Даны координаты вершин пирамиды.
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Решение от преподавателя:
Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0
Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y — 3z-38 = 0
Уравнение прямой A1A4:
γ = arcsin(0.267) = 15.486 o
Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(0,2,2)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y — 3z-38 = 0
Уравнение плоскости через вершину A4(0,2,2)
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y — 3z-38 = 0
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0
или
2x+13y-3z-20 = 0
Задача с треугольной пирамидой
После пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки:
У треугольной пирамиды есть:
– четыре вершины;
– шесть рёбер (сторон);
– четыре грани.
Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр.
Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите.
Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (стОрону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторонЫ)» и «уравнение грани».
Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где-то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =)
Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами.
Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так:
Треугольная пирамида задана координатами своих вершин
Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =)
Пусть это будут вершины .
Требуется:
Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3-4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий.
Поздравляю, вы сорвали Джекпот!
1) найти длину ребра ;
2) составить уравнения стороны ;
3) найти угол между рёбрами ;
4) найти площадь грани ;
5) найти угол между ребром и плоскостью ;
6) составить уравнение грани ;
7) составить уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ;
8) вычислить длину высоты ;
9) найти основание высоты ;
10) вычислить объем пирамиды;
11) составить уравнения медианы грани ;
12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину ;
13) найти угол между плоскостями и ;
14) выполнить чертёж пирамиды в прямоугольной декартовой системе координат;
15) перекреститься левой пяткой.
Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие. …немного наскучило выстраивать вереницу Пример 1, Пример 2, Пример 3, ….
Начнём-с бренчать монетами по карманам.
Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами . Выполним схематический чертёж:
Если бегло просмотреть пункты задачи, то легко заметить, что в условии часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .
А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань , а «особенной» точкой – вершина . В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен.
Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике.
С чего начать решение задачи?
Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки . Решим элементарную задачу урока Векторы для чайников:
Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а-ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно найти на странице Математические формулы и таблицы.
Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных векторов рекомендую переписать на бумагу.
Как найти длину ребра пирамиды?
1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора :
Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1-го или 3-го десятичного знака.
Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер или . Если же вам предложено найти длину какой-нибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам:
Это всё простейшие задачи первого урока про векторы.
Как составить уравнения стороны пирамиды?
2) Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.
Уравнения ребра составим по точке (можно взять ) и направляющему вектору :
В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям.
Как найти угол между рёбрами пирамиды?
3) Найдём угол между сторонами :
Перед вами обычный угол пространственного треугольника, который рассчитывается как угол между векторами. И снова при делах тривиальная формула урока Скалярное произведение векторов:
Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что (см. пункт 1).
С помощью обратной функции находим сам угол:
Как найти площадь грани пирамиды?
4) Найдём площадь грани :
Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу .
Сначала найдём векторное произведение:
И вычислим его длину:
Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде.
Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях.
Как найти угол между ребром и гранью?
5) Найдём угол между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере № 3 п. «д» урока Основные задачи на прямую и плоскость. Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину:
Используем формулу:
И с помощью арксинуса рассчитываем угол:
Как найти уравнение грани?
6) Составим уравнение плоскости . Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали :
Для проверки можно подставить координаты точек в полученное уравнение, все три точки должны «подходить».
Как составить уравнения высоты пирамиды?
7) Звучит грозно, решается просто.
Уравнения высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке и направляющему вектору :
– по умолчанию записываем канонические уравнения.
Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение.
Как найти длину высоты пирамиды?
8) Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты найдём как расстояние от точки до плоскости :
Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе.
Как найти основание высоты пирамиды?
9) Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Повторим. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме:
Неизвестным координатам точки соответствует вполне конкретное значение параметра :
, или: .
Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение :
Кому-то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике.
Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки:
Сурово, но идеально точно. Я проверил.
Как найти объем треугольной пирамиды?
10) Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов:
В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где – площадь грани, – длина высоты, опущенной к этой грани.
Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину соответствующей высоты
Как составить уравнения медианы грани пирамиды?
11) Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника:
По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и, по формулам координат середины отрезка, находим реквизиты точки :
Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой:
За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей:
Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору :
Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные.
Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек в полученные канонические уравнения.
Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро?
12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину :
А задаёт ли вообще прямая и не принадлежащая ей точка плоскость? Да, это «жёсткая конструкция», однозначно определяющая плоскость.
К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости , и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам.
В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из нужных векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать его брата-мажора . В качестве второго вектора подходит либо (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ). Учитывая дробные координаты точки «эм», выгоднее найти:
Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам :
Очевидно, что координаты точек должны «подходить» в полученное уравнение плоскости.
Как найти угол между гранью и плоскостью?
13) Найдём угол между плоскостями и .
Очередной типовик, рассмотренный в Примере № 13 урока Уравнение плоскости.
Данные плоскости пересекаются, и косинус угла между ними выражается формулой: , где – вектор нормали плоскости . Напоминаю, что вектор нормали и его длина уже известны.
Осталось снять вектор нормали: и аккуратно провести вычисления:
Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол:
От тупизны подальше за ответ таки лучше принять острого соседа:
Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат?
14) Выполним точный чертёж пирамиды прямоугольной системе координат. Это проще, чем кажется.
Во-первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций.
Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему.
Построим точку . На мой взгляд, сначала удобно разобраться с первыми двумя координатами – «иксом» и «игреком»: отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости прочерчиваем пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим координатным осям. Пересечение дорожек я пометил небольшим ромбиком:
Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка , она расположена в нижнем полупространстве.
Для точки отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве.
Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина лежит в самой плоскости .
В тетради пунктирные линии аккуратно и не жирно проводятся простым карандашом.
Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – .
Немало читателей уже мысленно прорисовали пирамиду, тем не менее, остановлюсь на построении подробнее. После того, как построены вершины, чайники могут тонко-тонко карандашом начертить все 6 сторон, и начинать разбираться, какие рёбра видимы, а какие рёбра скрыты. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все три «исходящих» ребра в поле нашего зрения:
Должен предостеречь, так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства!
Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра , а вот сторона спряталась за пирамидой:
К слову, невидимое нам ребро лежит в нижнем полупространстве и проходит под осями .
Чертеж-конфетка на практике получается не во всех случаях. Бывает, фортуна разворачивается и задом:
То есть, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное. Но самое скверное, когда перекрываются рёбра:
Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В похожей ситуации приходится жирно прочерчивать накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записывать дополнительные комментарии о расположении пирамиды.
Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложиться на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней).
Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике.
Вот, пожалуй, и все основные сведения о построении треугольной пирамиды в декартовой системе координат.
15) Это пример для самостоятельного решения.
В конце решения желательно остограммиться записать ответ, и по пунктам перечислить полученные результаты. За ваше здоровье!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Построение пирамиды Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис строит пирамиду по координатам её вершин.
Пирамиду можно вращать: либо нажав на графике мышкой и крутя в нужную сторону, либо с помощью клавиатурных стрелок.
- быстро не вращайте и долго не зажимайте клавиатурные стрелки!
- данный сервис может не работать в браузере Internet Explorer!
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
Объем пирамиды
Если заданы координаты точек вершин пирамиды, то координаты векторов находятся по формуле:
X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi
где xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj;
Инструкция . Заполните координаты вершин, нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле MS Word . или
Где (-18) нашли как определитель матрицы
∆ = 3·(3·2 — 2·(-2)) — 1·(6·2 — 2·3) + 2·(6· (-2) — 3·3) = -18
Пример №2 . Найти объем пирамиды, отсекаемой от угла плоскостью, проходящей через точки А(0,2,-1), В(3,4,2), С(-3,0,4).