От каких параметров стержня зависит предельная гибкость

15.5. Критическое напряжение. Гибкость стержня

где i x = J x A − радиус инерции поперечного сечения. Введем обозначение

λ =	μ ,	(15.16)
i x

где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления. Окончательно формула для критического напряжения выглядит так:

σ cr =	π 2 E
	λ 2 .	(15.17)

При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (15.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:

σ cr =	π 2 E	≤ σ pr .	(15.18)
	λ 2

Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет

λ ≥ π E σ pr .

(15.19)

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим λ пред и назовем предельной гибкостью

λ пред = π E σ pr .

(15.20)

Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Так для стали марки ВСт3 при

15. Устойчивость сжатых стержней E = 2,06 10 5 МПа и σ pr = 200–210 МПа по формуле (15.20) λ пред ≈ 100 ; для древесины сосны и ели (при E = 10 МПа и σ pr = 20 МПа) λ пред = 70 . Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид

λ ≥ λ пред ,

(15.21)

т. е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен. Стержни, для которых выполняется условие (15.21), называются стержнями большой гибкости.

15.6. Продольный изгиб за пределом пропорциональности. Формула Ясинского

Формула Эйлера применима при λ ≥ λ пред , т. е. только в случае упругих стержней. Для стержней с гибкостью меньше предельной λ пред , она дает завышенные значения критической силы. Поэтому ис- пользование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, является недопустимым. Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опытных данных. Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале ХХ в. немецким ученым Л. Тетмаером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским:

σ cr = a − b λ ,

(15.22)

где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Например, для стали марки ВСт3 их значения таковы: а = 310 МПа, b = 1,14 МПа. Для чугуна пользуются параболической зависимостью σ cr = a − b λ+ c λ 2 . 327

И. В. Богомаз. Механика
Соответствующая критическая сила по формуле Ясинского находится так:

F cr = A ( a − b λ ) .

(15.23)

Условие применимости формулы Ясинского . Формулой Ясин- ского (15.22) можно пользоваться при условии, если значение σ cr , вычисленное по этой формуле, не превышает предела σ y текучести для пластичного материала и предел σ uc прочности при сжатии для хрупкого материала. Обозначим в формуле (15.22) через λ 0 значение гибкости, при котором σ cr = σ y для пластичного материала и σ cr = σ uc для хрупкого материала. Тогда условие применимости формулы Ясинского можно записать в виде

λ 0 ≤ λ < λ пред .

(15.24)

Стержни, для которых выполняется условие (15.24), называются стержнями средней гибкости. Для стали марки ВСт3 с параметрами σ pr = 200 МПа, σ y = 240 МПа по формуле (15.22) получим λ 0 ≈ 60 . Стержни, у которых λ < λ 0 , называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а при центральном сжатии. Для них критическое напряжение считается постоянным: σ cr = σ y или σ cr = σ uc .

15.7. Диаграмма критических напряжений

В зависимости от гибкости сжатые стержни делятся на три категории: 1. Стержни большой гибкости (λ ≥ λ пред ), для которых расчет ведется по формуле Эйлера. В системе координат σ cr – λ зависимость σ cr = π 2 2 E может быть представлена гиперболической кривой. λ 2. Стержни средней гибкости (λ 0 ≤ λ ≤ λ пред ) рассчитываются на устойчивость по эмпирической формуле Ясинского (15.22). Для них зависимость линейна: σ cr = a − b λ .

15. Устойчивость сжатых стержней Рис. 15.6 3 . Стержни малой гибкости (λ < λ 0 ) рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них значение σ cr постоянно (σ y или σ uc ). На рис. 15.6 показана диаграмма зависимости критических напряжений от гибкости сжатого стержня для стали ВСт3, которая состоит из трех частей: • гиперболы Эйлера АВ при λ ≥ 100; • наклонной прямой Ясинского ВС при 60 ≤ λ < 100; • горизонтальной прямой CD при λ 0 < 60. График показывает, что по мере возрастания гибкости критическое напряжение стремится к нулю. При гибкости λ >100 стержень теряет устойчивость в упругой стадии. Для значений λ < 100 пунктирной линией показано продолжение гиперболы Эйлера в области ее неприменимости (за пределом упругости). Из графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений. При гибкости 60 < λ < 100 стержень теряет устойчивость в упру- го-пластической стадии (наклонная прямая ВС ). Горизонтальная прямая CD соответствует напряжению, равному пределу текучести. Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале значений гибкостей, которые встречаются в строительной практике. Пример 15.1. Стальной стержень круглого трубчатого сечения D = 10 см и d = 7 см при длине = 3, 2 м имеет шарнирно закрепленные 329

И. В. Богомаз. Механика

концы (рис. 15.7). Вычислить величину допускаемого сжимающего усилия F , если требуемый коэффициент запаса устойчивости K = 3. Материал стержня – сталь марки ВСт3 с пределом пропорциональности σ pr = 210 МПа и модулем упругости E = 2 10 5 МПа. Решение . Величину допускаемой силы F найдем исходя из условия устойчивости F ≤ F K cr , предварительно вычислив критическую силу F cr , формулудлякоторойвыберемвзависимостиотгибкостистержня. Определяем геометрические характеристики поперечного сече- ния стержня: • площадь сечения А = π D 4 2 ( 1 −α 2 ) = π 10 4 2 ( 1 − 0,7 2 ) = 40 см 2 , где α = D d ; • осевой момент инерции сечения относительно любой оси J = π 64 D 4 ( 1 −α 4 ) = π 64 10 4 ( 1 − 0,7 4 ) = 373 см 4 ; Рис. 15.7

15. Устойчивость сжатых стержней • радиус инерции сечения

i =	J	=	373	= 3,05 см.
	A		40

Устанавливаем гибкость стержня и выбираем формулу для критической силы.

λ =	μ	=	1 320	= 105 .
i	3,05

Предельная гибкость для материала стержня

λ пред = π	E	= 3,14	2,1 10 5	= 100.
	σ pr		210

Так как λ = 105 > λ пред = 100, то следует взять формулу Эйлера. Вычисляем величину критической силы:

F	=	π 2 E J	=	3,14 2 2,1 10 11 373 10 − 8	= 754кН.
		( μ ) 2		(1 3, 2) 2
cr

Вычисляем значение допускаемой силы: F ≤ F К cr = 754 3 = 251кН. Ответ: допускаемое значение сжимающей силы F ≤ 251 кН. Пример 15.2 . Двутавровый стержень № 14, имеющий длину = 1 , 8 м, нагружен продольной сжимающей силой F = 200 кН. Один конец стержня оперт шарнирно, другой защемлен (рис. 15.8). Определить величину коэффициента запаса устойчивости K . Материал стержня − сталь; предельная гибкость λ пред = 100, коэффициенты a = 310 МПа, b = 1,14 МПа. Решение. Величину коэффициента запаса устойчивости найдем, используя условие устойчивости F ≤ F K cr по формуле K = F F cr , пред- 331

И. В. Богомаз. Механика

варительно вычислив значение критической силы F cr , формулу для которой выберем в зависимости от гибкости стержня. Определим геометрическиехарактеристики поперечного сечения. Из сортамента прокатной стали для двутавра № 14 имеем A = 17,4 см 2 ; i x = 5,73 см; i y = 1,55 см. Очевидно, что потеря устойчивости произойдет в плоскости наименьшей жесткости, поэтому при вычислении гибкости следует взять i min = i y . Гибкость стержня

λ =	μ	=	0,7 180	= 81,3.
i	1,55
min

Вычислимкритическуюсилу. Гибкостьстержня λ= 81,3 < λ пред = 100, поэтому воспользуемся эмпирической формулой Ясинского: F cr = A ( a − b λ ) 17, 4 10 − 4 ( 310 − 1,14 81,3 ) 10 6 = 378кН. Рис. 15.8

Гибкость стержня

Схемы деформирования и коэффициенты при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки

Гибкость стержня — отношение расчетной длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения.

Это выражение играет важную роль при проверке сжатых стержней на устойчивость. В частности, от гибкости зависит коэффициент продольного изгиба . Стержень с большей гибкостью, при прочих неизменных параметрах, имеет более низкую прочность на сжатие и сжатие с изгибом.

Расчетная длина вычисляется по формуле:

, где

— коэффициент, зависящий от условий закрепления стрежня, а — геометрическая длина. Расчетная длина, также называется привиденной или свободной.

Понятие приведенная длина впервые ввел Ясинский, для обобщения формулы критической силы Эйлера, которую тот выводил для стержня с шарнирно-опертыми концами. Соответственно коэффициент равен при шарнирных концах(основной случай) одному, при одном шарнирном, другом защемленным , при обоих защемленных концах . Схемы деформирования и коэффициенты при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки, изображены на рисунке. Также, стоит отметить, что формула Эйлера верна только для элементов большой гибкости, например для стали она применима при гибкостях порядка и выше.

При расчетах элементов железобетонных конструкций к гибкости предъявляются требования по её ограничению. Также, в зависимости от гибкости назначается величина армирования.

В расчетах стальных конструкций гибкость имеет наибольшее значение ввиду большой прочности стали с вытекающей из этого формой элементов(длинные, небольшой площади) из-за чего исчерпание несущей способности по устойчивости наступает до исчерпания запаса прочности по материалу.

Отсюда ввод дополнительных терминов:

1. Условная гибкость
2. Приведенная гибкость
3. Предельная гибкость

Существуют формулы для определения гибкости элементов составных сечений.

Литература

• Сопротивление материалов, Н. М. Беляев, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976 г., стр 608.
• Металлические конструкции. В 3 т. Т. 1. Элементы стальных конструкций: Учеб. пособие для строит. вузов/В. В. Горев, Б. Ю. Уваров, В. В. Филиппов и др.; Под ред. В. В. Горева. — М.: Высш. шк., 1997. — 527 с.: ил.

• Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.
• Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
• Викифицировать список литературы, используя шаблон > , и проставить ISBN.

Предельная гибкость. На кой она нужна.

А зачем вообще предельная гибкость элементов.
Например при сжатии.
Если прочность и устойчивость обеспечивается, то к чему еще ограничения по гибкости.

Просмотров: 162021

Chief Justice

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от Chief Justice

Регистрация: 27.12.2007
Сообщений: 87

Такое понятие как «предельная гибкость» относится к металлическим конструукциям. Железобетон и дерево в силу своей массивности обладают жесткостью на порядки выше чем у металла. Там даже проверок на местную устойчивость практически не существует.

Ограничение по предельной гибкости как правило делается для конструктивных элементов: шпренгели, связи и т.д.

1. Сильно гибкие элементы легко повредить при перевозки, монтаже (любых случайных воздействиях), что приведет к нарушению исходной формы элемента.
2. Сильно гибкие элементы — как струна. В зданиях с динамическими воздействиями они могут сильно расколебаться и привнести лишние усилия.

Вообще-то в Беленя МК подробно написано зачем делаются ограничения.

Регистрация: 06.10.2004
Сообщений: 2,722

если вам интересно почему стенка толще, а «погнуть легче», возьмите любой учебник по сопромату, и разберите расчет вручную характеристик сечения:
центр тяжести, момент сопротивления, момент инерции, радиус инерции, статический момент. все сразу станет понятнее. (Без углубления в дебри) ))

__________________
куплю справку
Регистрация: 22.05.2007
Сообщений: 96

Да, но нанесение возможных изьянов при монтаже и перевозки учитывается еще и коэфициентом условия работы и назначения конструкции

Регистрация: 25.02.2008
Сообщений: 142

Действительно, в этом вопросе абсолютной ясности нет.
В СП 53-102-2004 написано:
п.11.4.1 Гибкости элементов . как правило, не должны превышать предельных значений , приведенных в таблице.
Т.е. слепо выполнять данные требования тоже не имеет смысла. Опять же, у каждого закона есть своя область действия. На мой взгляд, если проектировщик уверен, что гибкость какого-либо элемента не является в данном конкретном случае критическим и важным фактором, то вполне приемлемо не соблюдать ограничения по предельной гибкости, при выполнении требований по прочности, устойчивости и деформативности расчитываемой конструкции. Металлическая стойка под скворечник тоже центрально сжатый стальной элемент

негодяй со стажем

Регистрация: 26.10.2009
Сообщений: 2,434

Цитирую: Предельные гибккости элементов стальных конструкций обоснованы практикой эксплуатации, монтажа и такелажно- транспортными операциями.
Напоминаю — Коэффициент продольного изгиба (при расчете сжатых элементов) зависит от гибкости стержня и предела текучести стали.
Короче это нормативные требования (наподобие предельных прогибов — хотя аналогия плохая) при выполнении которых при любых расчетных ситуациях гарантируется безопасная эксплуатация конструкции.

сообщение от AIK — Помню в молодости я задал старшим товарищам детский вопрос: почему при боковом креплении второстепенных балок мы не считаем главную балку на кручение?
— этим вопросом можно оценить квалификацию конструктора (по МК), вообще то это АЗБУКА. — нет смысла учитывать кручение в случае если все деформации кручения главной балки фиксируются (компенсируются) второстепенными балками.

Последний раз редактировалось olf_, 13.01.2010 в 18:14 .
Регистрация: 09.12.2008
Сообщений: 4,649
Для крайних балок очень даже нужно.
__________________
мой блог по некоторым вопросам

Расчёты и проектирование строительных конструкций

Регистрация: 04.03.2008
Сообщений: 409
Насчёт кручения.
Сообщение от alle

Насколько я понимаю, если на балку действует извне крутящий момент — следовательно и кручение присутствует. И в общем случае — стесненное, т.е. с нехилыми нормальными напряжениями в дополненние к M/W.

Я подкрановые балки без тормозных конструкций всегда считаю с учётом стеснённого кручения ( с бимоментами ). Как правило, дополнительные напряжения от него не такие уж большие.

Насчёт ограничений по гибкости. Бывают случаи, когда сознательно приходится игнорировать это требование, например для верхних, ненагруженных этажей многоэтажек ( естественно, при соблюдении условий 1 предельного состояния ). Но эти случаи — исключение, а правило — соблюдать нормы, в т. ч. и по гибкости. Но вот эти самые нормы иногда подкинут такой шедевр. Кто, например, из уважаемых коллег пытался запроектировать связи с соблюдением п. 3.11.6 украинского ДБН по сейсмике ? На что они похожи ? ( для справки : условная гибкость меньше 2 — это для углеродистой стали гибкость меньше 58,5 ). А как вам словосочетание «безразмерная гибкость» ? Приходится, например, в связевом блоке уменьшать шаг основных несущих рам, вместо Ry ставить фактическое напряжение ( есть намёк на это в п. 7.18* стального СНиПа ). Всё равно слоновьи сечения получаются

Испытание на устойчивость стального стержня

Лабораторная работа №14 по испытанию на устойчивость прямого стального стержня при его продольном изгибе.

Цель работы – исследовать явление потери устойчивости прямолинейной формы равновесия при осевом сжатии, проверить опытным путем справедливость формулы Эйлера.

Основные сведения

У стержней, длина которых значительно больше поперечных размеров, при определенной величине осевой сжимающей силы происходит искривление оси. Это явление носит название продольного изгиба. Переход прямолинейной формы равновесия в криволинейную называется потерей устойчивости.

Сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой, называется критической. Ее можно определить по формуле Эйлера

где Е – модуль продольной упругости материала;
l – длина стержня;
I_min – минимальный момент инерции сечения;
μ – коэффициент приведения длины, который зависит от способов закрепления концов стержня.

Формула Эйлера применима лишь в том случае, если потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших предела пропорциональности σ_пц, т.е. когда справедлив закон Гука

Здесь А – площадь поперечного сечения;
λ = μ∙l/i_min – гибкость стержня;

– минимальный радиус инерции сечения.

Предельная гибкость, начиная с которой можно использовать формулу Эйлера, определяется по формуле

зависит лишь от физико-механических свойств и является постоянной для данного материала.
Так, например, для стали Ст.З λ _пр = 100, для древесины λ _пр = 110, для чугуна λ _пр = 80, для дюралюминия λ _пр = 60.

Стержни, у которых λ > λ _пр, называются стержнями большой гибкости.

При меньших значениях гибкости (стержни средней гибкости) критические напряжения σ _кр > σ _пц определяются по эмпирическим формулам или соответствующим им таблицам (графикам). Например, формула Ясинского для определения критических напряжений имеет вид

σ _кр = a – b λ , (14.4)

где a и b – эмпирические коэффициенты.
Например, для стали Ст.3 a = 310 МПа, b = 1,14 МПа, для древесины (сосна) a = 28,7 МПа, b = 0,19 МПа.

Эмпирические формулы, особенно для древесины, дают лишь приближенный результат.

Для стержней малой гибкости, у которых σ _кр, подсчитанные по формуле Ясинского, получаются больше, чем опасные (предельные) напряжения, принимают:
σ _кр = σ _т – для пластичных материалов;
σ _кр = σ _пч – для хрупких материалов.

Порядок выполнения и обработка результатов

Опыты по исследованию устойчивости сжатых стержней производятся либо на испытательных машинах малой мощности (Р-5 и других), либо на специальных установках, например, СМ-20.

На испытательных машинах величина критической силы определяется непосредственно по шкале динамометра.

На установке СМ-20 (рис. 14.1) нагружение производится с помощью винтовой пары (подъемный винт-гайка) через тарированную пружину; величина нагрузки определяется по осадке пружины δ , которая пропорциональна сжимающей силе:

где С – жесткость пружины, определяется из тарировочного графика.

Рис. 14.1. Схема установки СМ-20:

1 – образец; 2 – корпус; 3 – верхняя опора;
4 – ограничительные упоры;
5 – нижняя опора; 6 –силовое устройство

Установка СМ-20 позволяет определить критическую силу для стержня с шарнирно опертыми концами ( μ = 1 ).

Порядок проведения испытаний и обработки результатов следующий.

1. Измеряем длину и размеры поперечного сечения образца, определяем геометрические характеристики сечения и гибкость стержня (I_min, A, i_min, λ ).
2. Сравниваем значения λ и λ _пр, выясняем, по какой формуле следует определять критическую силу.
3. Вычисляем теоретическое значение критической силы.
4. Устанавливаем стержень на опорах установки.
5. Упоры при помощи винтов устанавливаем примерно на одинаковых расстояниях (2 – З мм) от испытуемого образца.
6. Производим нагружение стержня путем плавного и медленного вращения маховика по часовой стрелке, с возрастанием нагрузки нужно непрерывно следить за поведением образца.
   Если при F < F_кр слегка изогнуть стержень рукой и отпустить, после некоторых колебаний он вновь выпрямится (устойчива прямолинейная форма равновесия).
   С увеличением нагрузки частота собственных колебаний уменьшается, и при критической нагрузке она равна нулю.
   При достижении нагрузкой критического значения стержень слегка искривляется и касается одного из упоров. Если изогнутый стержень руками вернуть в исходное прямолинейное положение и отпустить, он вновь искривится, т.е. прямолинейная форма перестала быть устойчивой.
7. Снимаем отсчет по шкале осадки пружины δ и заносим его в журнал испытаний, разгружаем образец вращением маховика против часовой стрелки.
8. Определяем по паспорту установки коэффициент жесткости пружины С.
9. Вычисляем опытное значение критической силы
   F_{кр оп}= С · δ .
10. Сравниваем величины F_{кр оп} и F_{кр т}, определяем процент расхождения и делаем соответствующие выводы.

Контрольные вопросы

1. Какой изгиб называется продольным?
2. Что понимается под критической силой?
3. От чего зависит величина критической силы?
4. Когда применима формула Эйлера?
5. Что такое коэффициент приведения длины и чему он равен при различных случаях закрепления концов сжатых стержней?
6. Как определяется критическое напряжение, если формула Эйлера неприменима?
7. Чему равна гибкость стержня?
8. Как определить предельную гибкость?
9. Как опытным путем определить значение критической нагрузки?