Построение линии пересечения двух плоскостей
Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям. Так, прямая K1К2 (рис. 163), по которой пересекаются между собой плоскость, заданная треугольником АВС, и пл. β, заданная прямыми DE и DF, проходит через точки K1 и K2; но в этих точках прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. β т. е. точки К1 и К2 принадлежат обеим плоскостям.
Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.
Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Начнем с такого случая.
На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. π2. Так как треугольник DEF проецируется на пл.π2 в виде прямой линии (D»F»), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К»1К»2 на проекции D»F». Дальнейшее построение ясно из чертежа.
Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей — отрезок M’N’ — определяется на следе α’.
Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ,— двумя параллельными прямыми. Построение показано на рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая K1K2. Выразим это записью: β × γ = К1K2.
Для определения положения точек K1 и К2 возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (α1, и α2), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ плоскостью α1. получаем прямые с проекциями 1″2″, 1’2′ и 3″4″, 3’4′. Эти прямые, расположенные в пл. α1, в своем пересечении определяют первую точку, К1, линии пересечения плоскостей β и γ.
Введя, далее, ил. α2, получаем в ее пересечении с β и γ прямые с проекциями 5″6″, 5’6′ и 7″8″, 7’8′. Эти прямые, расположенные в пл. α2, в своем пересечении определяют вторую точку, К2, общую для β и γ.
Получив проекции К’1 и К’2 находим на следах и α»1 и α»2 проекции К»1 и К»2. Этим определяются проекции К’1К’2 и К»1К»2 искомой прямой пересечения плоскостей β и γ(проекции проведены штрихпунктирной линией).
При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные секущие плоскости α1 и α2 взаимно параллельны, то, построив проекции 1’2′ и 3’4′ следует для проекций 5’6′ и 7’8′ взять по одной точке, хотя бы 5 и 8, так как 5’6’||1’2′ и 7’8’||3’4′.
В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две фронгально- проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими
плоскостей β и γ горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис. 167 показывает, что β и γ пересекаются между собой, хотя их горизонтали параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные проекции горизонталей АВ и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо испытать плоскости β и γ при помощи хотя бы, горизонгально-проецирующей плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная плоскость σ, пересечет β и γ, также оказались бы параллельны одна другой, то плоскости β и γ не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения плоскостей β и γ параллельно прямым ВА и CD.
Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией пересечения.
Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166) можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости проекций:
Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей α и β (рис. 168) надо: 1) найти точку М’ в пересечении следов h’0α и h’0β
и точку N» в пересечении f»0α и f»0β, а по ним — проекции М» и N’; 2) провести прямые линии M»N» и M’N’,
На рис. 169—171 показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лйшь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.
Вопросы к §§ 22-24
- Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
- Каков признак параллельности двух плоскостей?
- Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между собой фронтально-проецирующих плоскостей?
- Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
- Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей?
- Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов?
- Как установить взаимное положение прямой и Плоскости?
- Как строится точка пересечения прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций?
- Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл. π1 б) пл. π2 считается видимой соответственно на π1, на π2?
- Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы одна перпендикулярна к пл. π1 или к пл. π2?
- В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?
Пересечение двух плоскостей
Пересечение двух плоскостей общего положения представляет собой прямую линию, поэтому для ее определения достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей — так называемые общие точки.
Чтобы найти общие точки, достаточно ввести одну или две вспомогательные секущие плоскости γ1 и γ2.
Найти пересечение двух плоскостей общего положения линию l, если плоскости заданны пересекающимися прямыми b c и параллельными прямыми d e.
Пересечение двух плоскостей
Вспомогательная плоскость γ1 пересекает заданные плоскости по прямым n1 и n2, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии. Вспомогательная плоскость γ2 пересекает заданные плоскости по прямым m1 и m2, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии. Проведя через найденные точки L1 и L2 прямую линию получаем искомое, пересечение двух плоскостей — линию l.
Пересечение двух плоскостей
Пересечение двух плоскостей
Пересечение двух плоскостей
Пересечение двух плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF.
Пересечение двух плоскостей
Вспомогательная плоскость γ1 пересекает заданные плоскости по прямым 1-2 и DE, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии — точка M. Вспомогательная плоскость γ2 пересекает заданные плоскости по прямым 3-4 и AC, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии — точка N. Соединяем точки MN прямой линией получаем искомую линию l пересечения двух плоскостей.
Определение видимости пересекающихся плоскостей на плоскостях проекций выполняем, используя Конкурирующие точки: на фронтальной плоскости проекций — 1″≡6″; 1`, 6` и 5″≡ 7″; 5`, 7` — будет видна вершина D с прилегающими сторонами до линии пересечения. на горизонтальной плоскости проекций — 8`≡9`; 8″, 9″ и 10`≡ 11`; 10″, 11″ — будет видна вершина C с прилегающими сторонами до линии пересечения.
Построить линию пересечения двух плоскостей треугольник ABC и α(αH, αV)
Пересечение двух плоскостей
Графическая работа 1 представляет задачу на пересечение двух плоскостей заданных треугольником и ромбом
Задание 2. Построение линии пересечения плоскостей
По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты . Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.
2.1. Условие задания
По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников.
2.2. Пример выполнения задания № 2
Второе задание представляет комплекс задач по темам:
1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, Fпостроить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF;
2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки: построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.
Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).
Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:
1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;
2. Построить фронтальную проекцию 1222 линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC;
3. Найти фронтальную проекцию М2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1222 с фронтальной проекцией E2 F2прямой EF;
4. Найти горизонтальную проекцию М1 точки М с помощью линии проекционной связи;
5. Аналогично построить вторую точку N, принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N;
6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.
Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками
Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2
Видеопример выполнения задания №2
2.3. Варианты задания 2
Таблица 2– Значения координат точек
Вариант | Координаты (x, y, z) вершин треугольников | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
А | В | С | D | E | F | |
1 | 20; 65; 30 | 40; 15; 65 | 80; 30; 35 | 15; 35; 70 | 70; 75; 80 | 35; 0; 0 |
2 | 75; 75; 5 | 60; 20; 60 | 20; 10; 40 | 30; 55; 50 | 90; 50; 35 | 60; 5; 10 |
3 | 0; 30; 75 | 30; 65; 15 | 80; 25; 15 | 45; 65; 75 | 95; 40; 0 | 10; 0; 10 |
4 | 90; 5; 70 | 65; 60; 15 | 15; 15; 20 | 25; 45; 70 | 95; 60; 35 | 65; 10; 0 |
5 | 30; 0; 10 | 70; 15; 15 | 15; 55; 16 | 70; 55; 60 | 5; 30; 60 | 20; 0; 0 |
6 | 20; 25; 0 | 60; 5; 80 | 90; 75; 40 | 0; 60; 60 | 75; 80; 70 | 90; 10; 0 |
7 | 0; 60; 20 | 20; 10; 60 | 85; 10; 20 | 50; 70; 65 | 75; 35; 0 | 10; 0; 5 |
8 | 10; 20; 15 | 55; 70; 5 | 80; 20; 45 | 20; 60; 55 | 100; 35; 20 | 60; 10; 5 |
9 | 0; 50; 10 | 60; 70; 70 | 80; 10; 10 | 20; 10; 70 | 90; 50; 60 | 60; 85; 0 |
10 | 85; 70; 10 | 25; 20; 25 | 90; 10; 60 | 15; 70; 65 | 105; 10; 45 | 70; 0; 0 |
11 | 25; 5; 25 | 60; 60; 5 | 95; 20; 50 | 36; 45; 55 | 105; 45; 60 | 70; 0; 0 |
12 | 95; 30; 65 | 15; 15; 10 | 70; 80; 5 | 35; 70; 70 | 115; 80; 55 | 85; 20; 0 |
13 | 20; 5; 60 | 50; 60; 5 | 90; 15; 30 | 60; 60; 60 | 100; 5; 10 | 25; 10; 0 |
14 | 10; 5; 70 | 80; 20; 25 | 40; 65; 10 | 70; 70; 70 | 0; 35; 60 | 30; 5; 0 |
15 | 20; 45; 55 | 60; 70; 10 | 90; 10; 60 | 20; 0; 10 | 95; 20; 10 | 75; 60; 75 |
16 | 5; 10; 60 | 40; 65; 10 | 70; 5; 40 | 70; 50; 75 | 0; 70; 45 | 15; 0; 5 |
17 | 10; 45; 5 | 90; 5; 10 | 50; 70; 70 | 15; 5; 50 | 95; 15; 65 | 60; 70; 0 |
18 | 65; 20; 70 | 0; 20; 15 | 50; 70; 5 | 15; 60; 55 | 90; 60; 40 | 60; 5; 5 |
19 | 20; 20; 70 | 50; 50; 10 | 70; 10; 30 | 80; 60; 70 | 5; 40; 60 | 25; 0; 10 |
20 | 85; 10; 45 | 70; 50; 0 | 20; 20; 10 | 55; 60; 60 | 0; 0; 60 | 75; 0; 0 |
21 | 0; 70; 60 | 30; 10; 80 | 70; 15; 20 | 60; 50; 70 | 0; 0; 50 | 15; 70; 5 |
22 | 0; 70; 25 | 45; 10; 70 | 90; 30; 20 | 65; 60; 70 | 90; 10; 15 | 15; 0; 15 |
23 | 10; 20; 40 | 50; 60; 10 | 75; 10; 40 | 75; 60; 75 | 5; 70; 55 | 35; 0; 0 |
24 | 10; 10; 10 | 90; 80; 20 | 65;10;60 | 15; 70; 65 | 100; 70; 40 | 80; 10; 0 |
25 | 60; 65; 10 | 0; 10; 25 | 85; 5; 60 | 20; 65; 60 | 105; 35; 35 | 55; 0; 0 |
26 | 10; 70; 20 | 50; 10; 60 | 90; 25; 10 | 70; 65; 45 | 5; 35; 55 | 25; 0; 50 |
27 | 10; 5; 70 | 40; 70; 10 | 90; 5; 40 | 100; 55; 25 | 25; 65; 80 | 50; 0; 0 |
28 | 0; 50; 5 | 25; 0; 60 | 85; 10; 15 | 50; 50; 50 | 90; 0; 55 | 20; 0; 0 |
29 | 10; 70; 10 | 40; 10; 50 | 80; 20; 20 | 80; 55; 55 | 10; 50; 70 | 20; 0; 0 |
30 | 75; 70; 20 | 10; 35; 10 | 60; 20; 60 | 20; 70; 70 | 100; 60; 50 | 75; 5; 0 |
По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты . Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.
- Главная ›
- Начертательная геометрия ›
- Контрольные работы ›
- Задание 2. Построение линии пересечения плоскостей
Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами
Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.
Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L1 и L2, принадлежащих линии пересечения.
- Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ1. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ1. Он обозначен на рисунке как f0γ1 и расположен параллельно оси x.
- Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
- Находим горизонтальную проекцию точки L1 на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L1 лежит на фронтальном следе плоскости γ.
- Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ2. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L2.
- Через L1 и L2 проводим искомую прямую l.
Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.
Пересечение плоскостей, заданных следами
Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П1 и П2.
- Находим точку L’1, расположенную на пересечении горизонтальных следов h0α и h0β. Точка L»1 лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’1.
- Находим точку L»2 на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’2 лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»2.
- Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L1 и L2, как это показано на рисунке.
Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.
Пересечение плоскостей треугольников
Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.
- Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f0σ и 5»=A»С»∩f0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
- Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f0σ на одной линии связи с N’.
- Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.
- Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.
Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π2. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π2. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.
Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π1. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π1. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.
- Способы задания плоскости на чертеже
- Точка пересечения прямой и плоскости