Пересечение сферы и цилиндра метод

Чертежик

Пересечение конуса и цилиндра имеют сопряжение осевых линий, поэтому вычерчивание осуществлено метод секущих сфер.

Ниже представлено задание на эту тему:

Рассмотрим Пересечение конуса и цилиндра пошагово:

1.) Вычерчиваются фигуры в первоначальном виде согласно заданию.

2.) Строится первая секущая сфера с наименьшим радиусом (определяется по наибольшей ширине из двух фигур по углом 90 градусов)

3.) Окружность (имеет синий цвет) пересекла обе фигуры в двух точках. Необходимо соединить точки, тем самым образуются прямые, которые пересекаются в точках — это и есть необходимая точка для дальнейшего построения линии пересечения фигур.

4.) Чертится еще дополнительная окружность (обозначено сиреневым цветом), пересекающая конус в двух точках (их необходимо соединяют) и цилиндр в четырех точках (их тоже соединяют). В месте пересечения прямых конуса и цилиндра ставим точки.

Радиусы окружностей произвольные, кроме первоначального. Чем больше окружностей, тем точнее выглядит линия пересечения.

5.) Чертится дополнительная окружность (зеленым цветом), которая пересекает конус в двух точках и цилиндр. Точки соединяются и в месте сопряжения указывается необходимая точка.

6.) Следующим необходимо перенести точки в верхнем изображении в нижний. Для этого строится окружность в нижним изображении (синим цветом) и опускаются прямые до сопряжения с окружностью.

7.) Повторяется процесс перенос точек выполненный в 6 пункте, но теперь с сиреневым цветом.

8.) Повторяется процесс переноса точек описанный в 6 пункте (зеленым цветом).

9.) Переносятся последние точки, имеющие сопряжения в самых крайних точках сопряжения фигур: в верхней и нижней частях.

10.) Соединяются все точки плавной линией, образуя необходимую линию взаимно пересекающих фигур.

11.) Завершающим шагом является удаление всех дополнительных с последующей обводкой контуров соответствующими линиями чертежа.

Независимо от задания, получаемое от преподавателя, на выполнение подобного рода чертежа, то есть на пересечение конуса и цилиндра. Метод выполнения остается неизменным.

Чертежик

Пересечение сферы и цилиндра в соответствии заданию, которое указал ниже, определяется вспомогательными секущими плоскостями.

Если Вы посмотрите, то увидите что секущие плоскости на профильной проекции не будет рационально указывать. Указывают на виде сверху, то есть в горизонтальной проекции.

Рассмотрим детально пересечение сферы и цилиндра:

1.) Чертится первоначальный вид двух фигур. Затем проводятся секущие плоскости 9смотрите ниже на рисунок).

Секущие плоскости я расположил на произвольном расстоянии.

2.) Можно начать с верхней или нижней секущей. Я начал с верхней и обозначил синей прямой ту часть, которая пересекла сферу в двух местах и цилиндр в 1 точке. От цилиндра вывел на профильный вид прямую и от сферы, образовав при этом окружность. В месте пересечения прямой и окружности поставил точку (первая точка найдена).

3.) Перейдем к секущей p, обозначил красной прямой , которая пересекла цилиндр в двух местах,от них вывел прямые на верхнее изображение. А также пересекла сферу в двух местах, окружность начертил тем же радиусом что и сферу. В месте пересечения прямых с окружностью указываем точки (еще две точки найдены).

4.) Рассмотрим секущую m. Как видите я ее отметил жирной черной прямой, которая в свою очередь имеет пересечение с цилиндром в двух местах (они выводятся на верхнее изображение) и сферой. В месте их пересекания указываем точки ( эти точки расположены по видимым боковым сторонам цилиндра).

5.) С секущей n проделываются все те операции описанные в пунктах выше.

6.) Последняя точка расположена в месте соприкосновения фигур, у основания.

7.) И в завершение удаляются все дополнительные линии и указываются видимые и невидимые линии. Тем самым Ваше вниманию открывается чертеж,который должен был получиться.

Применение вспомогательных секущих сфер

Рассмотренное в § 63 пересечение поверхностей вращения со сферой лежит в основе применения сфер в качестве вспомогательных поверхностей при построении линии пересечения одной поверхности другою.

На рис. 409 даны две поверхности вращения с пересекающимися осями и, следовательно, с общей плоскостью симметрии, параллельной пл. π₂. Из точки пересечения осей можно провести ряд сфер. Положим, проведена сфера, обозначенная на рис. 409 Сф.1. Эта сфера пересекается по окружностям с каждой из поверхностей; в пересечении окружностей получаются точки, общие для обеих поверхностей и,

следовательно, принадлежащие линии пересечения. Как видно из рисунка, построение весьма упрощается вследствие того, что плоскость симметрии, общая для данных поверхностей, параллельна плоскости проекций (в данном случае пл. π₂): окружности, по которым сфера пересекает одновременно две поверхности, проецируются на пл. π₂ в виде прямолинейных отрезков. Кроме того, проекция линии пересечения строится без помощи других проекций поверхностей.

Конечно, проводится несколько сфер, чтобы получить достаточно точек для проведения искомой проекции линии пересечения. На рис. 409 показана еще одна сфера — Сф.2; она лишь касается поверхности с криволинейной образующей и дает на рассматриваемой проекции точку 2″, «последнюю» для фронтальной проекции: сферы меньшего диаметра не дадут точек для искомой линии.

Теперь остается провести через точки А», 1″, 2″, 1″₁ и В» кривую — фронтальную проекцию линии соединения обеих поверхностей (рассматривая их как одно целое).

Как видно, все построение выполнено лишь на .одной проекции.

Итак, если надо построить линию пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются, то можно применять вспомогательные секущие сферы с центром в точке пересечения осей поверхностей.

На рис. 410 дан другой пример применения сфер в построении, аналогичном показанному на рис. 409. На этот раз лишь одна из них — поверхность вращения, другая же — наклонный круговой конус (см. § 50); он имеет ряд круговых параллельных между собой сечений.

Каждое такое сечение может быть принято за параллель сферы, центр которой берется на оси поверхности цилиндра. Например, взяв параллель с центром 0₁ (проекция O»₁ ), проведем через О₁ перпендикуляр к плоскости параллели до пересечения с осью цилиндра. Точка С₁ (проекция С»₁ ) принимается за центр сферы, пересекающей каждую из поверхностей по окружностям — поверхность конуса по взятой параллели с центром О₁ поверхность цилиндра по окружности, получаемой при ее «надвигации» на сферу. В результате на рассматриваемой проекции (фрон

тальной) получается точка 1″, принадлежащая проекции искомой линии пересечения. Аналогично может быть найден центр С₂ (проекция С»₂) для проведения сферы по выбранной параллели с центром в точке O₂ (проекция O»₂). Дальнейшее ясно из чертежа.

Итак, вспомогательные сферы можно применять и в случаях пересечения поверхности вращения с поверхностью, имеющей параллельные между собой круговые сечения, центры которых лежат на одной линии, пересекающей ось поверхности вращения.

На рис. 411 показано построение линии соединения поверхности цилиндра вращения и сферы (образующая АВ цилиндра касается сферы в точке В). Эти поверхности имеют общую для них плоскость симметрии, параллельную пл. π₂. Центр одной вспомогательной сферы (Сф.1) взят в точке с фронтальной проекцией С»₁. Радиус этой сферы взят равным отрезку С»₁1″₁ (в данном случае это наименьший радиус для вспомогательных сфер); он является и радиусом окружности, по которой происходит касание вспомогательной Сф.1 споверхностью , цилиндра. Эта сфера пересекает заданную сферу радиуса R по окружности с диаметров 1″₂1″₃. В пересечении прямых 1″₂1″₃ и С»₁1″₁ получается точка 1″ — одна из точек, принадлежащих проекции искомой линии соединения поверхностей цилиндра и сферы.

Вторая вспомогательная сфера (Сф.2) проведена из точки, также взятой на оси цилиндра (проекция С»₂). Эта сфера дает точку 2″.

Получив еще несколько точек между крайними точками В» и С», можно провести фронтальную проекцию искомой линии. В точке 1″, полученной при помощи «предельной» сферы (вписанной в цилиндр), прямая 1″₂1″₃ является касательной и кривой В»1″2″С».

На рис. 412 показано пересечение двух когусов — вращения. Их оси в своем пересечении образуют общую для этих конусов ную пл. π₂.

В данном случае применены вспомогательные сферы, проводимые из одного и того же центра — точки О пересечения осей конусов. Так, для нахождения точки 1 проведена сфера радиуса r.

Точки E»₁ и E»₂ на фронтальной проекции, наиболее близко расположенные к оси конуса с вертикальной осью, определены при помощи сферы, вписанной в этот конус 1 ). Точки F’₁ и F’₂, в которых на горизонтальной проекции происходит разделение на видимую и невидимую части, определены при помощи пл. γ, проходящей через ось конуса. Это пример применения в одном и том же построении двух способов — способа вспомогательных секущих плоскостей и способа вспомогательных секущих сфер.

На рис. 413 показано соединение поверхностей двух тел вращения — конической и с криволинейной образующей. Применены вспомогательные сферы. Сначала

1 ) Линия пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, проецируется на плоскость, параллельную плоскости симметрии, в виде кривой второго порядка. В данном случае получается гипербола. Точки Е»₂ и Е»₂ являются ее вершинами. На рис. 411 фронтальная проекция линии соединения поверхностей является параболой (см. § 65).

определяются проекции точек на пл. π₂, а затем на пл. π₁. Например, точка 5 на пл. π₁ определена на дуге окружности, проведенной из точки О’ радиусом О’А’ = О»А»; точка 5₁ получена на дуге радиуса О’А’₁ = O»₁А»₁. Точка с проекциями 4″ и 4′ найдена при помощи сферы, вписанной в поверхность вращения с криволинейной образующей.

Точки на пл. π₃ найдены обычным построением третьей проекции по двум, определенным на плоскостях π₁ и π₂. Для экономии места на рис. 413 все три вида даны не полностью.

Пример, приведенный на рис. 414, позволяет установить преимущество способа вспомогательных сфер перед другими для данного случая. Требуется построить проекции линии соединения поверхностей конуса вращения и кругового кольца (на рис. 414 изображена половина кольца). В левой части чертежа показано применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных оси конуса. Эти плоскости рассекают поверхность конуса по гиперболам, которые приходится строить по точкам, а кольцо — по полуокружностям радиусов O’₁А’ и O’₁А’₁. Например, построив на фронтальной проекции гиперболу — линию пересечения конической поверхности плоскостью α, проводим дугу окружности радиуса O»₁А»=O»₁А»₁, находим точки К» и М» на фронтальной проекции и соответствующие им горизонтальные проекции К’ и М’.

Приходится строить ряд гипербол, что усложняет решение и уменьшает точность. Неудобно было бы пользоваться и плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, так как эти плоскости при указанном на рис. 414 расположении кольца будут пересекать его поверхность по некоторым кривым; для построения каждой из них придется находить ряд точек (см. § 58). Также и плоскости, проходящие через вершину конуса, дадут в пересечении с поверхностью кольца кривые, которые придется строить по точкам.

Построение упрощается и уточняется, если применить вспомогательные сферы, центры которых должны быть на оси конуса. Сферы надо подбирать так, чтобы они пересекали кольцо по окружностям. Получить это можно следующим образом.

Возьмем плоскость α₁ проходящую через ось кольца и перпендикулярную к пл. π₂. Она пересечет кольцо по окружности радиуса 1Е»₁ с центром в точке 1; на

пл. π₂ эта окружность проецируется в виде отрезка прямой. Где должны находиться центры сфер, которые можно провести через эту окружность? Очевидно, они лежат на прямой, проходящей через центр окружности 1 и перпендикулярной к пл. α₁. Эта прямая на фронтальной проекции изображается линией 1С»₁, перпендикулярной к α₁, ( и следовательно, касательной к осевой окружности кольца, изображенной на рисунке штрихпунктирной линией).

Итак, мы должны провести сферу, центр которой лежит, во-первых, на оси конуса, а во-вторых, на прямой 1С»₁. Такой центр С»₁ вполне определяется двумя этими прямыми, и мы можем провести сферу с центром С»₁ и радиусом С»₁Е»₁; на пл. π₂показана часть проекции сферы — дуга окружности. В пересечении сферы с конусом получается окружность, проецирующаяся в виде отрезка, проходящего через точку В»₁; пересечение же с кольцом — по указанной выше окружности, проецирующейся в виде отрезка на следе α»₁. В пересечении этих прямых и найдена точка L» — проекция одной из точек искомой линии.

Аналогично, при помощи пл. α₂ и точек 2, С»₂, В»₂, Е»₂ найдена точка N». Для построения горизонтальных проекций этих точек можно использовать параллели конической поверхности, как показано для точек L’ и N’.

Можно представить себе, что прямые С»₁1 и С»₂2 являются осями некоторых цилиндров, нормальное сечение которых совпадает с нормальным сечением кольца. Если взять точки 1 и 2 весьма близко друг к другу и представить себе, что таких точек весьма много, а следовательно, много проведенных через эти точки осей и много цилиндров, то поверхность кольца окажется замененной последовательно расположенными цилиндрическими поверхностями. Поэтому задача сведется к нахождению точек, общих для поверхности конуса и поверхности каждого такого «мгновенного цилиндра» 1 ). Оси «мгновенных цилиндров» пересекают ось конуса в точках, которые принимаются за центры вспомогательных сфер, пересекающих конус и «мгновенный цилиндр» по окружностям; проекции этих окружностей на пл. π₂ представляют собой отрезки прямых линий. Окружности, по которым вспомогательные сферы пересекают «мгновенные цилиндры», являются теми нормальными сечениями кольца, от которых и началось, построение.

На рис. 415 изображены частично два конуса вращения с общей вершиной S и показано построение той образующей, по которой пересекаются конические поверхности в изображенных их частях. Одна точка искомой образующей известна: это вершина S. Для нахождения второй точки применена вспомогательная сфера с центром в точке S. Сфера пересекает одну из конических поверхностей по дуге окружности, радиус которой равен О’1′ или O»1″. Вторую из поверхностей сфера пересекает по дуге окружности с радиусом, равным О’₁1′₁ или O»₁1″₁. Фронтальные проекции этих дуг пересекаются в точке М», а горизонтальные — в точке М’; точки М» и М’ являются проекциями точки М» — второй точки для искомой образующей.

Такое построение было использовано на рис. 401.

1 ) Мы применили выражение «мгновенный цилиндр», чтобы подчеркнуть замену поверхности кольца очень большим числом цилиндрических элементов. Практически производится лишь несколько таких построений.

Пересечение поверхностей

Из линейной алгебры (многомерной геометрии) хорошо известно, что в расширенном евклидовом пространстве Е n + размерность пересечения геометрических объектов может быть определена из соотношения

p = m 1 + m 2 — n,
где p — размерность объекта получаемого в пересечении,
m 1 — размерность первого объекта (m 1 — поверхности),
m 2 — размерность второго объекта (m 2 — поверхности),
n — размерность рассматриваемого пространства.

В соответствии с выше приведенной формулой пересечение двух поверхностей (двумерных m 1 = m 1 = 2) в трехмерном евклидовом пространстве Е 3 + должно привести к появлению одномерного объекта p = 2+2-3=1 — пространственной кривой (p = 1), все точки которой являются общими для обеих поверхностей.

При построении линии пересечения наиболее характерны два случая:
— одна из проекций линии пересечения известна и задача сводится к отысканию недостающих проекций точек по принадлежности одной из поверхностей;
— проекции линии пересечения не известны.

И в том и другом случае задача решается введением дополнительных секущих поверхностей, позволяющих находить точки, принадлежащие одновременно трем геометрическим объектам. В качестве дополнительных поверхностей берутся плоскости, цилиндры и сферы, дающие наиболее простые (заранее известные) линии при пересечении с заданными поверхностями.

Метод секущих плоскостей

Этот метод применяют для построения линии пересечения поверхностей, позволяющих получать (одновременно) во вводимых секущих плоскостях, графически простые линии (прямые или окружности). Это утверждение может быть проиллюстрировано на примере пересечения призмы ? и конуса Ф (см. рисунок 1, Метод секущих плоскостей).

Здесь в качестве вспомогательных секущих плоскостей выступают горизонтальные плоскости уровня S i . На поверхности конуса (в силу того, что они перпендикулярны оси вращения) эти плоскости выделяют окружности, а на поверхности призмы — параллельные прямые (образующие).

Характерные точки 1, 5 линии пересечения определяют в пересечении фронтальных очерков. Текущие точки линии пересечения определятся как результат пересечения соответствующих окружностей и прямых в секущих плоскостях S i .

Метод секущих сфер

Линия пересечения двух цилиндров Ф и ? (R Ф > R ? ) может быть определена с помощью метода секущих сфер. Это определяется тем, что рассматриваемые поверхности являются поверхностями вращения и оси вращения пересекаются.

Линия пересечения распадается на две ветви, нижнюю и верхнюю, построение которых аналогично (см. рисунок 2, Метод секущих сфер).

Фронтальные проекции характерных точек линии пересечения 1 2 и 2 2 определятся в результате пересечения фронтальных очерков Ф 2 и ? 2 ,а горизонтальные — определятся по принадлежности этих точек цилиндру ?.

Низшая точка линии пересечения (3)определяется введением сферы R Ф , которая пересечет цилиндр Ф по окружности l(фронтальная проекция этой окружности совпадет с фронтальной проекцией оси вращения цилиндра ?).