Составьте уравнение по второму закону кирхгофа для контура

Как составить уравнение для контура по второму закону Кирхгофа?

Возьми направление обхода контура по часовой стрелке. Контурный ток обозначь I.
Уравнение для контура по 2 закону Кирхгофа
Е1 – Е2 = I*(R1 + R2 + R3)
Е1 с плюсом поскольку совпадает с направлением обхода контура, Е2 с минусом, поскольку направлено в обратную сторону.

Остальные ответы

1. Выбираем направление тока I в цепи совпадающее с направлением ЭДС в источнике E1.
2. Выбираем направление обхода контура цепи. В какую сторону выбирать направление не важно, главное выбрать. Пусть оно будет по часвой стрелке (от E1, к R1, R2, E2 и к R3).
3. Вспоминаем 2 закон Кирхгофа.
4. Применяем этот закон: I*R1+I*R2+I*R3=E1-E2, где E2 берётся со знаком «минус», так как направление ЭДС противоположно направлению обхода контура.
5. Окончательный ответ: I*(R1+R2+R3)=E1-E2

Источник: http://model.exponenta.ru/electro/0022.htm

Похожие вопросы

3.8. Второй закон Кирхгофа в опе­раторной форме

Для любого замкнутого контура электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Пред­варительно необходимо выбрать положи­тельные направления для токов в ветвях и направление обхода контура.

Запишем уравнение по второму зако­ну Кирхгофа для контура (рис. 3.7). Кон­тур обходим по часовой стрелке.

Учтем, что индуктивности L₁ и L₂ имеют магнитную связь. При выб­ранных положительных направлениях для токов i₁ и i₂ между L₁ и L₂ имеет место согласное включение.

Падение напряжения равно:

При составлении уравнения учтем, что начальное напря­жение на конденсаторе равно Uc(0). Пусть оно действует согласно с током i₃. Начальные значения токов:

Каждое из слагаемых заменим операторным изображением:

После суммирования изображений объединим слагаемые с операторными токами: I₁(p), I₂(p), I₃(p). Перенесем в правую часть уравнения Uc(0_—)/p, Li(0_—) и другие внутренние э. д.с. Получим:

I1(p)Z1(p) + I2(p)Z2(p) + I3(p)Z3(p) = E1(p) – E3(p) + E_вн(р),

В общем виде уравнение второго закона Кирхгофа можно переписать так:

Это уравнение представляет собой математическую запись вто­рого закона Кирхгофа в операторной форме. В состав E_k (р) в общем случае входят и фиктивные источники начальных условий.

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

или в комплексной форме

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm-1 $, где $ N_\textrm $ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm-N_\textrm+1 $, где $ N_\textrm $ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).

Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline_ $, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_- \underline_- \underline_ = 0; $$

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -\underline_- \underline_ + \underline_ = 0; $$

$$ \underline_+ \underline_ + \underline_- \underline_ = 0; $$

$$ \underline_- \underline_- \underline_ = 0. $$

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline_ \cdot \underline_ + R_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ = \underline_; $$

для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_ \cdot \underline_ + R_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ = \underline_; $$

для контура «3 к.»:

$$ \underline_ \cdot \underline_ + (\underline_ + R_) \cdot \underline_ + R_ \cdot \underline_ = \underline_; $$

где $ \underline_ = -\frac <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

$$ \begin \underline_- \underline_- \underline_ = 0 \\ -\underline_- \underline_ + \underline_ = 0 \\ \underline_+ \underline_ + \underline_- \underline_ = 0 \\ \underline_- \underline_- \underline_ = 0 \\ \underline_ \cdot \underline_ + R_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ = \underline_ \\ -R_ \cdot \underline_ + R_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ = \underline_ \\ \underline_ \cdot \underline_ + (\underline_ + R_) \cdot \underline_ + R_ \cdot \underline_ = \underline_ \end $$

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline_ & R_ & 0 & -\underline_ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_ & R_ & 0 & \underline_ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline_ & 0 & R_+\underline_ & R_ \\ \end \cdot \begin \underline_ \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \end = \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \underline_ \\ \end $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3; >> A = [1 -1 -1 0 0 0 0; -1 0 0 -1 0 1 0; 0 1 0 1 1 0 -1; 0 0 1 0 -1 0 0; Zc1 R2 0 -Zl1 0 0 0; 0 -R2 R4 0 Zc2 0 0; 0 0 0 Zl1 0 (R1+Zl2) R3]; >> b = [0; 0; 0; J1; E1; E2; E3]; >> I = A\b

В результате получим вектор-столбец $ \underline> $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Список использованной литературы

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Метод контурных токов для расчёта электрических цепей При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

Метод фазных координат: пример расчёта матрицы передачи Расчёт матриц передачи многополюсников различной формы осуществляется достаточно просто. Матрицы передачи — это математическое описание рассматриваемой…

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Примеры решения задач на законы Кирхгофа

Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I₁ и I₃ совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.