Законы коммутации для переходных процессов

№55 Законы (правила) коммутации.

Первый закон коммутации гласит, что ток iL в цепи с катушкой индуктивности L в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е.

Предположим обратное, что ток iL изменяется скачком, что означает:

Из этого следует, что напряжение на катушке:

и мощность, потребляемая магнитным полем катушки:

Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить напряжение u=∞ и в природе не существует источников энергии, способных развивать бесконечную мощность. Следовательно, наше первоначальное предположение является некорректным, и мы вправе утверждать, что diL/dt≠0, или ток iL в цепи с катушкой L в момент коммутации не может измениться скачкообразно.

Второй закон коммутации гласит, что напряжение uC на выводах конденсатора C в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е.

Предположим обратное, что напряжение uC изменяется скачком, что означает

Из этого следует, что ток в конденсаторе

и мощность, потребляемая электрическим полем конденсатора:

Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить ток i=∞ и не существует источников энергии бесконечной мощности. Следовательно, наше первоначальное предположение является некорректным, и мы вправе утверждать, что duC/dt≠0, или напряжение uC на выводах конденсатора С в момент коммутации не может измениться скачкообразно.

Законы коммутации используются на практике для определения началь-ных условий при расчете переходных процессов.

8.3 Законы коммутации.

Считают, что коммутация в электрической цепи происходит мгновенно, т.е. за бесконечно малым промежуток времени. Момент коммутации обычно принимают за начало отсчета . Момент времени непосредственно перед коммутацией обозначаетсянепосредственно после коммутации. На рисунке представлено изменение функциив окрестностипри этом, а.

Существуют два закона коммутации. Они основаны на том, что энергия электрического и магнитных полей не может изменятся скачком.

Первый закон коммутации. Ток и магнитный поток в индуктивности непосредственно после коммутации равны току и магнитному потоку в той же индуктивности непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

Невозможность скачкообразного изменения тока в индуктивности следует из энергетических соотношений магнитного поля. Если предположить, что ток в индуктивности за время изменится за время изменился на величину

то энергия магнитного поля изменилась бы на величину :

При стремлении времени коммутации к нулю мощность, развиваемая цепью, стремится к бесконечно большой величине:

Ни один реальный источник энергии не может развить бесконечно большую мощность, поэтому мы должны считать, что приили.т.е. Необходимо отметить, что напряжение на индуктивностиможет изменится скачком, поскольку оно не характеризует запасенный в ней энергии.

Второй закон коммутации. Напряжение и заряд на емкости непосредственно после коммутации равны напряжению и заряду на этой же емкости непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменится.

Доказывается это аналогично предыдущему. Если

и ,

Поскольку раннее источники не могут развивать бесконечную мощность, напряжение на емкости не может изменятся скачкообразно. Значит,

Ток через емкость может изменяться скачкообразно, т.к. он не определяет запаса энергии в электрическом поле конденсатора.

Законы коммутации используются для нахождения начальных условий, которые необходимы для определения постоянных интегрирования при расчете п/пр в электрических цепях.

8.4 Начальные условия.

Значение токов и напряжений на элементах электрической цепи, а также их производных в момент непосредственно после коммутации называютначальными условиями (НУ).

Начальные условия делятся на:

К независимым НУ относят значения тока в индуктивности и напряжение на емкости в момент коммутации.

Остальные значения токов, напряжений и их производных в начальный момент времени называютзависимыми НУ. Методику вычисления зависимых НУ рассмотрим далее.

Независимые НУ делятся на нулевые и ненулевые. Если до коммутации в индуктивности не было тока, а на емкости не было напряжения, то на основании законов коммутации, их не будет и в момент коммутации

-это нулевые НУ.

В этом случае индуктивность в начальный момент после коммутации будет равносильна разрыву цепи, а емкость равносильна короткому участку.

Если до коммутации в индуктивности протекал ток, а на емкости было напряжение, то в момент коммутации они сохранят свои значения и-этоненулевые НУ. В этом случае индуктивность в начальный момент после коммутации будет эквивалентна источнику тока а емкость эквивалентна источнику ЭДС .

Возникновение переходных процессов и законы коммутации

В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменений, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации. Если нет специального указания, будем считать, что начало отсчета времени переходного процесса t=0 начинается с момента коммутации. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначим 0 — , а сразу после мгновенной коммутации 0 + .

Два закона коммутации

В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственно после коммутации в момент, который и назван моментом коммутации t=0+ , или, короче, t=0, сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t=0-, и дальше начинает изменяться именно с этого значения:
Так, при включении ветви с катушкой, в которой не было тока, ток в этой ветви в момент коммутации равен нулю. Если для такой ветви допустить, что в момент коммутации ток изменится скачком, то напряжение на индуктивном элементе будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться второй закон Кирхгофа.
На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения:
Так, при включении ветви с конденсатором, который не был заряжен, напряжение на конденсаторе в момент коммутации равно нулю. Если допустить, что в момент коммутации напряжение на емкостном элементе изменяется скачком, то ток будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться опять-таки второй закон Кирхгофа.

С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока и напряжения объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии (энергии магнитного поля и энергии электрического поля ). Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей, что лишено физического смысла, так как реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью и не могут ее обеспечить.

В этом разделе рассматриваются переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Поэтому исключается из рассмотрения нелинейный элемент — электрическая дуга, которая может возникнуть при коммутациях. Чтобы исключить влияние дуги, будем считать, что длительность коммутации по сравнению с продолжительностью переходного процесса очень мала, т. е. теоретически мгновенная.

Записанные выше законы коммутации для тока и напряжения в ветвях, содержащих реактивные элементы, при некоторых коммутациях не выполняются. Такие коммутации называют «некорректными» (приводят к требованию скачкообразных изменений токов и напряжений ). Расчет переходных процессов в таких цепях рассматривается в разделе.

Дополнительно по теме

Переходные процессы в электрических цепях
Переходный, установившийся и свободный процессы
Короткое замыкание rL-цепи
Включение rL-цепи на постоянное напряжение
Включение rL-цепи на синусоидальное напряжение
Короткое замыкание rС-цепи
Включение rC-цепи на постоянное напряжение
Включение rC-цепи на синусоидальное напряжение
Переходные процессы в rС-цепи
Апериодическая разрядка конденсатора
Предельный случай апериодической разрядки конденсатора
Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора
Включение rLC-цепи на постоянное напряжение
Общий случай расчета переходных процессов классическим методом
Пример классического метода
Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью
Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения
Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы
Переходная и импульсная переходная характеристики
Запись интеграла Дюамеля при помощи импульсной переходной характеристики
Метод переменных состояния
Численные методы решения уравнений состояния
Дискретные модели электрической цепи
Переходные процессы при некорректных коммутациях
Определение переходного процесса при воздействии периодических импульсов напряжения

Электротехника ТОЭ

Лекции и задачи по ТОЭ. На сайте представлен лекционный материал для изучения теоретических основ электротехники и видеоуроки по всем темам. Так же тут можно заказать решение задач, курсовых, расчетных, контрольных и домашних работ. Онлайн помощь на экзамене, контрольной. Решение тестов, занятия по скайпу и др. В ближайшее время на сайт будут добавлены готовые работы на разные темы ТОЭ, ТАУ и другим дисциплинам.

11.1. Понятие переходных процессов. Законы коммутации

Теория / 11.1. Понятие переходных процессов. Законы коммутации

Все законы электрических цепей, правила преобразования, методы расчета, рассмотренные ранее, относились к работе электрических цепей в так называемых установившихся режимах. В установившемся режиме токи и напряжения не изменяются с течением времени, а если изменяются по синусоидальному закону, то их амплитуда и действующее значение остаются неизменными.

При включении или отключении источников питания, а также при включении или отключении отдельных элементов в цепи возникают переходные процессы, которые можно рассматривать как переход от одного установившегося режима к другому и в течение которых токи или напряжения изменяются от первоначальных установившихся значений до значений, соответствующих новому установившемуся режиму.

Любое переключение в электрической цепи называют коммутацией. Коммутацию на схемах изображают действием над ключом (рис. 11.1).

Считается, что коммутация происходит мгновенно, но переходной процесс занимает некоторое время.

Время, необходимое для перехода цепи из одного установившегося режима в другой, связано с изменением энергии, накапливающейся в элементах схемы. Мгновенное изменение энергии невозможно, иначе получили бы систему бесконечно большой мощности, которой не существует в природе. Мы знаем, что энергия накапливается в реактивных элементах: электрическая – в емкости, магнитная – в индуктивности. Следовательно, переходные процессы могут иметь место только в цепях, содержащих накопители энергии, то есть индуктивные и емкостные элементы.

Рассмотрим примеры простейших цепей, содержащих индуктивность или емкость (рис. 11.2 а, б).

В схеме рис. 11.2, а до замыкания ключа S ток в цепи и напряжения на индуктивности и резисторе были равны нулю. После замыкания ключа в течение некоторого времени ток будет нарастать от нуля до некоторого установившегося значения i _уст= I .

По второму закону Кирхгофа данную схему можно описать следующим уравнением:

Из этого уравнения следует, что ток не может измениться мгновенно. Действительно, если бы ток изменился за бесконечно малый промежуток времени на конечную величину, то напряжение на индуктивности было бы бесконечно большим

что противоречит второму закону Кирхгофа.

Отсюда следует первый закон коммутации.

Ток в индуктивности не может меняться скачком, поэтому мгновенное значение тока в ветви с индуктивностью в первый момент переходного процесса остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима.

Первый закон коммутации записывается:

В схеме рис. 11.2, б до замыкания ключа S ток в цепи и напряжения на емкости и резисторе были равны нулю. После замыкания ключа в течение некоторого времени емкость будет заряжаться, напряжение на емкости будет нарастать от нуля до некоторого установившегося значения u _уст= U .

По второму закону Кирхгофа для данной схемы можно записать следующее уравнение:

Из этого уравнения следует, что напряжение на емкости не может измениться мгновенно. Действительно, если бы оно изменилось за бесконечно малый промежуток времени на конечную величину, то производная была бы бесконечно большой