Выражение мгновенного значения напряжения временная диаграмма

2. Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

3. Графоаналитический способ

Рис. 2.2

Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.

Пример (рис. 2.3)

Рис. 2.3

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

Рис. 2.4

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

; .

4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Рис. 2.5

Синусоидальный ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости (рис. 2.5)

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.

2.2. Действующее значение переменного тока и напряжения

Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

Определим количество энергии, выделяемой за период в проводнике с сопротивлением R для каждого из токов и приравняем их.

Для любой из синусоидальных величин получаем

; .

Условились, что все измерительные приборы показывают действующие значения. Например, 220 В – действующее значение, тогда .

2.3. Элементы электрической цепи синусоидального тока

Индуктивность

Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:

.

Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ

Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки

При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции

С учетом соотношения (2.8) для eL получаем

Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение

Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем

Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.

Условное обозначение индуктивности

Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.

Условное обозначение реальной индуктивности.

Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы

1 мкГн = 10 –6 Гн; 1 мкГн = 10 –3 Гн.

Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению

С учетом соотношения

получаем формулу связи тока с напряжением

Для удобства ее интегрируют и получают

u_C = 1 / C · ∫ i dt.

Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.

Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.

Единицей измерения емкости является фарада:

1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.

Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения

1 пФ = 10 –12 Ф, (пФ – пикофарада); 1 нФ = 10 –9 Ф, (нФ – нанофарада); 1 мкФ = 10 –6 Ф, (мкФ – микрофарада).

Условным обозначением емкости является символ

мгновенное значение тока

Мгновенными называют значения тока или напряжения в цепи, определяемые для произвольного момента времени t. Для синусоидальных значений:
i=Im sin(wt+Ψi),A
u=Um sin(wt+Ψu), B
где Im и Um– амплитудные значения тока и напряжения, Ψi и Ψu – углы сдвига фаз тока и напряжения относительно начала координат, Ψu – Ψi= φ – угол сдвига фазы тока относительно фазы напряжения.

Источник: http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/088/106.htm

Остальные ответы

Формула: I(t)Переменным током называется ток из меняющийся во времени где i-ток, t-время.

Источник: Из зачетной книжки довольствия ради

Если мгновенное значение тока i=0,4sin(1000t-30градусов) A, то комплексное действующее значение тока равно

Похожие вопросы

Выражение мгновенного значения напряжения временная диаграмма

7.3. СВЯЗИ МЕЖДУ СИНУСОИДАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ
НА ЭЛЕМЕНТАХ R , L , C

Используя компонентные уравнения, установим связь между основными характеристиками тока и напряжения на элементах. Подставив мгновенные значения тока i = I m sin w t в компонентные уравнения для u R и u L и напряжения u = U m sin w t — в i C , получим выражения для u R , u L и i C , приведенные в Таблице 7.1, из которых следуют соотношения между амплитудами и действующими величинами напряжений и токов U и I . Отношение U / I = U m / I m представляет сопротивление элемента — активное R и реактивные — X L (индуктивное) и X C (емкостное). Размерность всех сопротивлений — Ом. Обратные величины I / U представляют проводимости элементов — активную G и реактивные: B L (индуктивную) и B C (емкостную). Значения реактивных сопротивлений (и проводимостей) зависят от частоты. Выражения для мгновенных токов и напряжений i и u показывают, что ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе, на индуктивности ток отстает от напряжения на угол p /2, а на емкости ток опережает напряжение на p /2.

Переход к комплексным характеристикам элементов осуществляется с помощью комплексных изображений мгновенного тока для сопротивления и индуктивности и напряжения для емкости. Подстановка их в компонентные уравнения приводит к комплексным изображениям u R , u L и i C , приведенным в Табл. 7.1, из которых получаем соотношения комплексных амплитуд напряжений и токов элементов и действующих значений и . Они выражают закон Ома в комплексной форме , в которой выступают комплексные сопротивления элементов . Обратные им величины — это комплексные проводимости . Комплексный характер сопротивлений и проводимостей Z и Y отражает информацию о фазовых сдвигах токов и напряжений на элементах.

Связи между синусоидальными напряжениями и токами на элементах R , L , C

Характеристика

Связи между напряжениями и токами на элементах

Во временной области

Выражение мгновенного значения напряжения временная диаграмма

Пусть ток и напряжение в электрической цепи меняются по гармоническому закону. Теперь для того чтобы определить ток или напряжение в какой-либо точке схемы в данный момент времени недостаточно знать только амплитуду. Необходимо еще иметь информацию о фазе сигнала. Конечно, можно определять амплитуды и фазовые сдвиги напряжений и токов явно, например $I(t)=I_ \sin \left(\omega t+\varphi \right)$, но проще это делать с помощью комплексных чисел. Вместо того чтобы складывать и вычитать синусоидальные функции, можно легко и просто складывать и вычитать комплексные числа, записанные в экспоненциальной форме.

Всякую комплексную величину $a + ib$ можно представить в виде $Ае^,$ где $А$ и $\varphi $ — действительные числа и $$ a+ib=Ae^ \Rightarrow A=\sqrt +b^ > , \ \ \ \mbox< tg>(\varphi) =\frac . $$

Для представления гармонических функций в экспоненциальном виде используются формулы: $$ e^ =\cos kx+i\sin kx, \ \ \ \cos kx=\frac (e^ +e^), \ \ \ \sin kx=\frac (e^ -e^ ), $$ где $i$ — мнимая единица ($i^2=-1$).

Так как действующие значения напряжения и тока представляют собой реальные количественные величины, изменяющиеся во времени, то для перевода комплексного представления в реальные количественные величины достаточно воспользоваться следующим правилом: \[A\left(t\right)=Re\left(A\left(\omega \right)\exp \left(i\omega t\right)\right), \] где $A\left(t\right)$ $-$ реальная физическая величина (тока или напряжения); $A\left(\omega \right)$ $-$ та же величина, но в комплексном представлении; $Re$ $-$ операция взятия действительной части. Для определения реальной и мнимой части нужно воспользоваться следующим представлением комплексных чисел: \[z=Re\left(z\right)+i <\kern 1pt>Im\left(z\right)=\rho <\kern 1pt>e^ =\rho \cdot <\kern 1pt>\left(\cos \left(\varphi \right)+i <\kern 1pt>\sin \left(\varphi \right)\right). \] Преобразование в обратную сторону записывается так: \[A\left(t\right)=A_ \cos \left(\omega t+\varphi \right)\to A_ \exp \left(i\varphi \right),\] где $A_ $ $-$ амплитуда гармонической составляющей реального сигнала на частоте $\omega $.

Закон Ома для цепей, содержащих только линейные элементы (сопротивления, емкости, индуктивности), записывается в «привычном» виде $U=I\cdot Z$. Только все входящие в закон величины являются комплексными: $Z$ $-$ импеданс линейного участка цепи; $U$ $-$ падение напряжения на нем; $I$ $-$ протекающий по нему ток.

Импенданс, активное и реактивное сопротивления

Импеданс является обобщением понятия сопротивление. В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение постоянного напряжения и тока на нем, применение термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности. Такой результат вполне закономерен, поскольку сопротивление элементов рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. Однако в случае переменного тока свойства этих элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. То есть реактивные элементы на переменном токе ведут себя как элементы с неким конечным «сопротивлением», которое и получило название электрический импеданс, или просто импеданс.

Импеданс линейного участка цепи есть комплексная величина. Модуль этой комплексной величины определяет связь между амплитудами тока и напряжения, как и обычное (активное) сопротивление элемента цепи. Фаза комплексного числа определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Комплексные величины позволяют полностью описать произвольный гармонический сигнал — его амплитуду и фазу (разд. 2.1). Импеданс равен частному от деления комплексной амплитуды напряжения на данном участке на комплексную амплитуду тока. Действительная часть импеданса соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть элемент цепи с импедансом можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением и чисто реактивный элемент с импедансом.

Импеданс цепи, содержащей несколько элементов, находится по стандартным правилам. Импедансы последовательно соединенных элементов суммируются, а при параллельном соединении определяются по правилу \[\frac > =\frac +\frac > +\frac > +\ldots .\]

Импеданс может быть измерен специальными приборами: измерителем $RLC$ или анализатором импеданса (см. прил. 4). Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения.

Векторные диаграммы

Для теоретического анализа процессов в цепях, содержащих реактивные элементы, удобно использовать метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в следующем. В соответствии с формулой Эйлера комплексное число можно записать в виде $e^ \varphi > =\cos \left(\varphi \right)+i\cdot \sin \left(\varphi \right)$, где $i$ – мнимая единица, и изобразить его на комплексной плоскости вектором, численно равным единице, под углом $\varphi $ к действительной оси (рис. 4,а). Вектор не единичной длины, например, функция $I=I_ \cdot e^ $ в этом случае будет представлена вектором, изображенным на рис. 4,б.

Законы Кирхгофа

Основными законами для определения токов и напряжений в линейных цепях являются закон Ома и два закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа связывает между собой токи, сходящиеся в какой-либо точке (узле) цепи: сумма втекающих и вытекающих токов для данного узла равна нулю: \begin \label \sum _^I_ =0. \end

Это означает, что токи не могут накапливаться в каком-либо узле цепи. Токам, втекающим в узел, приписывается знак плюс, а вытекающим – знак минус.

Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре: \begin \label \sum _^U_ =\sum _^E_k . \end

Произвольно заданные направления токов $I_ $ приводят к положительному вкладу $U_ $, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы $E_ $ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении.

Мощность, выделяемая в схемах с $R, L, C$ в цепях переменного тока

Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени \[p\left(t\right)=\frac =\frac q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right). \] Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi $. В этом случае мгновенная мощность записывается как $$ p\left(t\right)=U_ \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_ \cos \left(\omega \, t+\psi \right)= $$ $$ U_ I_ \cos \left(\psi \right)+\frac U_ I_ \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)> . $$ Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь – когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током.

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна \[P=\frac U_ I_ \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \] Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt$: $$ U=\frac <\sqrt>, \ \ \ I=\frac <\sqrt>. $$ При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\] и полной мощности \[\left|S\right|=\sqrt . \] Полная мощность определяет максимальное амплитудное значение гармонической составляющей мощности, циркулирующей через двухполюсник.

По аналогии с понятием импеданса в цепях переменного тока вводят комплексное выражения для мощности \[S=U\cdot I^ =U\, I\, e^ =UI\cos \left(\psi \right)+i\, UI\sin \left(\psi \right)=P+iQ. \] Операция $I^ $ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$.

На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору $I$ на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ — реактивной.

Треугольник мощностей

Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5,б, называют треугольником мощностей. Если угол $\psi$ на рис. 5,б положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной.

Переходные процессы

Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме.

Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами:

незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость — разрыв;

индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т.е. ток через нее будет минимален.

Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом.

В начальный момент времени $(t = 0)$ индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи ab, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении $R = 1 \Omega $ равно нулю. Затем за время порядка $\tau \approx \frac LR = 50 \mu$с ток достигает значения $0,5$А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь cd с сопротивлением $100 \Omega .$ Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях be и cd. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении $1 \Omega $ выглядит следующим образом (рис. 7). Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.

Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8. Из первого закона Кирхгофа для узла У1 получаем: $$ I_ -I_ -I_ =0. $$ Из второго закона Кирхгофа для контуров К1 и К2 получаем еще два уравнения: $$ I_ R_ +I_ R_ =U\left(t\right), $$ $$ I_ R_ +\frac =U\left(t\right). $$ Дифференцируя последнее уравнение по времени, используя $I_ =\frac $ и выражая $I_ $ и $I_ $ из двух предыдущих уравнений, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_ \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$: $$ \frac I_ \left(t\right)+\frac \left(1+\frac \right)\, I_ =\frac \, \left(\frac U\left(t\right)+\frac \right) \ \ \ \mbox < (СИ). >$$ Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) его решение может быть записано в аналитической форме.

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений — решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _I_ e^ $. Каждое элементарное решение $\sum _I_ e^ $ описывает либо гармонический процесс ($p_ $ $\mathrm$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_ $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_ $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным.

Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б).