Физика. 11 класс
Колебания груза, подвешенного на нити, с течением времени затухают, поскольку в системе действуют силы трения и сопротивления воздуха. При каких условиях механические колебания не затухают? Можно ли добиться увеличения амплитуды колебаний, используя внешнее воздействие?
Силы взаимодействия тел системы называют внутренними. Тела, не входящие в систему, называются внешними телами. Силы, которые действуют на тела системы со стороны внешних тел, называют внешними силами.
Колебания, происходящие с постоянной во времени амплитудой, называются незатухающими колебаниями (рис. 23, а). Незатухающие колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия под действием внутренних сил после того, как она была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, называются свободными (собственными) колебаниями.
Свободные колебания (в отсутствие трения) происходят со строго определенной частотой , называемой частотой свободных (собственных) колебаний системы. Эта частота зависит только от параметров системы
Примерами таких колебаний могут служить колебания математического и пружинного маятников, происходящие в отсутствие сил трения.
Амплитуда свободных колебаний определяется начальными условиями, т. е. тем начальным отклонением или толчком, который приведет в движение маятник или груз на пружине. Свободные колебания являются самым простым видом колебаний.
В любой реальной колебательной системе всегда присутствуют силы трения (сопротивления), поэтому механическая энергия системы с течением времени уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Убыль механической энергии приводит к уменьшению амплитуды колебаний.
Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии колебательной системой, называются затухающими колебаниями (рис. 23, б).
При малых потерях энергии колебания можно считать периодическими и пользоваться такими понятиями, как период и частота колебаний, считая периодом промежуток времени между двумя последовательными максимумами смещения х(t) (рис. 24, а).
Колебания в любой реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически. Например, невозможно раскачать качели, если действовать на них постоянной силой.
Проведем следующий эксперимент. Соединим математический маятник с метрономом тонким легким стержнем (рис. 25, а). Изменяя частоту колебаний метронома (рис. 25, б), добиваемся увеличения амплитуды колебаний математического маятника. Оказывается, что его амплитуда будет максимальной при совпадении собственной частоты колебаний маятника и метронома.
Колебания тел под действием внешней периодической силы называются вынужденными, а сила — вынуждающей. В случае действия гармонической вынуждающей силы, например или , вначале наблюдается достаточно сложное движение тела. Спустя некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания при наличии трения приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.
Амплитуда и энергия вынужденных колебаний зависят от того, насколько различаются частота вынуждающей силы и частота собственных колебаний , а также от величины трения (сопротивления) в системе.
При вынужденных колебаниях возможно явление, называемое резонансом (от лат. слова resono — откликаться).
Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы, действующей на колебательную систему, к частоте собственных колебаний системы (рис. 26).
Подвесим на упругой нити (АВ) четыре математических маятника с одинаковыми грузами, три из которых имеют различную длину, а длина четвертого равна длине второго (рис. 27). Сначала посмотрим, что будет с маятниками, если раскачать первый или третий маятник.
Наблюдения показывают, что через некоторое время начнут качаться и остальные маятники. Но амплитуда их колебаний мала и вскоре колебания затухают. А вот если раскачать второй маятник, то амплитуда колебаний четвертого будет возрастать, пока не достигнет достаточно большого значения.
Это происходит потому, что частота внешней силы, действующей на четвертый маятник, совпадает с частотой его собственных колебаний (т. к. длины второго и четвертого маятников равны). Мы наблюдаем явление резонанса.
Подчеркнем, что при резонансе создаются оптимальные условия для передачи энергии от внешнего источника к колебательной системе.
Так при возбуждении камертона А (рис. 28) такой же камертон В через некоторое время также начинает активно звучать. При этом исходной внешней силой является удар молотком по первому камертону, а внешней силой, действующей на второй камертон, — сила давления воздуха при колебаниях.
Вспомним также процесс раскачивания на качелях. Если их раскачивать с очень малой или очень большой частотой, то эффект будет крайне мал. Раскачивание будет очень эффективным, если подобрать частоту толчков, равную частоте собственных колебаний качелей.
Большинство сооружений и механизмов способно совершать свободные колебания. При внешних периодических воздействиях с частотой, близкой к резонансной, в них могут возбуждаться колебания большой амплитуды, что может привести к разрушительным последствиям. В связи с этим, например, при прохождении по мостам войсковых частей солдатам дают команду идти вольным шагом (не в ногу). По той же причине поезда движутся по мостам либо очень медленно, либо на максимальной скорости.
В 1850 г. цепной мост через реку Мен вблизи г. Анжер (Франция) разрушился во время прохождения по нему отряда солдат, так как частота их шага совпала с частотой свободных колебаний моста.
7 ноября 1940 г. сильный порывистый ветер вызвал резонансные колебания висячего Такомского моста (США), что привело к его разрушению (рис. 29).
Заметим, что современные висячие мосты — это устойчивые конструкции, которые выдерживают сильные порывистые ветры и прочие нагрузки благодаря новым инженерным решениям.
Электромагнитные колебания — свободные затухающие и вынужденные колебания
Электромагнитные колебания в контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходят благодаря периодическому превращению электрической энергии в магнитную и обратно. При этом периодически изменяются электрический заряд на обкладках конденсатора и величина тока через катушку.
Электромагнитные колебания бывают свободными и вынужденными. Свободные колебания, как правило, являются затухающими из-за ненулевого сопротивления контура, а вынужденные колебания — это, обычно, автоколебания.
Чтобы получить в колебательном контуре свободные колебания, необходимо сначала вывести данную систему из состояния равновесия: сообщить конденсатору начальный заряд q0, либо каким-то образом инициировать импульс тока I0 через катушку.
Это послужит своеобразным толчком, и свободные электромагнитные колебания возникнут в контуре — начнется процесс попеременной зарядки и разрядки конденсатора через катушку индуктивности и, соответственно, попеременного нарастания и спада магнитного поля катушки.
Колебания, которые поддерживаются в цепи под действием внешней переменной электродвижущей силы, называются вынужденными колебаниями. Итак, как вы уже поняли, примером простейшей колебательной системы, в которой можно наблюдать свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур, состоящий из конденсатора электроемкостью C и катушки индуктивностью L.
В реальном колебательном контуре процесс перезарядки конденсатора периодически повторяется, но колебания быстро затухают, так как энергия рассеивается в основном на активном сопротивлении R провода катушки.
Рассмотрим схему с идеальным колебательным контуром. Зарядим сначала конденсатор от батареи — сообщим ему начальный заряд q0, то есть наполним конденсатор энергией. Это будет максимальная энергия конденсатора Wэ.
Следующим шагом отключим конденсатор от батареи и подключим его параллельно к катушке индуктивности. В этот момент конденсатор начнет разряжаться, и в цепи катушки возникнет нарастающий ток. Чем дольше разряжается конденсатор — тем больше заряда из него постепенно переходит в катушку, тем большим становится ток в катушке, катушка запасает таким образом энергию в форме магнитного поля.
Этот процесс происходит не мгновенно а постепенно, так как катушка обладает индуктивностью, а значит проявляется явление самоиндукции, которое заключается в том, что катушка как-бы противится нарастанию тока. В какой-то момент энергия магнитного поля катушки доходит до максимально возможного значения Wм (в зависимости от того, сколько заряда изначально было сообщено конденсатору и каково сопротивление цепи).
Далее, из-за явления самоиндукции, ток через катушку поддерживается в том же направлении, но величина его спадает, и электрический заряд в конце концов снова накапливается в конденсаторе. Конденсатор, таким образом, перезарядился. Его обкладки теперь имеют противоположные знаки заряда чем это было в начале эксперимента, когда мы подключали конденсатор к батарее.
Энергия конденсатора достигла максимально возможного для данной цепи значения. Ток в цепи прекратился. Теперь процесс начинает идти в обратном направлении. И так будет продолжаться вновь и вновь, то есть будут иметь место свободные электромагнитные колебания.
Если бы активное сопротивление цепи R было равно нулю, то напряжение на обкладках конденсатора и ток через катушку изменялись бы бесконечно по гармоническому закону — косинуса или синуса. Это и называется гармонические колебания. Заряд на обкладках конденсатора изменялся бы также по гармоническому закону.
В идеальном контуре отсутствуют потери. И если бы так было на самом деле, то период свободных колебаний в контуре зависел бы лишь от величины емкости C конденсатора и индуктивности L катушки. Этот период можно найти (для идеального контура, у которого R=0) по формуле Томсона:
Соответствующие частота и циклическая частота находятся для идеального контура без потерь по следующим формулам:
Но идеальных контуров не существует, и электромагнитные колебания затухают из-за потерь на нагрев проводов. В зависимости от величины сопротивления цепи контура R, каждый последующий максимум напряжения на конденсаторе будет ниже предыдущего.
В связи с данным явлением в физике вводится такой параметр как логарифмический декремент колебаний или декремент затухания. Он находится как натуральный логарифм отношения двух последующих максимумов (одного знака) колебаний:
Логарифмический декремент колебаний связан с идеальным периодом колебаний следующим соотношением, где может быть введен дополнительных параметр, так называемый коэффициент затухания:
Затухание влияет на частоту свободных колебаний. Поэтому формула для нахождения частоты свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре отличается от формулы для идеального контура (учитывается коэффициент затухания):
Чтобы колебания в контуре сделать незатухающими, необходимо эти потери каждые пол периода восполнять, компенсировать. Что и достигается в генераторах незатухающих колебаний, где источник внешней ЭДС компенсирует своей энергией тепловые потери. Такая система колебаний с источником внешней ЭДС называется автоколебательной.
Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
RLC-контур. Свободные колебания
Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный R L C -контур, изображенный на рис. 2 . 2 . 1 .
Рисунок 2 . 2 . 1 . Последовательный R L C -контур.
Находясь в положении 1 , ключ К позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения δ . Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа К во второе положение и происходит через катушку индуктивности L и резистор R . При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.
Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой R L C -цепи закон Ома представляет из себя выражение:
J R + U = — L d J d t .
В данной формуле U = q C – напряжение на конденсаторе, q является обозначением заряда конденсатора, а J = d q d t – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора q ( t ) берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в R L C -контуре уравнение может быть приведено к виду:
q · · + R L q · + 1 L C q = 0 .
Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:
q · · + ω 0 2 q = 0 .
Примем обозначение ω 0 2 = 1 L C . Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в L C — контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке 2 . 2 . 2 . На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения x ( t ) груза и q ( t ) конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока J ( t ) и скорости груза υ ( t ) за период T = 2 π ω 0 колебаний.
Рисунок 2 . 2 . 2 . Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.
Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.
| Электрические величины | Механические величины | ||
| Заряд конденсатора | q ( t ) | Координата | x ( t ) |
| Ток в цепи | J = d q d t | Скорость | ν = d x d t |
| Индуктивность | L | Масса | m |
| Величина, обратная электроемкости | 1 C | Жесткость | k |
| Напряжение на конденсаторе | U = q C | Упругая сила | k x |
| Энергия электрического поля конденсатора | q 2 2 C | Потенциальная энергия пружины | k x 2 2 |
| Магнитная энергия катушки | L I 2 2 | Кинетическая энергия | m ν 2 2 |
| Магнитный поток | L I | Импульс | m υ |
Свободные колебания
Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: F т р = – β υ .
В данной формуле сопротивление R электрического контура аналогично коэффициенту β . Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:
q · · + 2 δ q · + ω 0 2 q = 0
Коэффициентом затухания называется физическая величина δ = R 2 L .
Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:
q ( t ) = q 0 e — δ t cos ( ω t + φ 0 ) ,
Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель e x p ( – δ t ) . Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура.
Интервал времени τ = 1 δ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2 , 7 раза, называется временем затухания.
Понятие добротности Q колебательной системы:
где N является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания τ .
Любая добротность Q , относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение:
Q = 2 π З а п а с э н е р г и и в к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м е П о т е р я э н е р г и и з а 1 п е р и о д
Добротность Q , принадлежащая R L C -контуру, выражают формулой:
Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.
Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ω 0 идеального контура с такими же значениями L и C . Однако при Q ≥ ( 5 ÷ 10 ) данным различием можно пренебречь.
Рисунок 2 . 2 . 4 . Модель свободных колебаний в R L C -контуре.
Незатухающие колебания и параметрический резонанс
Незатухающие колебания — колебания, энергия которых с течением времени не изменяется. В реальных физических системах всегда существуют причины, вызывающие переход энергии колебаний в тепловую (например, трение в механических системах, активное сопротивление в электрических системах).
Поэтому незатухающие колебания можно получить только при условии, что эти потери энергии восполняются. Такое восполнение автоматически осуществляется в автоколебательных системах за счет энергии из внешнего источника. Электромагнитные незатухающие колебания используются чрезвычайно широко. Для их получения применяются различные генераторы.
Чтобы сделать электрические или механические колебания (колебательного контура или маятника) незатухающими, необходимо все время компенсировать потери на сопротивление или на трение.
Можно, например, воздействовать на колебательный контур переменной ЭДС, которая будет периодически увеличивать ток в катушке, и соответственно поддерживать амплитуду напряжения на конденсаторе. Или можно подталкивать маятник, аналогичным путем поддерживая его гармоническое качание.
Как известно, величина энергии магнитного поля катушки колебательного контура связана с ее индуктивностью и током следующим соотношением (вторая формула — энергия электрического поля конденсатора того же кобательного контура)
Из первой формулы ясно, что если мы будем периодически увеличивать ток в катушке, воздействуя на контур переменной ЭДС, то (увеличивая или уменьшая второй сомножитель в формуле — ток) станем периодически пополнять тот контур энергией.
Действуя на контур строго в такт его собственным свободным колебаниям, то есть на резонансной частоте, — получим явление электрического резонанса, ведь именно на резонансной частоте колебательная система интенсивне всего поглощает подводимую к ней энергию.
А что, если периодически изменять не второй сомножитель (не ток или напряжение), а первый, — индуктивность или емкость? В этом случае контур тоже испытает изменение своей энергии.
Например, периодически вдвигая и выдвигая сердечник из катушки, или вдвигая и выдвигая из конденсатора диэлектрик, — тоже получим вполне определенное периодическое изменение энергии в контуре.
Запишем это положение для единичного изменения индуктивности катушки:
Наиболее выразительным эффект раскачки контура получится в том случае, если изменения индуктивности осуществлять точно вовремя. Например, если взять все тот же контур в произвольный момент времени, когда по нему уже течет какой-то ток i, и внести в катушку сердечник, то энергия изменится на такую величину:
Теперь пусть свободные колебания происходят в контуре сами, но в момент времени, когда через четверть периода энергия полностью перешла в конденсатор и ток в катушке обратился в ноль, резко вынем сердечник из катушки. Индуктивность вернется к своему исходному состоянию, к первоначальной величине L. Работы против магнитного поля при выдвигании сердечника затрачивать не придется. Следовательно при вдвигании сердечника в катушку, контур получил энергию, ибо мы совершили работу, величина которой:
Через четверть периода конденсатор начинает разряжаться, его энергия снова переходит в энергию магнитного поля катушки. Когда магнитное поле достигнет амплитуды — снова резко вдвинем сердечник. Опять индуктивность увеличилась, приросла на ту же величину.
И вновь при нулевом токе возвращаем индуктивность к исходному значению. В итоге, если приросты энергии за каждые полпериода превосходят потери на сопротивление, энергия контура будет все время возрастать, амплитуда колебаний станет увеличиваться. Это положение выражается неравенством:
Здесь мы разделили обе части этого неравенства на L, и записали условие возможности параметрического возбуждения скачками для определенной величины логарифмического декремента.
Изменять индуктивность (или емкость) целесообразно два раза за период, следовательно частота изменения параметра (частота параметрического резонанса) должна быть вдвое выше собственной частоты колебательной системы:
Вот и вырисовался путь возбуждения колебаний в контуре без необходимости изменять непосредственно ЭДС или ток. Начальный флуктуационный ток в контуре так или иначе всегда присутствует, и это даже не принимая во внимание наводки от радиочастотных колебаний в атмосфере.
Если индуктивность (или емкость) будут изменяться не скачками а гармонически, то условие возникновения колебаний станет выглядеть несколько иначе:
Так как емкость и индуктивность — это параметры контура (как масса маятника или упругость пружины), то и способ возбуждения колебаний получил называние параметрического возбуждения.
Данное явление открыли и изучали на практике в начале 20 века советские физики Мандельштам и Папалекси. На основе данного физического явления они построили первый параметрический генератор переменного тока мощностью 4 кВт на изменяющейся индуктивности.
В конструкции генератора семь пар плоских катушек располагались по две стороны на каркасе, в полости которого вращался ферромагнитный диск с выступами. Когда диск приводился во вращение мотором, его выступы периодически входили в пространство между каждой парой катушек, и выходили из него, тем самым изменяя индуктивность и возбуждая колебания.
Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети: