Треугольники напряжений и сопротивлений токов и проводимостей

Треугольники напряжений, токов, сопротивлений, проводимостей, мощностей для приемников переменного тока.

При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (при­емники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из ком­бинации идеальных схемных элементов R, L и С.

Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активно-индуктив­ный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть пред­став­лен двумя простей­шими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных эле­ментов R и L: а) последовательной (рис. 53а) и б) параллельной (рис. 53б):

Обе схемы будут эквивалентны друг другу при условии равенства пара­метров ре­жима на входе: , .

Для последовательной схемы (рис. 53а) справедливы соотношения:

Для параллельной схемы (рис. 53б) справедливы соотношения:

Сравнивая правые части уравнений для U и I, получим соотношения между пара­метрами эквивалентных схем:

Из анализа полученных уравнений следует сделать вывод, что в общем случае и и соответственно и , как это имеет место для цепей постоян­ного тока.

Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.

Последовательной схеме замещения соответствует представление век­тора напряже­ния в виде суммы двух составляющих: активной составляющей U _а, совпадающей с векто­ром тока I, и реактивной составляющей U _р, перпенди­ку­лярной к вектору тока (рис. 54а):

б) треугольник сопротивлений

Из геометрии рис. 54а следуют соотношения:

Треугольник, составленный из векто­ров , , получил назва­ние треугольника напряжений (рис. 54а).

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то полу­чится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого явля­ются полное сопротивление Z, активное сопротивление R и реактивное сопро­тивле­ние X. Треугольник со сторонами Z, R, X называется треугольником со­против­лений (рис. 54б). Из треугольника сопротивлений следуют соотношения: R = Z ×cos φ, X = Z ×sin φ, , .

Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей I_а, совпадаю­щей с вектором напряже­ния U, и реактивной составляющей I_р, перпендикуляр­ной к вектору U (рис. 55а).

Из геометрии рисунка следуют соотношения:

Треугольник, составленный из векторов , , получил название тре­угольника токов (рис. 55а).

Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U, то полу­чится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого явля­ются проводимости: пол­ная – Y, активная — G, реактивная – B (рис. 55б). Тре­угольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:

Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета сравнительно не­сложных цепей пере­менного тока.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Треугольники напряжений и сопротивлений

Разделим все стороны диаграммы напряжений на , получимтреугольник напряжений для действующих значений:

— полное сопротивление цепиRL

— закон Ома для цепиRL

Разделим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений(стрелки уже не ставятся):

Умножим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник мощностей:

— полная мощность цепи (вся мощность, которую выдаёт генератор)

В цепи RLпроисходитдва энергетических процесса:

1. преобразование электрической энергии в тепловую (активная мощность P);
2. обмен энергией между катушкой и источником (реактивная мощность Q_L).

— коэффициент мощности Чем ближе к 1, тем лучше используется мощность генератора. Формулы мощностей:

Сопротивление цепи rl в комплексной (символической) форме

Вывод: в комплексной форме при последовательном соединении сопротивления участков просто складываются. Вопрос 34. Неразветвлённая RC электрическая цепь при гармоническом воздействии. Свойства конденсатора с потерями. Закон Ома. Энергетический процесс. Треугольник напряжений, сопротивлений и мощностей. Входное сопротивление цепи в комплексной форме. Цепь RС при гармоническом воздействии Вреальном конденсаторе происходит процесс нагревания, поэтому в схеме замещения реального конденсатора появляется резистивное сопротивление. Пусть ток изменяется по закону — активная составляющая напряжения — емкостная составляющая напряжения (Вместо можно писать— резистивная составляющая напряжения) (формула справедлива для мгновенных, векторных и комплексных значений) Сложим напряжения участков на векторной диаграмме: В цепи RС ток опережает напряжение на угол , меньший 90°.

Треугольники напряжений и сопротивлений

Разделим все стороны диаграммы напряжений на, получимтреугольник напряжений для действующих значений: — полное сопротивление цепиRС— закон Ома для цепиRС Разделим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений(стрелки уже не ставятся): Умножим все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник мощностей: — полная мощность цепи (вся мощность, которую выдаёт генератор) В цепи RСпроисходитдва энергетических процесса:

1. преобразование электрической энергии в тепловую (активная мощность P);
2. обмен энергией между катушкой и источником (реактивная мощность Q_с).

— коэффициент мощности Чем ближе к 1, тем лучше используется мощность генератора. Формулы мощностей:

Сопротивление цепи rс в комплексной (символической) форме

При рассмотрении сопротивления цепи RLв комплексной форме в предыдущем вопросе был сделан вывод о том, чтов комплексной форме при последовательном соединении сопротивления участков просто складываются. Исходя из этого, для цепиRC: Это можно доказать: Вывод (к вопросам 33 – 34): модуль комплексного сопротивления есть полное сопротивление цепиZ. Действительная часть — активное (резистивное) сопротивлениеR, мнимая часть — реактивное сопротивление (x_Lилиx_c). Аргумент — угол— угол сдвига фаз между напряжением и током.

Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей

Из векторной диаграммы следует, что вектора напряжений образуют треугольник напряжений, в котором гипотенуза – входное напряжение цепи U, катет, прилегающий к углу φ — активная составляющая напряжения U_R, второй катет U_L – U_C = U_P – реактивная составляющая напряжения

U_R = Ucosφ; U_P = Usinφ;

Если в треугольнике напряжений все стороны разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений, а если умножить на I 2 – треугольник мощностей.

сопротивлений Треугольник мощностей

Из треугольника сопротивлений

R = Zcosφ; X = Zsinφ;

Из треугольника мощностей

P = Scosφ; Q = Ssinφ; S =

Из треугольников определяют

cosφ = U_R/U = R/Z = P/S.

Свое название cosφ получил из треугольника мощностей – коэффициент мощности – важный показатель электрооборудования. Определяет, какую часть от полной мощности составляет активная мощность, мощность, расходуемая на совершение полезной работы.

Резонанс напряжений

Резонанс – это явление в электрической цепи, при котором ток и напряжение цепи совпадают по фазе. Резонанс напряжений возникает в цепи при последовательном соединении элементов, при X_L = X_C. Так как при этом Z = R, т. е. полное сопротивление имеет минимальное значение, следовательно, ток цепи будет максимальным. В этом режиме резко возрастают напряжения на реактивных элементах X_L и X_C. Происходит непрерывный обмен энергии между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Равенства Х_L и X_C можно добиться изменением L, C, f. Изменение I, U_R, U_L, U_C, U, φ при разных ω показаны на рисунке.

Зависимость напряжения и тока от частоты

Явление резонанса широко используется в устройствах радиотехники, телевидения, автоматики и др

Векторная диаграмма для режима резонанса напряжений

Если электрическая цепь имеет такие L и С, что резонансной для этой цепи является ω₀ = , то ток этой частоты f будет максимальным. Изменяя индуктивность L или емкость С, можно настроить контур на эту частоту, т. е. усилить ток этой цепи.

В электросиловых устройствах это явление не нашло применения, так как в режиме резонанса напряжений резко увеличиваются U_L и U_C, что может привести к пробою изоляции.

Лекция №6. Цепь с параллельным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов

При подаче напряжения u = U_mахsinωt в электрическую цепь с параллельным соединением R, L, C в ветвях создаются токи i_R = I_mахRsinωt в ветви с R; i_L = I_mахLsin(ωt — π/2) в ветви с L; i_C = I_mахCsinωt(ωt + π/2) в ветви с С.

Схема электрической цепи при параллельном соединении

элементов с R, L, C

Действующие значения токов в ветвях соответственно будут равны

I_R =U/R=GU; I_L=U/X_L = B_LU; I_C = U/X_C = B_CU.

где G = 1/R; B_L = 1/X_L; B_C = 1/X_C, Y = 1/Z – активная, индуктивная, емкостная и полная проводимости цепи.

I = U/Z =YU,

По I ЗК для цепи

I = İ_R + İ_L + İ_{С .}

В комплексной форме записи: напряжение источника питания ,

Полное сопротивление цепи:

Z _экв = Z _R Z _L Z _c /( Z _R Z _L + Z _C Z _L+ Z _R Z _C ) = Z _эквe jφ

Токи İ = /Z _экв. = Ie j ψ _i, I = U/Z _экв.; ψ_i = ψ_U – φ = – φ.

İ_R = /R = Ue j 0 ° /Re j 0 ° = I_Re j 0° = I_R;

İ_L = /Z_L = Ue j 0° /(X_Le + j 90° ) = U/X_Le –j 90° =I_Le – j 90° ;

İ_C = /Z_C = Ue j 0° /(X_Ce – j 90° ) = I_Ce + j 90° .

При построении векторной диаграммы цепи за начальный вектор удобно принимать вектор напряжения, а вектора токов откладывать на комплексной плоскости с учетом их сдвига по фазе по отношению к вектору напряжения. Вектор полного комплексного тока İ определяют геометрическим сложением векторов токов İ_R, İ_L, и İ_С

Векторная диаграмма цепи

Треугольники напряжений и сопротивлений токов и проводимостей

Как известно, любая электрическая цепь состоит или может быть представлена в виде двухполюсников . Пассивный двухполюсник однозначно определяется значениями тока и напряжения на входе или их отношением.

Пусть через некоторый двухполюсник протекает переменный ток и существует падение напряжения. Изобразим ток и напряжение на входе двухполюсника векторами на комплексной плоскости I и U (рис. 1).

Проектируя вектор U на направление вектора I (рис. 1 а)), получим вектор, модуль которого равен U а = U cos j , где j — разность начальных фаз напряжения и тока на входе двухполюсника, причем, направление вектора U а совпадает с направлением вектора тока, поэтому его запись в показательной форме будет иметь вид

где y i — начальная фаза тока на входе двухполюсника.

Перпендикуляр, опущенный из конца вектора U на направление вектора тока, имеет длину U sin j и может рассматриваться как некоторый вектор U р , сумма которого с вектором U а равна U (рис. 1 а)). Его также можно записать в показательной форме в виде

Оператор поворота j в выражении (2) учитывает перпендикулярное положение вектора U р по отношению к I и условие U а + U р = U .

Так как по построению векторы U а и U р в сумме равны U , то из выражений (1) и (2) вектор напряжения на входе двухполюсника можно представить как

Разделим выражение (3) на модуль вектора тока

Выражение (4) соответствует представлению на комплексной плоскости вектора Z , равного комплексному сопротивлению двухполюсника и развернутого относительно вещественной оси на угол y i . При этом вектор Z e j j e j y i = Z e j ( y u — y i + y i ) = Z e j y u образует с вещественной осью комплексной плоскости угол y u , т.е. оказывается совпадающим по направлению с вектором U .

Сравнивая вещественные и мнимые части выражений (3) и (4), можно представить модули составляющих вектора U в виде

т.е. модуль составляющей U а , называемой активной или резистивной составляющей напряжения на входе двухполюсника , представляет собой падение напряжения на резистивной составляющей его комплексного сопротивления при токе I . Аналогично, модуль вектора U р , называемого реактивной составляющей входного напряжения , является падением напряжения на реактивной составляющей комплексного сопротивления.

Рассмотренным соотношениям величин соответствует представление двухполюсника последовательным соединением резистора R и реактивного сопротивления X , представленным на рис. 1 а) .

Таким образом, вектор падения напряжения на входе двухполюсника может быть представлен двумя составляющими, одна из которых является его проекцией на направление вектора входного тока и называется активной (резистивной) составляющей или активным падением напряжения. Активная составляющая соответствует падению напряжения на резистивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы двухполюсника. Вторая составляющая перпендикулярна вектору тока и соответствует падению напряжения на реактивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы.

Прямоугольные треугольники U U а U р и ZRX ( рис. 1 а) ) подобны и называются соответственно треугольниками напряжений и сопротивлений .

Спроектируем теперь вектор тока I на направление вектора падения напряжения U (рис. 1 б)) . Длина проекции будет равна I а = I cos j , а длина проектирующего перпендикуляра — I р = I sin j . Представим эти отрезки векторами с учетом того, что I а совпадает с направлением вектора падения напряжения на входе двухполюсника, а в сумме эти два вектора должны быть равны I . Тогда в показательной форме —

Множитель — j является оператором поворота отрезка I р на 90 ° в направлении отставания, чтобы обеспечивалось условие I а + I р = I .

Представим теперь вектор тока через полученные составляющие

Разделим выражение (8) на модуль вектора U —

Таким образом, из прямоугольного треугольника, составленного из векторов I а , I р и I и описанного выражением (8), делением на постоянную величину U всех его сторон мы получили подобный треугольник, описываемый выражением (9). Стороны нового треугольника имеют размерность проводимости и связаны с составляющими вектора тока законом Ома

Следовательно, активную и реактивную составляющую вектора тока можно представить, в виде токов, протекающих через активную (резистивную) проводимость G и реактивную проводимость B эквивалентной параллельной схемы двухполюсника (рис. 1 б)) .

Прямоугольные треугольники I I а I р и YGB (рис. 1 б)) подобны и называются соответственно треугольниками токов и проводимостей . Очевидно, что треугольники токов и проводимостей подобны треугольникам напряжений и сопротивлений, т.к. имеют одинаковые углы.

Обобщая понятия составляющих векторов тока и напряжения на входе двухполюсника, можно сделать следующие выводы:

• активная (резистивная) и реактивная составляющие вектора напряжения на входе двухполюсника соответствуют падениям напряжения на резистивном и реактивном сопротивлениях последовательной эквивалентной схемы (схемы R-X);
• активная (резистивная) и реактивная составляющие вектора тока на входе двухполюсника соответствуют токам, протекающим через резистивную и реактивную проводимости параллельной эквивалентной схемы (схемы G-B);
• понятиями активной и реактивной составляющих тока и напряжения можно пользоваться, не связывая их с какой-либо эквивалентной схемой двухполюсника, т.к. из подобия треугольников напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей следует взаимно однозначная связь этих величин.