30 марта, 2013 — 10:44 пользователем В. Грабцевич

Как это трения о стол нет, а трение покоя есть? Обратитесь за помощью к своему учителю, пусть он Вам растолкует о гладкой поверхности, о разнице между силами трения покоя и скольжения, о силах, приложенных к телам.

Полезно будет разобрать решение задачи: fizportal.ru/zakonsohran/66

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 апреля, 2013 — 08:56 пользователем oleynik96
но я так понимаю, мое решение неправильно.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 апреля, 2013 — 10:31 пользователем В. Грабцевич
Вы правильно понимаете.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 11 апреля, 2013 — 20:41 пользователем Elitmango
Если считать, что после начала движения первого груза сразу начинает двигаться второй, то имеем:

mv 2 /2 = kx 2 /2 + mv₁ 2 /2 + mv₂ 2 /2,

Но для решения данной системы двух уравнений необходимо ещё одно, так как мы имеем три неизвестные.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 12 апреля, 2013 — 08:14 пользователем В. Грабцевич

Физика: в какой момент времени удлинение пружины будет максимальным? Математика: ответив на этот вопрос, можно и математику задачи писать. Никак не наоборот.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 12 апреля, 2013 — 23:11 пользователем Elitmango
А что, если так?

mv 2 /2 = kx 2 /2 + mv₁ 2 /2.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 13 апреля, 2013 — 08:49 пользователем В. Грабцевич
Elitmango, тогда Вам вопрос: в какой момент времени удлинение пружины будет максимальным?

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 15 апреля, 2013 — 23:39 пользователем Elitmango
Думаю, что из-за отсутствия трения удлинение пружины будет постоянным и максимальным одновременно.

mv = 2mv’, ⇒ v’ = v/2.

mv 2 /2 = kx 2 /2 + 2mv’ 2 /2.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 16 апреля, 2013 — 15:23 пользователем В. Грабцевич

Первому телу сообщили скорость в направлении растяжения пружины, пружина начнет растягиваться, в ней возникнет сила упругости. Реакция со стороны пружины на первое тело приведет к его торможению, скорость первого тела будет уменьшаться, реакция на второе тело приведет к его разгону, увеличению скорости. Итак, первое тело тормозит, второе разгоняется, пружина растягивается.

До тех пор, пока скорость у первого тела больше, чем у второго, пружина будет растягиваться. Наступит момент, когда скорости тел сравняются. В этот момент пружина растянута максимально. Запишем закон сохранения импульса:

и закон сохранения механической энергии:

Из (1) выражаете v и подставляете в (2), находите искомое x.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 16 апреля, 2013 — 15:26 пользователем Elitmango
Это то же самое, что и у меня.

Я сразу подставил m₁ = m₂ = m.

В итоге получается, что и у меня.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 16 апреля, 2013 — 16:51 пользователем В. Грабцевич
Да, Elitmango, только в какой попытке (комментарии) по счету?

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 16 апреля, 2013 — 20:19 пользователем Elitmango
По крайней мере, я пробовал.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 16 апреля, 2013 — 22:24 пользователем В. Грабцевич

Да, Elitmango, все так. Вы старались, молодец, но. помните, что на первом месте физика, а уже потом математика.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Формула жесткости пружины

Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости.

Чаще всего ее обозначают $<\overline>_$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.

Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($\overline$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).

Силу $\overline$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости ($<\overline>_u$), уравновешивающая силу $\overline$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($\Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:

где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.

Жесткость (как свойство) — это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости — это основная характеристика жесткости (как свойства тела).

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:

где $G$ — модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ — диаметр проволоки; $d_p$ — диаметр витка пружины; $n$ — количество витков пружины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Формула жесткости соединений пружин

Пусть $N$ пружин соединены последовательно. Тогда жесткость всего соединения равна:

где $k_i$ — жесткость $i-ой$ пружины.

При последовательном соединении пружин жесткость системы определяют как:

Примеры задач с решением

Задание. Пружина в отсутствии нагрузки имеет длину $l=0,01$ м и жесткость равную 10 $\frac.\ $Чему будет равна жесткость пружины и ее длина, если на пружину действовать силой $F$= 2 Н? Считайте деформацию пружины малой и упругой.

Решение. Жесткость пружины при упругих деформациях является постоянной величиной, значит, в нашей задаче:

При упругих деформациях выполняется закон Гука:

\[F=k\Delta l\ \left(1.2\right).\]

Из (1.2) найдем удлинение пружины:

Длина растянутой пружины равна:

Вычислим новую длину пружины:

Ответ. 1) $k’=10\ \frac$; 2) $l’=0,21$ м

Задание. Две пружины, имеющие жесткости $k_1$ и $k_2$ соединили последовательно. Какой будет удлинение первой пружины (рис.3), если длина второй пружины увеличилась на величину $\Delta l_2$?

Решение. Если пружины соединены последовательно, то деформирующая сила ($\overline$), действующая на каждую из пружин одинакова, то есть можно записать для первой пружины:

Для второй пружины запишем:

Если равны левые части выражений (2.1) и (2.2), то можно приравнять и правые части:

\[k_1\Delta l_1=k_2\Delta l_2\left(2.3\right).\]

Из равенства (2.3) получим удлинение первой пружины:

Ответ. $\Delta l_1=\frac$

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 471 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.