Расчет цепей переменного тока
Расчет электрических цепей переменного синусоидального тока производится в комплексной форме. При этом величины синусоидальных ЭДС и токов представляются в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений, а все элементы в схеме – в виде комплексных сопротивлений. Например, если ЭДС источника равна 
, то комплексная амплитуда запишется в виде
— в показательной форме записи, или
— в алгебраической форме. Комплексное действующее значение синусоидальной ЭДС:
— в показательной форме записи, или
— в алгебраической форме. Комплексные сопротивления элементов электрической цепи переменного тока: 
— для идеального сопротивления, 
— для идеальной индуктивности, 
— для идеальной емкости. Далее расчет электрической цепи переменного тока можно вести любым методом, известным из раздела – «электрические цепи постоянного тока». При этом используется математический аппарат, разработанный для операций с комплексными числами. Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины: 
— показательная форма, 
— алгебраическая форма, где 
и
— действительная и мнимая часть комплексного значения синусоидальной величины. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется по формулам: 
;
. Переход от показательной формы к тригонометрической осуществляется по формуле Эйлера: 
. Сложение и вычитание комплексных величин производится в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной. При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин, сокращенно их называют комплексными значениями.
Расчет однофазных цепей
Расчет однофазных цепей переменного тока при наличии одного источника синусоидальной ЭДС производится методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим пример расчета однофазной цепи приведенной на рис. Рис. 2.4. Схема электрической цепи к примеру расчета Пример расчета однофазной цепи По заданным значениям активных и реактивных сопротивлений и напряжению источника определить токи во всех ветвях схемы и падения напряжения на ее участках. Определить комплекс полной мощности, активную и реактивную мощность. Расчет произвести комплексным методом. Выполнить проверку правильности расчета с использованием баланса активных мощностей схемы. Построить векторную диаграмму. Построить мгновенные значения синусоидальных токов ветвей. Исходные данные для расчета приведены в таблице.
| U, В | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | X1, Ом | X2, Ом | X3, Ом |
| 100 | 50 | 100 | 100 | 50 | 50 | 100 |
Решение: Электрическая цепь на рис. 2.4 состоит из трех ветвей, определим комплексные сопротивления ветвей. Сопротивление первой ветви, состоящей из сопротивления R1 и идеальной катушки индуктивности с комплексным сопротивлением
: 
Ом. Сопротивление второй ветви, состоящей из сопротивления R2 и идеальной емкости с комплексным сопротивлением
: 
Ом. Сопротивление третьей ветви, состоящей из сопротивления R3 и идеальной катушки индуктивности с комплексным сопротивлением
: 
Ом. Вторая и третья ветвь соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление 
Эквивалентное сопротивление всей схемы: 
Ом. Зная эквивалентное сопротивление, можно определить ток в первой ветви: 
А. Затем можно определить напряжения на участках цепи: 
В, 
В. Зная напряжение на участке bc можно рассчитать токи 
А, 
А. Проверку правильности расчета токов можно выполнить по первому закону Кирхгофа в комплексной форме: 
, или 
. Так как первый закон Кирхгофа выполняется, значит, расчет токов выполнен верно. Комплекс полной мощности: 
, где 
— сопряженный комплекс тока
. Если
А, то сопряженный комплекс
А. Таким образом, комплекс полной мощности равен 
ВА. При этом действительная часть комплекса полной мощности равна активной мощности потребляемой схемой 
Вт, а мнимая часть комплекса полной мощности равна реактивной мощности схемы 
ВА. В
екторная диаграмма токов и напряжений строиться на комплексной плоскости по координатам, полученным при расчете в комплексной форме. Токи и напряжения строятся в одних координатных осях, но для них выбираются разные масштабы. Диаграмма для рассчитанной схемы показана на рис. 2.5. Рис. 2.5. Векторная диаграмма токов и напряжений Выражения для мгновенных значений токов можно получить из комплексных значений записанных в показательной форме: 
А. Действующее значение тока I1 = 0.724 А, а фазовый сдвиг
, таким образом мгновенное значение тока равно 
А. Аналогично для остальных токов: 
А. А. 
А. 
А. Графики мгновенных значений токов приведены на рис. 2.6. Рис. 2.6. Мгновенные значения токов
Расчет цепей переменного тока
Любой ток изменяющийся по величине является переменным. Но на практике под переменным током понимают такой ток, закон изменения которого во времени есть синусоидальная функция.
Математическое выражение для синусоидального тока можно записать в виде:
где, i — мгновенное значение тока, показывающее величину тока в конкретный момент времени, Im — амплитудное (максимальное) значение тока, выражение в скобках есть фаза, которая определяет значение тока в момент времени t, f — частота переменного тока, это величина, обратная периоду изменения синусоидальной величины Т, ω — угловая частота, ω = 2πf = 2π / T , α — начальная фаза, показывает значение фазы в момент времени t = 0.
Аналогичное выражение можно записать и для синусоидального переменного напряжения:
Мгновенные значения тока и напряжения условились обозначать строчными латинскими буквами i, u, а максимальные (амплитудные) значения – прописными печатными латинскими буквами I, U с индексом m.
Для измерения величины переменного тока чаще всего используют действующее (эффективное) значение , которое численно равно такому постоянному току, который за период переменного выделяет в нагрузке такое же количество тепла, что и переменный ток.
Действующее значение переменного тока :
Для обозначения действующих значений тока и напряжения используют прописные печатные латинские буквы I, U без индекса.
В цепях синусоидального тока между амплитудным и действующим значениями существует взаимосвязь:
В цепях переменного тока изменение во времени питающего напряжения влечёт за собой изменение тока, а также магнитного и электрического полей, связанных с цепью. Результатом этих изменений является возникновение ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции в цепях с катушками индуктивности, а в цепях с конденсаторами появляются зарядные и разрядные токи, которые создают сдвиг по фазе между напряжениями и токами в таких цепях.
Отмеченные физические процессы учитывают введением реактивных сопротивлений , в которых, в отличие от активных, не происходит превращение электрической энергии в другие виды энергии. Наличие тока в реактивном элементе объясняется периодическим обменом энергией между таким элементом и сетью. Все это усложняет расчёт цепей переменного тока, так как приходится определять не только величину тока, но и его угол сдвига по отношению к напряжению.
Все основные законы цепей постоянного тока справедливы и для цепей переменного тока, но только для мгновенных значений или значений в векторной (комплексной) форме. На основе этих законов можно составить уравнения, позволяющие осуществить расчёт цепи.
Как правило, целью расчёта цепи переменного тока является определение токов, напряжений, углов сдвига фаз и мощностей на отдельных участках . При составлении уравнений для расчёта таких цепей выбирают условные положительные направления ЭДС, напряжений и токов. Получаемые уравнения для мгновенных значений в установившемся режиме и синусоидальном входном напряжении будут содержать синусоидальные функции времени.
Аналитический расчёт тригонометрических уравнений неудобен, требует значительных затрат времени и поэтому не находит широкого распространения в электротехнике. Упростить анализ цепи переменного тока можно, используя тот факт, что синусоидальную функцию можно условно изобразить вектором, а вектор, в свою очередь, можно записать в виде комплексного числа .
Комплексным числом называют выражение вида:
где a – вещественная (действительная) часть комплексного числа, j – мнимая единица, b – мнимая часть, A – модуль, α – аргумент, e – основание натурального логарифма.
Первое выражение представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа, второе – показательную, а третье – тригонометрическую. Для отличия, в комплексной форме записи подчеркивают букву, обозначающую электрический параметр.
Метод расчёта цепи, основанный на применении комплексных чисел, называется символическим методом . В символическом методе расчета все реальные параметры электрической цепи заменяют символами в комплексной форме записи. После замены реальных параметров цепи на их комплексные символы расчет цепей переменного тока выполняют методами, которые применяли для расчета цепей постоянного тока. Отличие состоит в том, что все математические операции необходимо выполнять с комплексными числами.
В результате расчета электрической цепи искомые токи и напряжения получаются в виде комплексных чисел. Реальные действующие значения тока или напряжения равны модулю соответствующего комплекса, а аргумент комплексного числа показывает угол поворота вектора на комплексной плоскости по отношению к положительному направлению вещественной оси. При положительном аргументе вектор поворачивается против часовой стрелки, а в случае отрицательного аргумента – по часовой.
Завершают расчёт цепи переменного тока, как правило, составлением баланса активных и реактивных мощностей, который позволяет проверить правильность вычислений.
Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Расчет цепей переменного тока
Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока:
только токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения (4.1), (4.2) в виде комплексных величин.
Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для цепей синусоидального тока можно обосновать те же методы, которые были получены для цепей постоянного тока (такая полная аналогия расчетов цепей постоянного и синусоидального токов имеется только при отсутствии взаимной индуктивности). В частности, должна быть выполнена та же подготовка уравнений цепи для расчета режима на ЭВМ.
Для того чтобы установить связь между токами и напряжениями (ЭДС), нужно на схеме указать положительные направления заданных и выбрать положительные направления для искомых токов, напряжений или ЭДС. При расчетах цепей постоянного тока искомые токи и напряжения получаются отрицательными, если действительные направления тока или напряжения не соответствуют выбранным для них положительным направлениям. При расчетах цепей синусоидального тока действительные направления токов и напряжения периодически изменяются, поэтому произвольность выбора положительных направлений отражается только на их фазах. При изменении выбранного положительного направления на противоположное получается новое значение фазы, отличающееся на p, что соответствует изменению знака комплексного тока или напряжения и изменению направления вектора на векторной диаграмме на 180°.
Несмотря на общность методов расчета цепей синусоидального и постоянного токов, расчеты цепей синусоидального тока значительно сложнее и обладают рядом особенностей. Показать специфику расчетов цепей синусоидального тока проще всего на конкретных достаточно простых примерах, которые и приводятся в последующих параграфах этой главы.
Справочник строителя | Основы электротехники
ОТЛИЧИЯ В РАСЧЕТАХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО И ПОСТОЯННОГО ТОКОВ
Расчет цепей переменного тока по мгновенным значениям u и i сложен. Поэтому синусоидальные величины заменяют эквивалентными постоянными и производят расчеты как на постоянном токе. Следует отметить, что при этом эквивалентные постоянные величины являются комплексными числами, которые изображают в виде векторов на комплексной плоскости (1; j).
Вводят новые понятия:
— действующие значения тока (напряжения);
— реактивное и полное сопротивления;
— реактивная и полная мощности.
Действующим значением переменного тока (I) называют значение постоянного тока, которое создает такое же тепловое действие (нагрев), как и данный переменный ток. У синусоидального тока
Значение 1,41 называют коэффициентом амплитуды. Действующее значение напряжения обозначают буквой U. Действующее значение тока обозначают буквой I. Характерной особенностью цепей переменного тока является влияние на процессы в электрической цепи емкостей и индуктивностей. В отличие от постоянного тока переменный ток проходит через емкость, которая при этом обладает некоторым сопротивлением току (не бесконечно большим, как для постоянного тока), а индуктивность из-за явления самоиндукции представляет собой сопротивление переменному току.
Предварительно необходимо кратко сформулировать основные величины, характеризующие магнитное поле.
Силовой характеристикой магнитного поля является магнитная индукция, характеризующая силу, с которой магнитное поле в заданной среде действует на проводник с током или на движущийся электрический заряд. Следует подчеркнуть, что магнитная индукция является векторной величиной, т. е. имеет не только численное значение (модуль вектора), но и направление, как вектор силы в механике. При графическом изображении магнитного поля на чертеже показывают силовые линии, характеризующие направления векторов магнитной индукции в нем. Линии магнитной индукций всегда замкнуты и охватывают проводники с токами, создающими магнитное поле. Направление линий магнитной индукции определяют по правилу буравчика: если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление движения рукоятки буравчика покажет направление линий магнитной индукции. Магнитную индукцию обозначают буквой В, ее размерность — тесла (Тл).
Магнитным потоком Ф в простейшем случае равномерного магнитного поля называют произведение Ф = В · FC , где FC — поперечное сечение магнитопровода, перпендикулярное направлению силовых линий в магнитопроводе. Размерность Ф — вебер (Вб).
Напряженностью магнитного поля называют векторную величину
где В — вектор магнитной индукции, J — вектор намагниченности вещества, μ0 — магнитная постоянная, равная 4π · 10 -7 , Гн/м.
Физический смысл напряженности магнитного поля — сила, с которой магнитное поле в вакууме (идеальной немагнитной среде) действует на проводник с током. В практических расчетах для всех материалов, не обладающих магнитными свойствами (неферромагнитных материалов), приближенно можно считать модуль намагниченности J равным нулю. Тогда
Численное значение напряженности магнитного поля, созданного обмоткой с витками и током I в замкнутом магншпопроводе (специальное устройство для концентрации магнитного поля), составляет Н = I · w/l, где I —ток в обмотке; w — число витков обмотки; l — средняя длина силовой линии магнитного поля в магнитопроводе. Размерность Н — А/м.
У ферромагнитных материалов под действием внешнего магнитного поля, созданного, например, обмоткой с постоянным током, происходит усиление магнитного поля. Магнитная индукция при этом равна
где μ* — относительная магнитная проницаемость ферромагнитного материала, численно равная для электротехнической стали 1 000 . 10 000.
Видно, что благодаря использованию ферромагнитного материала можно усилить магнитное поле до 10 000 раз. Это объясняет, с какой целью в электрических машинах и трансформаторах широко используют ферромагнитные материалы, в частности, холоднокатаную текстурованную электротехническую сталь с малыми потерями энергии в ней.
Индуктивностью называют коэффициент пропорциональности между потокосцеплением Ψ какого-либо замкнутого контура (например, катушки) с током и током в контуре, т. е.
Размерность L в системе СИ — генри, т. е. [ L] = Гн.
Понятие потокосцепления в простейшем случае можно пояснить с помощью рис. 1.
Пусть имеется катушка с w витками провода. Ток, проходящий по виткам катушки, создает в сердечнике магнитную индукцию В. Магнитный поток Ф = В · Fc, где Fc — поперечное сечение сердечника.
Рис. 1. Пояснение понятия потокосцепления
Потокосцеплением называют произведение Ψ = Ф · w, где w — число витков катушки. Размерности в системе СИ: [В] — тесла, Тл; [Ψ] = [Ф] — вебер, Вб.
Необходимость использования понятия индуктивного сопротивления поясняется рис. 2.
Рис. 2. Пояснение понятия индуктивного сопротивления
При прохождении переменного тока i через индуктивность L создается ЭДС самоиндукции eL, препятствующая изменению тока. Влияние индуктивности на действующее значение I в цепи учитывают с помощью индуктивного сопротивления XL.
Реактивные сопротивления делят на два вида:
— индуктивное XL = ωL, Ом;
— емкостное Xc = 1/ωС, Ом.
Необходимость использования понятия емкостного сопротивления объясняется тем, что на переменном токе емкость на каждом полупериоде тока перезаряжается, т. е. по ней проходит переменный ток смещения. На емкости создается переменное напряжение, т. е. емкость создает сопротивление переменному току.