24. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
Символический метод расчета цепей синусоидального тока. Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:
По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:
Равенство не нарушится, если вместо токов подставить соответствующие комплексы. Это и будет выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:
Где n — количество ветвей, подходящих к узлу.
По второму закону Кирхгофа, в любом (замкнутом) контуре справедливо равенство алгебраических сумм мгновенных значений напряжений на сопротивлениях контура и ЭДС:
Заменив напряжения и ЭДС на соответствующие комплексы, получим выражение для второго закона Кирхгофа в комплексной форме:
где p — количество элементов в контуре,
m — количество ЭДС в контуре.
Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока.
Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.
Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.
Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.
1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС
3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:
первый закон Кирхгофа:
второй закон Кирхгофа
Вопрос 25 Векторные и топографические диаграммы цепей синусоидального тока. Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой.Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока ,а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения, ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.
Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы.
Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.
Представление закона Ома и законов Кирхгофа в комплексной форме
Электрические цепи переменного тока — это линейные цепи, которые подвергаются воздействию гармонических колебаний. Благодаря этому в таких электроцепях сигнал имеет синусоидальную форму. Чтобы проанализировать и рассчитать данные электрические схемы и цепи с сигналом в виде синусоиды, нужно иметь определенные знания и навыки применения законов Ома.
Чтобы более подробно узнать и понять, почему и для чего применяют, а также используют правило Ома, необходимо будет разобраться, что такое метод комплексных амплитуд, разность начальных фаз, а также гармонические воздействия. Обо всем об этом будет рассказано далее в этом материале.
Символьный метод
Отличия между обычной и комплексной формой заключаются в том, что в последнем варианте значения всех параметров отображаются в виде комплексных амплитуд. Это вполне обосновано для электрических цепей с синусоидальным сигналом, в которых применяются активное (вещественное) и реактивное (мнимое) сопротивления.
Метод часто применяют для расчета сложных электрических схем с синусоидальной формой сигнала. Из математики известно, что числа представляются в 3-х формах. Это может быть:
- Алгебраическая форма (z = x + ¡y);
- Показательная форма (z = |z|·e ¡φ );
- Тригонометрическая форма (z = |z|·(cosφ + ¡sinφ)).
Где z — комплекс числа, |z| — модуль данного числа, x и y — действительные числа, ¡ — мнимая единица (¡=√-1), φ — начальная фаза.
Гармоническое воздействие
Сигнал в электрической цепи можно представить, как функцию синусоиды.
u(t) — мгновенное значение напряжения в конкретную единицу времени t,
Um — максимально отклонившаяся от нуля комплексная амплитуда напряжения (вольт),
ω — угловая частота (рад/с),
φ0 — начальная фаза.
Разность начальных фаз
Если 2 синусоидальных сигнала имеют одинаковую частоту, но разные положения фаз, то такое явление принято называть сдвигом фаз. Такое определение позволит более явно понять законы Ома и Кирхгофа.
Закон Ома в комплексной форме
Правило Ома, которое было основано на символическом методе, справедливо для линейных электросхем и цепей, в которых есть гармонические электротоки и напряжения.
Полное сопротивление — это отношения комплексных амплитуд напряжений и токов.
Сопротивление из выражения представлено в виде суммы активного (вещественного, R) и реактивного (мнимого, X) сопротивлений. В приведенной формуле:
Z — полное сопротивление;
|z| — модуль сопротивления;
φ — начальная фаза.
Применение правила очень удобно для расчета RLC-цепей. Из названия видно, что они включают в себя такие пассивные элементы, как:
- резистор;
- индуктивная катушка;
- емкостной конденсатор.
Поэтому при помощи символьного метода можно рассчитать величины напряжения, силы тока и сопротивления на отдельных участках в установившимся режиме.
Резистивный элемент
На приведенном выше изображении видно, вектор напряжения совпадает с вектором тока, разницы между начальными фазами нет, то есть величина их одинакова.
Получается, что X = 0, а поэтому Z = R.
Тогда закон Ома для цепи с идеальным резистором в комплексной форме будет иметь вид:
Ù, Ì — значения комплексных амплитуд напряжения и тока,
R — активное сопротивление.
Индуктивный элемент
На рисунке выше видно, что разница начальных фаз равна, а вектор напряжения опережает вектор тока на 90 градусов.
Значит активное сопротивление будет равно нулю (R = 0), а реактивное X=ωL.
Следовательно, закон Ома для этой цепи с катушкой индуктивности в комплексной форме примет следующий вид:
Емкостный элемент
В цепи с пассивным элементом в виде ёмкости, вектор напряжения отстает по направлению от вектора тока. Потому разница фаз в этом случае составляет –90 0 .
Из этого можно заключить, что реактивное сопротивление X=1/ωC, а R = 0 (активное сопротивление).
Поэтому закон Ома в комплексной форме для электросхемы с емкостью примет вид:
1-ый закон Кирхгофа в комплексной форме
Данное правило определяет, что сумма всех электротоков, направленных в любой узел участка цепи, равняется сумме всех электротоков, которые выходят из этого узла.
Для более наглядного понимания этой формулировки, необходимо привести один несложный практичный пример. Есть некоторый узел электрической цепи, в который направлены 2 тока, а 2 других из него выходят.
Применив первый закон Кирхгофа, получим выражение:
Если считать, что токи, выходящие из узла положительные, а входящие отрицательные, то закон примет форму:
Или в общем виде:
Выражение означает, что алгебраическая сумма всех мгновенных значений тока равна нулю.
2-ой закон Кирхгофа в комплексной форме
Второе правило Кирхгофа гласит, что для любого контура электрической схемы, алгебраическая сумма комплексов напряжений на пассивных элементах равна сумме комплексных ЭДС, напряжений на источниках тока и напряжений на разрывах контура. Как и в случае с первым законом, для понимания ранее сказанного, приведем еще один небольшой наглядный пример. Дана несложная электрическая RLC-схема с двумя источниками.
Использовав правило Кирхгофа к данной цепи, получается следующее выражение:
Второй закон Кирхгофа можно привести к общему виду:
Подводя итоги
Применение законов Ома и Кирхгофа, в которых напряжения и электротоки представлены в виде комплексных амплитуд, в значительной степени помогают анализировать и рассчитывать параметры цепей с переменным током. Из-за того, что направление синусоидального сигнала постоянно изменяется, формулы расчета для цепей с постоянным током в данном случае применять нецелесообразно.
Также первоочередным преимуществом использования данных законов является то, что применение символьного метода позволяет символьно отобразить множество физических величин. Конечно, на самом деле в электрических цепях отсутствуют мнимые и вещественные характеристики. Их ввели только для удобства расчета и отображения. Но данный метод очень удобен и прост для теоретического расчета цепей.
Второе достоинство законов Ома и Кирхгофа — это возможность избавиться от потребности решения дифференциальных уравнений каждого состояния синусоидального электрического тока.
7. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Пример последовательной rlc — цепи.
Зная компл сопротивление (компл проводимость) участка цепи и одну из приложенных к данному участку цепи величин: ток или напряжение , можно найти неизвестное напряжение или неизвестный ток исследуемого участка
Аналогично комплексные действующие значения напряжения и тока на зажимах участка цепи (2.30)
Выражения (2.29), (2.30) являются математической записью закона Ома в комплексной форме.
Таким образом, комплексная схема замещения цепи может быть получена из эквивалентной схемы для мгновенных значений заменой всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений – их комплексными изображениями.
Мгновенные значения токов и напряжений различных ветвей электрической цепи связаны между собой линейными алгебраическими уравнениями баланса токов и напряжений, составляемыми на основании законов Кирхгофа. Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем от законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений к законам Кирхгофа для комплексных изображений токов и напряжений, называемых обычно законами Кирхгофа в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значении) токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов электрической цепи, равна нулю:
Здесь — номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) напряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, равна нулю:
Здесь – номер ветви, входящей в рассматриваемый контур.
В ряде случаев удобно использовать другую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных изображений напряжений на всех элементах любого контура моделирующей цепи равна, сумме комплексных изображений э. д. с., всех входящих в контур источников напряжения: (2.33) Здесь , — комплексные изображения напряжений всех элементов контура, за исключением источников напряжения; , — комплексные изображения э. д. с. источников напряжения, действующих в рассматриваемом контуре.
Последовательная RLC-цепь
Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесии цепи
. где ; ; — комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему (2.63) относительно тока , получаем . (2.64) Здесь — комплексное входное сопротивление последовательной RLC-цепи, равное сумме комплексных сопротивлений входящих в цепь элементов, которое определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия: . (2.65)
Рис. 2.15. Векторные диаграммы для тока и напряжений последовательной RLC-цепи
Переходя от алгебраической формы записи к показательной, находим модуль и аргумент комплексного входного сопротивления: ; ; (2.66)
Из выражения (2.66) следует, что характер входного сопротивления цепи зависит от соотношения между мнимыми составляющими комплексного входного сопротивления ёмкости и индуктивности . При входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивный характер ( ). Векторная диаграмма, построенная на основании выражения (2.65) и иллюстрирующая данный случай, представлена на рис. 2.14, г (для большей наглядности векторы и изображены немного смещенными один относительно другого). Если , то входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостной характер ( ) (рис. 2.14, д). При мнимые составляющие входного сопротивления емкости и индуктивности взаимно компенсируются и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер ( )
И спользуя уравнение (2.64), можно по известному напряжению, приложенному к внешним зажимам цепи, найти ток и наоборот (рис.2.15).
Падение напряжения на сопротивлении , совпадает по направлению с током ; напряжение сдвинуто по фазе относительно на (опережает ток); напряжение отстает по фазе от тока на и направлено в противоположную сторону . При сумма совпадает по направлению с вектором , ток цепи отстает по фазе от напряжения ( ) При сумма совпадает по направлению с вектором , ток цепи опережает по фазе напряжение ( ) Если , то сумма , напряжение на зажимах цепи равно напряжению на сопротивлении , ток цепи совпадает по фазе с приложенным напряжением ( ).
Комплексная проводимость
Под комплексной проводимостью Y понимают величину, обратную комплексному сопротивлению Z:
У =-^ = ё-]Ь = уе~’ ф .
Единица комплексной проводимости — См (Ом -1 ). Действительную часть её обозначают через g, мнимую — через Ь. Так как
1 _ 1 R-jX _ R . X _
Z~ R + jX~ R 2 +Х 2 ~ R 2 + Х 2 J R 2 +X 2 ~ 8 J ’
Если X положительно, то и b положительно. При X отрицательном b также отрицательно.
При использовании комплексной проводимости закон Ома записывают так:
где 1а — активная составляющая тока; Д. — реактивная составляющая тока; U — напряжение на участке цепи, сопротивление которого равно Z.
Законы Кирхгофа в символической форме записи
Первый закон Кирхгофа в символической форме записи:
Z4=oДля замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС.
Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая к — ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС Ек, резистор Rk, индуктивный Lk и ёмкостной Ск элементы, по которым протекает ток ik. Тогда по второму закону Кирхгофа
Но каждое слагаемое левой части уравнения можно заменить на IkZk, а каждое слагаемое правой части — на Ек. Поэтому уравнение (2) переходит в
Уравнение (а) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.
§ 15. Применение векторных диаграмм
Применение векторных диаграмм при расчёте электрических цепей синусоидального тока
Ток и напряжение на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов даёт векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расчёты электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты.
Качественный контроль заключается в сравнении направлений различных векторов на комплексной плоскости, которые получают при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение UL должно опережать ток / на 90°, а напряжение Uc — отставать от тока I на 90°.