Основные параметры синусоидального тока
Переменным называют ток (напряжение, ЭДС), изменяющийся во времени по величине и направлению. Синусоидальный ток может быть представлен посредством действительной функции времени — синусной и косинусной, например
(2.1)
где Im — максимальная амплитуда тока (амплитудное значение);
w — угловая частота, причем
f — частота колебаний [Гц];
Т — период [C];
ji — начальная фаза, определяет значение тока в момент времени t=0, т.е. i(t=0) = Im× sin ji.
На рис. 2.1 приведен график двух колебаний с разными начальными фазами j1 и j2, причем j1 > j2. Амплитудное значение гармоник имеет место, когда wt + j = 2 pn (n = 0.1.2. ), т.е. в моменты
Так как j1> j2, то t1 имеет место раньше t2.
Рис.2.1
Начальная фаза часто задается в градусах. Поэтому при определении мгновенного значения тока аргумент синуса ( слагаемые wt и j) нужно привести к одной единице измерения (рад. или градус).
Иногда гармоническое колебание представляется в косинусной форме. Легко видеть, что для перехода к такой форме в (2.1) достаточно изменить лишь начальную фазу, т.е.
Промышленная частота переменного тока в России и всех странах Европы равна 50 Гц, в США и Японии — 60 Гц, в авиации — 400 Гц. Снижение частоты ниже 50 Гц ухудшает качество освещения. Увеличение частоты ухудшает условия передачи электроэнергии на большие расстояния.
Выражение для синусоидального напряжения аналогично (2.1), т.е.
u(t) = Um × sin (wt + ju) (2.2)
Аналогично (2.1) определяются и основные параметры напряжения.
Кроме уже названных параметров, в практике электротехники часто пользуются понятиями среднего и действующего значений тока и напряжения. Рассмотрим их.
Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение для полпериода:
(2.3)
Видим, что среднее значение синусоидального тока составляет 2/p » 0,64 от амплитудного. Аналогично определяется среднее значение синусоидального напряжения
Действующим называют среднее квадратичное значение синусоидального тока (напряжения) за период
.
Так как
Видим, что действующее значение синусоидального тока составляет от амплитудного. Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения
.
Если говорят о значениях переменного тока или напряжения то, как, правило, подразумевают их действующее значения. Например, напряжение в однофазной сети переменного тока 220 В — действующее. При этом амплитудное значение Um @ 310 В.
1. Основные параметры, характеризующие синусоидальные токи, эдс и напряжения.
Переменный ток (ЭДС, напряжение) может изменяться во времени как по периодическому, так и по непериодическому закону. Наиболее широко используется периодический ток (ЭДС, напряжение) изменяющийся по синусоидальному закону. Такой ток характеризуется периодом Т – минимальным интервалом времени по истечении которого значения тока повторяются. Период измеряется в секундах. Величина, обратная периоду, т.е. число полных изменений периодической величины за 1 с, называется частотой:
. Частота измеряется в герцах (Гц).
Синусоидальные ток, ЭДС и напряжение могут быть представлены в аналитическом виде:
где – мгновенные значения синусоидального тока (ЭДС, напряжения); – амплитудные значения (амплитуда) синусоидального тока (ЭДС, напряжения), т.е. наибольшие из мгновенных значений; – аргумент синусоидальной функции, называемый фазой (тока, ЭДС, напряжения); – угловая частота, характеризующая скорость изменения фазы (тока, ЭДС, напряжения) и измеряющаяся в радианах в секунду (рад/с); – начальная фаза (фаза в момент времени ) синусоидального тока (ЭДС, напряжения), которая является алгебраической величиной и может иметь положительные и отрицательные значения.
На рис.5.1 приведены графические изображения синусоидальных напряжения и тока, имеющих различные начальные фазы. Начальную фазу синусоиды отсчитывают от нулевой фазы (перехода синусоидальной функции от отрицательных значений к положительным) до начала отсчета времени . Начальная фаза напряжения сдвинута влево от начала отсчета времени и считается положительной . Начальная фаза тока сдвинута вправо от начала отсчета времени и считается отрицательной .
Алгебраическая величина, равная разности начальных фаз двух синусоидальных функций, называется сдвигом фаз . На рис. 4.1 сдвиг фаз между напряжением и током . Сдвиг фаз может быть как положительным, так и отрицательным. Положительный сдвиг фаз между напряжением и током на рис. 4.1 указывает на то, что напряжение по фазе опережает ток. Временной сдвиг между напряжением и током: . (5.2)
2. Виды обратных связей в усилителях
На практике ни один усилитель не используется без обратной связи (ОС). Обратной связью называют передачу части энергии из выходной цепи во входную цепь усилителя. Принцип введения отрицательной обратной связи иллюстрируется на рис. 8.
Рис.8. Принцип отрицательной обратной связи
Часть выходного напряжения через цепь ОС подается на вход усилителя. Если, как это показано на рис.8, напряжение обратной связи вычитается из входного напряжения, обратная связь называется отрицательной (ООС). Если напряжение ОС складывается с входным напряжением, то обратная связь называется положительной (ПОС).
Для физического анализа схемы, представленной на рис.8, допустим, что входное напряжение изменилось от нуля до некоторого положительного значения . В первый момент выходное напряжение , а, следовательно, и напряжение обратной связи также равны нулю. При этом напряжение, приложенное к входу операционного усилителя, составит = . Так как это напряжение усиливается усилителем с большим коэффициентом усиления , то величина быстро возрастет до некоторого положительного значения и вместе с ней возрастет также величина . Это приведет к уменьшению напряжения , приложенного к входу усилителя. Тот факт, что выходное напряжение воздействует на входное напряжение, причем так, что это влияние направлено в сторону, противоположную изменениям входной величины и есть проявление отрицательной обратной связи.
На рис.9 показана структурная схема усилителя с ОС, где электрический сигнал с выхода усилителя с коэффициентом усиления через звено ОС с коэффициентом передачи γ поступает обратно на вход усилителя. В состав звена ОС могут входить линейные, нелинейные, частотно-зависимые и другие элементы или даже целые устройства.
Рис.9. Структурная схема усилителя с ОС
Существует целый ряд квалификационных признаков ОС.
Различают обратную связь по принципу действия и способу подачи сигнала во входной контур.
По способу подачи сигнала ОС во входной контур усилителя различают последовательную и параллельную обратные связи. В первом случае напряжение с выхода звена ОС включается последовательно с напряжением источника входного сигнала (рис.10), а во втором — параллельно (рис.11).
Рис.10. ПОС с последовательной передачей сигнала во входной контур;
Рис.11. ОС с параллельной подачей сигнала во входной контур
Резисторы и на рис.11 позволяют просуммировать токи от источника и блока обратной связи (БОС). Непосредственное параллельное соединение входного источника и выхода БОС невозможно, т.к. равносильно подключению двух источников ЭДС параллельно.
По принципу действия различают ОС по напряжению, по току и комбинированные. На рис.12 показан вариант ОС по напряжению. На рис.13 показан вариант ОС по току. Шунтирующий резистор на рис.13 играет роль датчика тока. Его сопротивление выбирают достаточно малым для того, чтобы обеспечить падение напряжения на нем в десятки – сотни мВ, поэтому резистор не оказывает существенного влияния на ток в выходном контуре. Напряжение на шунтирующем резисторе поступает на вход блока обратной связи, что обеспечивает обратную связь по току нагрузки . Возможна и комбинированная ОС, т.е. ОС одновременно по току и напряжению.
Переменный (синусоидальный) ток и основные характеризующие его величины.
Переменный ток (англ. alternating current — AC) — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.
В быту для электроснабжения переменяется переменный, синусоидальный ток.
Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (Рисунок 1):
Максимальное значение функции называют амплитудой. Её обозначают с помощью заглавной (большой) буквы и строчной буквы m — максимальное значение. К примеру:
Период Т— это время, за которое совершается одно полное колебание.
Частота f равна числу колебаний в 1 секунду (единица частоты f — герц (Гц) или с -1 )
f = 1/T
Угловая частота ω (омега) (единица угловой частоты — рад/с или с -1 )
ω = 2πf = 2π/T
Аргумент синуса, т. е. (ωt + Ψ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.
Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой (ω) и начальной фазой Ψ (пси)
В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.
Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в курсе радиотехники и менее подробно — в курсе ТОЭ). Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их е и j (или e(t) и j(t)).
Обратите внимание! При обозначении величин на схемах или в расчетах важен регистр букв, то есть заглавные буквы (E,I,U…) или строчные (e, i ,u…). Так как строчными буквами принято обозначать мгновенное значение, а заглавными могут обозначаться действующее значение величины (подробнее о действующем значении в следующей статье).
Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных.
Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.
В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.
Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем
Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):
Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01?10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ? 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .
Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:
i — мгновенное значение тока ;
u — мгновенное значение напряжения ;
e — мгновенное значение ЭДС ;
p — мгновенное значение мощности .
Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ).
Действующее значение переменного тока
Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:
Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.
Синусоидально изменяющийся ток
Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.
Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат
Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.
Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:
Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): и — начальной фазой ( ).
Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.
При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз .
Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:
Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин
На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки ( в ТОЭ данное направление принято за положительное ) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.
Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:
Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением
Результирующий ток также будет синусоидален:
Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .
Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:
Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .
Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами
Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :
Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число
Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как
В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:
Параметр , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр — комплексом мгновенного значения.
Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.
Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .
Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “ j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :
Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:
Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:
— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:
Тогда мгновенное значение напряжения:
При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)
а при (третий квадрант)
Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:
Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.
Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:
Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов
В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:
Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:
Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?
2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?
3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?
4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.
5. На рис. 5 , а . Определить .