Внецентренное сжатие и сжатие с изгибом

12.5. Изгиб с растяжением (сжатием)

Изгиб с растяжением (сжатием) относится к видам сложного сопротивления первой группы. При этом виде сложного сопротивления могут возникнуть пять внутренних силовых факторов: продольная сила , поперечные силыии изгибающие моментыи. Если пренебречь влиянием касательных напряжений на прочность бруса, из пяти внутренних силовых факторов остаются три. Этот случай сложного сопротивления был подробно рассмотрен в разделе 12.2 настоящего пособия. Поэтому все формулы для нормальных напряжений и условия прочности, полученные в разделе 12.2, могут быть применены и к рассматриваемому виду сложного сопротивления. Следует отметить, что при возникновении сложного изгиба со сжатием, брус должен обладать большой жесткостью, т.е. не терять устойчивость.

Рассмотрим частный случай действия нагрузки, при котором возникает изгиб с растяжением. Балка консольного типа (Рис.12.15,а) с прямоугольным поперечным сечением. Балка нагружена наклонной силой , лежащей в вертикальной плоскости. Разложим силуне две составляющие: горизонтальную составляющуюи вертикальную составляющую. От вертикальной составляющей силывозникает изгибающий момент(Рис.12.15,б), от горизонтальной составляющей силыпродольная сила(Рис12.15,в). Изгибающий момент. Изгибающий моментменяется по линейному закону, достигая максимального значения в заделке, в сечении А, продольная сила положительная и постоянная по величине на всей длине балки.

Нормальные напряжения в произвольно выбранной точке сечения для рассматриваемого частного случая определим по формуле (12.2) при :

. (12.25)

При определении напряжений по формуле (12.25) применяем принцип простого суммирования напряжений от действия каждого из факторов в отдельности. На рис.12.16 приведен графический пример сложения напряжений.

Уравнение нулевой линии получим, приравняв нулю выражение для напряжений:

, (12.26)

откуда находим ординату нулевой линии

.

Максимальные напряжения действуют в волокнах, наиболее удаленных от нулевой линии. Условие прочности принимает вид:

. (12.27)

Условие прочности содержит две неизвестные величины – оевой момент сопротивления и площадь поперечного сечения. В большинстве случаев нормальные напряжения от изгиба больше, чем от растяжения или сжатия, поэтому при подборе сечения можно вначале опустить первое слагаемое и найти приближенное значение для момента сопротивления. Затем подбираются размеры поперечного сечения по найденной величине момента сопротивления. Размеры сечения берутся несколько большими требуемых и далее проверяется прочность выбранного сечения по формуле (12.27).

12.6. Внецентренное растяжение (сжатие) прямого бруса

Внецентренное растяжение (сжатие) относится к видам сложного сопротивления первой группы. Этот вид деформации вызывается действием силы, параллельной продольной оси стержня, но не проходящей через центр тяжести поперечного сечения.

Рассмотрим брус с произвольной формой поперечного сечения, на который действует сила , параллельная оси бруса и пересекающая любое поперечное сечение в точке А. Координаты этой точки в системе главных осей инерции сечения обозначими(Рис.12.17). Расстояние точки А от центра тяжести сечения обозначим буквойназовем ексцентриситетом точки приложения силы.

Приложим в точках В и 0 две пары уравновешенных системы сил. В результате получим две пары сил: и. Кроме того, в точке 0 появится сила, действующая вдоль оси. Эти внешние силы вызовут в произвольном прперечном сечении, лежащем на расстоянииот основания фигуры, внутренние силовые факторы:;;.

Таким образом, напряжения в произвольной точке поперечного сечения будут складываться из напряжений, вызванных продольной силойи напряжениями чистого изгиба, вызванных моментамии, по формуле (12.2). После несложных преобразований эту формулу можно преобразовать к виду, выразив внутренние усилия через внешнюю силу:

. (12.28)

Принимая во внимание, что ;квадраты радиусов инерции сечения относительно главных осейи, формулу (12.28) преобразуем к виду:

. (12.29)

При определении напряжений по формуле (12.29) знак “+”принимается для случая, если силарастягивающая. При сжимающей силеперед скобкой в формуле (12.29) принимается знак“”.

Поскольку при внецентренном растяжении или сжатии возникает осевое растяжение (сжатие) и чистый пространственный изгиб, все поперечные сечения стержня в одинаковой степени опасны. Опасные же точки в поперечном сечении найдем, построив нулевую линию. Уравнение нулевой линии получим, если приравняем нулю напряжения, вычисленные по формуле (12.29) в произвольной точке нулевой линии с координатами и:

. (12.30)

Построим нулевую линию (Рис.12.18).

Так как координаты нулевой линии ивходят в формулу (12.30) в первой степени, нулевая линия является прямой линией. Следовательно, ее можно построить, определив отрезки, которые нулевая линия отсекает на осях координати. Для их определения зададим в формуле (12.30) значение. Тогда, обозначив отрезок, который нулевая линия будет отсекать на осичерези вводя его в формулу (2.30) вместо, получим:

. (12.31)

Задавая аналогичным образом из формулы (12.30) получим:

. (12.32)

Откладываем найденные отрезки на осях координат (Рис.12.18) и строим нулевую линию.

Проанализируем поведение нулевой линии при внецентренном растяжении (сжатии):

1. Нулевая линия – прямая линия.

2. Нулевая линия не проходит через центр тяжести поперечного сечения.

3. Нулевая линия проходит через две четверти координат, ни одной из которых не принадлежит точка приложения силы (нулевая линия никогда не проходит через ту четверть, в которой лежит точка приложения силы).

Теперь, имея нулевую линию, проводим параллельно ей касательные к контуру сечения и находим наиболее напряженные точки В и С в растянутой и сжатой зонах сечения (Рис.12.18). Напряжения в этих точках и условия прочности имеют вид:

; (12.33)

. (12.34)

Координаты точек приложения силы и, а также координаты А и В, в которых определяются напряжения, проставляются в формулах (12.33) и (12.34) со своими знаками. Эпюра нормальных напряженийдля рассматриваемого случая внецентренного растяжения приведена на рис.12.18.

Для прямоугольного сечения максимальные напряжения лежат в одной из угловых точек и условие прочности удобно использовать в таком виде:

. (12.35)

Выше был рассмотрен случай внецентренного растяжения. Полученные формулы (12.33)-(12.35) справедливы и для случая внецентренного сжатия при условии, если нет опасности возникновения продольного изгиба.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на внецентренное растяжение и сжатие.

Пример 12.6. Стержень прямоугольного профиля в точке А подвергается действию растягивающей силы силы кН (Рис.12.19). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении стержня.

1. Определяем моменты инерции и квадраты радиусов инерции сечения относительно главных осей и :

см 4 ; см 4 ;

см 2 ; см 2 .

2. Определяем отрезки, определяемые нулевой линией на осях координат:

см; см.

3. Строим нулевую линию (Рис.12.19).

4. Наиболее удаленной от нулевой линии является точка А. Напряжения в этой точке будут наибольшими:

МПа.

Пример 12.7.В точках А двух коллонн приложены сжимающие силы (Рис.12.20). При этом в точке С обеих колонн сжимающие напряжения оказались одинаковыми. Сравнить напряжения в точках В обеих колонн.

1. Обозначим высоту второй колонны буквой и, учитывая, что для второй колонны размер, вычислим для каждой колонны квадраты радиусов инерции сечений относительно оси.

Для первой (левой) колонны:

;

Для второй (правой) колонны:

.

2. Определяем напряжение в точке С для первой колонны:

. (а)

3. Определяем напряжение в точке С для второй колонны:

. (б)

4. По условию задачи нормальные напряжения в точке С для обеих колонн одинаковы, т.е. . Приравнивая выражения (а) и (б), выражаем силучерез силу:

. (в)

5. Вычисляем нормальные напряжения в точке В сечения для первой колонны:

. (г)

5. Вычисляем нормальные напряжения в точке В сечения для второй колонны:

. (д)

6. Напряжение . Составим их отношение:

Таким образом, напряжение в первой колонне на 20% выше, чем во второй.

Пример 12.8.В точках А и В колонны прямоугольного сечения приложены одинаковые силы (Рис.12.21а). Как изменится наибольшее сжимающее напряжение в колонне, если одну из сил удалить?

1. Найдем напряжения в колонне, когда действуют две симметрично расположенные силы (Рис.12.21,б). Такое приложение сил является центральным. В этом случае нормальные напряжения от сжатия найдем из формулы:

. (а)

В каждой точке поперечного сечения напряжения одинаковы. Эпюра нормальных напряжений приведена на рис.12.21в.

2. Удалим одну из сжимающих сил, например, силу, действующую в точке А. Оставшаяся сила , действующая в точке В сечения, вызовет внецентренное сжатие. Установим опасные точки сечения. С этой целью построим нулевую линию. Уравнение нулевой линии имеет вид:

.

Решая это уравнение относительно , получим:

.

Нулевая линия совпадает с левой кромкой сечения. Напряжения в точке С, принадлежащей этой кромке, равно нулю. Наибольшее сжимающее напряжение возникнет в точке D правой кромки сечения. Вычислим эти напряжения:

. (б)

На рис.12.21,г приведена эпюра распределения нормальных напряжений по площади сечения. Максимальные по величине напряжения возникают в точке Dсечения.

3. Сравнивая напряженияв точкеDс напряжениями, вызванными двумя одинаковыми симметрично расположенными силами (а), приходим к выводу, что на вопрос, изменится ли наибольшее сжимающее напряжение в колонне, если одну из сил удалить, можно ответить, что наибольшее нормальное сжимающее напряжение в сечениине изменится.

Научная электронная библиотека

Внецентренное сжатие – это вид деформации, при котором продольная сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При внецентренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два изгибающих момента (M_x и M_y).

Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.

Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии , подставляя значения изгибающих моментов:

Обозначим координаты некоторой точки нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии xN, yN и подставим их в формулу нормальных напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках нейтральной линии равны нулю, после сокращения на P/F, получим уравнение нейтральной линии при внецентренном сжатии:

(35)

Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.

Рис. 43. Внецентренное сжатие

Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные ax и ay, легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном сжатии. Если сначала принять xN = 0, yN = ay, а затем принять yN = 0, xN = ax, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном сжатии с главными центральными осями:

Рис. 44. Нейтральная линия при внецентренном растяжении – сжатии

Нейтральная линия при внецентренном сжатии разделит поперечное сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими, в другой – растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии).

(36)

Ядро сечения – малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила, приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения сжимающие напряжения.

Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.

Рис. 45. Форма ядра сечения для прямоугольника и круга

Изгиб с кручением. Такому нагружению (одновременному действию крутящих и изгибающих моментов)часто подвержены валы машин и механизмов. Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения. Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.

При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса .

Касательные напряжения значительно меньше напряжений от крутящего момента, поэтому ими пренебрегают. Опасное сечение бруса будет у заделки, где действуют максимальные напряжения от изгиба и кручения.

Исследуем напряженное состояние в наиболее опасной точке A (рис. 46). Так как напряженное состояние двухосное, то для проверки прочности применяем одну из гипотез.

Рис. 46. Эпюры изгибающих и крутящих моментов

Применяя третью теорию прочности

и учитывая, что и , получаем:

Для подбора сечения находим требуемый момент сопротивления

Внецентренное сжатие и сжатие с изгибом

Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.

На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами.

Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.

Рис.1. Совместное действие изгиба и сжатия.

Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.

Внутренние силы при внецентренном сжатии

Рассмотрим, какие внутренние силы при внецентренном сжатии действуют на стержень в поперечном сечении. Пусть сжимающая сила () приложена в некоторой точке A с координатами и в главных центральных осях инерции x и y (см. рис. 10.1, а).

С учетом допущения, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб: .

Формула изгибающих моментов при внецентренном сжатии с учетом прогибов: , где и прогибы рассматриваемого поперечного сечения стержня в направлении осей и , соответственно. Наше допущение о большой жесткости стержня на изгиб заключается в предположении: .

Нормальные напряжения в произвольной точке (см. рис. 10.1) с координатами и будут равны: , где, согласно принципу независимости действия сил, первое слагаемое — напряжение от сжатия, а второе и третье – от изгиба.

Значения изгибающих моментов и координат исследуемой точки подставляются в формулу по абсолютному значению, а знак второго и третьего слагаемых определяется по физическому смыслу.

Внутренние силы внецентренное сжатиеВнутренние силы при внецентренном сжатии