Произвольная схема 3 узла и 6 ветвей

Сколько уравнений следует записать по первому правилу Кирхгофа и сколько по второму, чтобы найти все токи в цепи

Изобразите произвольную схему, состоящую из 3 неидеальных источников и 6 резисторов и имеющую 3 узла и 6 ветвей. Сколько уравнений следует записать по первому правилу Кирхгофа и сколько по второму, чтобы найти все силы токов в цепи, если ЭДС, внутренние сопротивления источников и сопротивления резисторов известны? Запишите эти уравнения (решать их не требуется).

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Сколько нужно составить уравнений по первому и по второму закону Кирхгофа
Сколько нужно составить уравнений по первому и по второму закону Кирхгофа

Расчет цепи первому и второму законам Кирхгофа
1)составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам.

Расчет цепи по первому и второму закону Кирхгофа
1) Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам.

Подскажите с составлением уравнений по первому и по второму закону Кирхгофа
Сколько нужно составить уравнений по первому и по второму закону Кирхгофа

Уравнения Кирхгофа

Разберем на примере домашнего задания, как пользоваться уравнениями Кирхгофа при расчете электрических цепей.

Задается электрическая схема, в которой известны значения всех сопротивлений и ЭДС источников напряжения. То есть все R и E заданы.

Первым делом, нужно определить, сколько в схеме узлов, независимых контуров и ветвей.

Узел — это просто точка, где сходится три и больше проводов. Иногда составители заданий хитрят и отмечают жирной точкой углы схем, не ведитесь, это провокация. Узлом считается только то место, где проводов не меньше трех. В нашем случае узлов 4. Нумеруем их в произвольном порядке.

Число независимых контуров мы определяем по количеству геометрических фигур, составляющих схему. Обычно это не составляет труда, хотя встречаются и замороченные схемы, где не сразу становится очевидным количество контуров. То есть мысленно делаем заливку каждого участка схемы, и количество получившихся цветов соответствует количеству независимых контуров. Просим прощения за косноязычность, но стараемся объяснять, что называется, «на пальцах», чтобы было понятно. Вот контуры в нашей схеме.

Ветвь — это участок провода между двумя узлами. Участки 1-2, 1-4, 1-3, 2-4, 2-3, 3-4 — это ветви нашей схемы. Всего получается 6 ветвей. В каждой из них течет свой ток, который надо обозначить на схеме. Направление стрелки, указывающей ток, выбираем произвольно (разве что, мы любим в ветвях с источниками напряжения выбирать направления токов туда же, куда указывают стрелки ЭДС). А вообще, направление стрелок ни на что не влияет, в результате расчета часть токов получится со знаком «плюс» (значит, направление соответствует выбранному), а часть токов — со знаком «минус» (значит, направление тока противоположно). Вот наши токи на схеме. Заодно выберем направление обхода в каждом контуре. Направление можно выбирать произвольно, но мы рекомендуем всегда брать направление по часовой стрелке во всех контурах. Меньше будете путаться.

Подведем промежуточный итог. Мы изучили данную схему, посчитали количество узлов (четыре), количество независимых контуров (три), количество ветвей (шесть), пронумеровали узлы, контуры, выбрали направление обхода и расставили стрелки токов в ветвях (шесть токов в соответствии с количеством ветвей).

Перейдем непосредственно к уравнениям Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа гласит: сколько тока пришло в узел, столько и должно выйти. Напоминает закон сохранения чего-угодно и по сути им и является. То есть сумма токов, вошедших в узел, равна сумме токов вышедших из узла. На практике это выглядит так: смотрим на любой узел, записываем, какие токи текут в ветвях, составляющих этот узел (из определения узла понятно, что их должно быть не меньше трех), входящие токи берем с плюсом, исходящие — с минусом. В сумме должен получиться ноль. Число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше, чем количество узлов в схеме. То есть из четырех узлов выбираем любые три. Исключительно из любви к прекрасному возьмем подряд узлы 1, 2, 3.

Смотрим на узел 1. В нем сходятся ветви 1,3,5, ток I1 входит (+), ток I3 выходит (-), ток I5 выходит (-).

Получаем первое уравнение.

Узел 2. В нем сходятся ветви 1,2,4, ток I1 выходит (-), ток I2 входит (+), ток I4 выходит (-).

Узел 3. В нем сходятся ветви 4,5,6, ток I4 входит (+), ток I5 входит (+), ток I6 выходит (-).

Аналогично можно записать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 4, но это уже будет избыточное уравнение. Нам нужно только три, но, подчеркиваем, что выбрать можно любые три узла.

Второй закон Кирхгофа простыми словами сводится к следующему: сумма напряжений на каждом резисторе внутри контура должна быть равна ЭДС этого контура. На практике это выглядит так: берем по очереди каждый контур, в левой части уравнения пишем напряжения на резисторах. Как мы помним из закона Ома U=IR, то есть напряжение на резисторе равно произведению силы тока в ветви на сопротивление резистора. ЭДС контура — это источники напряжения Е в нашей схеме. В общем, проще показать на примере, чем объяснить.

Уравнений пишем ровно столько, сколько в цепи независимых контуров, то есть три. Начинаем по порядку.

Контур I. Направление обхода мы выбрали по часовой стрелке. Ток I1 мы направили в другую сторону, поэтому падение напряжения на резисторе R1 берется с минусом. В резисторе R2 ток тот же и тоже берется с минусом. Ток I2 течет без сопротивления, игнорируем его, ток I3 — то же самое. ЭДС в контуре одна — E1, и направление также противоположно выбранному направлению обхода, значит, в правую часть уравнения записываем E1 со знаком минус.

Для контура I уравнение Кирхгофа выглядит так:

Контур II обходим тоже по часовой стрелке. Ток I4 течет через сопротивление R4 в направлении, совпадающем с направлением обхода. Токи I2 и I6 текут без сопротивлений, так что в уравнение не входят. ЭДС в правой части уравнения: E1 с плюсом, E3 с плюсом, E4 с плюсом.

Уравнение получается таким:

И наконец контур III. Ток I5 через резистор R5 с минусом, токи I3 и I6 не участвуют. ЭДС E2 с минусом.

Окончательно получаем систему из шести уравнений (как раз столько, сколько у нас неизвестных токов в наших ветвях).

Эта система имеет одно решение, так что, решив ее любым доступным вам методом (мы предпочитаем решать в MathCad, поскольку меньше риск арифметической ошибки и проще вносить исправления, если понадобится), вы определите все неизвестные токи в цепи.

В следующих разделах мы обсудим методы проверки расчета электрической схемы, а также рассмотрим другие способы решения, такие как метод контурных токов, метод межузловых потенциалов, метод эквивалентного генератора.

Надеемся, материал был полезен.

Всегда ваша, Botva-Project

Данная схема имеет четыре узла и шесть ветвей.

Система уравнений по законам Кирхгофа имеет следующий вид:

Имеем систему из шести уравнений с шестью неизвестными. Выразив токи I₁, I₂, I₅ через I₄, I₆,I₃, получим:

Решая данную систему уравнений, можно найти токи ветвей.

Число совместно решаемых уравнений равно числу ветвей схемы (числу неизвестных токов ветвей), поэтому в общем случае применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей не всегда

целесообразно. Количество совместно решаемых уравнений сокращается при использовании метода контурных токов и узловых потенциалов.

В качестве переменных в методе контурных токов принимаются контурные токи. В схеме выделяют независимые контуры. В каждом контуре произвольно выбирают направление контурных токов. За контурные токи удобно принять токи внешних ветвей схемы, которые входят только в данный контур.

Уравнения составляются на основе второго закона Кирхгофа, выражая токи ветвей через контурные токи.

_{Для каждого контура пишем второй закон Кирхгофа:}

Выразим токи ветвей через контурные:

После преобразования получим следующую систему уравнений:

Решив систему уравнений относительно контурных токов, находятся токи ветвей. Правильность решения по методу контурных токов осуществляется на основании второго закона Кирхгофа.

Баланс мощностей. Пусть в электрической цепи произвольной конфигурации имеются источники и приемники электрической энергии. Сумма мощностей всех ветвей такой электрической цепи равно нулю:

Мощность, потребляемая всеми элементами цепи равна нулю.

Математическая форма записи баланса мощностей:

Суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Метод узловых потенциалов является наиболее общим и широко применяется для анализа цепей любой конфигурации. При расчете электрических цепей методом узловых потенциалов потенциал одного из узлов принимается равным нулю. Для всех остальных узлов составляют уравнения по первому закону Кирхгофа. Решив систему уравнений, определяют потенциалы узлов. Затем по закону Ома определяют токи ветвей. Для приведенной схемы электрической цепи, составим уравнения по методу узловых потенциалов.

П римем потенциал узла d равным нулю, т.е. запишем первый закон Кирхгофа для узлов а,в,с.

Выразим токи по закону Ома через потенциалы узлов:

Подставим эти выражение в уравнения по первому закону Кирхгофа и приведя подобные члены получим следующее уравнение:

Решение системы уравнений позволяет определить потенциалы узлов, а по известным потенциалам токи ветвей. Проверку правильности решения осуществляется на основании первого закона Кирхгофа.

Метод двух узлов. Очень часто встречаются схемы с двумя узлами и с произвольным числом ветвей. Для нахождения токов ветвей необходимо определить напряжение между двумя узлами. Напряжение между двумя узлами:

Основные свойства электрических цепей. Теорема Телледжена: Сумма произведений напряжений и токов всех ветвей схемы, удовлетворяющих законам Кирхгофа равна нулю: Данное выражение выражает закон сохранения энергии, каждое слагаемое представляет мощность потребляемую k- ветвью.

Свойство (принцип) взаимности. Пусть в схеме произвольной конфигурации в ветви действует единственный источник э.д.с. , который создают ток в ветви . Соответственно, э.д.с. в ветви вызывает ток в ветви ток Электрические цепи, для которых выполняется условие называются обратимыми цепями. Отношение Если принять , то . Для обратимых цепей справедливо следующее, если некоторая э.д.с., действующая в какой-либо ветви электрической цепи ( ) , вызывает ток в другой ветви данной цепи ( ), то та же э.д.с. будучи перенесенная во вторую ветвь ( ), вызовет ток в первой ветви ( ) равный току в первом случае, т.е. .

Теорема компенсации. Любое сопротивление схемы с током можно заменить источником э.д.с. , направление которой противоположно направлению тока. При этом токи и напряжения всех ветвей схемы не изменяются. В общем случае любую ветвь с напряжением можно заменить источником э.д.с.: .

Кроме того, любую ветвь с током можно заменить источником тока, направление которого совпадает с направлением тока ветви, без изменений токов и напряжений всех ветвей схемы.

Принцип наложения. Метод наложения. Согласно принципу наложения, ток (напряжение) в любой ветви электрической цепи при одновременном действии нескольких источников представляет собой алгебраическую сумму частичных токов (напряжений), обусловленных каждым источником в отдельности.

Частичными токами, напряжениями называются такие токи и напряжения, которые вызваны действием только одного источника. Применение принципа наложения дает метод наложения для расчета электрических цепей. Токи ветвей в исходной схеме, определяются как алгебраическая сумма частичных токов.

И стинные токи:

Теорема об эквивалентном источнике напряжения. Теорема об эквивалентном источнике напряжения (теорема Тевенина) формулируется следующим образом: ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения с напряжением, равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви. Используя теорему об эквивалентном источнике, можно определить ток в любой ветви электрической цепи, например .

Ток по методу эквивалентного генератора определяется: .

Напряжение определяется из режима разомкнутой ветви и равно:

С опротивление генератора равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.

Теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона): ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.

Ток , где — ток короткого замыкания ветви.

Основная литература: 1[31-37, 43 -44, 49 – 56]; 1[27 – 31, 36 – 43, 45 — 49]; 2[24 – 29, 46 -49, 52, 56-59]; 2[15 – 21, 29 -35, 39- 46].

Дополнительная литература: 9[11-22]; 9 [32-41, 67-71, 90, 96-102]; 9 [56-66].

1. Определить эквивалентное сопротивление двух резисторов с равными сопротивлениями, соединенных параллельно.
2. Определить эквивалентное сопротивление трех резисторов с равными сопротивлениями, соединенных параллельно.
3. Число линейно-независимых уравнений по первому закону Кирхгофа?
4. Число линейно-независимых уравнений по второму закону Кирхгофа?
5. Число линейно-независимых уравнений составленных по законам Кирхгофа для нахождения токов в ветвях электрической цепи.
6. Число линейно-независимых уравнений по методу контурных токов.
7. Мощность источника напряжения, мощность источника тока.
8. В цепи несколько источников напряжения. По какому признаку определяется режим работы источников питания.

1. Число линейно-независимых уравнений составленных по методу узловых потенциалов?
2. Особенности составления узловых уравнений при наличии ветви с идеальным источником напряжения.
3. Как определить токи ветвей, если известны потенциалы узлов?
4. В каких случаях применяется метод эквивалентного источника?
5. Как определить параметры эквивалентного источника напряжения?
6. Как найти параметры эквивалентного источника тока?
7. Какой двухполюсник называется пассивным?
8. Какой двухполюсник называется активным?

Лекция 4. Линейные электрические цепи при гармонических воздействиях

Гармонические колебания. Источники грамонических колебаний. Способы представления гармонических колебаний. Векторные диаграммы.

Переменный ток, напряжение. Периодические токи и напряжения. Мгновенные значения тока, напряжения и э.д.с. Наибольшее распространение в электрических цепях получили синусоидальные или гармонические токи и напряжения. Ток, изменяющийся по закону синуса называется синусоидальным или гармоническим. Мгновенное значение синусоидального тока, напряжения, э.д.с.:

, , , максимальное значение или амплитуда тока, напряжения, э.д.с.;

, — фаза тока, напряжения, э.д.с.;

, , — начальная фаза тока, напряжения. э.д.с.;

Период T, частота f связаны соотношением:

Важными параметрами синусоидальных колебаний являются действующее и среднее значения. Действующим значением тока I называется среднеквадратичное значение электрического тока за период:

Аналогично для напряжения и э.д.с.:

Среднее значение гармонического тока за период равно нулю, поэтому пользуются понятием среднего полупериодного значения, соответствующего только положительной полуволне:

Генератор переменной э.д.с. Устройство и принцип действия.

Синусоидальные колебания (токи, напряжения, э.д.с.) можно представить различными способами: функциями времени в -области (временные диаграммы) , векторами, комплексными числами.

Расчет электрических цепей с синусоидальными источниками энергии облегчается, если синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, э.д.с. изображать векторами или комплексными числами. Эти представления лежат в основе символического метода расчета электрических цепей – метода комплексных амплитуд. Векторное представление синусоидальных функций основано на том, что каждой синусоидальной функции в соответствии ставится вращающийся вектор на комплексной плоскости. Этот вектор на комплексной плоскости является геометрическим изображением комплексного числа, поэтому синусоидальным функциям соответствуют комплексные числа.

Мгновенному значению напряжения в любой момент времени соответствует комплексное число, которое называется комплексным мгновенным напряжением. Оно изображается вектором на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде и который образует с вещественной осью угол

В начальный момент времени , получается начальное положение вектора, который образует с вещественной осью угол . Такой вектор обозначается и называется комплексной амплитудой. Модулем комплексной амплитуды является вещественная амплитуда синусоидального напряжения, а аргументом – начальная фаза, т.е. комплексная амплитуда включает оба параметра синусоиды: амплитуду и фазу. Это очень важное свойство комплексной амплитуды. Вектор неподвижен. Множитель является оператором вращения. Из приведенных выражений следует, что напряжение можно рассматривать как проекцию вращающегося вектора на ось мнимых чисел: , а напряжение как проекцию вектора на ось вещественных чисел:

Вместо комплексных амплитуд часто рассматривают комплексные действующие величины:

Переход от синусоидальных функций к комплексным действующим значениям позволяет упростить действия с синусоидальными функциями: сложение и вычитание, дифференцирование и интегрирование: — дифференцирование соответствует умножению на , а операция интегрирования соответствует делению на . Комплексное действующее значение можно представить как:

показательная форма комплекса напряжения,

— алгебраическая форма комплекса напряжения.

Используя формулу Эйлера, показательная форма преобразована в алгебраическую форму комплекса напряжения. Переход из алгебраической формы в показательную форму:

Умножение вектора на j и на –j. Пусть имеется вектор . Умножение его на j дает вектор, по модулю равный U, но повернутый по отношению к исходному вектору на угол в сторону опережения (против часовой стрелки). Умножение вектора на –j поворачивает вектор на угол в сторону отставания (по часовой стрелки).

Сложение гармонических функций. При анализе электрических цепей синусоидального тока приходится сталкиваться с суммированием синусоидальных функций времени с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами. Непосредственное сложение в t- области связано с большими трудностями тригонометрического характера. Значительно проще задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически — путем суммирования комплексных чисел.

Основная литература: 1[66 – 71]; 2[61 — 68].

Дополнительная литература: 9 [106 — 115].

1. Параметры синусоидального напряжения и тока?
2. Каковы преимущества синусоидального напряжения?
3. Максимальное, действующее, среднее значение синусоидального напряжения, тока?
4. Как можно представить синусоидальную функцию времени?
5. Показательная форма комплексной амплитуды напряжения.
6. Алгебраическая форма комплексной амплитуды напряжения.
7. Найти графически сумму двух синусоидальных токов. Определить действующее значение и начальную фазу.

Лекция 5. Гармонические колебания в цепи с резистивным, индуктивным и емкостным элементом. Символический метод. Анализ разветвленных цепей при гармонических воздействиях. Пассивный двухполюсник. Схемы замещения духполюсника при заданной частоте. Активная, реактивная и полная мощности. Резистивный элемент в цепи синусоидального тока. Активная мощность.

Пусть к резистивному элементу приложено синусоидальное напряжение

Ток в цепи определяется законом Ома:

— амплитуда тока, — начальная фаза тока,

Амплитуда тока определяется законом Ома, сдвиг фаз равен нулю, т.е. ток и напряжение на резистивном элементе совпадают по фазе.

Мгновенная мощность в резистивном элементе:

Мгновенная мощность пульсирует от нулевого значения до максимума с двойной частотой и принимает только положительные значения.

Среднее значение мощности за период называется активной мощностью:

В комплексной форме:

Пусть через индуктивный элемент протекает синусоидальный ток: , тогда напряжение:

— начальная фаза напряжения. Из этих выражений видно, что амплитуда напряжения и тока связаны законом Ома. На индуктивном элементе напряжение по фазе опережает ток на угол или 90 градусов. Сдвиг фаз между напряжением и током т.е., ток отстает по фазе от напряжения на угол .

Мгновенная мощность: , изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой. Среднее значение мощности за период равно нулю: Реактивная мощность индуктивности. Измеряется вольт ампер реактивных .

К омплексной форме:

Схема замещения реальной катушки представляет собой последовательное соединение активного сопротивления и индуктивности катушки. Схема замещения индуктивной катушки. Комплексное сопротивление. Векторная диаграмма. Активная и реактивная мощности реальной катушки индуктивности.

Идеализированный емкостной элемент в цепи синусоидального тока. Реактивная мощность.

Пусть к обкладкам конденсатора приложено синусоидальное напряжение ,

тогда ток определяется где — амплитуда тока, — емкостное сопротивление, — емкостная проводимость, — начальная фаза тока, — сдвиг фаз между напряжением и током. Ток на конденсаторе опережает по фазе напряжение на угол . Мгновенная мощность в емкостном элементе изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой и амплитудой : .

В комплексной форме:

где — комплексное сопротивление емкостного элемента,

— комплексная проводимость емкостного элемента, — емкостная проводимость

Основная литература: 1[71 — 73], 2[84 — 85].

1. Соотношения между амплитудами и начальными фазами синусоидального тока и напряжения на зажимах индуктивного элемента.
2. Реактивная мощность индуктивного элемента.
3. Комплексное сопротивление индуктивного элемента.
4. Схема замещения реальной катушки индуктивного элемента.
5. Комплексное сопротивление емкостного элемента.
6. Векторная диаграмма емкостного элемента.

Лекция 6. Комплексное сопротивление. Комплексная проводимость. Пассивный двухполюсник. Схемы замещения. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Комплексное сопротивление равно отношению комплекса напряжения к комплексу тока или комплексного максимального значения напряжения к комплексному максимальному значению тока

где: Z – модуль комплексного сопротивления называется полным сопротивлением,

— аргумент комплексного сопротивления называется сдвиг фаз между напряжением и током,

— вещественная часть комплексного сопротивления называется активным сопротивлением,

— мнимая часть комплексного сопротивления называется реактивным сопротивлением.

Графически выражение можно представить треугольником сопротивлений. Комплексное сопротивление идеальных двухполюсников: для сопротивления R (активное), для индуктивности L — комплексное сопротивление , где -реактивное сопротивление индуктивности; комплексное сопротивление емкостного элемента , где -реактивное сопротивление емкостного элемента.

Величину, обратную комплексному сопротивлению называют комплексной проводимостью:

где: Y -модуль комплексной проводимости называется полной проводимостью,

— активная проводимость, – реактивная проводимость. Графически данное выражение можно представить в виде треугольника проводимости. Комплексная проводимость этих же элементов: Если известно комплексное сопротивление, то можно найти проводимость:

Если известна комплексная проводимость, то можно получить комплексное сопротивление.

Пассивный двухполюсник. Схемы замещения. По известному входному комплексному сопротивлению двухполюсника можно получить последовательную схему замещения двухполюсника, состоящую из последовательного соединения активного сопротивления и реактивного сопротивления. В зависимости от знака реактивного сопротивления, его можно рассматривать как индуктивное или как емкостное.

Напряжение можно разложить на две составляющие:

где — составляющая, совпадающая по фазе с током, называется активной составляющей напряжения, — составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол , называется реактивной составляющей напряжения. Составляющие , рассматриваются как напряжения на элементах и .

Из треугольника напряжений следует

Входной проводимости соответствует параллельная схема замещения из активной проводимости и реактивной проводимости. Реактивная проводимость в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная. Ток на входе может быть представлен:

где — составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей тока, составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол , называется реактивной составляющей тока.

Составляющие и рассматриваются как токи в элементах и .

Треугольник образованный называется треугольником токов.

Закон Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю:

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура равна нулю. Его можно сформулировать другим образом: алгебраическая сумма комплексных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных э.д.с. всех источников напряжения в этом контуре:

Законы Кирхгофа можно записать и для мгновенных значений. Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, соединенных в узле равна нулю:

Алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю: , или алгебраическая сумма мгновенных э.д.с. всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Основная литература: 1[71 -73, 76 – 79)]; 2 [68 – 75, 77-80, 84 — 85].

Дополнительная литература: 9 [123 -126, 128 -132].

1. Написать закон Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
2. Комплексная, полная, реактивная проводимости.
3. Треугольник проводимости.
4. Как перейти от комплексных сопротивлений к комплексным проводимостям и обратно?
5. Соотношения между амплитудами и начальными фазами синусоидального тока и напряжения на резистивном элементе.
6. Чему равен угол сдвига фаз между напряжением и током на резистивном элементе?

Лекция 7. Резонансные явления в линейных электрических цепях. Частотные характеристики пассивных двухполюсников. Практическое значение резонанса в электрических цепях. Явление взаимной индукции

Рассмотрим изменение тока и напряжений на элементах цепи при синусоидальном входном воздействии

Согласно, второго закона Кирхгофа

Запишем это уравнение в комплексной форме:

Мгновенное значение тока:

Напряжение на элементах:

Токи и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма. На векторной диаграмме закон Кирхгофа выполняется в векторной форме:

Различают три режима в цепи, в зависимости от параметров цепи индуктивный, емкостный, активный.

Рассмотрим параллельное соединение R, L,C элементов при синусоидальном воздействии

Согласно, первому закону Кирхгофа ток в неразветвленной части цепи

Напряжение на всех элементах

Перейдем к уравнению в комплексной форме:

Токи в элементах:

мгновенные значения токов:

В цепи в зависимости от параметров различают индуктивный характер, емкостный характер,

Рассмотрим произвольный двухполюсник при действии источника синусоидального напряжения:

мгновенная мощность, поступающая в цепь, состоит из двух слагаемых – постоянной составляющей и синусоидальной составляющей, имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.

Среднее значение мощности за период называется активной мощностью:

Амплитуда синусной составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности:

называется коэффициентом мощности и является важной характеристикой электрических машин и линий передач. Чем выше тем меньше потерь в линии и выше степень использования электрических машин и аппаратов. Максимальное значение т.е. цепь носит чисто активный характер и сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю.

Реактивная мощность Полную мощность рассматривают как модуль комплексной мощности:

— ток сопряженный току , отличается противоположным знаком перед мнимой частью и перед аргументом.

В электрической цепи содержащей источники гармонических э.д.с. и токов для мгновенных мощностей выполняется соотношение, т.е. справедлива теорема Теледжена: сумма мгновенных мощностей всех ветвей электрической цепи равна нулю:

В комплексной форме можно записать — сумма комплексных мощностей потребляемых всеми ветвями электрической цепи равна нулю.

— баланс мощностей в комплексной форме.

— сумма комплексных мощностей, генерируемых источником э.д.с. и тока.

— сумма комплексных мощностей, потребляемая потребителями.

для выполнения этого условия необходимо выполнения двух условий:

т.е. активная мощность, рассеиваемая в сопротивлениях равна активной мощности источников энергии, реактивная мощность в реактивных элементах равна реактивной мощности источников энергии. Реактивная мощность индуктивностей учитывается со знаком плюс, а емкостей со знаком минус. Активная потребляемая мощность измеряется ваттметром.

Методы анализа электрических цепей синусоидального тока.

Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для цепей синусоидального тока можно обосновать все методы, которые получены для цепей постоянного тока.

С учетом этого, все методы расчета электрических цепей постоянного тока (метод эквивалентного преобразования электрических цепей, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод активного двухполюсника), эквивалентные преобразования электрических цепей справедливы и для цепей синусоидального тока. Соответствующие соотношения записываются в комплексной форме, т.е. рассматривается символический метод расчета. Несмотря на общность методов расчета цепей синусоидального и постоянного токов, расчеты цепей синусоидального тока значительно сложнее.

Например, написать уравнения по методу контурных токов для приведенной схемы электрической цепи.

С оставим уравнения по методу контурных токов, направив их по часовой стрелке:

Топографическая диаграмма. Совокупность точек на комплексной плоскости, изображающих собой комплексные потенциалы одноименных точек электрической схемы, называется топографической диаграммой. При построении топографической диаграммы потенциал одной из точек схемы принять равным нулю. На диаграмме эта точка помещается в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме будет вполне определенным. Рассмотрим построение потенциальной диаграммы. Построить потенциальную диаграмму для цепи, изображенной на рисунке, если

Примем потенциал точки а равным нулю

Потенциалы точек a,b,c,d,e отложены на комплексной плоскости. Топографическая диаграмма показана на рисунке.

Последовательное соединение элементов называется последовательным колебательным контуром, в нем возможен резонанс напряжения. Резонансом напряжения называется такой режим в колебательном контуре, при котором частота источника э.д.с. равна частоте собственных колебаний контура .

В ходное напряжение

При резонансе напряжения, входное сопротивление становится чисто резистивным, реактивное входное сопротивление равно нулю ,

Резонансная частота контура определяется из соотношения , т.е. . Так как Полное сопротивление минимально, тогда ток в цепи и активная мощность в режиме резонанса максимальны

Напряжения на реактивных элементах равны по величине и противоположны по направлению. Реактивные мощности тоже равны

— характеристическое или волновое сопротивление контура.

Отношение напряжений на реактивных элементах к приложенному напряжению, или отношение реактивных мощностей к активной мощности в режиме резонанса называется добротностью контура

Добротность контура указывает во сколько раз напряжение на индуктивности и емкости при резонансе больше, чем напряжение приложенное к цепи. Векторная диаграмма в момент резонанса.

Параллельное соединение элементов называется параллельным колебательным контуром, в нем возможен резонанс токов. Резонанс токов наступает, когда входная проводимость реактивная равна нулю.

Напряжение на зажимах цепи

Ток в неразветвленной части: где — входная комплексная проводимость.

, где — входная реактивная проводимость.

При резонансе токов — резонансная частота контура.

При резонансе ток через индуктивный элемент равен по модулю току через емкостной элемент и находится в противофазе и могут превышать входной ток.

Добротность параллельного контура, показывает во сколько раз ток в реактивных элементах при резонансе больше тока на входе контура.

— добротность параллельного контура, показывает во сколько раз ток в реактивных элементах при резонансе больше тока на входе контура.

Частотные характеристики параллельного колебательного контура.

Частотные характеристики резонансных контуров.

Зависимость параметров цепи от частоты называются частотными характеристиками. Зависимость действующих или амплитудных значений тока и напряжений от частоты называется резонансными кривыми.

— частотные характеристики цепи.

Зависимость тока, напряжения на катушке, напряжения на конденсаторе от частоты:

Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем рассматривать зависимости: , где ток при резонансе, — резонансная частота.

Чем больше , тем острее резонансная кривая, тем лучше избирательные свойства цепи.

Электрические цепи с взаимной индукцией. Явление наведения Э.Д.С. в каком-либо контуре при изменении тока в другом называется явлением взаимоиндукции. Наведенная э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции. Когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению э.д.с. в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны. Магнитную связь обеих ветвей характеризуют коэффициентом взаимной индуктивности

Физическим прообразом может служить устройство из двух близко расположенных катушек или катушек на общем сердечнике. В общем случае любое число катушек имеет индуктивную связь. Степень индуктивной связи характеризуется коэффициентом связи К, где и индуктивность элементов цепи, — взаимная индуктивность.

При протекании тока под действием напряжения в катушке с индуктивностью согласно закону электромагнитной индукции создается магнитный поток самоиндукции , сцепленный с витками первой катушки, и магнитный поток взаимной индукции , сцепленный с витками второй катушки с индуктивностью и в последней наводится э.д.с. взаимной индукции, которая определяется законом электромагнитной индукции:

, где — коэффициент взаимной индукции катушек и .

На разомкнутых выводах второй катушки появляется напряжение взаимной индукции: . Пусть ток протекает по второй катушке под действием напряжения .

Под действием тока , протекающего через , в катушке будет наводится э.д.с. взаимной индукции На разомкнутых выводах первой катушки появляется напряжение взаимной индукции: . По первой катушке течет ток , а по второй течет ток .

Тогда напряжение на выводах катушек будет:

— напряжение самоиндукции первой и второй катушек,

— напряжение взаимной индукции,

— взаимная индуктивность, величина алгебраическая, если , напряжения взаимной индукции складываются с напряжением самоиндукции, если , напряжение взаимной индукции и самоиндукции вычитаются.

Приведенные уравнения можно записать в комплексной форме:

— комплексное сопротивление взаимной индукции,

— сопротивление взаимной индукции.

Если катушки включаются таким образом, что потоки самоиндукции и потоки взаимной индукции складываются, то такое включение катушек называется согласным. Если же потоки самоиндукции и взаимной индукции вычитаются, то такое включение катушек называется встречным. Для удобства изображения электрические цепи с взаимной индуктивностью вводят понятия одноименных зажимов.

Одноименными зажимами принято называть узлы относительно которых одинаково ориентированные токи создают складывающие потоки самоиндукции и взаимной индукции.

Согласное включение Встречное включение

Чтобы определить, как ориентированы между собой катушки, необходимо определить как ориентированы токи относительно одноименных зажимов. При одинаковой ориентации относительно одноименных зажимов – согласное включение, при разной ориентации – встречное включение.

Определение взаимоиндукции опытным путем. Первый способ: Проделаем два опыта. Включаем катушки последовательно и согласно. Измерим ток и напряжение на входе и активную мощность цепи. Включим катушки последовательно и встречно. Измерим ток, напряжение. По результатам измерений определим:

Второй способ. Включим первую катушку к источнику синусоидальной э.д.с. через амперметр и измерим , а к зажимам второй подключим вольтметр с большим внутренним сопротивлением и измерим напряжение . Взаимоиндукция:

Согласное включение катушек: ток в элементах направлен одинаково относительно одноименных зажимов.

В комплексной форме:

где — входное комплексное сопротивление всей цепи при согласном включении двух катушек,

— реактивное сопротивление взаимной индукции,

— реактивное сопротивление при согласном включении двух катушек. Ток в цепи:

Встречное включение катушек. Ток в элементах направлен противоположно относительно одноименных зажимов.

В комплексной форме:

Можно объединить обе формулы в одну:

где знак плюс соответствует согласному включению катушек, а минус соответствует встречному включению катушек.

Постоянный ток

Определить эквивалентное сопротивление цепи

• Подробнее о Задача № 18250
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 18243

4 января, 2024 — 21:25

• Подробнее о Задача № 18243
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 18242

4 января, 2024 — 20:56

• Подробнее о Задача № 18242
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 18170

25 мая, 2023 — 15:51

Для контура, показанного на рисунке, найти токи $I_1, I_2, I_3$. ЭДС источников тока и сопротивления известны.

• Подробнее о Задача № 18170
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 18026

5 декабря, 2022 — 10:34

Количество теплоты Q, выделившееся за 4,4 с, при постоянной плотности тока в проводнике сечением S = 4 мм 2 длиной l = 16 м, составило 20,8 Дж. Определить заряд q, прошедший через проводник за это время, и тангенциальную составляющую напряженности электрического поля, если его проводимость σ = 5,7∙10 6 Ом -1 см -1 .

• Подробнее о Задача № 18026
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 16862

5 мая, 2022 — 10:37

Напряжение U на шинах электростанции равно 6,6 кВ. Потребитель находится на расстоянии l = 10 км. Определить площадь S сечения медного провода, который следует взять для устройства двухпроводной линии передачи, если сила тока I в линии равна 20 А и потери напряжения в проводах не должны превышать 3%.

• Подробнее о Задача № 16862
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 16861

5 мая, 2022 — 10:36

• Подробнее о Задача № 16861
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 16779

19 февраля, 2022 — 21:06

Электромотор с сопротивлением обмотки R = 7 Ом потребляет ток силой I = 2 А и имеет при этом КПД η = 96 %. Какую механическую работу A совершит мотор за время t = 3 с? Силу трения можно не учитывать.

• Подробнее о Задача № 16779
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 16778

19 февраля, 2022 — 21:04

Изобразите произвольную схему, имеющую 3 узла и 6 ветвей, каждая из которых состоит из неидеального источника. Сколько уравнений следует записать по первому правилу Кирхгофа и сколько по второму, чтобы найти все силы токов в цепи, предполагая ЭДС и внутренние сопротивления источников известными? Запишите эти уравнения (решать их не требуется).

• Подробнее о Задача № 16778
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 16777

19 февраля, 2022 — 21:03

Конденсатор емкостью C = 0,01 Ф зарядили до напряжения U₁ = 3 B и подключили к светодиоду (можете условно считать его лампочкой). Найдите количество световой энергии E, которую излучит светодиод к тому моменту, когда он погаснет. Считайте, что светодиод светится при напряжении на нём не менее U₁ = 2 В и при этом имеет КПД (коэффициент полезного действия) η = 40% (то есть в виде света излучается 40% от потребляемой электрической энергии, а остальное выделяется в виде тепла).

• Подробнее о Задача № 16777
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 16776

19 февраля, 2022 — 21:02

Конденсатор ёмкостью C₁ = 5 мкФ, заряженный до напряжения U₁ = 10 В, и незаряженный конденсатор ёмкостью C₂ = 20 мкФ, соединили последовательно с резистором. Найдите количество теплоты Q, которое выделится на резисторе после замыкания цепи, и энергию W, оставшуюся запасённой в конденсаторах к моменту прекращения тока в цепи.

• Подробнее о Задача № 16776
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Задача № 16775

19 февраля, 2022 — 21:00

• Подробнее о Задача № 16775
• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии