Дать определение вольт амперной характеристики нелинейного двухполюсника

Раздел 7

Все радиотехнические цепи, рассмотренные нами ранее относились к классу стационарных линейных систем. Замечательной особенностью линейной цепи является справедливость для нее принципа суперпозиции. Из этого принципа и из условия стационарности вытекает простое и важное следствие — гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу.

Однако именно поэтому линейная стационарная система неспособна обогатить спектральный состав колебаний, поданных на ее вход. Это обстоятельство в значительной степени сужает класс полезных преобразований сигналов, которое осуществляются линейными цепями с постоянными параметрами.

Гораздо большими возможностями в этом отношении обладают нелинейные системы, в которых связь между входным сигналом u_вх(t) и выходной реакцией u_вых(t) устанавливается нелинейной функциональной зависимостью

В настоящей главе будут рассмотрены общие закономерности, присущие простейшим нелинейным системам, приемы их математического исследования, а также некоторые виды преобразований сигналов, осуществляемых с помощью нелинейных цепей и устройств.

Лекция16. Безынерционные нелинейные преобразования

Исследование нелинейной цепи в общем случае — задача весьма сложная в том отношении, что при математическом описании функционирования такой системы мы сталкиваемся с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. Известно, что здесь неприменимы большинство приемов и методов, которые позволяют относительно легко решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Тем не менее в ряде случаев исследование нелинейных систем удается довести до конца простыми способами. Для этого достаточно потребовать, чтобы нелинейная зависимость вида (11.1) не содержала явно времени. Физически такое требование означает безынерционность нелинейного элемента, т. е. мгновенное установление выходной реакции вслед за изменением внеш’ него входного воздействия.

Безынерционных нелинейных элементов, строго говоря, не существует. Однако эта идеализация достаточно точна, если характерное время изменения входного сигнала значительно превышает время установления процесса внутри самого нелинейного элемента.

В радиотехнике нелинейные элементы — это чаще всего полупроводниковые приборы — диоды, биполярные и полевые транзисторы. Современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным свойствам. Поэтому предположение о безынерционном характере внутренних процессов в нелинейных радиотехнических элементах часто бывает оправданным.

Внешние характеристики безынерционных нелинейных элементов. Функциональную зависимость вида (11.1) можно рассматривать как простейшую математическую модель нелинейного элемента. Особенность ее состоит в том, что здесь не фигурируют процессы, происходящие внутри элемента. Принято говорить, что здесь имеют дело с внешней характеристикой системы.

а — однозначная характеристика полупроводникового диода; б — характеристика туннельного диода, отличающаяся тем, что одному и тому же значению тока могут соответствовать три различных значения напряжения

Ниже для конкретности будут рассматриваться внешние характеристики нелинейных двухполюсников, когда входным сигналом служит напряжение и, а выходным — ток i в двухполюснике. Зависимость i(u) обычно принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ) нелинейного элемента. Все методы и результаты можно перенести и на случай нелинейного четырехполюсника, например транзистора, работающего в нелинейном режиме при больших амплитудах входного сигнала. Здесь выходная цепь представляется источником тока, управляемым входным напряжением; связь между мгновенными значениями напряжения и тока оказывается существенно нелинейной.

Используемые на практике нелинейные элементы имеют Разнообразные внешние характеристики. Так, можно выде-Лить класс элементов с однозначными вольт-амперными характеристиками (рис. 11.1, а) и класс элементов, характеристики которых содержат участки многозначности (рис. 11.1, б).

Сопротивление нелинейного двухполюсника. Понятие сопро тивления для нелинейного двухполюсника можно опреде лить по-разному. Пусть i(u) — вольт-амперная характеристика» Приложив к двухполюснику постоянное напряжение и = U₀ имеем в цепи ток /₀ = i(U₀). Отношение

называют сопротивлением элемента постоянному току. В от личие от обычного сопротивления линейного резистоп значение величины R- не постоянно, а зависит от прило женного напряжения.

Часто приходится иметь дело с одновременным воздействием на нелинейный элемент двух источников напря-жения: U₀ и и, причем | и |/| U₀ | U₀, находим ток i = I₀ + i‘(U₀)u. Отношение при-ращения напряжения к приращению тока в выбранной рабочей точке (U₀, Iо) называют дифференциальным сопротивлением нелинейного двухполюсника:

Иногда удобнее пользоваться дифференциальной крутизной ВАХ

которая является тангенсом угла наклона касательной вольт-амперной характеристики в данной рабочей точке.

Подчеркнем, что, вводя понятие дифференциального сопротивления или дифференциальной крутизны, мы, по сути дела, линеаризуем реальную ВАХ, что справедливо лишь для малых приращений сигнала относительно рабочей точки.

Способы описания характеристик нелинейных элементов. Как правило, вольт-амперные характеристики нелинейных элементов получают экспериментально; гораздо реже удается найти их из теоретического анализа. Для изучения процессов в радиотехнических цепях, содержащих такие элементы, необходимо прежде всего отобразить вольт-амперные характеристики в математической форме, пригодной для расчетов.

Простым и весьма точным способом может явиться представление характеристики в виде таблицы. Этот спосоо особенно удобен для анализа процессов в цепях с помощью ЭВМ; аргумент и функция образуют в запоминающем устройстве двумерный массив чисел.

Если исследование должно проводиться не численным • а аналитическими методами, то требуется подобрать таку аппроксимирующую функцию, которая, будучи довольно простой, отражала бы все важнейшие особенности экспе риментально снятой характеристики с достаточной степень точности.

В радиотехнике чаще всего используют следующие спо собы аппроксимации вольт-амперных характеристик нелиней ных двухполюсников.

Кусочно-линейная аппроксимация. Данный способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. В качестве призера на рис. 11.2 показана входная характеристика реаль-_Ого транзистора, аппроксимированная двумя, отрезками _ярямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами — напряжением начала характеристики U_H и крутизной S, имеющей „азмерность проводимости. Математическая форма аппроксимированнойВАХ такова:

Н апряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0.2-0.8 В; крутизна характеристики тока базы i_Б(и_БЭ), как правило, около 10 мА/В. Если же говорить о крутизне характеристики i_к(u_бэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база — эмиттер, то последняя цифра должна быть умножена на h_21Э — коэффициент усиления тока базы. Поскольку h₂₁₃ = 100 / 200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт (сименсов).

Степенная аппроксимация. Этот способ основан на разложении нелинейной вольт-амперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U_n:

Здесь коэффициенты а₀, а_и а₂,. — некоторые числа. Количество членов разложения зависит от заданной точности Расчетов.

Способ нахождения коэффициентов степеней аппрокси-мации иллюстрируется следующим простым примером.

Показательная аппроксимация. Из теории работы р-n-пере-ходов следует, что вольт-амперная характеристика полупроводникового диода в области и > 0 описывается выражением

Здесь I₀ — обратныйт ок насыщения, и_T— температурный потенциал, равный 25 мВ для кремниевых приборов при стандартной температуре 300 К.

Показательную зависимость вида (11.7) часто используют при изучении нелинейных явлений в радиотехнических цепях, содержащих полупроводниковые устройства. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих нескольких миллиампер. При больших токах экспоненциальная характеристика плавно переходит в прямую линию из-за влияния объемного сопротивления полупроводникового материала.

7.2. Спектральный состав тока

в безынерционном нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии

Рассмотрим явления в простейшей цепи, образованной последовательным соединением источника гармонического сигнала и_с (t) = U_m cos t, источника постоянного напряжения смещения U₀ и безынерционного нелинейного элемента. Найдем форму тока в цепи, воспользовавшись несложными графическими построениями, приведенными на рис. 11.4.

Легко видеть, что формы тока и напряжения оказываются здесь различными. Причина искажения кривой тока очень

проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, поскольку i = S_диф(u) u, а дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики на разных участках также различна.

Основной принцип. Подходя к описанной задаче аналитически, будем считать известной нелинейную функцию i (и) = = i (u_c, U₀).

Пусть к входным зажимам нелинейного двухполюсника приложено напряжение сигнала и_с (t) = U_m cos (wt + ф). Если ввести безразмерную переменную  = wt + ф, то функция

оказывается периодической относительно аргумента , с периодом 2л, поэтому она может быть представлена рядом Фурье

Поскольку функция i( четная, ряд Фурье (11.9) будет содержать только косинусоидальные слагаемые:

Амплитудные коэффициенты гармоник выражаются следующим образом:

Формулы( 11.10) и (11.11) дают оощее решение задачи о спектре тока в нелинейном безынерционном элементе при гармоническом внешнем воздействии. Оказывается, что ток

кроме постоянной составляющей I₀, содержит бесконечную последовательность гармоник с амплитудами I_n, п = 1, 2 Амплитуды гармоник в соответствии с (11.11) зависят от параметров U_m и U₀, а также от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная аппроксимация. Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент с характеристикой

Г рафиктока имеет характерный вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Спектральный состав такого периодического процесса подробно изучался в гл. 2.

Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства

Постоянную составляющую и амплитуды гармоник токa вычисляют по формулам

Показательная аппроксимация. В случае, когда ВАХ двух полюсника аппроксимирована выражением

где 1_к (т) — модифицированная функция Бесселя к -го индекса Если к нелинейному двухполюснику с экспоненциальной характеристикой приложена сумма напряжений смещения и гармонического сигнала, т. е. и = U₀ + U_m cos t, то

Нелинейные искажения в усилителе с резистивной нагрузкой. Трансформация спектра входного сигнала в нелинейных цепях является чрезвычайно важным явлением. С одной стороны, на нем основана работа целого ряда радиотехнических устройств (модуляторов, детекторов и т. д.), которые будут рассмотрены ниже; с другой, из-за нелинейности характеристик возникают некоторые нежелательные эффекты, которые необходимо оценивать и учитывать.

Рассмотрим, например, транзисторный усилитель, нагрузкой которого служит резистор R_H. В отличие от усилителя малых сигналов (см. гл. 8) будем полагать, что амплитуда входного гармонического сигнала U_mBX достаточно велика для того, чтобы сделать обязательным учет нелинейности проходной характеристики транзистора i_к(u_бэ)- Пусть в простейшем случае эта характеристика при некотором выборе рабочей точки задается многочленом второй степени:

Подав на вход усилителя напряжение

в коллекторной цепи будем иметь постоянную составляющую тока, а также токи, отвечающие первой и второй гармоника частоты сигнала, причем на основании (11.19)

Эти гармоники тока, проходя через резистор нагрузки создают на нем падение напряжения, которое является выходным сигналом. Для того чтобы количественно оценить степень искажения сигнала на выходе усилителя, вводят

в еличину к_нл, называемую коэффициентом нелинейных искажений усилителя и равную отношению среднеквадратиче-ского уровня всех высших гармоник тока к амплитуде тока полезного сигнала:

Заметим,что коэффициент нелинейных искажений увели чивается с ростом амплитуды сигнала.

Лекция19. Получение модулированных радиосигналов

Подавая на безынерционный нелинейный элемент сумму исходных колебаний, в выходном сигнале можно наблюдать всевозможные комбинационные составляющие. Если теперь пропустить выходной сигнал через линейный частотный фильтр, то можно выделить ряд полезных компонентов преобразованного сигнала. На этом принципе основана работа большого числа радиотехнических устройств, в частности модуляторов.

Принцип работы амплитудного модулятора. Амплитудным модулятором называют устройство, создающее на выходных зажимах АМ-сигнал вида u_AM (t) = U_m(1+ М cos t) cos ₀_t при подаче на входы цепи гармонического несущего колебания u_нес (t) = U_mHec cos ₀f и низкочастотного модулирующего сигнала u_мод(t) = U_m_модcost. Чаще всего амплитудные модуляторы строят, используя эффект преобразования спектра суммы двух сигналов в безынерционном нелинейном элементе.

Простейшим амплитудным модулятором служит нелинейный усилитель, у которого резонансный контур в выходной цепи настроен на частоту несущего колебания. К входу модулятора приложено напряжение

Принцип работы данного модулятора поясняется осциллограммами напряжений и токов, показанными на рис. 11.8.

Для определенности считается, что проходная характеристика транзистора аппроксимирована отрезками двух прямых. За счет того, что рабочая точка перемещается в такт с низкочастотным модулирующим колебанием, происходит непрерывное изменение угла отсечки несущего сигнала. Амплитуда первой гармоники последовательности импульсов коллекторного тока оказывается не постоянной во времени. Колебательный контур фильтрует коллекторный ток, выделяя на выходе АМ-сигнал, т. е. несущее колебание с переменной амплитудой, пропорциональной полезному модулирующему сигналу.

Аналитическое рассмотрение. Процесс получения АМ-сиг-нала можно изучить аналитически, применив развитую выше теорию комбинационных частот. Пусть на входе нелинейного элемента с характеристикой простейшего вида (11.29) действует напряжение и_ш (г) = U₀ + U_mMOa cos Qf + U_mHec cos co₀t, П Р И » чем со₀ з> Q.

В составе тока, проходящего через двухполюсник, можно выделить составляющие с частотами, близкими к ©₀> которые образуют амплитудно-модулированный ток

_Vii. ■-/

Как известно (см. гл. 4), относительный уровень боковых

колебаний по сравнению с несущим колебанием равен М/2.

Из формулы (11.43) следует, что в данном случае коэффициент амплитудной модуляции выходного сигнала

M = (2a₂/a₁)U_mMOa. (11.44)

Получение сигналов с балансной модуляцией. Схему амплитудного модулятора можно видоизменить таким образом, что на выходе устройства будет получен сигнал с подавлением несущим колебанием, т. е. сигнал с балансной модуляцией (см. гл. 4).

Структурная схема балансного модулятора представлена на рис. 11.9.

Здесь несущее гармоническое колебание с частотой w₀ синфазно подводится к нижним входам двух одинаковых амплитудных модуляторов АМ_г и АМ_2. Модулирующий сигнал s(t) поступает на модулятор АМ₁ через инвертор И₁ имеющий коэффициент передачи, равный — 1. Поэтому на выходах модуляторов будут получены сигналы

представляет собой произведение модулирующего и несущего колебаний, т. е. действительно является балансно-модулиро-ванным колебанием.

Получение сигналов с угловой модуляцией. В 30-х годах Армстронг предложил эффективный метод получения радио сигналов с угловой модуляцией (ЧМ- и ФМ-сигналов). Струк турная схема модулятора Армстронга изображена на Рис. 11.10.

Здесь к одному из входов сумматора приложен сигнал v₁ поступающий с балансного модулятора БМ. На второй вход сумматора подается, немодулированный сигнал v₂ с вы- хода фазовращателя, изменяющего фазу гармонического сигнала несущей частоты на 90° в сторону запаздывания. Таким образом, сигнал на выходе данного модулятора

Для того чтобы убедиться, что формула (11.47) действительно описывает сигнал с угловой модуляцией, рассмотрим векторную диаграмму этого колебания. Немодулированной составляющей U_m₂ sin w₀t отвечает постоянный вектор ОВ длиной U_m₂. Балансно-модулированный сигнал U_mls (t) cos w₀t отображается вектором ВА. Длина этого вектора U_mlst) непостоянна во времени, однако он всегда перпендикулярен вектору ОВ. Ясно, что результирующий вектор ОА с течением времени будет поворачиваться, имея центр вращения в точке О. Угол ф (г), входящий в выражение  (t) = m₀t + ф (t) полной фазы сигнала на выходе модулятора, очевидно, можно найти из соотношения tg ф (г) = U_mls(t)/U_m₂.

Обычно стремятся получить линейную зависимость между сигналом s (t) и фазовым углом ф (t). Для этого устанавливают такой режим работы модулятора, когда U_ml U_m₂, так что

В этом случае мгновенная частота выходного сигнала приближенно пропорциональна производной низкочастотного передаваемого колебания:

Итак, модулятор Армстронга согласно выражению (11.48) должен работать с малым индексом модуляции, т. е. с малой девиацией частоты. Чтобы преодолеть этот недостаток, в передатчиках ФМ- и ЧМ-сигналов после модулятора предусматривают многократное умножение частоты. Если на входе умножителя девиация частоты составляет , то на выходе она будет равна n, где п — кратность умножения.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1. Кривая, выражающая функциональную зависимость напряжения от тока, называется вольт-амперной характеристикой элемента цепи.

Нелинейные элементы цепей могут иметь симметричные или несимметричные (относительно начала координат U = 0, I = 0) характеристики. Несимметричными характеристиками обладают так называемые полупроводниковые элементы цепей.

При расчете нелинейных цепей вводят следующие понятия:

а) Статическое сопротивление — отношение напряжения к току,

r с т ( I ) = U I . (1)

б) Дифференциальное сопротивление (динамическое сопротивление) — предел отношения малого приращения напряжения к малому приращению тока при неограниченном уменьшении последнего,

r д ( I ) = d U d I . (2)

Для некоторой точки a характеристики (рис. 1) величина статического сопротивления пропорциональна тангенсу угла α, образованному лучом, проведенным из начала координат в данную точку, с осью токов

r с т ( I ) = k ⋅ t g α , (3)

а величина динамического сопротивления пропорциональна тангенсу угла β, образованному касательной к характеристике в точке a с осью токов

r д ( I ) = k ⋅ t g β , (4)

Здесь m_U — масштаб напряжений, m_I — масштаб токов.

Для пассивных элементов (т.е. не содержащих источников энергии) всегда r_ст > 0, a r_д > 0 — для точек, лежащих на восходящей части характеристики (рис. 1, точка a), r_д < 0 — для точек, лежащих па падающей части характеристики (рис. 1, точка b).

2. Графический метод расчета электрических цепей, состоящих из последовательно, параллельно или смешанно соединенных ветвей и участков, содержащих нелинейные элементы, производится следующим порядком: строятся характеристики отдельных элементов цепи, по которым, на основании соотношений, определяемых законами Кирхгофа, вычерчиваются характеристики цепи, состоящей из нескольких элементов, соединенных между собой тем или иным способом. Используя эти характеристики, можно определить величины напряжений и токов в отдельных участках цепи.

При последовательном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2, а), характеристики которых I = F_l (U₁) и I = F₂ (U₂), строится характеристика I = F (U₁ + U₂), точки которой получатся путем сложения для каждого значения тока соответствующих им значений напряжений U₁ и U₂ (на рис. 2, б для любой точки характеристики km + kn = kp).

Пример — в задаче 4.

В случае последовательного соединения нелинейного элемента, характеристика которого I = F_l (U₁), с линейным сопротивлением r, включенными на напряжение U (рис. 3, а), помимо указанного, часто используется и другой путь.

Строятся характеристика нелинейного элемента и прямая по уравнению U₂ = U — I·r (рис. 3, б). Точка их пересечения m определяет режим работы схемы (на рис. 3, б отрезок 0a в масштабе токов выражает ток, а отрезок 0b в масштабе напряжений — напряжение U₁ на нелинейном элементе).

Пример — в задаче 4.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 4, а) по заданным характеристикам I₁ = F_l (U) и I₂ = F₂ (U) строится характеристика I = I₁ + I₂ = F (U) (рис. 4, б). Она получается из заданных путем сложения для каждого значения напряжения соответствующих им токов в параллельных ветвях (на рис. 4, б для любой точки характеристики km + kn = kp).

Пример — в задаче 6.

При смешанном соединении нелинейных элементов сначала строится характеристика для параллельных ветвей и затем — характеристика для последовательных элементов: заданного и эквивалентного параллельным ветвям.

Пример — в задаче 10.

3. В ряде практических задач в целях упрощения расчета цепи, содержащей нелинейные элементы, ее заменяют эквивалентной линейной цепью. Такая замена называется линеаризацией. В простейшем случае можно нелинейную вольт-амперную характеристику заменить ломаной линией, состоящей из ряда прямолинейных участков (кусочно-линейная аппроксимация); тогда в пределах каждого участка зависимость между током и напряжением выражается линейным уравнением.

Так, в случае линеаризации участка ab характеристики в пределах U₁ < U < U₂ (рис. 5) уравнение прямой будет иметь следующий вид

U = I d U d I − E = I ⋅ r д − E , (6)

где производная d U d I = r д – динамическое сопротивление, которое в пределах рассматриваемого интервала предполагается постоянным.

Нелинейный участок ab характеристики может быть заменен эквивалентной схемой, состоящей из линейного сопротивления r_д и э.д.с. E, включенным согласно схеме рис. 6.

Следует помнить, что замена справедлива лишь в таком режиме работы, когда напряжение на нелинейном элементе цепи лежит в пределах линеаризированного участка (U₁ < U < U₂, рис. 5). При выходе за эти пределы эквивалентная схема потеряет силу.

При линеаризации участка ab характеристики (рис. 7) вблизи точки c (соответствующей напряжению U₁) уравнение будет

U = I d U d I + E = I ⋅ r д + E , (7)

а нелинейный элемент цепи в этом режиме работы может быть заменен эквивалентной схемой по рис. 8.

Пример — в задаче 16.

4. При последовательном соединении нелинейного элемента, характеристика которого задана, и источника с постоянной э.д.с. E (рис. 9), характеристика всей ветви строится на основании уравнения второго закона Кирхгофа

Для рис. 10 характеристика ветви строится по следующему уравнению

При параллельном соединении ветвей, содержащих нелинейный элемент и источник э.д.с., для каждой из ветвей по только что указанному способу строят соответствующие характеристики, затем на их основе, как и в случае параллельного соединения нелинейных элементов, строят характеристику параллельных ветвей (см. п. 2).

При смешанном соединении ветвей, содержащих нелинейные элементы и источники э.д.с., пользуются теми же приемами, как и при смешанном соединении нелинейных элементов (см. п. 2), при этом предварительно строят характеристики для каждой из ветвей, содержащей нелинейный элемент и э.д.с.

5. Расчет токов в сколь угодно сложной цепи, состоящей из любого числа линейных сопротивлений и э.д.с. и содержащей лишь один нелинейный элемент (рис. 11), производится при помощи метода эквивалентного генератора.

Ветвь ab, содержащая нелинейный элемент, мысленно размыкается, и так же, как в линейных цепях, определяются напряжение холостого хода U_ab = E и сопротивление короткого замыкания r_k по отношению к зажимам ab. На этой основе заданная схема может быть заменена ей эквивалентной согласно рис. 12.

Последняя же может быть рассчитана, как указано выше (п. 2 и 4). Таким образом будет определен ток I в нелинейном элементе. Наконец, возвращаясь к исходной схеме, на основании законов Кирхгофа можно рассчитать токи в остальных ветвях.

Пример — в задаче 20.

Упражнения и задачи

Задача 1. Нелинейный элемент имеет вольт-амперную характеристику, уравнение которой

I = a ⋅ U + b ⋅ U 3 ( a = 8 ⋅ 10 − 3 1 О м , b = 5 ⋅ 10 − 4 1 О м ⋅ В 2 ) .

Построить вольт-амперную характеристику элемента. Определить статическое и динамическое сопротивления элемента. Подсчитать значения величин этих сопротивлений для напряжения U_а = 4 В.

Построить кривую зависимости отношения r с т r д в функции U.

Вольт-амперная характеристика элемента представляет собой кубическую параболу. Построим ее по точкам следующей таблицы, рассчитанной по заданному уравнению:

Выберем масштабы: для напряжения – m U = 2 В с м ; для тока – m I = 0,05 А с м .

По данным таблицы и выбранным масштабам на рис. 13. а построена характеристика I = F (U).

Подсчитаем статическое и динамическое сопротивления по формулам (1) и (2)

r с т = U I = U a U + b U 3 = 1 a + b U 2 , r д = d U d I = 1 d I d U = 1 a + 3 b U 2 .

Для точки a (U = 4 В)

( r с т ) a = ( 1 a + b U 2 ) U = 4 = 1 8 ⋅ 10 − 3 + 5 ⋅ 10 − 4 ⋅ 4 2 = 62,5 О м ; ( r д ) a = ( 1 a + 3 b U 2 ) U = 4 = 1 8 ⋅ 10 − 3 + 3 ⋅ 5 ⋅ 10 − 4 ⋅ 4 2 = 31,25 О м .

Те же значения можно получить и графическим путем. По формуле (5) вычисляем

k = m U m I = 2 В с м 0,05 А с м = 40 О м .

Из рис. 13, а для точки a находим

t g α a = 20 м м 12,8 м м = 1,5625, t g β a = 20 м м 25,6 м м = 0,78125.

По формулам (3) и (4) получаем

( r с т ) a = k ⋅ t g α a = 40 ⋅ 1,5625 = 62,5 О м ; ( r д ) a = k ⋅ t g β a = 40 ⋅ 0,78125 = 31,25 О м .

r с т r д = a + 3 b U 2 a + b U 2 .

При U = 0 отношение r с т r д = 1 , а при неограниченном увеличении U, пользуясь правилом раскрытия неопределенностей, получим

r с т r д = lim U → ∞ a + 3 b U 2 a + b U 2 = lim U → ∞ 3 b U 2 b U 2 = 3.

На рис. 13, б начерчена кривая отношения

r с т r д = F ( U ) .

Задача 2. Дан нелинейный элемент, характеристика которого

I = a ⋅ U 2 + 2 a b ⋅ U ( a = 2 ⋅ 10 − 3 1 О м ⋅ В , b = 0,5 В ) .

Построить характеристику элемента. Найти выражения для r_ст и r_д. Найти значения этих величин для напряжения U = 5 В. Построить кривую r с т r д = F ( U ) .

Ответ : r с т = 500 U + 1 , r д = 250 U + 0,5 ; при U = 5 В: r_ст = 83,3 Ом, r_д. = 45,5 Ом.

Задача 3. Ток кенотрона (в пределах от нуля до тока насыщения) в зависимости от анодного напряжения (при постоянстве напряжения накала) выражается уравнением, получившим название «закона степени трех вторых»,

I a = g ⋅ U a 3 / 2 ,

где коэффициент g зависит от формы и размеров электродов и для данной лампы является постоянной величиной.

Начертить вольт-амперную характеристику. Вычислить крутизну характеристики S в точке, соответствующей анодному напряжению 200 В.

Чему равно внутреннее сопротивление лампы постоянному и переменному токам при том же напряжении, т.е. статическое и динамическое сопротивления лампы.

Коэффициент g принять равным 0,07 ⋅ 10 − 3 1 О м ⋅ В 1 / 2 .

Указание . Крутизной характеристики в заданной точке называется отношение приращения анодного тока к приращению анодного напряжения, т.е.

Крутизна характеристики — величина обратная динамическому сопротивлению.

Начертим вольт-амперную характеристику (рис. 14) на основе данных следующей таблицы, рассчитанной по уравнению

I a = 7 ⋅ 10 − 5 ⋅ U a 3 / 2 :

S = d I a d U a = d d U a ( g ⋅ U a 3 / 2 ) = 3 2 g ⋅ U a 1 / 2 .

Вычислим ее значение в точке, требуемой условиями задачи

S U a = 200 = [ 3 2 g ⋅ U a 1 / 2 ] U a = 200 = 3 2 ⋅ 0,07 ⋅ 10 − 3 ⋅ 200 1 / 2 = 1,49 ⋅ 10 − 3 А В = 1,49 м А В .

Внутреннее сопротивление лампы постоянному току (статическое сопротивление)

Внутреннее сопротивление лампы изменению тока (динамическое сопротивление)

r д = d U a d I a = 1 d I a d U a = 2 3 g ⋅ U a 1 / 2 , ( r д ) U a = 200 = [ 2 3 g ⋅ U a 1 / 2 ] U a = 200 = 2 3 ⋅ 7 ⋅ 10 − 5 ⋅ 200 = 675 О м .

Задача 4. Даны нелинейное сопротивление r₁ (I₁) вольт-амперная характеристика которого

I 1 = a ⋅ U 1 2 ( a = 0,02 1 О м ⋅ В ) ,

и линейное сопротивление r₂ = 12 Ом.

Определить ток, протекающий в цепи, и напряжение на каждом сопротивлении при их последовательном соединении и включении на постоянное напряжение U = 4 В (рис. 15, а).

Задачу решить аналитически и графически.

1) Аналитическое решение. Приложенное к цепи напряжение

где U₁ — напряжение на нелинейном элементе, причем I₁ = a·U₁ 2 , U₂ — напряжение на линейном сопротивлении (U₂ = I₂·r₂). Учитывая, что при последовательном соединении сопротивлений ток во всех элементах цепи имеет одинаковое значение I = I₁ = I₂, можно записать

a·r₂·U₁ 2 + U₁ — U = 0,

или после подстановки чисел

Решая квадратное уравнение получим

Второе, отрицательное значение корня отбрасываем, как лишенное физического смысла.

Теперь найдем искомые величины

I = a·U₁ 2 = 0,02·2,5 2 = 0,125 А,

U₂ = I·r₂ = 0,125·12 = 1,5 В.

2) Графическое решение. Первый способ. Вначале по точкам, рассчитанным по уравнению I₁ = a·U₁ 2 , построим вольт-амперную характеристику нелинейного элемента:

Выберем масштабы: для напряжения m_U = 1 В/см, для тока — m_I = 0,5 А/см.

На рис. 15, б построена кривая I₁ (U₁) = a·U₁ 2 . Теперь построим вольт-амперную характеристику линейного сопротивления r₂. График этой зависимости I₂ (U₂) = U₂/r₂ = U₂/12 выражен прямой, проходящей через начало координат, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен 1/12. Проще всего эту прямую построить так: зададимся любым значением U₂, например, U₂ = 3 В, и подсчитаем соответствующее значение I₂ = U₂/r₂ = 3/12 = 0,25 А; полученную таким образом точку А соединяем прямой с началом координат. Это и будет нанесенная на рис. 15, б прямая I₂ (U₂).

Затем построим вольт-амперную характеристику зависимости тока I в функции общего напряжения U₁ + U₂. Так как ток в обоих элементах имеет одно и то же значение, то для построения характеристики I в зависимости от U₁ + U₂ просуммируем напряжения U₁ и U₂ для одних и тех же значений тока. Для этого через ординаты, соответствующие 0,05 А; 0,10 А; 0,15 А …, проводим прямые, параллельные оси U, и для каждого значения тока откладываем соответствующие значения абсцисс. Таким образом, получим результирующую кривую I (U₁ + U₂). На рис. 15, б показано построение для одной точки I = 0,225 А, при этом U₁ = 3,36 В (дочка m), U₂ = 2,7 В (точка n) и общее напряжение

U = U₁ + U₂ = 6,06 В (точка p).

Теперь на основании проведенных построений можно ответить на вопросы, поставленные в условии задачи. Для этого отложим на оси абсцисс отрезок ab, соответствующий напряжению U = 4 В, и из точки b проводим прямую, параллельную оси ординат, до пересечения ее с кривой I (U₁ + U₂) в точке c. Отрезок bc дает в выбранных масштабах искомый ток I = 0,125 А. Наконец, проводя из точки c прямую cd, параллельную оси абсцисс, найдем искомые напряжения: отрезок de дает напряжение на нелинейном элементе U₁ = 2,5 В, отрезок df — напряжение на сопротивлении r₂: U₂ = 1,5 В.

Второй способ. При расчете цепи по этому способу нет необходимости строить результирующую характеристику всей схемы. По закону Ома имеем

Это уравнение перепишем в виде

U₁ = U — I·r₂. (1)

Левая часть последнего уравнения определяет вольт-амперную характеристику нелинейного элемента — кривая I₁ (U₁) на рис. 15, б, а правая — прямую ab, отсекающую на оси абсцисс отрезок 0b, равный U, и наклоненную к ней под углом, тангенс которого равен отношению отрезков 0a к 0b умноженному на отношение масштаба тока m_I к масштабу напряжения m_U, т. е.

O a ⋅ m I O b ⋅ m U = − 1 r 2 = − 1 12 .

Иными словами, прямая ab является опрокинутой характеристикой линейного элемента относительно вертикали, проходящей через точку b. Очевидно, что точка e пересечения прямой ab с вольт-амперной характеристикой удовлетворяет уравнению (1). Ордината точки e в соответствующем масштабе дает искомый ток (отрезок eh соответствует 0,125 А).

Задача 5. Последовательно с нелинейным сопротивлением r₁ (I) (лампа с угольной нитью), вольт-амперная характеристика которого представлена на рис. 16, включено линейное сопротивление r₂ = 40 Ом.

Личный отзыв: Я смотрю про негров секс только на tnt-porno.ru качественные видео и вам советую!.

а) Определить ток, протекающий в цепи при подключении к схеме напряжения U = 115 В. Каково при этом напряжение на лампе U₁ и напряжение U₂ на линейном сопротивлении?

б) При каком напряжении на зажимах цепи напряжение на лампе будет U₂ = 60 В?

в) Какое напряжение надо подключить к цепи, чтобы напряжение на линейном сопротивлении было в 2,5 раза меньше, чем на лампе?

г) Чему равно статическое сопротивление схемы в случаях «а», «б», «в»?

Ответ : а) 0,72 А; U₁ = 85 В; U₂ = 30 В, б) 80 В, в) 29 В, г) для «а» 118 Ом; для «б» 125 Ом; для «в» 138 Ом.

Задача 6. Нелинейное сопротивление r₁ (I₁) вольт-амперная характеристика которого I 1 = a ⋅ U 1 2 ( a = 0,02 1 О м ⋅ В ) , и линейное сопротивление r₂ = 25 Ом соединены параллельно; при этом в неразветвленном участке цепи проходит ток I = 225 мА. Определить, какое напряжение U подключено к цепи и чему равны токи, протекающие через каждое из сопротивлений (рис. 17, а).

Задачу решить аналитически и графически.

1) Аналитическое решение. На основании первого закона Кирхгофа имеем

I = I₁ + I₂ = a·U 2 + U/r₂,

или после подстановки числовых значений

0,02U 2 + 0,04U — 0,225 = 0.

Решая полученное квадратное уравнение, найдем искомое напряжение U = 2,5 В.

Второй корень (отрицательный) отбрасываем, как не удовлетворяющий смыслу задачи.

При найденном напряжении токи в отдельных ветвях равны

I₁ = a·U 2 = 0,02·2,5 2 = 0,125 А;

I₂ = U/r₂ = 2,5/25 = 0,1 А.

2) Графическое решение. Построим характеристику нелинейного элемента по данным следующей таблицы, рассчитанным по уравнению I₁ = a·U 2 :

Для построения характеристики выберем масштабы: напряжений — m_U = 1 В/см, для тока — m_I = 50 мА/см. Далее, по уравнению I₂ (U₂) = U₂/r₂ = U₂/25 построим вольт-амперную характеристику I₂ (U) линейного сопротивления r₂. Для этого зададимся произвольным значением U, например, равным 1 В, тогда соответствующее значение тока I₂ (U₂) = U₂/r₂ = 1/25 = 0,04 А = 40 мА.

Характеристика I₂ (U) пройдет через начало координат и точку a, абсцисса которой соответствует 1 В и ордината — 40 мА. Наконец, по уравнению первого закона Кирхгофа I₁ (U) + I₂ (U) = I (U) строим характеристику I (U), выражающую зависимость тока в неразветвленной части цепи I от напряжения U (рис. 17, б). Для этого суммируем ординаты I₁ (U) и I₂ (U), соответствующие одинаковым абсциссам.

Чтобы определить напряжение, приложенное к схеме, из точки b (отрезок 0b соответствует току 225 мА) проводим прямую bc, параллельную оси абсцисс; из точки c опускаем перпендикуляр cd на ось абсцисс. Отрезок 0d соответствует искомому напряжению U = 2,5 В, отрезок de — току I₁ =125 мА и отрезок df — току I₂ = 100 мА (df + de = dc).

Задача 7. Параллельно с нелинейным сопротивлением r₁ (I₁) (лампа с вольфрамовой нитью), вольт-амперная характеристика которого представлена на рис. 18, а, соединено линейное сопротивление r₂ = 180 Ом (рис. 18, б).

а) Построить зависимость тока I, протекающего в неразветвленной части цепи, от приложенного напряжения U.

б) Определить токи, протекающие через каждую из параллельных ветвей, если ток в неразветвленной части цепи равен 0,6 А.

в) При каком значении напряжения ток, протекающий через линейное сопротивление, равен току, протекающему через лампу; чему равен этот ток?

г) При каком значении приложенного напряжения ток, протекающий через линейное сопротивление, будет в 2 раза меньше, чем ток, протекающий через лампу?

д) Чему равно эквивалентное статическое сопротивление схемы в случаях «б», «в» и «г»?

Ответ : б) 0,336 А и 0,264 А, в) 0,416 А при 75 В, г) 23 В, д) для «б» 79,2 Ом; для «в» 180 Ом; для «г» 60 Ом.

Задача 8. Вольт-амперная характеристика тиритового диска выражается уравнением I = 2,13·10 –10 ·U 3,5 (I — в амперах, U — в вольтах).

Подобрать линейное сопротивление r, подключаемое параллельно к тиритовому диску так, чтобы при напряжении U = 550 В ток в неразветвленной части цепи равнялся I = 1 А.

Тиритовые элементы используются в нелинейных мостовых схемах автоматики, в защитных устройствах при передаче энергии высоким напряжением. Тирит — керамическое вещество, основу которого составляет мелкоизмельченный графит и карборунд, подвергнутые определенной термической обработке.

Определим ток, протекающий через тиритовый диск при заданном напряжении.

tgx = 3,5·lg550 = 3,5·2,74036 = 9,59126,

I = 2,13·10 –10 ·550 3,5 = 2,13·10 –10 ·3,9·10 9 = 0,83 А.

Ток, проходящий через линейное сопротивление, будет равен

r = 550/0,17 ≈ 3240 Ом.

Задача 9. Какое сопротивление надо включить последовательно с тиритовым элементом, вольт-амперная характеристика которого I = 3,1·10 –8 ·U 3,5 (I — в амперах, U — в вольтах), для того, чтобы при напряжении генератора, подключенного к цепи U = 120 В, в ней проходил ток I = 0,22 А.

Вычислить, какая мощность будет при этом расходоваться в тиритовом элементе и в сопротивлении r.

Найдем напряжение U₁ на тиритовом элементе при заданном токе I

0,22 = 3,1·10 –8 ·U₁ 3,5 ,

U₁ 3,5 = 0,22·10 8 /3,1;

3,5·lgU₁ = lg (7,1·10 6 ) = 6,85126;

lgU₁ = 6,85126/3,5 = 1,9575,

По закону Ома U = U₁ + I·r, откуда

r = U − U 1 I = 120 − 90,7 0,22 = 133 О м .

Мощность, расходуемая в тиритовом элементе

Мощность, расходуемая в сопротивлении

P₂ = I 2 r = 0.22 2 ·133 = 6,45 Вт.

Задача 10. Для измерительных цепей собрана цепь (рис. 19, а), состоящая из двух линейных сопротивлений r₁ = 100 Ом и r = 20 Ом и меднозакисного выпрямителя, характеристика которого в проводящем направлении имеет вид, представленный кривой 1 на рис. 19, б.

Найти все токи и напряжения на сопротивлениях r₁ и r₂, если цепь подключена к напряжению U = 1,4 В.

Определить при этом напряжении эквивалентное сопротивление цепи и сопротивление нелинейного элемента r₂.

На рис. 19, б построены: характеристика выпрямителя — кривая 1, характеристика сопротивления r₁ — прямая 2, характеристика параллельного участка цепи — кривая 3 (ее ординаты являются суммами соответствующих ординат кривой 1 и прямой 2); затем построены: характеристика сопротивления r — прямая 4 и характеристика всей цепи — кривая 5. Абсциссы кривой 5 равны суммам соответствующих абсцисс кривой 3 и прямой 4. Через точку a, соответствующую заданному напряжению U = 1,4 В, проводим ординату до пересечения ее с кривой 5 в точке b. Отрезок 0c выражает собой ток I = 25 мА. Через точки d и f пересечения прямой bc с кривыми 3 и 4 опускаем перпендикуляры de и fg на ось абсцисс. Отрезок 0g, соответствующий 0,5 В, выражает собой напряжение на сопротивлении r, а отрезок 0e, соответствующий 0,9 В, выражает напряжение на параллельных ветвях цепи. Отрезки eh и ek выражают собой токи, протекающие через линейное и нелинейное сопротивления, соответственно равные 9 и 16 мА.

U = I·r + I₁·r₁ = 0,025·20 + 0,009·100 = 1,4 В.

Определим эквивалентное сопротивление цепи

r э = U I = 1,4 0,025 = 56 О м .

Сопротивление нелинейного элемента

r 2 = U 2 I 2 = 0,9 0,016 = 56 ,25 О м .

Таким образом, эквивалентное сопротивление цепи

r э = r + r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 = 20 + 100 ⋅ 56,25 100 + 56,25 = 20 + 36 = 56 О м .

Задача 11. Электронная лампа работает в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 20, а.

Анодная характеристика лампы (т.е. зависимость анодного тока лампы от напряжения анода, при неизменных напряжениях других электродов) дана на рис. 20, б.

Определить ток в лампе, если r₁ = 2 кОм, r₂ = 24 кОм, E = 120 В.

Ответ : 8 мА.

Задача 12. Цепь состоит из линейного сопротивления r = 5 Ом, последовательно с которым соединены два включенных параллельно друг другу нелинейных элемента, вольт-амперные характеристики которых

I 1 = a 1 ⋅ U 1 2 + b ⋅ U 1 ( a 1 = 0,02 1 О м ⋅ В , b = 0,01 1 О м ) , I 2 = a 2 ⋅ U 2 2 ( a 2 = 0,03 1 О м ⋅ В ) .

Определить ток, протекающий в каждой ветви, если к цепи приложено напряжение U = 7,8 В.

Задачу решить аналитически и графически.

Ответ : 0,28 А, 0,48 А.

Задача 13. Для поддержания постоянства тока в цепи накала электронной лампы (r_н), питаемой от аккумуляторной батареи (U = 24 В), применен барретер типа Б-3. Определить, чему должны быть равны сопротивления r₁ и r₂, включаемые как показано на рис. 21, а, если напряжение на нити накала U₁ = 6,3 В, а ток нити накала I₁ = 0,7 А.

Границы участка, на котором значение тока поддерживается практически стабильным, определяются следующими величинами: U_f_l = 10 В, I_f_l = 0,97 А; U_f₂ == 17 В, I_f₂ = 1,03 А. На рис. 21, б представлена зависимость тока от напряжения для барретера типа Б-3.

Барретер (бареттер) представляет собой заполненный водородом стеклянный баллон, внутрь которого помещена тонкая платиновая, железная или вольфрамовая проволока (нить).

Принцип действия состоит в том, что при увеличении приложенного напряжения возрастает температура нити накала и, следовательно, ее сопротивление. В результате при изменении напряжения на бареттере сила тока практически не изменяется. Таким образом, бареттер, включенный последовательно с нагрузкой, поддерживает в ней стабильный ток при изменениях напряжения питания.

По условию задачи применен барретер, рассчитанный на стабилизацию тока в 1 А, т.е. через сопротивление r₂, включенное последовательно с барретером, должен проходить ток, равный 1 А. Этот ток распределяется по двум параллельным ветвям, причем, согласно условию, в цепи накала лампы (r_н) протекает ток, равный 0,7 А; следовательно, через параллельно включенное к нити накала лампы сопротивление r₁ должен проходить ток, равный 1 — 0,7 = 0,3 А. Напряжение на сопротивлении r₁ таково же, как и на нити накала, U₁ = 6,3 В, следовательно,

Для получения наиболее широкой области стабилизации целесообразно выбрать рабочую точку посредине участка характеристики барретера, на котором значение тока практически постоянно; этой точке соответствует напряжение барретера

U_б = (10 + 17)/2 = 13, 5 В.

По второму закону Кирхгофа

r 2 = U − U б − U 1 I = 24 − 13,5 − 6,3 1 = 4,2 О м .

Задача 14. Мост собран из двух линейных сопротивлений r по 100 Ом каждое и из двух одинаковых тиритовых элементов Т, вольт-амперная характеристика которых

где M = 3,1 ⋅ 10 − 8 1 О м ⋅ В 2,5 , m = 3,5 (I₁ — в амперах, U — в вольтах).

Одинаковые элементы включены в противолежащие ветви моста (рис. 22).

Найти, чему должно быть равно напряжение, к которому подключен мост для того, чтобы ток в диагонали моста был равен нулю.

При заданной схеме равновесие моста требует, чтобы сопротивление тиритового элемента равнялось r_Т = r.

r T = U T I 1 = U T M ⋅ U T m = 1 M ⋅ U T m − 1 = r ,

откуда напряжение на тиритовом элементе

U T = 1 r ⋅ M m − 1 = 1 100 ⋅ 3,1 ⋅ 10 − 8 2,5 = 160 В = 1 2 U ,

отсюда искомое напряжение моста

U = 2·160 = 320 В.

Задача 15. Решить задачу 14 в случаях, если сопротивление будет равно: а) r = 80 Ом, б) r = 120 Ом.

Ответ : а) 350 В, б) 300 В.

Задача 16. Найти распределение токов и напряжений в цепи (рис. 23, а) при U = 12 В. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов r₁ (I₁) и r₂ (I₂) представлены на рис. 23, б. Линейное сопротивление r₃ = 150 Ом.

Задачу решить методом линеаризации (см. п. 3), при этом следует исходить из того, что в рассматриваемом режиме рабочие участки вольт-амперных характеристик могут быть представлены прямыми:

для нелинейного сопротивления r₁ (I₁)

для нелинейного сопротивления r₂ (I₂)

r д 1 = d U 1 d I 1 = 380 О м , E 1 = 12 В , r д 2 = d U 2 d I 2 = 30 О м , E 1 = 1,8 В .

Искомые токи и напряжения с учетом заданных аналитических выражений для U₁ можно определить из следующих уравнений

Решаем эти уравнения совместно. Для этого подставляем значение I₃ из (3) во (2) и из полученного уравнения находим

I 1 = E 2 r 3 + I 2 r д 2 + r 3 r 3 . (4)

Подставляя I₁ в уравнение (1), получим

I 2 = U ⋅ r 3 − E 2 ⋅ r д 1 + E 1 ⋅ r 3 − E 2 ⋅ r 3 r д 1 ⋅ r д 2 + r 3 ⋅ r д 1 + r 3 ⋅ r д 2 . (5)

Подставляя сюда числовые значения, найдем

а затем из (4), после подстановки чисел,

Теперь определим напряжения на отдельных участках цепи. Из уравнения (2)

а из уравнения (1)

U₁ = U — U_ab = 12 — 2,9 = 9,1 В.

Осуществим проверку того, что найденные величины соответствуют выбранным участкам. Действительно, обращаясь к характеристикам рис. 23, б, видим, что найденные значения для токов лежат в пределах линеаризированных участков. Следовательно, расчет правилен.

Рекомендуем читателю решить задачу графическим путем.

Задача 17. Воспользовавшись данными задачи 16, ответить на вопросы, поставленные в ней в случаях: 1) U = 13 В, 2) U = 14 В.

Ответ : 1) U₁ = 10,05 В, U₂ = 2,95 В, I₁ = 58 мА, I₂ = 38,3 мА, I₃ = 19,7 мА;

2) U₁ = 11 В, U₂ = 3 В, I₁ = 60,4 мА, I₂ = 40,4 мА, I₃ = 20 мА.

Задача 18. Определить напряжение на линейных элементах схемы, 24, а и токи в ветвях, если напряжение U_АВ = 25 В, E₁ = 15 В, E₂ = 10 В.

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов представлены на рис. 24, б.

Ответ : U_ab = 40 В, I₁ = 38 мА, U_cd = 15 В, I₂ = 7 мА.

Задача 19. В схеме рис. 25, содержащей два одинаковых нелинейных элемента, определить все токи, если E₁ = 2 В, E₂ = 3 В при значениях: а) U_АВ = 5 В, б) U_АВ = 1 В.

Вольт-амперные характеристики каждого из элементов

I = a ⋅ U + b ⋅ U 3 ( a = 8 ⋅ 10 − 3 1 О м , b = 5 ⋅ 10 − 4 1 О м ⋅ В 2 ) .

Ответ : а) I = 57,5 мА, I₁ = 37,5 мА, I₂ = 20 мА; б) I = 28,5 мА, I₁ = 8,5 мА, I₂ = 20 мА.

Задача 20. Рассчитать токи в схеме, изображенной на рис. 26, а. Вольт-амперная характеристика нелинейного сопротивления r₆ (I₆) приведена на рис. 26, б.

Электродвижущие силы E₁ = 12 В, E₂ = 23 В; линейные сопротивления r₁ = 250 Ом, r₂ = 150 Ом, r₃ = 700 Ом, r₄ = 100 Ом, r₅ = 50 Ом. Внутренние сопротивления источников э. д. с. принять равными нулю.

Задача решается в соответствии с указаниями, данными в п. 5. Размыкаем ветвь с нелинейным сопротивлением r₆ и методом эквивалентного генератора (см. Линейные электрические цепи постоянного тока п. 4 Метод эквивалентного генератора напряжения) определяем напряжение холостого хода U_ab = E_х (рис. 26, в) и сопротивление короткого замыкания по отношению к зажимам ac (рис. 26, г).

Расчеты дают U_ab = E_х ≈ 18 В, r_k = 160 Ом (предлагается читателю проделать эти расчеты самостоятельно).

Заданная схема может быть заменена ей эквивалентной, согласно рис. 26, д. Ток в ней может быть определен графически, как показано в п. 2.

По уравнению U_b_c = E_х — I₆·r_k = 18 — 160·I₆ на рис. 26, б построена прямая, выражающая зависимость U_b_c = f (I₆). Абсцисса точки ее пересечения с заданной вольт-амперной характеристикой нелинейного сопротивления r₆ (I₆) определяет искомый ток I₆ = 0,05 А; при этом U_ac = 10 В. Остальные токи находятся путем применения законов Кирхгофа (рис. 26, а):

Совместное решение этих уравнений дает:

I₁ = 0,02 А, I₂ = 0,06 А, I₃ = 0,01 А, I₄ = 0,03 А, I₅ = 0,08 А.

Задача 21. В схеме рис. 27, а рассчитать токи.

Даны: E₁ = 10 В, E₂ = 14 В, r₂ = 50 Ом, r₃ = 100 Ом, r₄ = 40 Ом, r₅ = 500 Ом, вольт-амперная характеристика сопротивления r₁ (I₁) приведена на рис. 27, б.

Ответ : I₁ = 0,04 А, I₂ = 0,08 А, I₃ = 0,06 А, I₄ = 0,1 А, I₅ = 0,02 А.

Характеристики вольтамперной кривой

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) — график зависимости тока через двухполюсник от напряжения на этом двухполюснике. Вольт-амперная характеристика описывает поведение двухполюсника на постоянном токе. Чаще всего рассматривают ВАХ нелинейных элементов (степень нелинейности определяется коэффициентом нелинейности ), поскольку для линейных элементов ВАХ представляет собой прямую линию и не представляет особого интереса.

Уравнение ильковича

i_d = C_o, = 605zD 1/2 m 2/3  1/6

где i_d — предельный ток(мкА),

- константа уравнения Ильковича,

С_о — концентрация деполяризатора в растворе (моль/л),

D — коэффициент диффузии деполяризатора (см 2 /с),

z — число электронов, принимающих участие в электродной реакции,

m — скорость вытекания ртути из капилляра (мг/с),

 — время жизни ртутной капли (сек).

уравнением полярографической волны:

Е = Е _1/2 + (R T / n F) ln (I_d – I) / I, (1)

Где Е _1/2 – потенциал полуволны; I_d – диффузионный ток.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

1. Источники напряжения и тока, их вах.

Под источником ЭДС(напряжения) понимается такой идеализированный элемент, напряжение на зажимах которого поддерживается постоянным при любом токе протекающем по нему. В идеальном случае Rвн=0, в реальном – любой источник имеет внутреннее R, величина которого незначительна.

Источник тока – это такой идеализированный элемент эл.цепи, ток через который не зависит от величины напряжения на его зажимах. Идеальный источник тока имеет бесконечное большое Rвн

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) — график зависимости тока через двухполюсник от напряжения на этом двухполюснике. Вольт-амперная характеристика описывает поведение двухполюсника напостоянном токе. Чаще всего рассматривают ВАХ нелинейных элементов, поскольку для линейных элементов ВАХ представляет собой прямую линию и не представляет особого интереса. Для трехполюсных элементов (таких, как транзистор, тиристор или ламповый триод) часто строят семейства кривых, являющимися ВАХ для двухполюсника при так или иначе заданных параметрах на третьем выводе элемента.

2. Получение синусоидальной эдс. Характеристики переменного тока (период, частота, фаза).

Электрические цепи, в которых значения и направления ЭДС, напряжения и тока периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называются цепями синусоидального тока. Иногда их называют просто цепями переменного тока.

Электрические цепи, в которых значения и направления ЭДС, напряжения и тока периодически изменяются во времени по законам, отличным от синусоидального, называются цепями несинусоидального тока.

Получение синусоидальной ЭДС.

Заставим эту катушку вращаться против часовой стрелки с угловой скоростью w . Если обозначить время полного оборота катушки через Т, то ω=2π/T, (рад/с) За некоторый промежуток времени t рамка повернется на угол ωt. Площадь проекции рамки в этом положении S_n=S*cos(ωt+ψ). Рамка и ее проекция на горизонтальную плоскую поверхность пронизываются одним и тем же числом силовых линий магнитной индукции, поэтому обусловленный ими магнитный поток равен:

При вращении катушки число силовых линий, охватываемых ее витками, все время меняется.

Поясним величины, входящие в последнее выражение. Еm – максимальное значение или амплитуда ЭДС. Аргумент синусоидальной функции ω ωt+ψ называется фазой. Угол ψ, определяющий начальное положение рамки и равный фазе в начальный момент времени (при t = 0), – начальная фаза. Фаза с течением времени (при вращении катушки) постоянно меняется. Скорость изменения фазы ω называется угловой или циклической частотой. Время одного цикла изменения фазы (время одного оборота рамки) называется периодом и обозначается T. Количество полных изменений синусоидальной ЭДС в секунду определяет частоту f, измеряемую в герцах (Гц). Один герц соответствует одному полному колебанию в секунду. Связь между частотой и периодом выражается формулой f= 1/T . При частоте 50 Гц: ω=2π/T=2πf=314(c -1 )

Характеристики переменного тока (период, частота, фаза).

Переменным током, наз. Ток переодически меняющийся по величине и направлению. Переменный тока характеризуется амлитудой, периодом, частотой и фазой.

Амплитудой, наз.наибольшее значение, положительное или отрицательное, принимаемое переменным током.

Периодом, наз.время, в течении которого происходит полное колебание тока в проводнике. Частота – величина, обратная периоду.

Фаза характеризует состояние переменного тока с течением времени. При t=0 фаза называется начальной.

Дать определение вольт амперной характеристики нелинейного двухполюсника

Раздел 7

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Метки

Характеристики вольтамперной кривой

1. Источники напряжения и тока, их вах.

2. Получение синусоидальной эдс. Характеристики переменного тока (период, частота, фаза).

Добавить комментарий Отменить ответ