Начальный и упругопластический модули деформации бетона

13. Модули деформации бетона

Начальный модуль упругости бетона при сжатии соответствует лишь упругим деформациям, возникающим при мгновенном загружении. Геометрически он определяется как тангенс угла наклона прямой упругих деформаций:, где– масштабно размерный коэффициент, МПа. Модуль полных деформаций соответствует полным деформациям (включая ползучесть) и является величиной переменной; геометрически он определяется как тангенс угла наклона касательной к кривойв точке с заданным напряжением:. Для расчета ж/б конструкций пользуются средним модулем или модулем упругопластичности бетона, представляющим собой тангенс угла наклона секущей в точке на кривойс заданным напряжением:. Поскольку уголменяется в зависимости от напряжений и времени, модуль упругопластисности является также переменной величиной, меньшей, чем начальный модуль упругости. Зависимость между начальным модулем упругости бетона и модулем упругопластичности можно установить, если выразить одно и то же напряжение в бетонечерез упругие деформациии полные деформации:. Отсюда, где– коэффициент упругопластических деформаций бетона. Коэффициентизменяется от 1 (при упругой работе) до 0,15. При изгибе ж/б элементов для бетона сжатой зоныможет быть на 15…20% больше, чем при осевом сжатии. При растяжении элементов модуль упруго-пластичности бетона:, где– коэффициент упругопластических деформаций бетона при растяжении. Предельная растяжимость бетона в зависимости от временного сопротивления растяжению:. Существуют различные эмпирические формулы, в которых устанавливается зависимость между начальным модулем упругости и классом бетона. Модуль сдвига бетона:.

15.Сцепление арматуры с бетоном. Защитный слой бетона.

В ж/б конструкциях скольжение арматуры в бетоне под нагрузкой не происходит благодаря сцеплению материалов. Прочность сцепления арматуры с бетоном оценивают сопротивлением выдергиванию или выдавливанию арматурных стержней, заанкерованных в бетоне. Прочность сцепления зависит от следующих факторов: зацепления в бетоне выступов на поверхности арматуры периодического профиля, сил трения, развивающихся при контакте арматуры с бетоном под влиянием его усадки; склеивания арматуры с бетоном, возникающего благодаря клеящей способности цементного геля. Прочность сцепления возрастает при повышении класса бетона, уменьшением водоцементного отношения, а также с увеличением возраста бетона. Для лучшего сцепления арматуры с бетоном при конструировании ж/б элементов диаметр растянутых стержней следует ограничить. Среднее напряжение сцепления определяют по формуле: τ_с=N/(l_an*u),где N-усилие в стержне, (l_an*u)-площадь заделки, l_an -длина анкеровки стержня, u -периметр сечения стержня.

Защитный слой бетона. Под защитным слоем бетона понимают слой бетона между наружной поверхностью конструкции и наружной поверхностью арматуры.

Защитный слой бетона для рабочей арматуры должен обеспечивать совместную работу арматуры с бетоном на всех стадиях работы конструкции, а также защиту арматуры от внешних атмосферных, температурных и подобных воздействий.

Защитный слой нормируется СНиПом “Б и ЖБК”. Он устанавливается в зависимости от видов и размеров конструкции ,в зависимости от условий эксплуатации, в зависимости от диаметра и назначения арматуры.

Толщина защитного слоя должна составлять, как правило, не менее диаметра стержня и не менее значений, указанных в табл. СНиПа “Б и ЖБК”.

7. Модуль деформации бетона и мера ползучести

Для расчёта железобетонных конструкций используют модуль упругопластичности (секущий модуль) бетона при сжатии – это величина, соответствующая тангенсу угла наклона секущей, проходящей через начало координат и точку на диаграмме полных деформаций (рис.2.11).

Рис. 2.11. Схема для определения модулей деформаций в бетоне

Если выразить одно и то же напряжение через упругие деформации и полные деформации , то получим

Коэффициент пластичности бетона равен

Коэффициент упругопластической деформации бетона равен

Используя (2.11) и (2.12) получим зависимость между секущим и начальным модулями (2.14)

Коэффициент упругопластической деформации можно выразить через коэффициент пластичности:

Для идеально упругого материала пластические деформации малы, т.е. .

Для идеально пластического материала упругие деформации малы, т.е. .

Зависимость между напряжениями и деформациями ползучести выражаются мерой ползучести . Используя формулы (2.11), (2.12), (2.14), получим:

Мера ползучести зависит от класса бетона и его начального модуля деформаций. Мера ползучести – это удельная деформация ползучести.

8. Реологические свойства бетона

Усадка – это уменьшение бетона в объеме при твердении в обычной (воздушной) среде (рис.2.12).

Рис. 2.12. Усадка бетона

1 – фрагмент бетонной балки; 2, 3 – продольные и поперечные усадочные трещины; 4 – наружний (высохший) слой; 5 – внутренний слой;

6 – растягивающие напряжения

Образование усадочных трещин обуславливается интенсивным уменьшением объема наружных слоев элемента, в то время как внутренний слой не успевает сократиться в объеме. Это вызывает в еще неокрепшем наружном слое собственные растягивающие напряжения, вследствие чего на поверхности бетона могут появиться многочисленные усадочные трещины.

Отрицательное влияние усадочных напряжений учитывают косвенно конструктивной арматурой и устройством усадочных швов.

Размеры усадки бетона и изменение ее во времени зависят от многих факторов:

с увеличением цемента на единицу объема возрастает усадка;
с увеличением водоцементного отношения (В/Ц) усадка увеличивается;
чем выше влажность при твердении бетона, тем больше усадка и т.д.

Набольшее влияние усадка оказывает в начальный период твердения, т.к. с течением времени уменьшается влажностный градиент по мере высыхания бетона, и растут кристаллические сростки, оказывающие сопротивление усадочным напряжениям.

Набухание – это увеличение бетона в объеме при твердении его в воде.

Процесс набухания бетона намного быстрее усадки. При набухании проникновение воды начинается с поверхности бетона, поэтому объем наружных слоев увеличивается, в то время как объем внутренних слоев увеличиться не успевает. Это вызывает в наружном слое бетона неопасные сжимающие напряжения, которые не учитываются при расчете железобетонных конструкций.

Ползучесть – это свойство бетона, характеризующее нарастание неупругих деформаций с течением времени при постоянных напряжениях.

Деформации ползучести бетона обусловлены его структурными несовершенствами. Абсолютная величина деформаций ползучести зависит от возраста, прочности бетона и его составляющих компонентов, влажности среды.

Ползучесть уменьшается по мере старения бетона, увеличения его прочности, уменьшения водоцементного отношения (В/Ц), увеличения влажности окружающей среды. Скорость деформаций ползучести бетона со временем затухает, асимптотически приближаясь к нулевому значению.

Если бетонному образцу задать некоторую деформацию обусловливающую соответствующее напряжение , а затем устранить возможность дальнейшего деформирования наложением связей, то с течением времени напряжения в бетоне будут уменьшаться, стремясь асимптотически к некоторой конечной величине.

Опыты с бетонными призмами показывают, что независимо от того, с какой скоростью загружения было получено напряжение , конечные деформации ползучести, соответствующие этому напряжению, будут одинаковыми (рис.2.13).

Рис. 2.13. Деформации ползучести бетона в зависимости от скорости

Предельные деформации бетона перед разрушением

Предельные деформации бетона перед
разрушением
Предельная сжимаемость bu и предельная растяжимость bt,u зависят от
прочности бетона, его класса, длительности приложения нагрузки.
С увеличением класса бетона предельные
деформации
уменьшаются,
а
с
ростом
длительности
приложения
нагрузки
–
увеличиваются.
116
2

3.

Предельные деформации бетона перед
разрушением
PRESTRESSED CONCRETE STRUCTURES.
Michael P. Collins, Denis Mitchell
PRESTRESSED CONCRETE.
ANALYSIS AND DESIGN.
Fundamentals. Antoine E. Naaman
Strain rate
16 microstrain/s
116
3

4.

Предельные деформации бетона перед
разрушением
35
b
;
;
.
Н а п р я ж е н и я, МПа
30
25
k n n2
Rb
1 (k 2) n
E
b b2 ; k b b0 ; n b
Rb
b0
20
B15
B20
B25
2
b0 k k
b 2 1 1 2
2 2 2
15
B30
B35
B40
B45
B50
10
B55
B60
5
b2
b0
b2
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
О т н о с и т е л ь н ы е д е ф о р м а ц и и * 1000
116
4

5. Диаграммы бетона класса В30

25
Предлагаемая
σ, МПа
σ, МПа
СНиП 52-01-2003 АР (СП 63.13330.2012)
20
25
20
15
15
10
10
5
5
ε,‰
0
0,0
2,0
4,0
6,0
ε,‰
0
0,0
2,0
Расчетная
Расчетная
Нормативная
Нормативная ( + )
4,0
6,0
Нормативная (—)

6.

Предельные деформации бетона перед
разрушением
При
центральном
сжатии
бетонных
призм
bu=(0,8…3,0) 10-3, в среднем ее принимают bu=2,0 10-3.
116
6

7.

8.

Предельные деформации бетона перед
разрушением
При центральном сжатии бетонных призм bu=(0,8…3,0) 10-3, в среднем ее принимают
bu=2,0 10-3.
В сжатой зоне изгибаемых элементов наблюдается большая, чем у сжатых призм,
предельная сжимаемость, зависящая от формы поперечного сечения bu=(2,7…4,5) 10-3:
СНиП 2.03.01 84 * bu
buсж
1
СНиП 52 01 2003 АР
bu
700
3,5 10 3
Es
1,1
Предельная растяжимость бетона в 10…20 раз меньше,
чем предельная сжимаемость bt,u=1,5 10-4.
116
8

9.

Предельные деформации бетона перед
разрушением
При центральном сжатии бетонных призм bu=(0,8…3,0) 10-3, в среднем ее принимают
bu=2,0 10-3.
В сжатой зоне изгибаемых элементов наблюдается большая, чем у сжатых призм,
предельная сжимаемость, зависящая от формы поперечного сечения bu=(2,7…4,5) 10-3:
СНиП 2.03.01 84 * bu
buсж
1
СНиП 52 01 2003 АР
bu
700
3,5 10 3
Es
1,1
Предельная растяжимость бетона в 10…20 раз меньше, чем предельная сжимаемость
bt,u=1,5 10-4.
У бетонов на пористых заполнителях предельная
сжимаемость и растяжимость в 2 раза выше, чем у
тяжелых бетонов.
116
9

10.

Предельные деформации бетона перед
разрушением
При центральном сжатии бетонных призм bu=(0,8…3,0) 10-3, в среднем ее принимают
bu=2,0 10-3.
В сжатой зоне изгибаемых элементов наблюдается большая, чем у сжатых призм,
предельная сжимаемость, зависящая от формы поперечного сечения bu=(2,7…4,5) 10-3:
СНиП 2.03.01 84 * bu
buсж
1
СНиП 52 01 2003 АР
bu
700
3,5 10 3
Es
1,1
Предельная растяжимость бетона в 10…20 раз меньше, чем предельная сжимаемость
bt,u=1,5 10-4.
У бетонов на пористых заполнителях предельная сжимаемость и растяжимость в 2
раза выше, чем у тяжелых бетонов.
Коэффициент поперечных деформаций:
, 0,2 b , t 0,2 bt
b
116
10

11.

Модуль деформации бетона
Начальный модуль упругости бетона при сжатии Eb
соответствует лишь упругим деформациям при
мгновенном нагружении.
116
11

12.

13.

14.

15.

Модуль деформации бетона
Начальный модуль упругости бетона при сжатии Eb соответствует лишь упругим
деформациям при мгновенном нагружении.
Схема для определения модуля деформации
бетона
1 – упругие деформации;
2 – секущая; 3 –
касательная; 4 – полные деформации
Eb tg 0 , где : масштабный фактор
Геометрическая интерпретация:
Модуль полных деформаций бетона при сжатии Eb соответствует полным
деформациям (включая ползучесть) является переменной величиной; геометрически
он определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой b — b в точке с
d b
заданным напряжением:
E/
tg
b
d b
Для расчета используют модуль упругопластичности
бетона (тангенс угла наклона секущей в точке на
кривой b — b с заданным напряжением): E / tg 1 ,
b
116
15

16.

Модуль деформации бетона
Начальный модуль упругости бетона при сжатии Eb соответствует лишь упругим
деформациям при мгновенном нагружении.
Схема для определения модуля деформации
бетона
1 – упругие деформации;
2 – секущая; 3 –
касательная; 4 – полные деформации
E tg , где : масштабный фактор
0
Геометрическая интерпретация: b
Модуль полных деформаций бетона при сжатии Eb соответствует полным
деформациям (включая ползучесть) является переменной величиной; геометрически
он определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой b — b в точке с
d b
заданным напряжением:
Eb/
tg
d b
Для расчета используют модуль упругопластичности бетона (тангенс угла наклона секущей в
точке на кривой b — b с заданным напряжением):
E / tg 1 ,
b
Так как угол 1 меняется в зависимости от напряжений
и времени, модуль упругопластичности также является
переменной величиной, меньше, чем начальный
модуль упругости.
116
16

17.

18.

Модуль деформации бетона
Геометрическая интерпретация: Eb tg 0 , где : масштабный фактор
Модуль полных деформаций бетона при сжатии Eb соответствует полным
деформациям (включая ползучесть) является переменной величиной; геометрически
он определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой b — b в точке с
d
заданным напряжением: Eb/ b tg
d b
Для расчета используют модуль упругопластичности бетона (тангенс угла наклона секущей в
точке на кривой b — b с заданным напряжением): E / tg 1 ,
b
Так как угол 1 меняется в зависимости от напряжений и времени, модуль
упругопластичности также является переменной величиной, меньше, чем начальный
модуль упругости.
b e Eb b Eb/ , откуда Eb/ b Eb ,
e
где : b коэффициен т упругопластических деформаций.
b
Коэффициент b меняется от 1 (при упругой работе) до
0,15.
116
18

19.

Модуль деформации бетона
Геометрическая интерпретация: Eb tg 0 , где : масштабный фактор
Модуль полных деформаций бетона при сжатии Eb соответствует полным
деформациям (включая ползучесть) является переменной величиной; геометрически
он определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой b — b в точке с
d
заданным напряжением: Eb/ b tg
d b
Для расчета используют модуль упругопластичности бетона (тангенс угла наклона секущей в
точке на кривой b — b с заданным напряжением): E / tg 1 ,
b
Так как угол 1 меняется в зависимости от напряжений и времени, модуль
упругопластичности также является переменной величиной, меньше, чем начальный
модуль упругости.
/
/
b e Eb b Eb , откуда Eb b Eb ,
где : b e коэффициен т упругопластических деформаций.
b
Коэффициент b меняется от 1 (при упругой работе) до 0,15.
С увеличением уровня напряжений в бетоне и
длительности действия нагрузки, коэффициент b
уменьшается.
116
19

20.

Модуль деформации бетона
Геометрическая интерпретация: Eb tg 0 , где : масштабный фактор
Модуль полных деформаций бетона при сжатии Eb соответствует полным
деформациям (включая ползучесть) является переменной величиной; геометрически
он определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой b — b в точке с
d
заданным напряжением: Eb/ b tg
d b
Для расчета используют модуль упругопластичности бетона (тангенс угла наклона секущей в
точке на кривой b — b с заданным напряжением): E / tg 1 ,
b
Так как угол 1 меняется в зависимости от напряжений и времени, модуль
упругопластичности также является переменной величиной, меньше, чем начальный
модуль упругости.
/
/
b e Eb b Eb , откуда Eb b Eb ,
где : b e коэффициен т упругопластических деформаций.
b
Коэффициент b меняется от 1 (при упругой работе) до 0,15.
С увеличением уровня напряжений в бетоне и длительности действия нагрузки,
коэффициент b уменьшается.
При изгибе железобетонных элементов для бетона
сжатой зоны E/b может быть на 15…20% больше, чем
при осевом сжатии.
116
20

21.

Модуль деформации бетона
Геометрическая интерпретация: Eb tg 0 , где : масштабный фактор
Модуль полных деформаций бетона при сжатии Eb соответствует полным
деформациям (включая ползучесть) является переменной величиной; геометрически
он определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой b — b в точке с
d
заданным напряжением: Eb/ b tg
d b
Для расчета используют модуль упругопластичности бетона (тангенс угла наклона секущей в
точке на кривой b — b с заданным напряжением): E / tg 1 ,
b
Так как угол 1 меняется в зависимости от напряжений и времени, модуль
упругопластичности также является переменной величиной, меньше, чем начальный
модуль упругости.
/
/
b e Eb b Eb , откуда Eb b Eb ,
где : b e коэффициен т упругопластических деформаций.
b
Коэффициент b меняется от 1 (при упругой работе) до 0,15.
С увеличением уровня напряжений в бетоне и длительности действия нагрузки,
коэффициент b уменьшается.
При изгибе железобетонных элементов для бетона сжатой зоны E/b может быть на
15…20% больше, чем при осевом сжатии.
При растяжении
Ebt/ bt Ebt ,
et
коэффициен т
bt
растяжении bt 021,5
где : bt
116
упругопластических деформаций бетона
при

22.

Модуль деформации бетона
Так как угол 1 меняется в зависимости от напряжений и времени, модуль
упругопластичности также является переменной величиной, меньше, чем начальный
модуль упругости.
/
/
b e Eb b Eb , откуда Eb b Eb ,
где : b e коэффициен т упругопластических деформаций.
b
Коэффициент b меняется от 1 (при упругой работе) до 0,15.
С увеличением уровня напряжений в бетоне и длительности действия нагрузки,
коэффициент b уменьшается.
При изгибе железобетонных элементов для бетона сжатой зоны E/b может быть на
15…20% больше, чем при осевом сжатии.
При растяжении
Ebt/ bt Ebt ,
et
коэффициен т
bt
растяжении bt 0,5
где : bt
упругопластических деформаций бетона при
Предельная растяжимость бетона в зависимости от
временного сопротивления растяжению:
bt ,u
Rbt 2 Rbt
/
Ebt
Ebt
116
22

23.

Модуль деформации бетона
Коэффициент b меняется от 1 (при упругой работе) до 0,15.
С увеличением уровня напряжений в бетоне и длительности действия нагрузки,
коэффициент b уменьшается.
При изгибе железобетонных элементов для бетона сжатой зоны E/b может быть на
15…20% больше, чем при осевом сжатии.
При растяжении
Ebt/ bt Ebt ,
et
коэффициен т
bt
растяжении bt 0,5
где : bt
упругопластических деформаций бетона при
Предельная растяжимость бетона в зависимости от временного сопротивления
R
2 Rbt
растяжению:
bt ,u bt/
Ebt
Ebt
Начальный модуль упругости бетона при сжатии и
растяжении может быть определен из специальных
испытаний при низком уровне напряжений
b
Rb
0 ,2.
116
23

24.

Модуль деформации бетона
Предельная растяжимость бетона в зависимости от временного сопротивления
R
2 Rbt
растяжению:
bt ,u bt/
Ebt
Ebt
Начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении может быть определен
из специальных испытаний при низком уровне напряжений
b
Rb
0 ,2.
Существуют различные эмпирические формулы для
определения Eb .
Для тяжелого бетона естественного твердения:
43000 B
5,5 105 B
Eb
; Eb
СССР;
21 B
870 B
Ec 3320
где :
f c/ 690 Канада; Ec 0,043
f c/ нормативная цилиндрическая
116
f c/
США,
прочность; в кг / м 3
24

25.

Модуль деформации бетона
Предельная растяжимость бетона в зависимости от временного сопротивления
R
2 Rbt
растяжению:
bt ,u bt/
Ebt
Ebt
Начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении может быть определен
из специальных испытаний при низком уровне напряжений
b
Rb
0 ,2.
Существуют различные эмпирические формулы для определения Eb .
Для тяжелого бетона естественного твердения:
43000 B
5,5 105 B
Eb
; Eb
СССР;
21 B
870 B
Ec 3320
где :
f c/ 690 Канада; Ec 0,043
f c/ нормативная цилиндрическая
Модуль сдвига:
f c/
США,
прочность; в кг / м 3
Eb
.
2 1
При коэффициен те Пуассона
G
0 ,2 G 0 ,4 Eb .
116
25

26.

Зависимость начального модуля упругости от
возраста бетона к моменту нагружения
Арутюнян Н.Х.
E ( ) EK 1 e
116
26

27.

Диаграмма деформирования бетона σ–ε
( t = 00C )
40
Н а п р я ж е н и я, МПа
35
30
0w03631
b
0w03632
25
0w04524
0w04525
0w07631
20
0w07632
0w16630
15
0w19631
0w19632
10
0w25631
0w25632
5
0w27630
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
О т н о с и т е л ь н ы е д е ф о р м а ц и и * 100
116
27

28.

Диаграмма деформирования бетона σ–ε
(t = –400C)
90
4w03619
80
4w03620
4w04512
70
4w04513
Н а п р я ж е н и я, МПа
4w07617
4w07618
60
4w07619
4w16615
50
4w16616
4w16617
40
4w16618
4w19617
30
4w19619
4w19620
4w25617
20
4w25618
4w25619
10
4w25620
4w27613
0
4w27614
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
О т н о с и т е л ь н ы е д е ф о р м а ц и и * 100
116
1,2
4w27615
4w27616
28

29.

Диаграмма деформирования бетона σ–ε
(t = –600C)
80
6w03634
70
6w04526
6w063112
Н а п р я ж е н и я, МПа
60
6w07623
6w07633
6w07634
50
6w16619
6w16622
6w16631
40
6w16632
6w19634
30
6w25621
6w25622
6w25623
20
6w25624
6w25633
6w27617
10
6w27618
6w27619
0
6w27620
0
0,2
0,4
0,6
0,8
О т н о с и т е л ь н а я д е ф о р м а ц и я * 100
116
1
1,2
6w27621
29

30.

Влияние темпрературы и ЦЗО на диаграмму
деформирования бетона σ–ε
116
30

31.

Самостоятельно:
• Плотный
силикатный
бетон
–
бесцементный
бетон
автоклавного
твердения,
на
основе
известкового
вяжущего
(известково-песчаного,
известково-шлакового).
116
31

32.

Самостоятельно:
• Плотный силикатный бетон – относятся к
группе тяжелых бетонов с заполнителем
из кварцевых песков.
• Обладает
хорошим
сцеплением
с
арматурой и защищает ее от коррозии.
• Eb в 1,5…2 раза меньше, чем у
равнопрочного цементного бетона.
• В неблагоприятных условиях (большие
динамические
нагрузки,
усиленное
воздействие
атмосферных
осадков)
применение ограничено.
116
32

33.

Самостоятельно:
• Кислотостойкий бетон. Применяют
пуццолановый портландцемент, шлаковый
портландцемент,
жидкое
стекло
применяется для конструкций подземных
сооружений, покрытий некоторых цехов
химической промышленности, цветной
металлургии.
116
33

34.

Самостоятельно:
• Бетонополимеры. Бетон на цементном
вяжущем с последующей пропиткой
полимерными материалами по специально
разработанной
технологии.
Имеют
улучшенные физико-механические свойства.
Используется при изготовлении напорных
труб, дорожных плит, колонн, ригелей и др.
116
34

35.

Самостоятельно:
• Полимербетон. В качестве вяжущего
используются
полимерные
материалы
(смолы, различные эмульсии) существенно
повышающие его прочность на сжатие и
растяжение, значительно повышающие
стойкость
в
агрессивных
средах,
улучшающие сцепление с арматурой.
• Используется в химической, пищевой,
электрометаллургической
и
других
отраслях промышленности.
116
35

Закономерности связи напряжений и деформаций в бетоне Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Варламов Андрей Аркадьевич, Шишлонов Евгений Александрович, Ткач Евгений Николаевич, Шумилин Максим Сергеевич, Гончаров Дмитрий Васильевич

Аннотация: в статье рассматриваются следующие вопросы и проблемы: Железобетон остается основным конструкционным материалом в строительстве. Основной объем железобетона занимает бетон, на арматуру приходится до 3…4 процентов объема материала. Поэтому от поведения бетона во многом зависит состояние и поведение железобетонной конструкции в целом. Поведение и состояние бетона в железобетонной конструкции описывается сотнями взаимоувязанных характеристик, зависящими как от внешних воздействий, так и от внутреннего состояния железобетонной конструкции . Для описания поведения бетона необходимо выделить основные факторы его поведения и обрисовать их некоторой моделью, способной предсказывать или управлять поведением бетона.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Закономерности связи напряжений и деформаций в бетоне»

Закономерности связи напряжений и деформаций в бетоне

Варламов А. А. , Шишлонов Е. А. , Ткач Е. Н. ,

Шумилин М. С.4, Г ончаров Д. В.5

1 Варламов Андрей Аркадьевич / Varlamov Andrey Arkadievich — кандидат технических наук,

кафедра проектирования зданий и строительных конструкций,

Институт строительства, архитектуры и искусства (ИСАиИ),

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова,

2Шишлонов Евгений Александрович /Schischlonov Evgenij Aleksandrovich — генеральный

3Ткач Евгений Николаевич / Tkasch Evgenij Nikolaevisch — эксперт;

4Шумилин Максим Сергеевич /Schumilin Maxim Sergeevisch — ведущий эксперт; 5Гончаров Дмитрий Васильевич / Gonscharov Dmitriy Vasil’evich — эксперт, отдел безопасности зданий и сооружений,

ООО «ТехноГарант», г. Магнитогорск

Аннотация: в статье рассматриваются следующие вопросы и проблемы:

Железобетон остается основным конструкционным материалом в строительстве. Основной объем железобетона занимает бетон, на арматуру приходится до 3. 4 процентов объема материала. Поэтому от поведения бетона во многом зависит состояние и поведение железобетонной конструкции в целом. Поведение и состояние бетона в железобетонной конструкции описывается сотнями взаимоувязанных характеристик, зависящими как от внешних воздействий, так и от внутреннего состояния железобетонной конструкции. Для описания поведения бетона необходимо выделить основные факторы его поведения и обрисовать их некоторой моделью, способной предсказывать или управлять поведением бетона.

Ключевые слова: железобетон, конструкции, зависимость, модуль упругости, опыт, целесообразность.

В бетонных и железобетонных конструкциях применяют бетоны, соответствующие функциональному назначению конструкций, при этом устанавливается вид бетона и его нормируемые показатели.

Показатели качества бетона обеспечиваются соответствующим проектированием состава бетонной смеси, технологией производства бетона и контролем на всех этапах изготовления и эксплуатации. Основная характеристика — класс бетона по прочности на сжатие. Обобщенной характеристикой механических свойств бетона при одноосном напряженном состоянии принимается нормативная диаграмма состояния бетона, устанавливающую связь между напряжениями и продольными

относительными деформациями £b п ( £bt Д) сжатого (растянутого) бетона при кратковременном действии однократно приложенной нагрузки (согласно стандартным испытаниям) вплоть до их нормативных значений.

Первые формы диаграмм

Первая (после закона Гука) форма связи между напряжениями и деформациями предложена в 1729 г. Г. Б. Бюльфингером (1693-1750 г), который с 1725 г. был членом Петербургской Академии наук и первым ее профессором физики. Степенной закон при k^ 1 представляет собой нелинейную зависимость, который записывается в следующем виде [1]:

где А — константа, имеющая размерность напряжений; к — показатель степени (безразмерная величина).

Для одновременного описания этой формулой участков растяжения и сжатия применяют правило знаков при возведении в степень, показатель независимо от его значения записывают по правилу: (+£)к = + £к ; (—£)к = — £к .

Зависимость (1) не сложная, что облегчает вычисления; при больших деформациях хорошо описывает опытные кривые; обладает достаточной универсальностью, так как при к = 1 и А = Е из (1) получаем закон Гука , а при к = 1 и А = стт — закон для жесткопластического тела. Это означает, что из решения, найденного для конструкции из материала с произвольным значением к, можно автоматически получить решение для линейно-упругой и жесткопластической конструкции. Кроме того, при этой зависимости направляющие тензоры напряжений и деформаций не зависят от параметра нагрузки, что обеспечивает относительную простоту решения по крайней мере при простом нагружении. Но зависимость имеет также и существенные недостатки: она плохо аппроксимирует опытные кривые при малых деформациях (так как при е = 0 начальный модуль упругости равен бесконечности). В большинстве случаев показатель степени оказывается числом дробным, и поэтому часто решение получается в виде системы нелинейных алгебраических уравнений с нецелыми показателями, которые могут быть решены лишь численными методами.

Обстоятельные исследования Баха [2], приведенные в 1895-1897 г., привели его к степенной зависимости деформаций от напряжений

в которой коэффициенты а и m определяются экспериментальным путем, но не имеют значения физических констант.

Позднейшие опыты не подтвердили целесообразность такой степенной зависимости, но в опытах Баха представлял интерес вывод о развитии деформаций. При испытаниях с повторением нагружения на каждой ступени до стабилизации деформаций было установлено, что существует некоторый предел постоянного сопротивления, до которого можно повторять нагрузку без увеличения полной деформации.

Параболическая зависимость Ф. И. Герстнера (1756-1832) была предложена этим исследователем в 1831 г. и записывается в следующем виде:

а = A1£ — А2 ■ £ 2. (3)

Первую константу определяют из условия А1=Е, т. е. таким образом, чтобы из (3) при малых деформациях получился закон Гука. Для определения второй константы можно составить несколько условий [1]: равенство удельных энергий, равенства нулю среднеквадратического отклонения экспериментальной и аппроксимирующей кривой и др. Исправляя основной недостаток зависимости (3) (несимметричность диаграммы относительно сжатия-растяжения) во втором члене квадрат деформации заменяется на куб.

В 1864 г. Сен-Венаном предложена зависимость, записанная в следующем виде:

Здесь начальный модуль упругости равен конечному числу. Это выгодно отличает зависимость от степенного закона Бюльфингера.

Похожая зависимость была предложена в 1899 г. Риттером [2], основываясь на уравнении Максвелла и полностью совпадая с ним по форме:

а = R [ 1 — е — т Ч , (5)

где R — конечная прочность бетонного образца; t — время загружения; m -коэффициент, принятый равным 1000.

Во многих случаях трудно разделить модель бетона, аппроксимирующую экспериментальные данные и использующую некоторые физические представления о работе бетона.

В отличие от эмпирических формул, А. Е. Шейкиным [3] предложено уравнение диаграммы сжатия бетона, выведенное аналитически на основе некоторых физических представлений. При выводе предполагалось, что деформации ползучести бетона прямо пропорциональны величине напряжений в нем и времени действия нагрузки. Искривление диаграммы сжатия объясняется нарастанием деформаций ползучести при высоких напряжениях в бетоне. Эти деформации оказываются в уравнении А. Е. Шейкина пропорциональными квадрату величины напряжений в бетоне. Уравнение в конечной форме принимает вид:

где Е0 — начальный модуль упругости бетона.

Коэффициент пропорциональности рассматривается как некоторая физическая характеристика, постоянная для данного бетона. Однако анализ величины а по ряду призм привел к выводу [4], что в предложенном уравнении а не является константой материала. Диаграммы, построенные при постоянном значении коэффициента, дают при больших напряжениях меньшую величину деформаций.

П. И. Васильев, С. Е. Фрайфельд и В. М. Бондаренко [5] уравнение, связывающее деформации и напряжения, предложили записывать в следующей форме:

где ем — условно-мгновенные относительные деформации материала; а -действующие нормальные напряжения; Rkt — предел кратковременной прочности материалов в расчетный момент времени t; Екt — начальный модуль деформаций материала в возрасте Ekt; | к, mk — параметры нелинейности кратковременного деформирования материала.

Приближенно по значениям деформаций Бондаренко В. М., Шагин А. Л. [5] предлагают вычислять соответствующие напряжения по формуле

Коэффициенты А и В уравнения (8) определяются из условия минимума квадратичных отклонений от экспериментально полученных для бетона различной прочности диаграмм.

Кроль И. С., Красновский Р. О. [6] закон деформирования бетона записывают в общем виде интегральным уравнением:

е = а + к (т, t) dt, (9)

где — начальный модуль упругости; — функция, учитывающая влияние

предшествующихнагружений; t — возраст бетона к моменту испытания; т — время загружения.

Первое слагаемое правой части соответствует упругой части деформаций, не зависящей от времени, а второе — обратимой или необратимой ее пластической части, зависящей от времени. Как следует из экспериментально-теоретических работ [7, 8], учитывающих реологические свойства бетона, величина деформаций, а, следовательно, и модуль деформаций являются функцией скорости нагружения.

Ящук В. Е. [6] для определения напряжений в упруго-пластических материалах по результатам замеров их деформаций предложил следующую формулу:

Для того чтобы исправить основной недостаток зависимости Герстнера (т. е. несимметричность диаграммы относительно растяжения-сжатия), второй член этой зависимости (3) квадрат деформации заменяют на куб:

а = А ■ г — В ■ г3. (11)

Формула (11) обеспечивает симметричность диаграммы относительно растяжения -сжатия; при е ^ 0 она автоматически переходит в закон Гука. Недостаток формулы состоит в том, что она не очень точно аппроксимирует экспериментальные данные при больших деформациях.

Для повышения точности аппроксимации зависимость между напряжениями и деформациями представляется как сумма двух степенных зависимостей типа:

а = А ■ гп — В ■ гт . (12)

Несмотря на большую точность аппроксимации на значительном участке диаграммы, зависимость (12) имеет тот недостаток, что при е = 0 начальный модуль равен бесконечности, так как один из показателей получается меньше единицы. Это означает, что зависимость (12) не переходит автоматически в закон Гука при малых деформациях. Для устранения этого недостатка принимается [1]:

а = Еь£ — В ■ гт . (13)

Следуя логике развития, выражение для аппроксимирующей кривой можно написать в общем виде:

Одной из простейших зависимостей такого типа будет:

а = Еь£ + А2 ■ г2 + А3 ■ г3. (15)

В. Я. Бачинский и А. Н. Бамбура [9] связь между напряжениями и деформациями описывают двумя уравнениями:

при е Ьи >£ь> Rьt1 Еь ‘.а ь = Rь £ k=1 akОь/ £/r ) k, (16)

при Rb t /Еь>£ь>— еь ^-аь = Кы (17)

Коэффициенты уравнения назначаются в зависимости от значений параметров диаграммы . Основные параметры диаграммы: — призменная прочность

бетона; — прочность бетона на растяжение; — начальный модуль упругости бетона; — относительные деформации сжатия бетона, соответствующие

напряжениям а ь = R ь; а ь и — PbuRb — напряжения в бетоне в момент его разрушения при сжатии; е — предельные относительные деформации сжатия бетона.

Большое количество предложений было направлено на выбор очертания кривой по параболической или иной зависимости, которая может быть выражена уравнением

аь =f (г) г=o + £^f’ 00 г=o+£^f (г) г=о + ‘ • • . (19)

Ограничивая уравнение первыми двумя членами, получаем линейную зависимость, соответствующую простейшей форме закона Гука. Большее количество членов ряда дает кривую того или иного очертания. Имеется предложение Г. А. Гениева [9] обрабатывать диаграмму — с помощью гармонического анализа и получать выражение для ст в виде ряда Фурье.

В общем случае, зависимость между напряжениями и деформациями бетона при сжатии аь = f (£ь) В. Н. Байков, С. В. Горбатов и З. А. Димитров [10] предлагают ограничить условиями, нормируемыми соответствующими показателями (рис. 1):

При определенном значении аь = ам напряжение в бетоне принимает максимальное значение .

Первая производная аь = f (г/,)^- при £ь = 0 должна быть равна начальному модулю упругости бетона .

Первая производная — при а ь = а м должна быть равна нулю.

Учитывая, что кривая зависимости а- =/ (£й) на участке от ам до ак по очертанию близка к дуге окружности, можно кривизны этих в точках М и K принять

одинаковыми I —7- I = I —ч- I .

5. При значении а — = а К на ниспадающей ветви напряжение бетона составляет некоторую долю максимального напряжения а- = aR-, где можно принять а = 0,85.

Чтобы удовлетворить всем перечисленным условиям, зависимость а- = было предложено представить в виде полинома пятой степени.

По мнению авторов [10] аналитическая зависимость между напряжениями и деформациями сжатого бетона, построенная с учетом всех нормируемых показателей, позволяет во многих случаях получать наиболее достоверные показатели о несущей способности железобетонных элементов; при этом отказаться от дополнительных эмпирических зависимостей и коэффициентов. Кроме того, она дает возможность оценивать напряженное и деформированное состояние нагруженных элементов не только посредством интегральных величин, таких, как момент и прогиб, но и непосредственно по значениям напряжений и относительных деформаций сжатого бетона.

Для создания общего инженерного метода расчета деформаций Ю. П. Гуща, Л. Л. Лемыш [11] предложили трансформировать с помощью коэффициентов диаграмму бетона о-8 описываемою полином с учетом напряженного состояния элементов и длительностью действия нагрузки.

В работе [12] при кратковременном осевом нагружении призм использовали полином четвертой степени.

Есть много предложений об аппроксимации диаграмм при помощи показательных, тригонометрических, гиперболических, тригонометрических и других функций. Целесообразность их использования зависит от конкретных условий задачи [13, 15-18].

Недостатком этих кривых является то обстоятельство, что физическая сущность явления и причинность тех или иных особенностей кривой полностью выпадают.

В. В. Михайлов в работе [19] при учете неупругих свойств бетона и арматуры в расчете изгибаемых элементов принимает гипотезу плоских сечений для средних деформаций бетона и арматуры аналогично работе [11]. Отличие состоит в использовании полной диаграммы деформирования бетона, описываемой сплайнфункцией. Узлами интерполяции приняты характерные точки состояния бетона при сжатии j, aR и растяжении. Тогда при сжатии диаграмма описывается

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

, а-с = Е-£ + т1 ( £ — 4) 2 + т2(£- 4) 3 при 4 < £ < £т; пп)

где т i — коэффициенты сплайна, определяемые из условия его прохождения через выбранные точки интерполяции, непрерывности первой и второй производных при граничных условиях [19]; R®,R^- первая и вторая параметрические точки; R-среднестатистическое значение призменной прочности; — напряжение нисходящей ветви, соответствующее предельным деформациям. Предлагаемый способ, по мнению автора, позволяет учесть неупругие свойства различных бетонов, допускает обобщения для более общего случая и расчет на всех стадиях загружения. Влияние нисходящей ветви диаграммы сжатого бетона возрастает с увеличением относительной высоты сжатой зоны.

Профессор Н. И. Безухов [13] предложил аппроксимировать криволинейное очертание зависимости соответствующим количеством отрезков наклонных прямых линий. Обосновывая свое предложение, Н. И. Безухов пишет: «Можно предложить

десятки и сотни функциональных различных непрерывных зависимостей и ни одна из них не сможет с достаточной точностью осветить поведение материала от начала деформации до последнего момента разрушения по причине, что большинство диаграмм растяжения-сжатия представляет собой скорее прерывную функцию. ». Принятое предложение проф. Н. И. Безухова, однако, не исключает возможности использования в расчетах известных аналитических зависимостей при отсутствии первичных экспериментальных данных, но эти зависимости должны быть предварительно аппроксимированы ломаной линией. Практическое применение такого предложения сделано в работе [14]. На каждом отрезке диаграммы упругопластическое тело трактовали как упругое (в пределах своей области), для которого справедлив закон Гука. Задачу распределения напряжений решали, используя гипотезу теории малых упруго-пластических деформаций, в которой предполагается при простом нагружении, что обобщенное напряжение для каждого материала есть определенная функция обобщенной деформации.

На основании обобщения обширного экспериментального материала, накопленного исследователями, в рекомендациях международных организаций ЕКБ—ФИП [21] приняты зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей в графической форме (рис. 1.3.1), согласно предложению Рюша и Трассера к нормам DIN1045. В них учтено соотношение между напряжениями и деформациями для характерных точек кривых, отвечающих максимальному напряжению бетона, предельным деформациям, начальному загружению для оценки упругих свойств бетона по модулю упругости.

Согласно зависимостям ЕКБ—ФИП, по мере повышения марки бетона начальный модуль бетона увеличивается, а предельная сжимаемость уменьшается. При этом максимальное напряжение бетона для всех марок наступает при одном и том же значении относительного сжатия ем = 0,0022.

Рис. 1. Вид зависимости Og=f (Eg), принятой в нормах США

Рис. 2. Зависимости, принятые в рекомендациях ЕКБ-ФИП для бетонов прочностью:

1-20 МПа; 2-40 МПа; 3-60

Расчеты железобетонных элементов существенно упрощаются, если вместо графической используется аналитическая форма зависимости. Такие предложения имеются. В частности, в нормах США она описывается двумя уравнениями (рис. 1) соответственно на участках I и II:

Участок I Сб j : Участок II аб л =

Напряжение бетона, отвечающее предельному относительному сжатию, для бетонов всех марок составляет 85 % от максимального значения (рис. 1 и 2). Формула (21) недостаточно учитывает большие упругие свойства бетонов высоких классов и пластические свойства низких классов. Составители новой модели кода в ЕКБ — ФИП в 1990 г. развернули формулу так, чтобы она лучше учитывала пластические и упругие свойства бетонов.

С помощью введения коэффициента k = Ес/Ecl, где Ес — тангенциальный (начальный) модуль упругости, Ecl — секущий модуль упругости, обсуждаемая формула получила следующий, более сложный вид:

где — цилиндрическая прочность бетона, которая примерно равна призменной прочности Rb, так как Rцил/ Икуб= 0,8; £с( = 0,0022 — деформации бетона при максимальном напряжении стшах = /cm; £с- текущая координата по деформациям.

Экспериментальные диаграммы Узин И. А. [22] описывает зависимостью ЕКБ-ФИП, в которой определяет при центральном сжатии:

— предельная деформация бетона при центральном сжатии, равная 2 %.

При внецентренном сжатии:

где и — деформации и напряжения в вершине диаграммы деформирования бетона при внецентренном сжатии.

Более сложные функциональные зависимости, в том числе М. Сарджина, рекомендованы Евро-Интернациональным комитетом по бетону (ЕКБ-ФИП)

Здесь используются обозначения: Rb — призменная прочность бетона; £bR -деформация, соответствующая , ; — начальный модуль упругости;

Г. В. Мурашкин, В. Г. Мурашкин [23, 24] предлагают моделировать диаграмму деформирования бетона и схемы НДС следующим выражением: ab = a — £b — exp (b — £/p), (28)

которое достаточно хорошо согласуется как с экспериментальными данными, так и теоретическими предложениями. Коэффициенты , , определяются из расчетных предпосылок, заложенных в [25], и физического представления о работе бетона. Однако зависимость затрудняет определение деформаций в явном виде.

Характерно, что в ранних предложениях делаются попытки в очертании диаграммы сжатия бетона уловить участки, которые выражали бы определенные свойства материала. Так, например, в исследованиях конца XIX века предлагается на диаграмме сжатия бетона различать три части [26]. Начальный участок зависимости ст = f (е) имеет большую кривизну (вогнутая часть обращена к оси абсцисс). Следующий

участок приближается к прямой. Последняя часть кривой характеризуется увеличением кривизны, кончаясь разрушением материала. Как отмечают исследователи, увеличение деформаций совпадает с поперечным расширением твердого тела.

Проведенные многочисленные опыты (испытано более 500 образцов), а также математическая обработка опубликованных результатов испытаний привели авторов работы [27] к выводу, что зависимость «напряжение-секущий модуль упруго-пластичности» ( а — Е) при сжатии призменных образцов, загружаемых с постоянной скоростью, является линейной вплоть до разрушения образца при нелинейной зависимости « а — £»:

На наблюдаемую в экспериментах линейную зависимость «а — Е» в кирпичной кладке и тяжелых бетонах в свое время обращали внимание Д. И. Онищик и С. П. Павлов [28], а на независимость модуля упругости бетона Е0 от уровня напряжений указывал Е. А. Чистяков [29]. Однако при определенных условиях твердения бетонов встречаются случаи искривления прямой кратковременного сжатия « » при

уровнях напряжений (0,15-0,25)Я ъ.

Экспериментально устанавливаемая при кратковременном сжатии призменных образцов линейная зависимость « » (даже без доведения деформаций до

разрушения) дает возможность установить путем линейной экстраполяции (графически или аналитически — методами математической статистики) истинное значение модуля упругости как предельное значение секущего модуля упруго-пластичности Е’ при а = 0. Аналогичным способом могут быть установлены при принятой скорости загружения предельное значение модуля упруго-пластичности и предельная деформация сжатия при .

Бабич Е. М., Крусь Ю. А., Гарницкий Ю. В. [30] в качестве реологического уравнения механического состояния бетона, описывающего внешние связи между напряжениями и относительными деформациями при одноосном нагружении образцов без учета деформаций усадки и ползучести, приняли в соответствии с [31]:

упруго мгновенных деформаций, (может быть назван условно «функцией

являющийся функцией напряжения напряжения»).

После преобразований и учета известного [32] положения о том, что зависимость «напряжения — секущий модуль упругопластических деформаций» (стЬ / Б’0) при сжатии призменных образцов, загружаемых с постоянной скоростью, является линейной вплоть до разрушения образца при нелинейной зависимости была

получена аппроксимация кривой а ь — £ ъ:

оь = (vRE0£Ry l Vlt> ■ (E0vRy« ■ £bR = VRE0£R

где — полные деформации бетона:

В последнее время процесс деформирования бетонов предлагается описывать при помощи структурно-реологической модели [33].

Для аналитического выражения диаграмм сжатия и растяжения бетона в

связи с развитием расчетных методов предлагалось много различных уравнений, основанных на степенной зависимости, параболических и гиперболических законах, а также более сложные уравнения.

В этих уравнениях в подавляющем большинстве случаев не имелось в виду вскрыть физический смысл тех или иных отклонений от линейной зависимости; преследовалась лишь цель внешне описать кривую, в наибольшей степени отвечающую экспериментам.

В стандартном представлении модели деформирования отражают лишь кратковременное воздействие нагрузки. Для длительных процессов необходимо вводить дополнительные условия, учитывающие вопросы ползучести.

Наиболее простой способ описания совмещения деформаций выражается условием £ ь = £ ь е t + £ ь р [.

В последнем условии £Ье1 — упруго-мгновенные деформации, £Ьр1 — неупругие пластические деформации.

1. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики М.: Стройиздат, 1978.-С. 202.

2. Столяров Я. В. Введение в теорию железобетона, Стройиздат, М., 1941. — 449 с.

3. Шейкин А. Е. К вопросу прочности, упругости и пластичности бетона, труды МИИТ, вып. 69, Трансжелдориздат, 1946. С. 48-52.

4. Берг О. Я.Исследования мостовых железобетонных конструкций, Трансжелдориздат, 1956. 128 с.

5. Бондаренко В. М., Шагин А. Л.Расчет эффективных многокомпонентных конструкций. — М.: Стройиздат, 1987. — 175 с.

6. Экспериментальные исследования инженерных сооружений. — Издательство «НАУКА» М., 1973.

7. Нилендер Ю. А. Механические свойства бетона и железобетона. Справочник проектировщика промышленных сооружений, т. IV «Железобетонные конструкции». ОНТИ, 1935.

8. Осташов Н. А. Зависимость деформации материалов от времени действия нагрузки и скорости ее приложения (научное сообщение). Академия строительства и архитектуры УССР, 1953.

9. Гениев Г. А. Некоторые задачи расчета стержней при общей нелинейной зависимости напряжений и деформаций. — В сб. статей ЦНИИПС. М., Госстройиздат, 1954, вып. 13.

10. Байков В. Н., Горбатов С. В., Димитров З. А. Построение зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей. // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. — 1977. — № 6. С. 15-18.

11. Гуща Ю. П., Лемыш Л. Л. Расчет деформаций конструкций на всех стадиях при кратковременном и длительном загружении // Бетон и железобетон. — 1985. — № 11. — С. 13-16.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

12. Финк К. Измерение напряжений и деформаций; перевод с немецкого, Машгиз, 1961.

13. Безухов Н. И. Основы теории сооружений, материал которых не следует закону Гука. Труды Московского автомобильно-дорожного ин-та, сб. 4. 1936.

14. Работа стеновых панелей на вертикальные нагрузки / Гагарина А. А., Манасян В. С., Борисов М. В. ЦНИИЭП жилища. М., Стройиздат, 1971, 111 С.

15. Семенцов С. А. О методе подбора логарифмической зависимости между напряжениями и деформациями по экспериментальным данным. В сб.: «Прочность и устойчивость крупнопанельных конструкций». Госстройиздат, 1962.

16. Скрамтаев Б. Г., Лещинский М. Ю. Испытание прочности бетона в образцах, изделиях и сооружениях. Стройиздат, 1964.

17. Чистяков Е. А. О модуле упругости бетона при сжатии. Сборник НИИЖБ «Особенности деформаций бетона и железобетона и использование ЭВМ для

оценки их влияния на поведение конструкций», под ред. А. А. Г воздева и С. М. Крылова, Стройиздат, М., 1969.

18. Заикин А. И. Исследование несущей способности и деформативности внецентренно сжатых с малыми эксцентриситетами элементов из бетона высокой прочности. Дис. . канд. тех. наук. — Л., 1972. — 136 с.

19. Михайлов В. В. Расчет прочности нормальных сечений изгибаемых элементов с учетом полной диаграммы деформирования бетона. // Бетон и железобетон. — 1993.

20. Михайлов В. В., Емельянов М. П., Дудоладов Л. С., Митасов В. М. Некоторые предложения по описанию диаграммы деформаций бетона при загружении // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. — 1983. — № 2 — С. 23-27.

21. ЕКБ-ФИП. Международные рекомендации для расчета и осуществления обычных и предварительно напряженных железобетонных конструкций (русский перевод). М., НИИЖБ Госстроя СССР, 1970.

22. Узин И. А. Расчет прочности и деформативности железобетонных элементов с учетом неравномерности распределения деформаций // Изв. вузов. Строительство.

— 1998. — № 4-5. — С. 9-14

23. Мурашкин Г. В., Мурашкин В. Г.Моделирование диаграммы деформирования бетона и схемы НДС // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. — 1997. — № 10. С. 4-6.

24. Мурашкин Г. В., Алешин А. Н., Гимадетдиков К. И. Тяжело нагруженные полы из бетона, твердеющего под давлением // Изв. вузов. Строительство — 1995, — № 12, с. 136-139.

25. СНиП 2.03.01-84 Бетонные и железобетонные конструкции — М. Стройиздат, 1985, с. 18.

26. Берг О. Я. Физические основы прочности бетона и железобетона. — М.: Госстройиздат, 1962. —95 с.

27. Макаренко Л. П., Фенко Г. А. Практический способ определения модуля упругости и упруго-пластических характеристик бетона при сжатии // Изв. вузов. Сер.: Стр -во и архитектура. — 1970. — № 10. С. 141 -147.

28. Павлов С. П. Исследование оптимальных и предельных величин обжатия бетона предварительно напряженных железобетонных конструкций, кандидатская диссертация, М., 1968.

29. Чистяков Е. А. О модуле упругости бетона при сжатии. Сборник НИИЖБ «Особенности деформаций бетона и железобетона и использование ЭВМ для оценки их влияния на поведение конструкций», под ред. А. А. Г воздева и С. М. Крылова, Стройиздат, М., 1969.

30. Бабич Е. М., Крусь Ю. А., Гарницкий Ю. В. Новые аппроксимации зависимости «напряжения-деформации», учитывающие нелинейность деформирования бетонов // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. — 1996. — № 2 — С. 39-44.

31. Бондаренко В. М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона. -Харьков, ХГУ. 1968. — 324 с.

32. Глаговский Б. А., Пивен И. Д. Электротензоментры сопротивления // Изд. Энергия, 1972. — 85 с.

33. Хетагуров А. Т. О структурно-реологической модели бетона. — Сб. материалов всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Строительные конструкции 2000», ч. I. М., 2000. — 109-112 с.