От чего зависит электроемкость проводника

Курс лекций, модуль 4

Уединенным проводником будем называть проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные потенциалы. Для уединенного проводника можно записать:

где С – коэффициент пропорциональности.

Величину С=Q/ j , (15.1) называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника.

Емкость уединенного проводника зависит от его размеров, форм, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника.

В СИ: единица электроемкости – фарад: [ С ] = 1 Фарад =1Кл / В;

Фарад – это емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на

1 В, при сообщении ему заряда в 1 Кл.

Но мы знаем потенциал уединенного шара радиуса R , находящегося в вакууме:

тогда емкость шара равна:

Отсюда следует, что емкостью в 1 Фарад обладал бы уединенный шар радиусом R @ 9´10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (R @ 1400 R _З).

Электроемкость Земли С_3емли = 0,7мФ. Фарад — очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы:

1 миллифарад = 1 мФ =10 -3 Ф;

1 микрофарад = 1 мкФ =10 -6 Ф;

1 пикофарад = 1 пФ =10 -12 Ф.

1 нанофарад = 1 нФ =10 -9 Ф;

Из формулы (15.3) вытекает, что единица измерения электрической постоянной e₀ — фарад/метр; [e₀]=Ф/м.

что такое электроемкость уединенного проводника и от чего она зависит?

Электроемкость характеризует способность проводников или системы из нескольких проводников накапливать электрические заряды, а следовательно, и электроэнергию, которая в дальнейшем может быть использована, например, при фотосъемке (вспышка) и т. д.

Различают электроемкость уединенного проводника, системы проводников (в частности, конденсаторов) .

Уединенным называется проводник, расположенный вдали от других заряженных и незаряженных тел так, что они не оказывают на этот проводник никакого влияния.

Электроемкость уединенного проводника — физическая величина, равная отношению электрического заряда уединенного проводника к его потенциалу: ~C = \frac. В СИ единицей электроемкости является фарад (Ф) .

1 Ф — это электроемкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Поскольку 1 Ф очень большая единица емкости, применяют дольные единицы: 1 пФ (пикофарад) = 10-12 Ф, 1 нФ (нанофарад) = 10-9 Ф, 1 мкФ (микрофарад) = 10-6 Ф и т. д.

Электроемкость проводника не зависит от рода вещества и заряда, но зависит от его формы и размеров, а также от наличия вблизи других проводников или диэлектриков. Действительно, приблизим к заряженному шару, соединенному с электрометром, незаряженную палочку (рис. 1). Он покажет уменьшение потенциала шара. Заряд q шара не изменился, следовательно, увеличилась емкость. Это объясняется тем, что все проводники, расположенные вблизи заряженного проводника, электризуются через влияние в поле его заряда и более близкие к нему индуцированные заряды противоположного знака ослабляют поле заряда q.
Рис. 1

Если уединенным проводником является заряженная сфера, то потенциал поля на ее поверхности ~\varphi = \frac, где R — радиус сферы, ε — диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится проводник. Тогда
~C = \frac = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon R —

электроемкость уединенного сферического проводника.

Обычно на практике имеют дело с двумя и более проводниками. Рассмотрим систему из двух разноименно заряженных проводников с разностью потенциалов φ1 — φ2 между ними. Чтобы увеличить разность потенциалов между этими проводниками, необходимо совершить работу против сил электростатического поля и перенести добавочный отрицательный заряд -q с положительно заряженного проводника на отрицательно заряженный (или заряд +q с отрицательно заряженного проводника на положительно заряженный) . При этом увеличивается абсолютное значение обоих зарядов: как положительного, так и отрицательного. Поэтому взаимной электроемкостью двух проводников называют физическую величину, численно равную заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой, для того чтобы изменить разность потенциалов между ними на 1 В:
~C = \frac.

Взаимная электроемкость зависит от формы и размеров проводников, от их взаимного расположения и относительной диэлектрической проницаемости среды, заполняющей пространство между ними.

Электрическая ёмкость проводника. Конденсаторы

Подробное введение в конденсаторы с вопросами для самостоятельной работы.

Подробное введение в конденсаторы, которое начинается с емкости уединенного проводника (с базовыми свойствами). Затем рассматриваются несколько типов конденсаторов: плоский, цилиндрический и сферический, для них подсчитаны емкости параллельных и последовательных соединений. Статья заканчивается изучением энергии конденсаторов и вопросами для самостоятельной работы.

Определение. Ёмкостью уединенного проводника называют физическую величину, определённую соотношением

где q — заряд проводника, ϕ — его потенциал.

Пример.

Найдём емкость шара радиуса R в вакууме. Как известно, потенциал шара равен

Из формулы (1) найдем ёмкость шара:

Замечание 1. Ёмкость проводника не зависит ни от потенциала, ни от заряда. Только от геометрических размеров тела.

Замечание 2. Все формулы в этом разделе, кроме отдельно оговоренных случаев, также будут записаны с учётом того, что все проводники находятся в вакууме.

Емкость измеряется в фарадах: [C] = Фарад.

Конденсаторы

Определение. Конденсатором называют систему двух изолированных друг от друга проводников (обкладки конденсатора). Полный заряд конденсатора равен нулю. Один проводник содержит положительный заряд +q, другой отрицательный –q; тогда между ними возникает разность потенциалов:

Ёмкость конденсатора можно найти по формуле (5.1). Только для конденсаторов потенциал проводника ϕ заменяется разностью потенциалов на обкладках.

Обычно в школьном курсе рассматривают три типа конденсаторов: плоский, цилиндрический, сферический.

Плоский конденсатор

Под моделью плоского конденсатора подразумевают две пластины, находящиеся очень близко друг к другу:

где S — площадь пластины (обкладки конденсатора), d — расстояние между пластинами (рисунок 5.1). Обозначения в цепях для всех конденсаторов также представлены на рисунке 5.1. В этой модели мы можем пренебрегать краевыми эффектами и считать поле в конденсаторе от двух бесконечно больших равномерно заряженных пластин.

Каждая пластина создает поле:

Но вторая пластина создает такое же поле. Тогда поле в плоском конденсаторе можно найти по формуле

где σ — поверхностная плотность заряда пластины конденсатора.

Замечание. Поле внутри плоского конденсатора однородно.

Тогда разность потенциалов между пластинами конденсаторов равна

Из формулы (1) получим ёмкость плоского конденсатора:

Замечание. Если между пластинами конденсатора поместить диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то емкость будет равна

С учетом того, что ε > 1, получаем, что ёмкость конденсатора можно сильно увеличить, поместив диэлектрическую пластину с проницаемостью ε. Это свойство используют в технике для повышения емкости конденсаторов.

Цилиндрический конденсатор

В качестве цилиндрического конденсатора используют два цилиндра, у которых радиусы r и R (R > r) практически не отличаются друг от друга (R – r

Напряжённость поля от цилиндра радиуса r и длины L:

Замечание. Поле внутри цилиндрического конденсатора неоднородно, поэтому для нахождения разности потенциалов придётся воспользоваться интегрированием.

Тогда получим разность потенциалов U для цилиндрического конденсатора:

По формуле (1) найдем ёмкость цилиндрического конденсатора:

Сферический конденсатор

В качестве сферического конденсатора (рисунок 5.3) используют две сферы, у которых радиусы r и R (R > r) практически не отличаются друг от друга (R – r

Напряжённость поля в сфере радиуса r равна

Тогда получим разность потенциалов U для сферического конденсатора:

По формуле (1) найдём ёмкость сферического конденсатора:

Замечание. Ёмкости плоского, цилиндрического, сферического конденсатора зависят только от геометрического размера конденсаторов.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Для последовательного соединения (рисунок 5.4):

С учётом формулы (1) найдём напряжение U на отрезке АВ:

С другой стороны, напряжение U можно найти, зная общую ёмкость C_0 участка АВ:

Тогда, приравняв последние выражения, получим выражения для общей ёмкости при последовательном соединении конденсаторов.

При параллельном соединении (рисунок 5.5):

Общее напряжение U на участке АВ можно записать в виде

где C_0 — общая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов. Тогда выразим общую ёмкость через ёмкости каждого из конденсаторов:

Замечание. Формулы для вычисления общей ёмкости для последовательного и параллельного соединения конденсаторов противоположны аналогичным формулам для расчета сопротивления последовательного и параллельного соединения резисторов.

Энергия проводника и конденсатора

Формулу (4) из 4-го раздела можно переписать в виде

где φ_i — потенциал поля всех остальных зарядов в точке, где находится заряд q_i.

Так как все точки проводника имеют одинаковый потенциал ϕ, то энергию проводника можно найти по формуле

где q — заряд проводника.

Пример. Найти энергию заряженной сферы радиуса R.

Воспользовавшись формулой (5.2), получим:

Энергия конденсатора

Рассмотрим плоский конденсатор (очевидно, что это будет выполнено и для произвольного конденсатора). Положительно заряженная пластина имеет потенциал φ_1, а отрицательная заряженная пластина — потенциал φ_2. Записав формулу (2), получим энергию конденсатора:

Замечание. Получим эту же формулу для плоского конденсатора, подсчитав работу, которую надо затратить на раздвижение пластин конденсатора на расстояние d. Считаем, что поле внутри конденсатора однородно. Каждая пластина создает поле E_пл, которое притягивает к себе соседнюю пластину с силой F.

где E — напряженность поля внутри конденсатора, q — заряд конденсатора. Заметим, что F не зависит от расстояния d (это выполняется в приближении, что поле однородно, т. е. d считается малой величиной).

Тогда энергия W равна

Задачи для самостоятельной работы

1. Определить ёмкость шара радиуса r = 10 м, если он окружен диэлектриком проницаемостью 4 с наружным радиусом R = 15 м.
2. Два одинаковых шара имеют энергию поля, равную W_1 и W_2 соответственно. Найти количество теплоты, которое выделится при соединении шаров проволочкой. Считать, что шары находятся очень далеко друг от друга.
3. Уменьшится или увеличится энергия конденсатора, если вынуть из него диэлектрическую пластину? Рассмотреть два случая:

а) конденсатор подключен к источнику;

б) конденсатор отключён от источника.

5. Рассчитать силу притяжения между пластинами конденсатора (аналогично задаче 5.5), только при условии, что конденсатор заполнен диэлектрической пластиной с проницаемостью ε = 6.

Список литературы

1. Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. // М.: Физматлит, 2005.
2. Задачи по физике // под ред. О. Я. Савченко. 3-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 1999.
3. Козел С. М., Слободянин В. П. Всероссийские олимпиады по физике 1992–2001. // М.: Вербум-М, 2002.
4. Савченко Н. Е. Решение задач по физике. // М., 2011.
5. Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. // М., 2000.

Физика. 10 класс

§ 22-3. Электрическая ёмкость. Электрическая ёмкость уединённого проводника

Проводники и системы, состоящие из нескольких проводников, обладают свойством накапливать электрический заряд. Какая физическая величина характеризует это свойство?

Электрическая ёмкость. Для характеристики свойства проводника накапливать электрический заряд ввели физическую величину — электрическую ёмкость С. Для объяснения физического смысла этой величины рассмотрим следующий опыт: присоединим тонким длинным проводником к стержню электрометра с заземлённым корпусом уединённый полый металлический шар.

Проводник считают уединённым, если он расположен вдали от возможных источников электрического поля как проводящих, так и непроводящих тел. Если вблизи заряженного проводника находятся другие тела, то вследствие явления электростатической индукции в проводниках происходит перераспределение свободных электрических зарядов — возникают индуцированные заряды, а в диэлектриках — смещение в противоположные стороны разноимённых зарядов, входящих в состав атомов вещества, приводящее к возникновению поляризационных зарядов. Поляризационные заряды, возникающие в диэлектриках, и заряды, индуцируемые на проводниках, создают дополнительное электростатическое поле, изменяющее потенциал заряженного проводника.

Касаясь наэлектризованным проводящим шариком, закреплённым на изолирующей ручке, внутренней поверхности полого металлического шара, будем последовательно сообщать ему одинаковые положительные электрические заряды, увеличивая его суммарный заряд в 2, 3 и т. д. раз ( рис. 118.12 ). Чем больше сообщённый шару электрический заряд, тем больше его потенциал, так как , где R — радиус шара. Значит, во сколько раз увеличился заряд шара, во столько же раз увеличился и его потенциал, т. е. отношение электрического заряда к потенциалу остаётся величиной постоянной для данного уединённого шара: .

Прямая пропорциональная зависимость между потенциалом и электрическим зарядом справедлива не только для уединённых шарообразных проводников, но и для любого уединённого проводника произвольной формы. Необходимо только, чтобы форма и размеры проводника, а также диэлектрические свойства среды, в которой он находится, оставались неизменными.

Электрическая ёмкость уединённого проводника — физическая скалярная величина, количественно характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд и равная отношению заряда проводника к его потенциалу:

Отметим, что электрическая ёмкость является характеристикой уединённого проводника и не зависит ни от наличия избыточного заряда, ни от его потенциала. Поскольку заряды располагаются только на внешней поверхности проводника, то ни от вещества, из которого он изготовлен, ни от его массы электроёмкость проводника также не зависит. Она зависит только от формы и размеров проводника, а также от диэлектрической проницаемости среды, в которой этот уединённый проводник находится. Например, электроёмкость уединённого проводящего шара радиусом R, находящегося в безграничной однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, определяют по формуле

Единицей электрической ёмкости в СИ является фарад (Ф).

1 Ф — очень большая электроёмкость. Электроёмкостью С = 1 Ф обладал бы находящийся в вакууме уединённый шар радиусом R = 9 ∙ 10 9 м (для сравнения: радиус земного шара R_З = 6,4 ∙ 10 6 м ). Поэтому на практике применяют дольные единицы: микрофарад ( 1 мкФ = 1 ∙ 10 –6 Ф ), нанофарад ( 1 нФ = 1 ∙ 10 –9 Ф ) и пикофарад ( 1 пФ = 1 ∙ 10 –12 Ф ).

Например, электроёмкость такого огромного проводника, как земной шар, равна С = 0,71 мФ , а электроёмкость человеческого тела примерно С = 50 пФ .

Из истории физики

В XVII-XVIII в. учёные рассматривали электричество как нематериальную жидкость. Эта жидкость могла вливаться в проводник и выливаться из него. Так появился термин «электрическая ёмкость».

1. Какой проводник можно считать уединённым?

2. Что называют электрической ёмкостью уединённого проводника?

3. От чего зависит электроёмкость уединённого проводника?

4. Обладает ли электроёмкостью незаряженный проводник?

5. Можно ли, проанализировав формулу для расчёта электроёмкости уединённого проводника, утверждать, что его электроёмкость зависит от заряда и потенциала проводника?

6. Два проводящих заряженных шара приводят в соприкосновение. Как распределятся заряды на шарах, если один из них алюминиевый, а другой стальной и радиусы шаров одинаковые?

* Это выражение можно получить в результате математических преобразований двух формул: для нахождения электроёмкости и потенциала заряженного шара . ↑