Логические элементы И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ
Следующая группа микросхем на пути усложнения компонентов цифровой электроники — это элементы, выполняющие простейшие логические функции. Объединяет все эти элементы то, что у них есть несколько равноправных входов (от 2 до 12) и один выход, сигнал на котором определяется комбинацией входных сигналов.
Самые распространенные логические функции, выполняемые такими элементами, — это И (в отечественной системе обозначений микросхем — ЛИ), И-НЕ (обозначается ЛА), ИЛИ (обозначается ЛЛ) и ИЛИ-НЕ (обозначается ЛЛ). Присутствие слова НЕ в названии элемента обозначает только одно — встроенную инверсию сигнала. В международной системе обозначений используются следующие сокращения: AND — функция И, NAND — функция И-НЕ, OR — функция ИЛИ, NOR — функция ИЛИ-НЕ.
Название самих функций И и ИЛИ говорит о том, при каком условии на входах появляется сигнал на выходе. При этом важно помнить, что речь в данном случае идет о положительной логике, о положительных, единичных сигналах на входах и на выходе.
Таблица 2.4. Таблица истинности двухвходовых элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ
Элемент И формирует на выходе единицу тогда и только тогда, когда на всех его входах (и на первом, и на втором, и на третьем и т. д.) присутствуют единицы. Если речь идет об элементе И-НЕ, то на выходе формируется нуль, когда на всех входах единицы (табл. 2.4). Цифра перед названием функции говорит о количестве входов элемента. Например, 8И-НЕ — это восьмивходовой элемент И с инверсией на выходе.
Элемент ИЛИ формирует на выходе нуль тогда и только тогда, когда хотя бы на одном из входов присутствует единица |
(или на первом, или на втором, или на третьем и т. д.). Элемент ИЛИ-НЕ дает на выходе нуль при наличии хотя бы на одном из входов единицы (табл. 2.4). Пример обозначения: 4ИЛИ-НЕ — четырехвходовой элемент ИЛИ с инверсией на выходе.
Рис. 2.15. Обозначения элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ: зарубежные (слева) и отечественные (справа).
Отечественные и зарубежные обозначения на схемах двухвхо-довых элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ показаны на рис. 2.15. Все эти элементы бывают с выходами типа 2С, ОК и ЗС. В последнем случае обязательно имеется вход разрешения -EZ.
Нетрудно заметить (см. табл. 2.4), что в случае отрицательной логики, при нулевых входных и выходных сигналах, элемент И выполняет функцию ИЛИ, то есть на выходе будет нуль в случае, когда хотя бы на одном из входов нуль. А элемент ИЛИ при отрицательной логике выполняет функцию И, то есть на выходе будет нуль только тогда, когда на всех входах присутствуют нули. А так как в реальных электронных устройствах сигналы могут быть любой полярности (как положительные, так и отрицательные), то надо всегда очень аккуратно выбирать требуемый в каждом конкретном случае элемент. Особенно важно помнить об этом тогда, когда последовательно соединяются несколько разноименных логических элементов с инверсией и без нее для получения сложной функции.
Поэтому разработчику далеко не всегда удобно рассматривать элементы И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ именно как выполняющие указанные в их названии логические функции. Иногда их удобнее рассматривать как элементы разрешения/запрещения или смешивания/совпадения. Но сначала мы рассмотрим случаи реализации на этих элементах именно логических функций.
На рис. 2.16 приведены примеры формирования элементами выходных сигналов на основании требуемых временных диаграмм входных и выходных сигналов. В случае а выходной сигнал должен быть равен единице при двух единичных входных сигналах, следовательно, нужен элемент 2И. В случае б выходной сигнал должен быть равен нулю, когда хотя бы один из входных сигналов равен единице, следовательно, требуется элемент 2ИЛИ-НЕ. Наконец, в случае в выходной сигнал должен быть равен нулю при одновременном приходе единичного сигнала Вх.1, нулевого сигнала Вх.2 и единичного сигнала Вх.З. Следовательно, требуется элемент ЗИ-НЕ, причем сигнал Вх.2 надо предварительно проинвертировать.
Рис. 2.16. Примеры применения элементов И и ИЛИ.
Любой из логических элементов рассматриваемой группы можно рассматривать как управляемый пропускатель входного сигнала (с инверсией или без нее).
Например, в случае элемента 2И-НЕ один из входов можно считать информационным, а другой — управляющим. В этом случае при единице на управляющем входе выходной сигнал будет равен проинвертированному входному сигналу, а при нуле на управляющем входе выходной сигнал будет постоянно равен единице, то есть прохождение входного сигнала будет запрещено. Элементы 2И-НЕ с выходом ОК часто используют именно в качестве управляемых буферов для работы на мультиплексированную или двунаправленную линию.
Точно так же в качестве элемента разрешения/запрещения могут применяться элементы И, ИЛИ, ИЛИ-НЕ (рис. 2.17). Разница между элементами состоит только в полярности управляющего сигнала, в инверсии (или ее отсутствии) входного сигнала, а также в уровне выходного сигнала (нуль или единица) при запрещении прохождения входного сигнала.
Рис. 2.17. Разрешение/запрещение прохождения сигналов на элементах И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ.
Рис. 2.18. Появление лишнего фронта при запрещении входного сигнала.
При использовании элементов разрешения/запрещения могут возникнуть дополнительные проблемы в случае, когда сигнал с выхода элемента идет на вход, реагирующий на фронт сигнала. В момент перехода из состояния разрешения в состояние запрещения и из состояния запрещения в состояние разрешения в выходном сигнале может появиться дополнительный фронт, никак не связанный с входным сигналом (рис. 2.18). Чтобы этого не произошло, надо придерживаться следующего простого правила: если вход реагирует на положительный фронт, то в состоянии запрещения на выходе элемента долженбыть нуль и наоборот.
Иногда необходимо реализовать функцию смешивания двух сигналов той или иной полярности. То есть выходной сигнал должен вырабатываться как при приходе одного входного сигнала, так и приходе другого входного сигнала. Если оба входных сигнала положительные и выходной сигнал положительный, то мы имеем в чистом виде функцию ИЛИ, и требуется элемент 2ИЛИ. Однако при отрицательных входных сигналах и отрицательном выходном сигнале для такого же смешивания
Применение логических элементов 69
понадобится уже элемент 2И. А если полярность входных сигналов не совпадает с нужной полярностью выходного сигнала, то нужны уже элементы с инверсией (И-НЕ при положительных выходных сигналах и ИЛИ-НЕ при отрицательных выходных сигналах). На рис. 2.19 показаны варианты смешивания на разных элементах.
Рис. 2.19. Реализация смешивания двух сигналов.
Наконец, элементы И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ иногда бывает удобно рассматривать в качестве схем совпадения различных сигналов. То есть выходной сигнал должен вырабатываться тогда, когда сигналы на входах совпадают (приходят одновременно). Если же совпадения нет, то выходной сигнал должен отсутствовать. На рис. 2.20 показаны варианты таких схем совпадения на четырех разных элементах. Различаются они полярностями входных сигналов, а также наличием или отсутствием инверсии выходного сигнала.
Рис. 2.20. Схемы совпадения двух сигналов.
Рассмотрим два примера совместного использования элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ (рис. 2.21).
Рис. 2.21. Примеры совместного использования элементов.
Пусть необходимо смешать два сигнала, каждый из которых может быть разрешен или запрещен. Пусть полярность входных сигналов и сигналов разрешения положительная, а выходной сигнал должен быть отрицательным. В этом случае надо взять два двухвходовых элемента И и смешать их выходные сигналы с помощью двухвходового элемента ИЛИ-НЕ (а).
Пусть необходимо смешать два отрицательных сигнала и один положительный сигнал, причем результирующий сигнал может быть разрешен или запрещен. Полярность сигнала разрешения — отрицательная, полярность выходного сигнала — отрицательная. Для этого нужно взять трехвходовой элемент И, инвертор для отрицательного входного сигнала и двухвходовой элемент ИЛИ (б).
Элементы И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ могут использоваться также в качестве инверторов или повторителей (рис. 2.22), для чего необходимо объединить их входы или на неиспользуемые входы подать сигнал нужного уровня. Второе предпочтительнее, так как объединение входов не только увеличивает входной ток, но и несколько снижает быстродействие элементов.
Рис. 2.22. Инверторы и повторители.
Рис. 2.23. Объединение по И входов микросхем.
По функции И часто объединяются входы более сложных микросхем. То есть какая-то функция выполняется только тогда, когда на все объединенные по И входы поступают сигналы нужной полярности. Чаще всего по И объединяются входы выбора микросхемы CS и входы управления третьим состоянием выхода микросхемы EZ. На рис. 2.23 показано три примера такого объединения по И. При этом надо учитывать, что на инверсные входы для выполнения функции должны поступать нулевые сигналы, а на прямые входы — единичные сигналы. Примерами могут служить микросхемы КР556РТ4, КР556РТ5, КР1533АП14, КР1533АП15.
До сих пор, рассматривая элементы И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, мы не выходили за рамки первого уровня представления (логической модели). Это вполне допустимо в том случае, когда входные сигналы элементов не меняются одновременно или почти одновременно, когда их фронты разнесены во времени существенно (больше, чем на время задержки элемента). При одновременном изменении входных сигналов все будет гораздо сложнее, необходимо привлекать второй, а иногда и третий уровень представления. В момент изменения входных сигналов выходной сигнал становится неопределенным, нестабильным, непредсказуемым. В результате этого при неправильном проектировании может не работать вся сложная схема, целый прибор или даже большая система.
Например, возьмем логический элемент 2И-НЕ. Пусть на его входы приходят сигналы, изменяющиеся одновременно, причем в противофазе, то есть один переключается из нуля в единицу, а другой — из единицы в нуль. Пусть по тем или иным причинам (вследствие передачи по проводам, вследствие разных задержек элементов и т. д.) один из сигналов чуть-чуть сдвинулся во времени относительно другого (рис. 2.24). При этом на двух входах в течение кратковременного периода будет присутствовать два единичных сигнала. В результате выход начнет переключаться из единицы в нуль. Он может успеть переключиться, и тогда сформируется короткий импульс. Он может не успеть переключиться, и тогда импульса не будет. Он может иногда успевать переключиться, а иногда не успевать, и тогда выходной импульс то будет появляться, то не будет. Здесь все зависит от быстродействия элемента и величины задержки. Последняя ситуация наиболее неприятна, так как может вызвать нестабильную неисправность, выявить которую крайне сложно.
Рис. 2.24. Короткий импульс на выходе элемента 2И-НЕ.
На этапе проектирования схемы бороться с такими паразитными импульсами довольно просто: достаточно выбрать такое схемотехническое решение, при котором вся дальнейшая схема просто не реагировала бы на эти импульсы, например отключалась на некоторое время после изменения входных сигналов элементов. То есть необходимо временное согласование, синхронизация различных элементов схемы.
В качестве примера рассмотрим одно из самых распространенных применений рассматриваемых элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ — селектирование кодов. Суть селектирования сводится к следующему. Пусть имеется некоторая шина, по которой передаются коды. Необходимо выявить появление на этой шине какого-то определенного кода, то есть сформировать выходной сигнал, соответствующий требуемому входному коду.
Схема, выполняющая такую функцию, довольно проста
(рис. 2.25). В ее основе — многовходовые элементы И-НЕ. При
этом сигналы, соответствующие разрядам кода, в которых
должны быть единицы, подаются на входы элементов И-НЕ не
посредственно. А сигналы, соответствующие разрядам кода, в
которых должны быть нули, подаются на входы элементов И-
НЕ через инверторы. Выходные сигналы элементов И-НЕ объе
диняются с помощью элемента ИЛИ-НЕ. В результате на выхо
де элемента ИЛИ-НЕ формируется сигнал Вых.1 в тот момент,
когда на входе присутствует нужный код.
Рис. 2.25. Селектирование кодов со стробированием.
Однако в момент установления нужного кода и в момент его снятия возникает период неопределенности, когда в выходном сигнале могут быть короткие паразитные импульсы. Это связано как с неодновременным приходом различных разрядов, так и с внутренними задержками нашей схемы. Более того, короткие паразитные импульсы могут возникать на выходе и в том случае, когда любой входной код меняется на любой другой входной код, даже если оба этих кода не селектируются нашей схемой. То есть любое изменение кода всегда сопровождается периодом неопределенности в сигнале Вых.1.
Как же добиться, чтобы выходной сигнал не имел паразитных импульсов, не имел периодов неопределенности? Для этого обычно используется стробирование или тактирование передаваемого кода. То есть помимо кода параллельно с ним передается стробирующий или тактирующий сигнал STR, задержанный во времени относительно кода. Активным этот сигнал становится тогда, когда все предыдущие переходные процессы уже завершены, все разряды кода установились в нужные уровни и схема, обрабатывающая код, тоже закончила свою работу. А пассивным этот сигнал становится до начала новых переходных процессов. Это называется вложенным циклом (то есть в нашем случае сигнал STR вложен в сигналы кода). В результате, если мы будем разрешать выходной сигнал нашей схемы Вых.1 таким сигналом STR с помощью элемента 2И-НЕ, то мы получим сигнал Вых.2, свободный от паразитных импульсов и периодов неопределенности.
Однако бывают случаи, когда указанная особенность элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ формировать короткие импульсы при изменении входных сигналов оказывается очень полезной. Например, нам необходимо сформировать короткий импульс по положительному или отрицательному фронту имеющегося сигнала. Тогда этот сигнал инвертируют, специально задерживают с помощью цепочки элементов или емкости и подают исходный сигнал и задержанный сигнал на входы элемента (рис. 2.26).
Рис. 2.26. Формирователи коротких импульсов по фронту входного сигнала.
Импульс по положительному фронту входного сигнала формируется на элементе 2И или 2И-НЕ (а), а импульс по отрицательному фронту входного сигнала — на элементе 2ИЛИ или 2ИЛИ-НЕ (б). Если элемент с инверсией, то выходной импульс будет отрицательным, если без инверсии, то положительным. При указанной на схемах величине емкости длительность импульса получается около 50 не. Для увеличения длительности импульса надо увеличивать величину емкости или же количество инверторов в цепи задержки (при этом количество инверторов обязательно должно быть нечетным).
2.4. Логические элементы Исключающее ИЛИ
Элементы Исключающее ИЛИ (по-английски — Exclusive-OR) также можно было бы отнести к простейшим элементам, но функция, выполняемая ими несколько сложнее, чем в случае элемента И или элемента ИЛИ. Все входы элементов Исключающее ИЛИ равноправны, однако ни один из входов не может заблокировать другие входы, установив выходной сигнал к уровню единицы или нуля.
Под функцией Исключающим ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль. Таблица истинности двухвходового элемента Исключающее ИЛИ приведена ниже (табл. 2.5). Обозначения, принятые в отечественных и зарубежных схемах, показаны на рис. 2.27. Надпись на отечественном обозначении элемента Исключающее ИЛИ «=1» как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.
Таблица 2.5. Таблица истинности элемента Исключающее ИЛИ
§ 4. Логические операции И и ИЛИ
Логика высказываний позволяет строить составные высказывания. Они создаются из нескольких простых высказываний путем соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ, И, ИЛИ и др.
4.1. Логическая операция И
Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.
Составное высказывание А И В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией И, истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны (пример 4.1 и пример 4.2).
Операцию И называют логическим умножением. Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.
Представим таблицу истинности для логической операции И:
А И В
Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И, будет ложным, то и составное высказывание будет ложным.
Для записи логической операции И используют следующие обозначения: A И B, A AND B, A · B, A * B, A ∧ B, A & B.
4.2. Логическая операция ИЛИ
Составное высказывание А ИЛИ В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией ИЛИ, ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны (пример 4.3).
Другими словами, составное высказывание А ИЛИ В будет истинным, если истинно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний (пример 4.4).
Таблица истинности для логической операции ИЛИ имеет следующий вид:
Операцию ИЛИ называют логическим сложением. Равенства 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, верные для обычного сложения, верны и для логического сложения.
Для записи логической операции ИЛИ можно использовать следующие выражения: A ИЛИ B, A OR B, A + B, A ∨ B, A | B.
Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения. Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ. Логическая операция И, т. е. логическое умножение, выполняется раньше операции ИЛИ — логического сложения (пример 4.5* и пример 4.6*).
Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем — все остальные.
Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:
A И B = B И A ;
A ИЛИ B = B ИЛИ A .
Чтобы определить значение составного логического выражения, иногда достаточно знать значение только одного простого высказывания.
Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания является ложным, то и значение составного высказывания будет ложным. Если в составном высказывании с операцией ИЛИ значение хотя бы одного простого будет истинным, то и значение составного высказывания будет истинным (пример 4.7).
Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания:
«Число 456 трехзначное» (высказывание А) и «Число 456 четное» (высказывание В). Высказывания А и В соединены вместе логической операцией И, в результате получено составное высказывание А И B. Высказывание А истинно, высказывание В истинно. Поэтому высказывание А И B истинно: (А И B) = 1.
Пример 4.2. Высказывание А: «Геракл — герой древнегреческой мифологии». Истинно, А = 1.
Высказывание В: «Геракл — сын бога Зевса». Истинно, B = 1.
Высказывание А И В: «Геракл — герой древнегреческой мифологии И сын бога Зевса». Истинно, (А И В) = 1.
Пример 4.3. Проанализируем высказывание «Семиклас-сники изучают философию или астрономию».
Данное составное высказывание образовано из двух простых высказываний: «Семиклассники изучают философию» (высказывание А), «Семиклас-сники изучают астрономию» (высказывание В), которые связаны логической операцией ИЛИ. В результате получилось составное высказывание А ИЛИ B. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ B ложно: (А ИЛИ B) = 0.
Пример 4.4. Высказывание А: «Франциск Скорина — белорусский первопечатник». Истинно, А = 1.
Высказывание В: «Стефан Баторий — турецкий султан». Ложно, B = 0.
Высказывание «Франциск Скорина — белорусский первопечатник, ИЛИ Стефан Баторий — турецкий султан» будет истинным, (А ИЛИ В) = 1.
Пример 4.5*.
Рассмотрим выражение: А ИЛИ B И НЕ С. Распишем по действиям вычисление значения логического выражения:
Значение высказывания F, полученное в 3-м действии, определит значение исходного логического выражения.
Пример 4.6*.
Пусть высказывание А = 1, B = 0, С = 0. Найдем значение логического выражения: А ИЛИ B И НЕ С.
Значит, при начальных значениях А = 1, B = 0, С = 0 значение логического выражения А ИЛИ B И НЕ С истинно.
Пример 4.7. Высказывание А: «Прогноз погоды обещает дожди». Высказывание В: «Сейчас на улице идет дождь».
Высказывание А И B будет ложным, если мы увидели, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды).
1 В каких условиях составное высказывание А И В может быть истинным?
- Если А истинно и В истинно.
- Если А истинно, а В ложно.
- Если А ложно и В истинно.
- Если А ложно, а В истинно.
2 В каких случаях составное высказывание А ИЛИ В может быть ложным?
- Если А истинно и В истинно.
- Если А ложно и В ложно.
- Если А ложно, а В истинно.
- Если А истинно, а В ложно.
Упражнения
1 Определите, истинными или ложными являются нижеприведенные составные высказывания.
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская.
- Кролики — домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще.
- Клавиатура — устройство ввода информации, ИЛИ винчестер — устройство вывода информации.
- М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет».
- Сосна — хвойное дерево, И кедр — не хвойное дерево.
- Процессор — устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники — не устройство ввода информации.
- Континенты и острова — это большие участки суши.
2 О том, как прошли летние каникулы, Кира рассказала своим друзьям следующее:
- Я была у бабушки в деревне, и рядом с деревней было озеро.
- По озеру плавала лодка или утка.
- Мы с бабушкой насобирали малины и смородины.
- Я составила букет из цветов. В нем были ромашки или гвоздики.
Подготовьте к каждому из высказываний Киры рисунки, учитывая, что все высказывания истинны.
3 Откройте файл с рисунком и разложите грибы по корзинкам так, чтобы было истинным следующее высказывание: «В большой корзине все грибы съедобные, и в маленькой корзине все грибы несъедобные».
4 Откройте файл с рисунком и поставьте все цветы в вазы так, чтобы было истинным высказывание: «В синей вазе все цветы розы, или в красной вазе все цветы не красного цвета».
5* Найдите значения логических выражений, если А = 1, B = 1, С = 0, D = 0.
Основные логические операции. AND, NOT, OR и XOR (исключающее или)
В этой статье мы поговорим о некоторых битовых операциях. Рассмотрим основные из них: XOR (исключающее ИЛИ), AND (И), NOT (НЕ) а также OR (ИЛИ).
Как известно, минимальной единицей измерения информации является бит, который хранит одно из 2-х значений: 0 (False, ложь) либо 1 (True, истина). Таким образом, битовая ячейка может одновременно находиться лишь в одном из двух возможных состояний.
Для манипуляций с битами используют определённые операции — логические или булевые. Они могут применяться к любому биту, вне зависимости от того, какое у него значение — ноль или единица. Что же, давайте посмотрим на примеры использования трёх основных логических операций.
Логическая операция AND (и)
AND обозначается знаком & .
Оператор AND выполняется с 2-мя битами, возьмём, к примеру, a и b. Результат выполнения операции AND равен 1, если a и b равняются 1. В остальных случаях результат равен 0. Например, с помощью AND вы можете узнать, чётное число или нет.
Посмотрите на таблицу истинности операции AND:
Логическая операция OR (ИЛИ)
Оператор OR также выполняется с 2-мя битами (a и b). Результат равен 0, если a и b равны 0, иначе он равен 1. Смотрим таблицу истинности.
Логическая операция XOR (исключающее ИЛИ)
Оператор XOR обозначается ^ .
XOR выполняется с 2-мя битами (a и b). Результат выполнения операции XOR (исключающее ИЛИ) равен 1, когда один из битов b или a равен 1. В остальных ситуациях результат применения оператора XOR равен 0.
Таблица истинности логической операции для XOR (исключающее ИЛИ) выглядит так:
Используя XOR (исключающее ИЛИ), вы можете поменять значения 2-х переменных одинакового типа данных, не используя временную переменную. А ещё, посредством XOR можно зашифровать текст, например:
String msg = «This is a message»; char[] message = msg.toCharArray(); String key = «.*)»; String encryptedString = new String(); for(int i = 0; i
Согласен, XOR — далеко не самый надёжный метод шифрования, но это не значит, что его нельзя сделать частью какого-либо шифровального алгоритма.
Логическая операция NOT (НЕ)
Это побитовое отрицание, поэтому выполняется с одним битом и обозначается ~ .
Результат зависит от состояния бита. Если он в нулевом состоянии, то итог операции — единица и наоборот. Всё предельно просто.
Эти 4 логические операции следует запомнить в первую очередь, т. к. с их помощью можно получить практически любой возможный результат. Также существуют такие операции, как > (побитовый сдвиг вправо).
Логические операции «И», «Или», «Не»
— воспитания : воспитывать аккуратность, умение слушать, культуру общения.
1. Проверка домашнего задания .
Высказывания – домашняя работа
Контрольная работа — вопросы
1. Что является объектами алгебры? (Высказывания)
2. Что такое высказывание? Все ли предложения являются высказываниями?
3. Приведите 4 примера высказываний.
4. Приведите 4 примера не высказываний.
5. С какой точки зрения рассматриваются высказывания? (с точки зрения истинности или ложности)
2. Объяснение новой темы.
Логические выражения могут быть простыми и сложными.
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логической операции. В простом логическом выражении может быть только два результата – либо «истина», либо «ложь».
Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями.
В сложных логических выражениях используют логические операции.
Существуют три основные операции над высказываниями: логическое сложение, логическое умножение и отрицание.
НЕ – Логическое отрицание (инверсия)
Операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное высказывание. Результатом операции НЕ будет «ложь», если исходное выражение истинно и «истина», если исходное выражение ложно.
Для операции отрицания приняты следующие обозначения: НЕ А, ┐А, , not A.
Таблица со всеми возможными значениями исходных выражений и соответствующими им результатами операции получила название таблица истинности.
Задание 1. Создать отрицание для логических выражений. Определите результат операции отрицания.
1. Земля вращается вокруг Солнца.
2. Пушкин – гениальный русский поэт.
4. 4 – простое число.
ИЛИ – Логическое сложение (дизъюнкция, объединение)
Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое и сложное логические выражения.
Применяемые обозначения: А или В, А \/ В, А + В, А or В.
Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений или оба выражения.
Задание 2. Составить из логических выражений дизъюнкцию.
1. Марина старше Светы. Оля старше Светы.
2. В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.
3. Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко.
4. Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого.
И – Логическое умножение (конъюнкция)
Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое и сложное логическое выражение.
Применяемые обозначения: А и В, А /\ В, А ∙ В, А&В, А and В.
Результатом операции И является выражение, которое будет истинным, если истинны оба высказывания.
Задание 3. Составить из логических выражений конъюнкцию.
1. Одна половина класса изучает английский язык. Вторая половина класса изучает немецкий язык.
2. Суффикс есть часть слова. Суффикс стоит после корня.
3. Две прямые на плоскости параллельны. Они не пересекаются.
4. Петя поедет в деревню. Петя пойдет на рыбалку.
3. Закрепление.
Задание 4. Пусть А = «Эта звездная ночь» а В = «Эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке:
2. А И НЕ В;
3. НЕ А И НЕ В;
4. НЕ А ИЛИ В;
5. А И НЕ В;
6. НЕ А И НЕ В;
Задание 5. Составьте и запишите истинные сложные высказывания с использованием логических операций.
1. Неверно, что y > 5 и z < 0.
2. Любое из чисел X , Y , Z отрицательно.
3. Все числа X , Y , Z равны 12.
4. Неверно, что все числа X , Y , Z положительны.
4. Итог урока.
1. Что такое простое логическое выражение?
2. Что такое сложное логическое выражение?
3. Какие основные логические операции вам известны?
4. Что такое отрицание?
5. Что такое логическое сложение?
6. Что такое логическое умножение?
7. Приведите примеры сложных логических выражений.
5. Домашнее задание. Теория, составить 5 сложных высказываний
Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Методические разработки к Вашему уроку:
Получите новую специальность за 3 месяца
Садовод-декоратор
Получите профессию
Бухгалтер
за 6 месяцев Пройти курс
Краткое описание документа:
Тема: «Логические операции «И», «Или», «Не». КР1» Цели урока: обучения: сформировать представление о простейших логических операциях;развития: развивать логическое мышление, познавательный интерес;воспитания: воспитывать аккуратность, умение слушать, культуру общения. Ход урока. 1. Проверка домашнего задания. Высказывания – домашняя работа Контрольная работа — вопросы Что является объектами алгебры? (Высказывания)Что такое высказывание? Все ли предложения являются высказываниями?Приведите 4 примера высказываний.Приведите 4 примера не высказываний.С какой точки зрения рассматриваются высказывания? (с точки зрения истинности или ложности) 2. Объяснение новой темы. Логические выражения могут быть простыми и сложными. Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логической операции. В простом логическом выражении может быть только два результата – либо «истина», либо «ложь». Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. В сложных логических выражениях используют логические операции. Существуют три основные операции над высказываниями: логическое сложение, логическое умножение и отрицание. НЕ – Логическое отрицание (инверсия) Операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное высказывание. Результатом операции НЕ будет «ложь», если исходное выражение истинно и «истина», если исходное выражение ложно. Для операции отрицания приняты следующие обозначения: НЕ А,┐А, , not A. Таблица со всеми возможными значениями исходных выражений и соответствующими им результатами операции получила название таблица истинности. А 0 1 1 0 Задание 1. Создать отрицание для логических выражений. Определите результат операции отрицания. Земля вращается вокруг Солнца.Пушкин – гениальный русский поэт.5х = 10.4 – простое число. ИЛИ –Логическое сложение (дизъюнкция, объединение) Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое и сложное логические выражения. Применяемые обозначения: А или В, А \/ В, А + В, А or В. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений или оба выражения. А В А\/В 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Задание 2. Составить из логических выраженийдизъюнкцию. Марина старше Светы. Оля старше Светы.В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко.Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого. И – Логическое умножение (конъюнкция) Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое и сложное логическое выражение. Применяемые обозначения: А и В, А /\ В, А ∙ В, А В, А and В. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным, если истинны оба высказывания. А В А/\В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Задание 3. Составить из логических выраженийконъюнкцию.
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 637 265 материалов в базе