Переменный (синусоидальный) ток и основные характеризующие его величины.
Переменный ток (англ. alternating current — AC) — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.
В быту для электроснабжения переменяется переменный, синусоидальный ток.
Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (Рисунок 1):
Максимальное значение функции называют амплитудой. Её обозначают с помощью заглавной (большой) буквы и строчной буквы m — максимальное значение. К примеру:
Период Т— это время, за которое совершается одно полное колебание.
Частота f равна числу колебаний в 1 секунду (единица частоты f — герц (Гц) или с -1 )
f = 1/T
Угловая частота ω (омега) (единица угловой частоты — рад/с или с -1 )
ω = 2πf = 2π/T
Аргумент синуса, т. е. (ωt + Ψ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.
Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой (ω) и начальной фазой Ψ (пси)
В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.
Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в курсе радиотехники и менее подробно — в курсе ТОЭ). Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их е и j (или e(t) и j(t)).
Обратите внимание! При обозначении величин на схемах или в расчетах важен регистр букв, то есть заглавные буквы (E,I,U…) или строчные (e, i ,u…). Так как строчными буквами принято обозначать мгновенное значение, а заглавными могут обозначаться действующее значение величины (подробнее о действующем значении в следующей статье).
Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них.
Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.
Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:
— разделим первый из них на второй:
Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) совпадают по направлению.
Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 4), то ток i через него будет равен
Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.
Введенный параметр называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора . Как и резистивное сопротивление, имеет размерность Ом . Однако в отличие от R данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 вытекает, что при конденсатор представляет разрыв для тока, а при .
Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:
— разделим первый из них на второй:
В последнем соотношении — комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на соответствует повороту вектора на угол по часовой стрелке. Следовательно, уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7.
3. Катушка индуктивности
Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением . Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать
Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на /2 . Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место картинка, соответствующая рис. 9.
Введенный параметр называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при катушка индуктивности не оказывает сопротивления протекающему через него току, и при .
Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам:
разделим первый из них на второй:
В полученном соотношении — комплексное
сопротивление катушки индуктивности. Умножение на соответствует повороту вектора на угол против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11
4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов
Пусть в ветви на рис. 12 . Тогда
, причем пределы изменения .
Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение
которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений . Аналогично выражение
графически может быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который подобен треугольнику напряжений.
5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов
Опуская промежуточные выкладки, с использованием соотношений (2) и (4) для ветви на рис. 15 можно записать
, причем пределы изменения .
На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16) и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными.
6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов
Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения:
, где [См] – активная проводимость;
, где [См] – реактивная проводимость конденсатора.
Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов , приведена на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме
Треугольник проводимостей , подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20.
Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать
Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов.
7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов
Для цепи на рис. 21 можно записать
, где [См] – активная проводимость;
, где [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности.
Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме
Треугольник проводимостей , подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23.
Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид:
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
1. В чем сущность реактивных сопротивлений?
2. Какой из элементов: резистор, катушку индуктивности или конденсатор – можно использовать в качестве шунта для наблюдения за формой тока?
3. Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях постоянного тока?
4. В ветви на рис. 12 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока .
Ответ: .
5. В ветви на рис. 15 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока .
Ответ: .
6. В цепи на рис. 18 . Определить комплексные проводимость и сопротивление цепи для .
Ответ: ; .
7. Протекающий через катушку индуктивности ток изменяется по закону А. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке.
Ответ: .
4.3. Синусоидальный ток
График изменения мгновенного значения синусоидального тока i1 от времени представлен на рис. 4.2 и определяется выражением
где I1m — максимальное значение или амплитуда тока. Аргумент синуса называется фазой. Угол 1 называется начальной фазой и равен фазе в начальный момент времени
(t = 0). Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на 2 цикл изменения тока повторяется. Период T – это время, за которое совершается одно полное колебание. В течение периода Т фаза увеличивается на 2.
Частота (число полных колебаний) в 1 секунду равна
Измеряют частоту в с -1 или герцах (Гц). Угловую частоту намеряют в рад/с или с -1 :
Угловая частота показывает на сколько радианов увеличивается фаза в секунду.
В Европе и нашей стране наибольшее распространение получили устройства синусоидального тока промышленной частоты 50 Гц. При f = 50 Гц, имеем = 2f =314 рад/c. В США стандартной является частота 60 Гц ( = 377 рад/с).
Мгновенное значение синусоидального тока можно представить и в виде косинусоидальной функций времени:
где
Начальная фаза тока отсчитывается всегда от момента соответствующего началу синусоиды, до момента начала отсчета времени t = 0 (начало координат). При 1 > 0 начало синусоиды сдвинуто влево (как показано на рис. 4.2), а при 2 < 0 вправо от начала координат (рис. 4.3).
Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе. Синусоиды, изображенные на рис. 4.2 и 4.3, имеют соответственно начальные фазы 1 и 2 . Сдвиг фаз измеряется разностью начальных фаз. Ток i1 опережает по фазе ток i2 на угол, равный (1 — 2). Или, что то же самое, ток i1 отстает по фазе от тока i2 на угол (1 — 2). Например, для токов одной частоты: на рис. 4.2 1 = 54°; на рис. 4.3 2 = –36°; откуда можно заключить: ток i1 опережает ток i2 на угол 1 — 2 = 54° – ( – 36°) = 90°.
Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе, если разность их фаз равна ± , то говорят, что они противоположны по фазе, наконец, если разность их фаз равна ± /2, то говорят, что они находятся в квадратуре. Необходимо отметить такую условность: мгновенное значение токов, напряжений, ЭДС в цепях переменного тока обозначается малыми буквами: i, и, е.
4.4. Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины
Под средним значением синусоидально изменяющейся величины (например, тока) понимают среднее значение ее за полпериода
Среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного.
Установлено, что механическое воздействие между двумя проводами, которые обтекаются одинаковым током, пропорционально квадрату мгновенного значения тока. Количество тепла, выделяемого в проводнике, также пропорционально квадрату мгновенного значения тока. Поэтому для суждения о механических и тепловых действиях периодического тока вводится еще одно понятие – среднее квадратичное значение тока за период, которое называется действующим значением или эффективным значением периодического тока.
Действующее значение переменного тока равно такому значению постоянного тока, которое производит тот же тепловой эффект, что и переменный за промежуток времени, равный периоду переменного тока.
Пусть через каждое из одинаковых сопротивлений R (рис. 4.4 и 4.5) протекает постоянный ток / и переменный i(t). Рассмотрим условие, при котором мощности выделяемые в сопротивлениях R за время, равное периоду переменного тока Т, равны между собой , где
За время Т
Таким образом, Аналогично
Действующее значение синусоидального тока не зависит от частоты и начальной фазы и в меньше максимального значения.
Действующее значение намеряют приборами, реагирующими на действующее значение измеряемой величины. Это приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.
Итак, в общем случае
Частота синусоидального тока f определяется в соответствии с выражением
7.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ
Синусоидальные токи и напряжения наиболее распространены из всех переменных во времени сигналов. Они легко генерируются в широком диапазоне частот, а их основные характеристики — амплитуду и частоту — удобно измерять и регистрировать. Расчет динамических режимов электрических цепей, находящихся под действием переменных источников e ( t ) и J ( t ), включающих емкости и индуктивности — динамические элементы , сложнее, чем анализ резистивных цепей. Общий подход к расчету, основанный на применении компонентных уравнений и уравнений Кирхгофа сохраняется. Однако уравнения цепи теперь будут дифференциальными, так как в них входят связи между токами и напряжениями на динамических элементах: u L = L di / dt ; i C = C du / dt . Тем не менее, анализ синусоидальных режимов можно проводить на более простой математической основе, без составления и интегрирования дифференциальных уравнений. Результаты такого анализа могут служить базой для исследования цепей при воздействии сигналов более сложной формы, как периодических, так и непериодических (см. гл. 11).
Синусоидальный ток характеризуется амплитудой I m и периодом T (рис. 7.1).
При произвольном выборе начала отсчета времени его математическое выражение имеет вид i ( t ) = I m sin ( w t + y i ), где w — круговая (угловая) частота, w = 2 p f ( f — циклическая частота, определяющая число периодов колебаний за единицу времени), начальная фаза y i — аргумент синуса, отсчитываемый от ближайшей точки перехода через нуль 0′ в положительном направлении. Аналогичны выражения для синусоидального напряжения u , ЭДС e , тока источника J :
u = U m sin ( w t + y u); e = E m sin ( w t + y e); J = J m sin ( w t + y j)
Определение основных характеристик синусоидального сигнала иллюстрируется Задачей 6.1.
Энергетические характеристики синусоидальных сигналов обычно описываются действующими значениями тока I, равными среднеквадратичному за период значению:
Аналогично вводятся действующие значения напряжения U и напряжения ЭДС E . Действующие значения наиболее часто используют для характеристики интенсивности синусоидальных сигналов: электроизмерительные приборы проградуированы так, что они показывают действующие значения синусоидальных токов и напряжений. Для синусоидальных величин вычисление интеграла в последнем выражении приводит к соотношениям:
Приведенное общее выражения действующего значения справедливо также и для периодических сигналов, отличных по форме от синусоидальных (см. п. 11.6).
В линейной цепи, находящейся достаточно долго под действием синусоидальных источников одной частоты f с неизменными амплитудами, токи и напряжения на всех участках будут иметь также синусоидальную форму с той же частотой, так как при протекании по катушке синусоидального тока i L ( t ) напряжение на ней u L = L di / dt также синусоидально, поскольку синусоидальные функции сохраняют свою форму при дифференцировании. Аналогично связаны напряжение и ток конденсатора. При суммировании синусоидальных токов и напряжений на отдельных участках цепи в уравнениях Кирхгофа их форма также не изменяется.
Поэтому анализ синусоидального режима в цепи сводится к определению амплитуд и начальных фаз отдельных токов и напряжений, которым отвечают частные решения дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Их можно найти, даже не составляя эти дифференциальные уравнения.
Токи и напряжения на различных участках цепи имеют различные начальные фазы — компонентные соотношения для индуктивности и емкости выражают то, что токи и напряжения на них не совпадают по фазе. Поэтому при анализе цепи возникает необходимость суммирования сигналов с различными начальными фазами.
Разность фаз двух синусоидальных сигналов одной частоты y 1 – y 2 = 0 называется их фазовым сдвигом . При y 1 > y 2 ( q > 0) говорят, что ток i 1 опережает по фазе ток i 2 (рис. 7.2, б ), и наоборот, i 2 отстает по фазе от тока i 1 . При q = 0 сигналы совпадают по фазе, одновременно достигая максимума и переходя через нуль. Два сигнала с q = p находятся в противофазе, сигналы с q = ± p /2 находятся в квадратуре.
Если сходящиеся в узле (рис. 7.2, а ) синусоидальные токи имеют фазовый сдвиг i 1 ( t ) = I m 1 sin ( w t + y 1 ), i 2 ( t ) = I m 2 sin ( w t + y 2 ), то для их суммы i ( t ) = I m sin ( w t + y ) = i 1 ( t ) + i 2 ( t ) нахождение амплитуды I m и начальной фазы y по временным зависимостям громоздко (рис. 7.2, б ).
В цепях синусоидального тока уравнения Кирхгофа нельзя применять к амплитудам (или действующим значениям) токов и напряжений, не совпадающих по фазе. Алгебраическое суммирование токов и напряжений в соответствии с законами Кирхгофа возможно лишь для мгновенных значений i или u .