От чего зависит собственная частота конструкции

Научный форум dxdy

Прошу помощи разобраться с этими понятиями. Свободные колебания — это колебания системы, выведенной из первоначального положения равновесия и совершающиеся под воздействием внутренних сил без приложения внешних.
Собственная частота — частота собственных колебаний системы без приложения внешних сил.
(Прим. — определения понятий записал собственными словами, как я их понимаю).
Стало быть собственная частота зависит от первоначального толчка, т. е. приложения силы, выводящей систему из первоначального положения равновесия.
Т. к. первоначальный толчок может быть любой величины, то и собственная частота может быть любой величины.
Тогда что физически представляет из себя рассчитанная собственная частота конструкции? (Прим. — в технике её рассчитывают и сравнивают с частотами колебаний, которые могут возникнуть при работе этой техники, чтобы предотвратить возникновение резонанса).

Помогите «расставить все по полочкам» в голове. Что я не правильно понимаю?

Re: Свободные колебания и собственная частота

2.3.1 Собственные колебания

Рассмотрим колебательные свойства пружинного маятника, представляющего собой материальную точку массы , соединенную невесомой пружиной жёсткостью с неподвижным подвесом (рис. 1).

Рис. 1. Пружинный маятник.

Пусть – длина пружины в ненагружённом состоянии. Если на пружину подвесить груз массы , то под действием силы тяжести пружина растянется и её длина станет равной . Если груз и пружина находятся в равновесии (как показано на рис. 1. б), то сила тяжести уравновешена силой упругости . Отсчитывая координату материальной точки от положения равновесия , уравнение движения пружины можно записать в виде [1–3]

где – частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота. Собственная частота кантилевера вычислена в пункте 2.1.6.

Решение уравнения (1) при начальных условиях и имеет вид

Амплитуда и начальная фаза свободных колебаний находятся из начальных условий для координаты и скорости, а частота собственных незатухающих колебаний является параметром колебательной системы.

Рассмотренный тип колебаний принято называть собственными свободными колебаниями, поскольку они происходят в колебательной системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной после этого самой себе.

Выводы.

Малые колебания кантилевера можно описывать по законам колебаний пружинного маятника с заданной жёсткостью и эффективной массой.
Собственные колебания кантилевера в случае отсутствия внешних сил происходят по гармоническим законам (2).

Литература.

С.Э. Хайкин. Механика. – М.: ОГИЗ, 1947. – 574 с.
Д. В. Сивухин. Механика. – М.: Наука, 1989. – 576. с.
Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.

СОБСТВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ СТАНОЧНОГО ПРОФИЛЯ, СОЕДИНЕННОГО НА СКРЫТЫЙ УГОЛОК Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Копец Е. Е., Каримов А. И., Бутусов Д. Н., Рыбин В. Г.

При проектировании 3D-принтеров и станков с ЧПУ широко используются конструкции из алюминиевого станочного профиля . Разработчик должен учитывать не только статические деформации подобных конструкций, но и вибрационные характеристики, поскольку они непосредственно влияют на качество работы устройства. Предложена математическая модель сочленения двух станочных профилей в виде линейного упругого шарнира, и экспериментально определены ее параметры. Выполнено сравнение результатов, полученных с помощью предлагаемой модели, и результатов моделирования методом конечных элементов в пакете Fusion 360 с экспериментально измеренными данными. Сделан вывод о наилучшем соответствии предложенной математической модели экспериментальным данным.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

NATURAL VIBRATION FREQUENCY OF STRUCTURES FROM A MACHINE PROFILE CONNECTED WITH A CONCEALED CORNER

Structures made of aluminum machine tools are widely used in 3D printers and CNC machines design. The designer must account not only for the static deformations of such structures, but also for vibration characteristics since they directly affect the quality of the device operation. A mathematical model of construction composed of two machine profiles in the form of a linear elastic hinge is proposed, and its parameters are experimentally determined. Comparison of results obtained using the proposed model as well as simulated by the finite element method in the Fusion 360 package with experimentally measured data is performed. The conclusion is made about the best correspondence of the proposed mathematical model to experimental data.

Текст научной работы на тему «СОБСТВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ СТАНОЧНОГО ПРОФИЛЯ, СОЕДИНЕННОГО НА СКРЫТЫЙ УГОЛОК»

СОБСТВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ СТАНОЧНОГО ПРОФИЛЯ, СОЕДИНЕННОГО НА СКРЫТЫЙ УГОЛОК

Е. Е. Копец, А. И. Каримов, Д. Н. Бутусов, В. Г. Рыбин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ЛЭТИ» им. В. И.Ульянова (Ленина), 197022, Санкт-Петербург, Россия E-mail: eekopets@etu.ru

При проектировании ЗБ-принтеров и станков с ЧПУ широко используются конструкции из алюминиевого станочного профиля. Разработчик должен учитывать не только статические деформации подобных конструкций, но и вибрационные характеристики, поскольку они непосредственно влияют на качество работы устройства. Предложена математическая модель сочленения двух станочных профилей в виде линейного упругого шарнира, и экспериментально определены ее параметры. Выполнено сравнение результатов, полученных с помощью предлагаемой модели, и результатов моделирования методом конечных элементов в пакете Fusion 360 с экспериментально измеренными данными. Сделан вывод о наилучшем соответствии предложенной математической модели экспериментальным данным.

Ключевые слова: частотный анализ, 3Б-печать, уравнения Лагранжа, станочный профиль, автоматизация проектирования, жесткость конструкций

Введение. Станочный профиль — специализированный алюминиевый профиль особой формы, предназначенный для изготовления различных механических конструкций и широко используемый в машиностроении при создании рам ЗБ-принтеров [1—4], станков с ЧПУ [5—7] и робототехнических установок различного назначения [7]. Вибрации влияют на работу этих устройств и их узлов, в частности, ряд исследований выявил негативное влияние вибраций на качество ЗБ-печати [8]. Снизить величину вибраций можно, повышая жесткость конструкции, причем эксперименты показывают, что жесткость также зависит от множества факторов, включая нагрузки на станок [9].

Жесткость конструкции является не единственным параметром, влияющим на характер вибраций. При прочих равных условиях целесообразно повышать собственные частоты колебаний конструкции ЗБ-принтера или станка с ЧПУ, поскольку амплитуда колебаний рамы, а следовательно и погрешность позиционирования инструмента, обратно пропорциональна частоте колебаний при сообщении конструкции той же самой энергии. В частности, если линейная конструкция массой m , вовлеченной в движение, совершает гармонические колебания по закону

х = A sin(mt), x = Am cos(mt), то ее кинетическая энергия в нулевых положениях будет равна

Ек = mx2 (0) / 2 = mA2m2 /2, откуда нетрудно найти, что при равной энергии в двух системах с частотами mi и Ю2 соотношение амплитуд равно

Следовательно, повышая собственную частоту колебаний системы, можно добиваться уменьшения амплитуды колебаний, а вслед за этим — погрешности позиционирования рабочего органа (экструдера, шпинделя и пр.). Поэтому для инженерной практики проектирования требуется простая и надежная методика расчета собственных частот подобных конструкций.

Наиболее часто вибрационные характеристики исследуются с помощью математического аппарата в рамках теорий Рэлея, Эйлера—Бернулли или Тимошенко [10]. Более универсальным для расчета вибраций конструкции является метод конечных элементов [11], часто применяемый при анализе SD-принтеров [12]. Однако в конструкциях с болтовыми соединениями возникают нелинейные эффекты колебаний различного рода. Примером является ситуация, когда детали сопряжены таким образом, что в одну сторону деформация вызывает в конструкции меньшие, чем в другую, напряжения. В модальном анализе, используемом в специализированных программах, таких как ANS YS и Fusion 360, можно использовать только линейные типы контактов (которые не допускают разделение, разрыв двух связанных деталей), а для нелинейных систем определение собственных частот колебаний осложняется.

Несколько решений позволяют провести модальный анализ для систем с болтовыми соединениями, в частности, анализ с предварительным расчетом напряжений [13—15]. Такой подход позволяет перед модальным анализом использовать заданную статическую нагрузку для придания жесткости геометрии. Расчет в основном используется для простых моделей [16], и на выходе получается линейное решение для заданного нелинейного состояния. При сложных сборках очень сложно подобрать параметры модели, и зачастую программный решатель не может выполнить моделирование. Для больших сборок используется моделирование виртуального промежуточного материала, коэффициент упругости которого подбирается согласно жесткости сопряжения элементов [17, 18]. Для определения коэффициента упругости виртуального материала требуется ряд экспериментов. Тем не менее, в ряде случаев относительно точные результаты можно получить и с помощью более простых расчетных формул [19].

Хотя возможности применения линейных моделей ограничены, нелинейный анализ даже простых нелинейных систем относительно сложен [20], поэтому в настоящей работе проведем линейный анализ и покажем, что этот подход также может давать приемлемую точность результатов моделирования.

Объектом настоящего исследования являются методы расчета собственных частот конструкций из станочного профиля, предмет исследования — свойства конструкций из станочного профиля при соединении на скрытый уголок, часто используемый для профиля сечением 20*20 мм. Ввиду сложной формы станочного профиля и сложности моделирования процессов, происходящих при его деформации, жесткость профиля определена экспериментально и этот подход, с использованием простой модели, применен к расчету П-образной портальной конструкции. Полученные результаты хорошо согласуются с измерениями. При этом расчет с помощью метода конечных элементов (МКЭ) показывает значительно меньшую точность.

Модель вибрации балки. В настоящей работе предлагается модель сочленения на основе линейного упругого шарнира. Предположим, что сам профиль бесконечно жесткий. Это допущение корректно, если длина профиля не слишком велика, жесткость сочленения слабо зависит или вовсе не зависит от направления деформации, а сами деформации малы. Исходя из второго закона Ньютона при данных допущениях движение вертикально расположенного профиля можно выразить обыкновенным дифференциальным уравнением, связывающим отклонение профиля от вертикали 0 (рис. 1, а) и его угловое ускорение:

где J = Mc Lc — момент инерции стержня, Mc — масса стержня с закрепленными на нем элементами, Lc — расстояние от шарнирного сочленения до центра масс стержня, k — крутильная жесткость шарнира. Уравнение (1) имеет аналитическое решение

Подставив решение (2) в (1), получим:

откуда нетрудно выразить собственную частоту колебаний стержня:

Эта частота соответствует наиболее низкочастотной составляющей колебаний системы в поперечной плоскости. Уравнение (3) можно использовать для экспериментального определения жесткости сочленения, найдя опытным путем собственную частоту колебаний и выразив жесткость через соотношение:

Определим собственные частоты колебаний портальной конструкции, приведенной на рис. 1, б, в поперечной плоскости. Будем считать различными значения жесткости Т-образных сочленений в основании конструкции и Ь-образных сочленений в ее верхней части. Это допущение справедливо, если в нижней части конструкции используется по два уголка, а в верхней — по одному.

Запишем выражение для кинетической энергии движения портальной конструкции:

Т = 2-1192 + М2(9А)2 = М-А.ё2 + М2¿2 ё2

где Ь1 — высота вертикальной балки.

Потенциальная энергия портальной конструкции равна:

Уравнение Эйлера—Лагранжа запишется в виде:

Принимая во внимание, что Ь = Т — и, с помощью несложных преобразований

— К М+М2 )Ь2ё + 2(к1 + к2)ё = 0,

М + М2 ^ ь299 + 2(к1 + к2)ё = 0,

решив (2), получим уравнение для частоты собственных колебаний портальной конструкции:

Формула (5) задает частоту, соответствующую наиболее низкочастотной составляющей колебаний системы из трех станочных профилей в поперечной плоскости, причем в нее входит длина только вертикального профиля Ly, длина горизонтального профиля не оказывает влияния на частоту.

На рис. 2 представлены модели балки (а) и портальной конструкции (б), закрепленные при помощи скрытых уголков (1 — станочный профиль; 2 — акселерометр; 3 — скрытые уголки). Расчет по МКЭ произведен в модуле Simulation пакета Fusion 360, где для каждой модели сгенерирована сетка плотностью один элемент на 1,5 см . Сопряжение скрытых уголков и станочного профиля производилось только в точках затягивания винта. Исследовались собственные частоты, возникающие в моделях при креплении одного и двух скрытых уголков, при движении системы в поперечной плоскости.

Экспериментальные результаты. Экспериментальная установка собрана из станочного профиля, который с помощью скрытых уголков закреплен на неподвижном основании. Основным измерительным средством служит аналоговый акселерометр ГМУ УР-4200, установленный сверху балки (рис. 3) на пластиковое крепление, распечатанное на ЗБ-принтере. Во время эксперимента обеспечивалось импульсное механическое воздействие на балки станочного профиля длиной 0,28 и 0,38 м, затем с помощью акселерометра регистрировались их вибрационные отклики.

На рис. 4 приведены полученные экспериментально значения частот (а — балка длиной 0,38 м, крепление с помощью одного уголка; б — балка 0,38 м, крепление с помощью двух уголков; в — балка 0,28 м, крепление с помощью одного уголка; г — балка 0,28 м, крепление с помощью двух уголков). Частоты исследовались в серии из 10 экспериментов, обработанные данные приведены в табл. 1. а) 11Л(/)|| 1

0 10 20 30 40 50 60 70

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 /, Гц !!А(/)!!

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 /, Гц

№ Тип конструкции, длина балки Частота, Гц

крепление каждой балки при помощи двух скрытых уголков крепление каждой балки при помощи одного скрытого уголка

1 Стержень, 0,38 м 45,2273 ± 1,2043, р =95 % 22,1329 ± 0,2415, р =95 %

2 Стержень, 0,28 м 57,7576 ± 0,8626, р =95 % 31,8170 ± 1,4559, р =95 %

3 Портал, 0,38 м 31,1110 ± 0,43, р =95 % —

С использованием формулы (3) и экспериментальных данных (см. табл. 1) рассчитаны значения жесткости сочленений балки с одним и двумя уголками (табл. 2). Таблица 2 Экспериментальная жесткость стержневой конструкции

№ Тип конструкции, длина балки Жесткость, Нм/рад

1 Стержень, 0,38 м 700,5203 ± 36,3769, р =95 % 167,4264 ± 3,6813, р =95 %

2 Стержень, 0,38 м 498,1953 ± 14,8664, р =95 % 152,1460 ± 12,6140, р =95 %

Собственная частота портальной конструкции, найденная экспериментально, составила 31,11±0,43 Гц. Для верификации представленного подхода к расчету собственных частот составных конструкций из профиля, рассчитаем собственную частоту портальной конструкции, используя формулу (5) и значения жесткости сочленений из табл. 2. Портальная конструкция имеет сочленения двух различных жесткостей: к нижнему основанию крепятся вертикальные балки с помощью двух уголков, жесткость этих сочленений равна £; каждая вертикальная балка крепится к горизонтальной при помощи одного уголка, жесткость этих сочленений равна £2 . Таким образом, переходя к линейной частоте / = ю /(2л) , получим:

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Также для сравнения проанализированы собственные частоты в среде Fusion 360 с использованием МКЭ. Первые моды профиля и портальной конструкции, полученные при в среде Fusion 360 и соответствующие исследуемому движению, сведены в табл. 3.

МКЭ во Fusion 360

№ Тип конструкции, длина балки Частота, Гц

1 Стержень, 0,38 м 67,21 31,69

2 Стержень, 0,28 м 101 41,86

3 Портал, 0,38 м 69,94 51,64

Значения частот, полученные при моделировании во Fusion 360, существенно отличаются от экспериментальных результатов, что объясняется невозможностью интерактивной корректировки жесткости сопряжений элементов в программе моделирования. При выборе жесткого сопряжения (соответствует креплению элементов друг к другу посредством болтов) программа определяет это сопряжение абсолютно жестким, что не соответствует действительности.

При использовании экспериментально найденных значений жесткости крепления одного и двух скрытых уголков к балке рассчитанная теоретическая частота портальной конструкции (33,7±0,77 Гц) оказалась близка к определяемой экспериментально (31,11±0,43 Гц). Небольшое несоответствие частот может быть связано с различной затяжкой болтов при креплении скрытого уголка, а также ограниченной релевантностью представленной линейной модели.

Выводы. В работе экспериментально исследованы T-образное и L-образное сочленения станочного профиля 20*20 мм на два и один скрытый уголок соответственно, а также определена жесткость этих сочленений. Выведена формула расчета собственной частоты портальной конструкции из станочного профиля — полученное с ее помощью значение собственной частоты хорошо согласуется с результатами эксперимента. Вместе с тем в ходе исследования обнаружены значительные погрешности, которые возникают при расчете собственных частот конструкций из станочного профиля с соединениями на скрытый уголок при помощи метода конечных элементов в популярном пакете моделирования Fusion 360.

1. Kun K. Reconstruction and development of a 3D printer using FDM technology // Procedia Eng. Elsevier. 2016. Vol. 149. P. 203-211.

2. Finnes T. High definition 3d printing-comparing SLA and FDM printing technologies // J. Undergrad. Res. 2015. Vol. 13, N 1. P. 3.

3. Horvath J. The Desktop 3D Printer // Mastering 3D Printing. Springer, 2014. P. 11—20.

4. Grutle 0. K. 5-axis 3D Printer. Master’s thesis. University of Oslo, 2015.

5. Donaldson R. R., Thompson D. C., Loewen E. G. Design and performance of a small precision CNC turning machine // CIRP Ann. Elsevier, 1986. Vol. 35, N 1. P. 373—376.

6. Prasetyawan A. T. Redesign CNC plotter batik dengan transmisi everman belt drive menggunakan rangka v-slot aluminium profile. Thesis Undergraduate. University of Muhammadiyah Malang, 2019.

7. Megalingam R. K., Darla V. P., Nimmala C. S. K. Autonomous Wall Painting Robot // 2020 Intern. Conf. for Emerging Technology (INCET). 2020. P. 1—6.

8. Pilch Z., Domin J., Sziapa A. The impact of vibration of the 3D printer table on the quality of print // 2015 Selected Problems of Electrical Engineering and Electronics (WZEE). 2015. P. 1—6.

9. Stejskal T. et al. Measurement of static stiffness after motion on a three-axis CNC milling table // Appl. Sci. Multidisciplinary Digital Publishing Institute, 2018. Vol. 8, N 1. P. 15.

10. Labuschagne A., van Rensburg N. F. J., der Merwe A. J. Comparison of linear beam theories // Math. Comput. Model. Elsevier, 2009. Vol. 49, N 1—2. P. 20—30.

11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

12. Holman J. M., Serdar T. Analyzing the composite 3-D printer frame for rigidity // 2018 ASEE Annual Conference & Exposition. 2018.

13. Bedri R., Al-Nais M. O. Prestressed modal analysis using finite element package ANSYS // Intern. Conf. on Numerical Analysis and Its Applications. 2004. P. 171—178.

14. Munde K. H., Mestry M. M. P. Pre stressed modal FE Analysis of bolted joint // ETIR. 2018. Vol. 5, is. 7. https://www.researchgate.net/publication/326588021_Pre-Stressed_Modal_Analysis_of_Composite_Bolted_Structure.

15. Piscan I., Janssens T., Pupaza C. Dynamic parameter estimation of bolted assemblies // Proc. of ISMA Conf. on Noise and Vibration Engineering. Leuven, Belgium, 2012. P. 3461—3474.

16. Wang F. et al. The investigation of vibration characteristics on the bolted disk-drum joints structure // Adv. Mech. Eng. 2019. Vol. 11, N 3. P. 1687814019831477.

17. Zhang K. et al. Modal Analysis of Bolted Structure Based on Equivalent Material of Joint Interface // Materials. 2019. Vol. 12, N 18. P. 3004.

18. Chen G. et al. Dynamics modeling and experimental modal analysis of bolt loosening for lightning rod // J. Vibroengineering. JVE International Ltd., 2020. Vol. 22, N 3. P. 657—671.

19. Shirokov V. S., Kholopov I. S., Solovejv A. V. Determination of the frequency of natural vibrations of a modular building // Procedia Eng. 2016. Vol. 153. P. 655—661.

20. Маркеев А. П. О движении связанных маятников // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9, № 1. С. 27—38.

Сведения об авторах

— СПбГЭТУ „ЛЭТИ», кафедра систем автоматизированного проектирования; ассистент; E-mail: eekopets@etu.ru

— канд. техн. наук; СПбГЭТУ „ЛЭТИ», кафедра систем автоматизированного проектирования; доцент; E-mail: aikarimov@etu.ru

— канд. техн. наук, доцент; СПбГЭТУ „ЛЭТИ», кафедра систем автоматизированного проектирования; E-mail: dnbutusov@etu.ru

— СПбГЭТУ „ЛЭТИ», кафедра систем автоматизированного проектирования; ассистент; E-mail: vgrybin@etu.ru

Поступила в редакцию 08.06.2021 г.

Ссылка для цитирования: Копец Е. Е., Каримов А. И., Бутусов Д. Н., Рыбин В. Г. Собственная частота колебаний конструкций из станочного профиля, соединенного на скрытый уголок // Изв. вузов. Приборостроение. 2021. Т. 64, № 10. С. 821—828.

NATURAL VIBRATION FREQUENCY OF STRUCTURES FROM A MACHINE PROFILE CONNECTED

WITH A CONCEALED CORNER

E. E. Kopets, A. I. Karimov A, D. N. Butusov, V. G. Rybin

St. Petersburg Electrotechnical University LETI, 197022, St. Petersburg, Russia

Екатерина Евгеньевна Копец Артур Искандарович Каримов Денис Николаевич Бутусов Вячеслав Геннадьевич Рыбин

performed. The conclusion is made about the best correspondence of the proposed mathematical model to experimental data.

Keywords: frequency analysis, 3D printer, Lagrange equations, construction profile, design automation, structural rigidity

1. Kun K. Procedia Eng., 2016, vol. 149, pp. 203-211.

2. Finnes T. J. Undergrad. Res., 2015, no. 1(13), pp. 3.

3. Horvath J. Mastering 3D Printing, Springer, 2014, pp. 11-20.

4. Grutle 0.K. 5-axis 3D Printer, Master’s thesis, University of Oslo, 2015.

5. Donaldson R.R., Thompson D.C., Loewen E.G. CIRP Ann., 1986, no. 1(35), pp. 373-376.

6. Prasetyawan A.T. Redesign cnc plotter batik dengan transmisi everman belt drive menggunakan rangka v-slot aluminium profile, Undergraduate Thesis, University of Muhammadiyah Malang, 2019.

7. Megalingam R.K., Darla V.P., Nimmala C.S.K. 2020 International Conference for Emerging Technology (INCET), 2020, pp. 1-6.

8. Pilch Z., Domin J., Szlapa A. 2015 Selected Problems of Electrical Engineering and Electronics (WZEE), 2015, pp. 1-6.

9. Stejskal T. et al. Appl. Sci., 2018, no. 1(8), pp. 15.

10. Labuschagne A., van Rensburg N.F.J., der Merwe A. J. Math. Comput. Model, 2009, no. 1-2(49), pp. 20-30.

11. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike (Finite Element Method in Technology), Moscow, 1975. (in Russ.)

12. Holman J.M., Serdar T. 2018 ASEE Annual Conference&Exposition, 2018.

13. Bedri R., Al-Nais M.O. International Conference on Numerical Analysis and Its Applications, 2004, pp. 171-178.

14. Munde K.H., Mestry M.M.P. ETIR, 2018, no. 7(5), https://www.researchgate.net/publication/326588021_ Pre-Stressed_Modal_Analysis_of_Composite_Bolted_Structure.

15. Piscan I., Janssens T., Pupaza C. Proceedings of ISMA Conference on Noise and Vibration Engineering, 2012, pp. 3461-3474.

16. Wang F. et al. Adv. Mech. Eng., 2019, no. 3(11), pp. 1687814019831477.

17. Zhang K. et al. Materials, 2019, no. 18(12), pp. 3004.

18. Chen G. et al. J. Vibroengineering, 2020, no. 3(22), pp. 657-671.

19. Shirokov V.S., Kholopov I.S., Solovejv A.V. Procedia Eng., 2016, vol. 153, pp. 655-661.

20. Markeev A.P. Rus. J. Nonlin. Dyn,, 2013, no. 1(9), pp. 27-38. (in Russ.)

Data on authors

St. Petersburg Electrotechnical University LETI, Department of Computer-Aided Design; Assistant; E-mail: eekopets@etu.ru

PhD; St. Petersburg Electrotechnical University LETI, Department of Computer-Aided Design; Associate Professor; E-mail: aikarimov@etu.ru PhD, Associate Professor; St. Petersburg Electrotechnical University LETI, Department of Computer-Aided Design; E-mail: dnbutusov@etu.ru St. Petersburg Electrotechnical University LETI, Department of Computer-Aided Design; Assistant; E-mail: vgrybin@etu.ru

Ekaterina E. Kopets —

Artur I. Karimov —

Denis N. Butusov —

Vyacheslav G. Rybin —

For citation: Kopets E. E., Karimov A. I., Butusov D. N., Rybin V. G. Natural vibration frequency of structures from a machine profile connected with a concealed corner. Journal of Instrument Engineering. 2021. Vol. 64, N 10. P. 821—828 (in Russian).

Конечно-элементный анализ для всех. Часть 1

Джордж Лайрд, Ph.D., PE
Инженер-механик на PredictiveEngineer.com,
e-mail для связи: FEA@PredictiveEngineering.com.
Отправляйте свои комментарии к статье по адресу: DE-Editors@deskeng.com.

Мало кто проводит аналитическую работу просто из любопытства или от избытка свободного времени. Как правило, мы занимаемся ею тогда, когда не уверены в надежности конструкции в плане безопасности и окупаемости. В зависимости от типа риска наши опасения могут быть довольно слабыми, но, учитывая, как требовательны сегодня производители и насколько потребители склонны к судебным тяжбам, в случае неудачи вы можете оказаться в эпицентре серьезного разбирательства.

Если вы уже проводили анализ, вам должны быть знакомы понятия, используемые при анализе статического напряжения; задав нагрузку и граничные условия, вы сразу можете определить, удачна ли модель, по тому, что она окрашена в мягкие тона серого и голубого, без малейшего вкрапления красного. Однако подсознательно вас тревожит воздействие большого вибромотора или заводского оборудования, непрерывно работающего с частотой 12,5 Гц. Или вам необходимо прикрепить короб с электроникой к стене здания, расположенного в сейсмоактивной зоне, а ваш босс ставит под сомнение предложенный вами вариант конструкции монтажных кронштейнов. Как бы то ни было, мир статики вам подвластен. А как насчет всего остального?

В данном цикле статей мы вкратце рассмотрим основы динамического анализа и увидим, что они легко могут быть применены вами для проверки вашей конструкции на прочность и надежность при воздействии динамических нагрузок, будь то вибрация, землетрясение или даже запуск ракеты.

Будем проще

Анализ статического напряжения — сущий пустяк для большинства специалистов, занимающихся аналитической работой. Эта процедура воспринимается как крайне понятная и простая: мы прикладываем фиксированную нагрузку и наблюдаем проистекающее статическое поведение (как правило, линейное при заданном линейном поведении материалов). В результате мы получаем несколько аккуратных прогибов и деформаций, которые благополучно соответствуют нашим ожиданиям относительно поведения конструкции. И хотя в ходе процесса могут возникнуть небольшие несоответствия, полученный конечный результат, как правило, представляется нашим техническим умам вполне логичным.

Динамическое поведение структуры также можно рассматривать в подобном ключе, достаточно только взглянуть на ситуацию под немного другим углом и подумать о том, как будет деформироваться наша структура в ходе динамического воздействия. Когда структура подвергается удару или некой меняющейся во времени нагрузке (переменной или стабильной), она реагирует на подобное воздействие весьма характерным образом. Если нагрузка не чрезмерна и структура под ее воздействием не разрушается и не подвергается пластической деформации, то динамическая реакция вашей структуры, скорее всего, будет линейной. То есть если нагрузку убрать и дать структуре вернуться в состояние покоя, то она вернется в исходное, недеформированное состояние. Тот же принцип следует использовать при анализе линейного статического напряжения: когда нагрузка исчезает, напряжение конструкции вновь обнуляется.

Что именно мы подразумеваем под характеристическим динамическим поведением? Все структуры имеют характеристический, или собственный, вид колебаний. Звук или нота колеблющейся гитарной струны — это типичный пример собственной частоты колебаний. При ударе по гитарной струне ее вибрация соответствует определенной ноте, или тону. Эта нота — и есть характеристическая частота струны.

Другим примером могут послужить алюминиевые бейсбольные биты. Лучшие алюминиевые биты проектируются так, чтобы их характеристические колебания могли ограничить деформацию, которая происходит при ударе по мячу не оптимальной для удара частью биты. Каждая частота создает физическую деформацию или форму, и суммарная динамическая реакция биты является комбинацией всех форм ее собственных колебаний (рис. 1 и 2).

Рис. 1. Первая форма собственных колебаний алюминиевой бейсбольной биты фирмы NCAA

Рис. 2. Вторая форма собственных колебаний алюминиевой бейсбольной биты NCAA

В конечноэлементном анализе (КЭА) эти собственные частоты называются собственными частотами (eigenvalues), а их формы обозначаются как собственные векторы (eigenvectors) или собственные формы колебаний (eigenmodes). Эта терминология заимствована из немецкого языка, где eigen означает «характерный» или «свойственный для», и первоначально получила распространение среди математиков XIX века. В динамическом анализе вам также встретятся термины «нормальная форма колебаний» и «анализ нормальных колебаний». Слово «нормальное» применительно к слову «колебание» — это еще один синоним естественных, характерных, собственных (eigen) форм колебаний. Описывая формы колебаний, мы чаще всего будем использовать термин «нормальные колебания», чтобы подчеркнуть естественный, неизбежный характер реакции структуры.

На примере балки

Если рассматривать свободно опертую балку (закрепленную с одного конца), ее собственные формы колебаний определяются геометрией, тогда как частота колебаний зависит от прочности и плотности. Просто? Взгляните на график первых трех форм колебаний нашей балки (рис. 3 и 4). Первые три формы балки обозначены четко, но отображаются попарно, чтобы охватить весь возможный диапазон движения данной балки. В трехмерном отображении первая форма может колебаться в 360градусном диапазоне по продольной оси. Численно процесс расчета собственных форм колебаний дает нам всего две ортогональные моды (формы), но эти две моды подразумевают вариации в диапазоне 360°.

Рис. 3. Балка в состоянии покоя плюс две первые формы ее собственных колебаний (два направления движения)

Рис. 4. Пары второй и третьей форм собственных колебаний свободно опертой балки

Все структуры имеют практически бесконечное количество собственных форм колебаний. К счастью, реакция структуры лежит в основном в низких частотах, так что высокими частотами мы можем в принципе пренебрегать. Эмпирическим путем доказано, что первые три формы колебаний отражают практически все возможные варианты реакции структуры, поэтому мы можем спокойно пренебречь высокими частотами (обоснование этого утверждения приведено в части II данного цикла статей).

Собственная частота колебаний, иначе говоря их собственные значения, зависит от жесткости и плотности балки. Таким образом, уравнение частоты колебаний для структур может быть представлено как

где К — жесткость структуры, а m — ее масса. Это на удивление простое уравнение дает нам всю основную информацию о структуре. Классический способ графического представления данного уравнения — это тело, подвешенное на пружине, причем тело может двигаться только вверх и вниз либо с одной степенью свободы (DOF), согласно терминологии конечноэлементного анализа.

Собственный вектор колебаний данной системы — колебания вверх и вниз.

На примере конструкции целлюлознобумажного производства

В производственных структурах применяется то же самое уравнение. Собственная частота колебаний структуры определяется той же формулой:

Например, рассмотрим конструкцию, используемую в целлюлознобумажном производстве. Данная структура имеет 10 м в длину и изготовлена из нержавеющей стали. На целлюлознобумажном комбинате рабочая частота составляет порядка 9 Гц. Если нормальная частота колебаний конструкции практически равна рабочей частоте, структура резонирует и разрушается. А главное, при этом серьезно пострадает предприятие, в которое вложен не один миллион долларов (рис. 5 и 6).

Рис. 5. Первая форма колебаний оборудования целлюлозно-бумажного комбината

Рис. 6. Вторая собственная форма колебаний оборудования целлюлозно-бумажного комбината

Параметры исходной конструкции давали первую форму колебаний при частоте 8,4 Гц, а это равносильно катастрофе. Рассматриваемая доска изготавливается из стальных пластин толщиной 9,5 мм, поэтому нашей первой мыслью в направлении оптимизации конструкции было простое увеличение толщины пластин. Мы прорабатывали данный вариант в течение нескольких дней, но при увеличении толщины пластин масса структуры также возрастала, повышаясь одновременно с жесткостью (см. приведенное выше уравнение). В результате всех этих усилий мы получили лишь незначительное улучшение (резонансная частота колебаний ~11 Гц) при толщине пластин 25 мм, но такое изменение конструкции стоило бы предприятию огромных денег.

На этом мы отказались от спешных попыток найти решение проблемы и задумались над тем, как формируется прочность в вытянутых тонких структурах. Мы поняли, что связь между нижней и верхней поверхностями доски очень слабая. Эта догадка привела нас к идее добавления диагональных стальных стержней, соединяющих верхнюю и нижнюю поверхности и позволивших бы нам сохранить толщину пластин 9,5 мм. Обновленная конструкция была протестирована на компьютере и показала первую собственную частоту колебаний 13 Гц. Теперь собственная частота колебаний изделия стала гораздо больше, чем рабочая частота комбината, резонанс стал невозможен, а система приобрела динамическую устойчивость. Кроме того, сохранение толщины пластин (9,5 вместо 25 мм) означало вдвое меньшую стоимость внесения изменений по сравнению с первым малоэффективным вариантом доработки конструкции.

Поведение конструкции под воздействием динамической нагрузки

Если на структуру действует кратковременная или изменяющаяся во времени нагрузка (например, электромотор создает постоянную, синусоидально меняющуюся нагрузку) и если собственное значение колебаний конструкции ниже или выше, чем частота возбуждения, то поведение структуры будет таким же, как при воздействии статической нагрузки. Допустим, у нас есть структура с собственным значением колебаний в 10 Гц и она подвергается кратковременному удару (например, полусинусоидальной волной с частотой 10 Гц). В этом случае можно ожидать, что структура будет вибрировать от удара, а затем постепенно вернется в исходное состояние покоя в отсутствие воздействия.

Однако если структура подвергнется динамической нагрузке, изменяющейся во времени (например, воздействие синусоидальной волны частотой 10 Гц), то произойдет резонанс. Если поглощения вибрации практически нет (как у металлов или пластика), можно будет наблюдать классический гармонический резонанс, подобный тому, что привел к обрушению Тэкомского моста в 1940 году.

Именно резонанс разрушает конструкции, а наихудшая разновидность резонанса возникает тогда, когда на изделие снова и снова оказывается переменное возбуждающее воздействие. Наиболее эффективным способом предотвращения подобной неприятности является создание такой конструкции, собственная частота колебаний которой выше или ниже, чем ее рабочая частота; решение этой задачи лежит в основе проведения анализа собственных частот колебаний.

Итоговые расчеты

В предыдущих выкладках мы ни разу не упомянули амплитуду колебаний. То есть мы говорили об их частоте и форме, но вопрос амплитуды остался незатронутым. В частотном анализе (анализе собственной частоты колебаний) рассматривается структура без приложения к ней какойлибо нагрузки. Без нагрузки (то есть без воздействия какихлибо сил или давления) прогнозировать реальный вид вынужденных колебаний невозможно. Выведение собственных форм колебаний (формы допустимых видов деформации) предполагает проведение математических расчетов, ход которых можно посмотреть в любом учебнике. Однако ключевым для нас является решение уравнения динамики:

Если пренебрегать демпфированием (С) (а это можно смело делать в отношении многих конструкций), а прикладываемая сила f(t) равна нулю, уравнение принимает более краткую и удобную форму:

Это ключевое уравнение для анализа свободных колебаний, показывающее, что только масса и прочность структуры влияют на формы ее колебаний.

Для решения данного уравнения воспользуйтесь вашим любимым пособием по математике. Суть вопроса в том, что вычисление собственной частоты колебаний структуры сводится к компактной формуле:

И поскольку при расчете собственной частоты колебаний конструкции никакие силы не учитываются, связанные с ним собственные формы колебаний не поддаются измерению. В этом случае ваша программа для конечноэлементного анализа регулирует формы собственных колебаний таким образом, чтобы максимальное перемещение внутри каждой формы приближалось к 1.0 или к некой величине в зависимости от массы структуры. Когда данные формы свободных колебаний отображаются в программе для конечноэлементного анализа, мы видим воображаемую амплитуду; такая визуализация может стать проблемой для многих новичков, впервые отважившихся погрузиться в мир динамического анализа. Но более подробно о ее особенностях рассказано в части 2 данной статьи.

Основные этапы анализа собственных форм и частот колебаний

Определите, какой тип нагрузки может воздействовать на вашу конструкцию и может ли эта нагрузка вызвать резонанс. Постарайтесь определить частотные характеристики вашей нагрузки и убедитесь, что они не совпадают с собственными частотами вашей конструкции.

Проведите частотный анализ и посмотрите на первые три собственные частоты колебаний. Проверьте, попадают ли они в определенную вами опасную зону.

Если собственные частоты не попадают в диапазон частот вашей нагрузки, можете прекращать работу. Вы закончили ее, и всё получилось правильно.

Если собственные частоты вашего изделия попадают в диапазон опасных частот и вы не можете изменить конструкцию для улучшения ситуации, тогда продолжайте читать наши статьи. В них мы расскажем, почему ваше положение не так уж и плохо.

От чего зависит собственная частота конструкции

Научный форум dxdy