Закон полного тока для магнитного поля
Выше было установлено, что линии магнитной индукции всегда замкнуты (магнитное поле не имеет ни стоков, ни истоков). Но откуда же они берутся? Магнитные поля «появляются» при появлении токов. Если есть токи, то есть и линии магнитного поля, образующие петли («завитки») вокруг токов. Магнитных зарядов (магнитных масс) никто никогда не находил. Это утверждение справедливо всегда.
Закон полного тока определяет взаимную связь тока и возникающего магнитного поля.
Здесь будем считать, что закон получен из опыта. На основании опыта установлено, что при токе в катушке с числом витков можно написать уравнение:
, (1.16)
где 
— вектор магнитной индукции; 
— вектор элемента контура 
; 
— абсолютная магнитная проницаемость среды ( может иметь различные значения на разных участках контура ).
Величина 
— вектор напряженности магнитного поля. Произведение 
— полный ток, охваченный контуром.
Обычно закон полного тока выражается уравнением:
, (1.17)
где , — полный ток, который охватывается контуром; он включает токи проводимости, переноса и смещения.
Рис.1.9
В (1.17) токи считаются положительными, если их направления совпадают с направлением вращения правого винта, движущегося поступательно вдоль линии обхода, и отрицательными – токи противоположного направления.
Левую часть уравнения (1.17) называют магнитодвижущей силой (МДС):
. (1.18)
Обычно бывает удобным выбрать путь и направление обхода, совпадающими с направлением магнитных линий поля. Тогда
, (1.19)
или, поскольку ,
— (1.20)
напряженность магнитного поля численно равна МДС, рассчитанной на единицу длины магнитной линии.
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)
1.6. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме(теорема о циркуляции вектора В). В разделе “Электростатика” было доказано, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, откуда следует потенциальный характер электростатического поля. Одним из основных отличий магнитного поля от электростатического поля является его непотенциальность. Для доказательства этого рассмотрим линейный интеграл от В по замкнутому пути в магнитном поле, создаваемом током, т.е.
 |
где 
– вектор элемента длины контура, направленный вдоль обхода контура; Вℓ – проекция вектора 
на направление касательной к контуру. Данный интеграл называется циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру ℓ. Рассмотрим частный случай: круговой путь ℓ является силовой линией радиуса R магнитного поля прямолинейного бесконечного проводника с током (рис.1.9). Магнитная индукция для этого случая была подсчитана ранее, и во всех точках окружности вектор составляет:
 |
Угол между векторами и равен нулю, поэтому cos(,)=1. Из полученного результата следует, что циркуляция вектора магнитной индукции вдоль силовой линии прямолинейного проводника с током не равна нулю, т.е. поле такого проводника непотенциально. Оно называется вихревым. Полученная формула справедлива для любой формы замкнутого контура, охватывающего проводник с током. Пусть теперь наш контур ℓ произвольной формы охватывает n проводников с токами I1, …In. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. При этом положительным считается ток, если он с направлением обхода контура образует правовинтовую систему. Ток противоположного направления считается отрицательным. 
Разберем пример, изображенный на рис.1.12. Найдем сумму токов, т.е. полный ток, охватываемый контуром ℓ:
 |
Закон полного тока для магнитного поля
§ 3 Закон полного тока.
Вихревой характер магнитного поля
- Циркуляцией вектора
(или 
) по замкнутому контуру называется интеграл по замкнутому контуру L скалярного произведения векторов 
(или 
) и 
, где 
— вектор элементарной длины контура.
;
,
где 
– проекция вектора 
на вектор 
.
;
;
.
Закон полного тока:
Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна сумме токов, охватываемых этим контуром
;
.
Положительными считаются те токи, направление которых с направлением обхода подчиняется правилу правой руки. Токи, направление которых противоположно направлению обхода, берутся со знаком минус.
.
- В отличие от электростатического поля, для которого циркуляция вектора
равна нулю 
и электростатическое поле является потенциальным, циркуляция магнитного поля не равна нулю 
, если контур, по которому мы рассматриваем циркуляцию, охватывает токи. Поле, циркуляция которого отлична от нуля, называется вихревым или соленоидальным. Следовательно, магнитное поле является вихревым. У вихревого поля силовые линии замкнуты, следовательно, магнитных зарядов не существует.
§4 Магнитное поле соленоида и тороида
Соленоид представляет цилиндрический каркас, на который намотаны витки проволоки. Рассмотрим бесконечно длинный соленоид, т.е. соленоид у которого ? >> d , где ? — длина, d – диаметр соленоида. Внутри такого соленоида магнитное поле однородно. Однородным называется поле, силовые линии которого параллельны и густота их постоянна.
Применим закон полного тока для вычисления напряженности магнитного поля соленоида. Представим контур L , по которому рассматривается циркуляция вектора 
, состоящим из четырех связанных участков 1-2; 2-3; 3-4; 4-1. Тогда циркуляция вектора 
по выбранному нами контуру L будет равна
.
;
, т.к. 
и, следовательно, 
,
, т.к. мы выбрали участок 3-4 достаточно далеко от соленоида и можно считать, что поле вдали от соленоида равно нулю,
, т.к. 
и, следовательно, 
.
L охватывает N токов, где N – число витков соленоида, тогда по закону полного тока
;
— магнитное поле бесконечно длинного соленоида
n – плотность намотки – число витков на единицу длины .
Напряженность поля внутри соленоида равна числу витков, приходящихся на единицу длины соленоида, умноженному на силу тока.
Тороид – тор, с намотанными на него витками проволоки. В отличие от соленоида, у которого магнитное поле имеется как внутри, так и снаружи, у тороида магнитное поле полностью сосредоточено внутри витков, т.е. нет рассеивания энергии магнитного поля.
,
где .
– магнитное поле тороида.
§5 Сила Ампера
- Ампер изучал действие магнитного поля на проводники с током и установил, что сила
, с которой магнитное поле действует на элемент проводника 
с током ? , находящимся в магнитном поле 
, прямо пропорциональна силе тока ? и векторному произведению элемента проводника 
на магнитную индукцию 
– Сила Ампера (или закон Ампера)
Направление силы Ампера находится по правилу векторного произведения – по правилу левой руки: четыре вытянутых пальца левой руки расположить по направлению тока, вектор 
входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током. (Можно также определить направление 
с помощью правой руки: вращаем четыре пальца правой руки от первого сомножителя 
ко второму 
, большой палец укажет направление 
.)
Модуль силы Ампера
,
где α – угол между векторами 
и 
.
Если поле однородно, а проводник с током конечных размеров, то
,
.
При 
перпендикулярном 
.
- Определение единицы измерения силы тока.
Любой проводник с током создает вокруг себя магнитное поле. Если поместить в это поле другой проводник с током, то между этими проводниками возникают силы взаимодействия. При этом параллельные сонаправленные токи притягиваются, противоположно направленные — отталкиваются.
Рассмотрим два бесконечно длинных параллельных проводника с токами I 1 и I 2, находящимися в вакууме на расстоянии d (для вакуума µ = 1). В соответствии с законом Ампера
.
Магнитное поле прямого тока равно
,
,
сила, действующая на единицу длины проводника
.
Сила, действующая на единицу длины проводника между двумя бесконечно длинными проводниками с током, прямо пропорциональна силе тока в каждом из проводников и обратно пропорциональна расстоянию между ними.
Определение единицы измерения силы тока – Ампера:
За единицу силы тока в системе СИ принята такая сила постоянного тока, который протекая по двум бесконечно длинным параллельным проводникам бесконечно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, вызывает силу, действующую на единицу длины проводника, равную 2·10 -7 Н.
.
§6 Сила Лоренца
В соответствии с законом Ампера сила, действующая на элемент тока , определяется по формуле
.
Учтём, что элементарный ток есть не что иное, как направленное движение электрических зарядов
,
где V – объём, n – концентрация носителей, j – плотность тока, S – площадь поперечного сечения проводника, e – заряд электрона ( e = 1,6·10 -19 Кл), dl — длина элемента проводника, – скорость направленного движения электронов.
;
;
.
Силу Ампера, действующую на элементарный ток можно рассматривать, как результирующую силу действия всех сил со стороны магнитного поля на каждый заряд в отдельности. Тогда, силу, действующую на движущийся заряд в магнитном поле, мы найдём, разделив силу Ампера на число зарядов в рассматриваемом элементе объёма проводника
.
Эта сила называется силой Лоренца:
.
– модуль силы Лоренца
Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки: четыре пальца левой руки – по скорости, вектор 
входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы Лоренца для положительного заряда. Для отрицательного заряда – четыре пальца против скорости, дальше тоже, что и для положительного заряда.
Закон полного тока
Приняв произвольно выбранное направление обхода какого-либо контура в магнитном поле за положительное, будем считать токи, пронизывающие этот контур, положительными, если их направление совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается в положительном направлении обхода контура.
Например, на рис. 1 ток I1— положительный, а ток I2 —
отрицательный. Полный ток, пронизывающий контур,
Рис 1. Токи, пронизывающие поверхность, ограниченную контуром
Рис 2. Напряженность магнитного поля провода с током
Магнитная индукция и напряженность поля в отдельных точках, расположенных на контуре, могут иметь или различные или одинаковые значения Допустим, что в точке а вектор индукции и пропорциональный ему вектор напряженности поля образует с элементом длины контура dl угол α. При этом HL = H cosα будет представлять собой касательную к контуру составляющую вектора напряженности магнитного поля. Магнитное напряжение HLdl на элементарном участке контура dl положительно, если направление вектора НL совпадает c выбранным направлением обхода контура, в противном случае оно будет отрицательным.
По закону полного тока МДС F вдоль контура равна полному току, который проходит сквозь поверхность ограниченную этим контуром, т. е.
Если контур совпадает с магнитной линией, то направление вектора напряженности поля совпадает с касательной к контуру и, следовательно, HL=H.
Если, кроме того, индукция B и напряжённость поля H во всех точках контура одинаковы, как вследствие симметрии при обходе вдоль контура рис. 5.17, то в формуле (5 23
напряженность можно вынести за знак суммирования и написать:
где знак обозначает сумму элементарных длин замкнутого контура, т. е. длину этого контура L; следовательно в этом случае
Выражение иногда называют циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру. В соответствии с этим изменяют и формулировку закона полного тока.