Линия пересечения двух конусов

автор: admin
06.04.2024

Линия пересечения двух конусов

Поверхности θ и Δ – общего положения. Их линию пересечения L строим с помощью посредников – вспомогательных концентрических сфер. Условия для этого выполнены: i1 ∩ i2 = α ⊃ 0.

1) Кривая L(L») пересечения поверхностей θ и Δ начинается в т. А» и закончится в т. D» – точке пересечения правосторонних очерковых образующих конусов.

2) Из т. О» проводим нормали N – к очерковой образующей конуса θ и n – к очерковой образующей конуса Δ.

3) Из т. O» радиусом Rmin = N вписываем первую сферу. Она касается конуса θ по окружности(на проекции прямая линия ⊥ оси i1»). С конусом Δ вписанная сфера пересекается по окружности ⊥ оси i2».

4) Точка ∩ окружностей есть пара точек С – общие для 3-х поверхностей θ, Δ и вписанной сферы.

5) Другие точки линии L» получим вписывая сферы радиусами больше Rmin аналогично.

6) Точки А», C». D» соединяем кривой L».

7) Горизонтальную проекцию L’ достраиваем по принадлежности каждой точки L» конусу θ.

8) Отметить т. E» на кривой L», т.к. они принадлежат очерковым образующим конуса Δ и являются границей видимости кривой L’.

Ресурс «Начертательная геометрия» разработан для сопровождения лекционных занятий и самостоятельной работы студентов.

Пересечение поверхностей двух конусов

Пересечение поверхностей двух конусов. Вариант 16

Задание: Построить проекции линии пересечения двух поверхностей вращения.

Смотри видеоурок на нашем ютуб-канале ⇒ Пересечение двух сфер

Пересечение поверхностей двух конусов. Вариант 16

♦ Чертеж выполнен на формате А4.

�� Возможно выполнение аналогичной работы другого варианта на заказ, пишите нам на почту:

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Параметризация пересечения конусов.

На страницу 1 , 2 След.

Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 10:17

Здравствуйте!
Надеюсь на вашу помощь в решении одной задачи. (Матан, второй курс).
Нужно параметризовать линию пересечения двух конусов вращения, если углы при вершинах этих косинусов по 90 градусов, их оси симметрии перпендикулярны, и точка пересечения этих осей совпадает с вершиной одного конуса и находится на расстоянии 5 от вершины другого.

Я представлял себе это так: вершина одного конуса — начало координат, а ось симметрии: — $oz$ . Вершина другого конуса сдвинута по оси $oy$ на 5, и эта же $oy$ — ось симметрии.

Пересечение будет как я понимаю, наклоненный на 45 градусов цилиндр. Нужно его параметризовать. И вот как это сделать, я не совсем понимаю.

Уравнение первого конуса: $$\dfrac>>=\dfrac>>+\dfrac>>$» />. Второго: <img decoding=$ Заслуженный участник

Уберите все знаменатели, раз вершины по 90 градусов.
Re: Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 10:33

$$\dfrac<5\sqrt<2><div class='code-block code-block-5' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

ммм. то есть пересечением будет круговой цилиндр? Радиус, которого, получается будет: >$» /> ?

Re: Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 11:43
Megarovaken в сообщении #255841 писал(а):

$$\dfrac<5\sqrt<2> ммм. то есть пересечением будет круговой цилиндр? Радиус, которого, получается будет: >$» /> ? — но это же не линия. Re: Параметризация пересечения конусов. 28.10.2009, 12:17<div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

$$\begin ну, как я полагаю, в задании имелось виду, параметризовать все-таки фигуру, которая получается при пересечении. Полагаю, это будет как-то так: x = \dfrac> \cos(t) \\ y = \dfrac> \sin(t) \\ z = . \end$» /> <img decoding=$

А вот как определить что-то не могу сообразить.

Re: Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 13:11
Megarovaken в сообщении #255841 писал(а):
ммм. то есть пересечением будет круговой цилиндр?
Yu_K в сообщении #255862 писал(а):
— но это же не линия.
Megarovaken в сообщении #255874 писал(а):

ну, как я полагаю, в задании имелось виду, параметризовать все-таки фигуру, которая получается при пересечении.

Полагаете правильно, только вот «фигура» ваша, ну. короче, не цилиндр.

Вы уже на втором курсе , а что получается при пересечение поверхностей не знаете. Возьмите, например, сферу и плоскость, что получиться. Дальше, вспомните, что обе «фигуры» — поверхности, как и конус.

Megarovaken в сообщении #255874 писал(а):

$$\begin Полагаю, это будет как-то так: x = \dfrac> \cos(t) \\ y = \dfrac> \sin(t) \\ z = . \end$» /> <img decoding=$

Вот смотрите, набирать формулы в \LaTeX’еховском синтаксисе умеете, а отличить кривую от цилиндра — нет.
То что вы написали при фиксированном будет окружностью.

P.S. Кстати, красивая кривая, чем-то похожа на параболу .

Re: Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 13:23

_v_l
да:) спасибо, наконец-то вроде представил, что это будет.
но вот как это параметризовать. вообще с чего можно начать?

Re: Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 13:58
Megarovaken в сообщении #255902 писал(а):
вообще с чего можно начать?

Записать систему из уравнений поверхностей?

Попытаться разрешить её, выразив две из трёх переменных через третью?

Re: Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 20:14

Заблокирован

Хоть уважаемый ewert говорит, что рисунки вредны.

Re: Параметризация пересечения конусов.
28.10.2009, 20:40

Заблокирован

Megarovaken в сообщении #255837 писал(а):

Уравнение первого конуса: $$\dfrac>>=\dfrac>>+\dfrac>>$» />. Второго: <img decoding=$

Думаю, Вам надо сначала исключить из уравнений x, что просто, после чего Вы получаете уравнение гиперболы относительно z и y – это проекция кривой на соответствующую плоскость. После чего, зная параметрическое задание гиперболы, Вы подставляете в любое из уравнений выражение для z и y, и получаете выражение для x …

Re: Параметризация пересечения конусов.
29.10.2009, 10:11
vvvv в сообщении #256052 писал(а):

Хоть уважаемый ewert говорит, что рисунки вредны.

Я, конечно, не ewert , но рисунки вы привели хорошие. Однако, здесь не нарисована линия пересечения , отдельно конусы, отдельно (некоторая) линия ( Хотел было исправить текст, когда посмотрел на рисунок по ссылке, но решил, лучше оставить. Понять что на первом рисунке ещё приведена и линия пересечения, совсем уж невозможно. Если бы вы рисовали от руки, я бы вас заставил также разукрасить конусы, а потом спросил, «ДЛЯ ЧЕГО ВАМ ЦВЕТ?» Это к вопросу, зачем делать лишную работу. ). Как они связаны, непонятно. Автор топика не поймёт при чём тут эти два рисунка и его задача (параметризация).

За рисунки vvvv получает 4, хотя они отношения к задаче не имеют.

По теме: составив систему, можно быстро избавиться от одной из переменных, получив связь между двумя другими. Из последнего найдём как зависит одна из переменных через другую. Последуюю объявляем параметром и записываем систему уравнений, описывающих кривую.

P.S. Я сначала тоже не понял, что линия будет неограниченной, пришлось взять ручку, листок бумаги и стало очевидно, что кривая не замкнутая, вот если бы угол пересечения между осями был не прямым.

Re: Параметризация пересечения конусов.
29.10.2009, 12:49

Заблокирован

Ув., _v_l , если посмотреть внимательно, то можно увидеть линию пересечения конусов на левом рисунке
(она красная с черными точками).На правом рисунке изображена отельно эта же линия пересечения (только повернута).
Я не думаю, что Ваши посты помогут топстартеру записать параметрические уравнения линии пересечения.
Вот еще рисунки (для тех у кого проблема со зрением).

Re: Параметризация пересечения конусов.
29.10.2009, 12:52

Megarovaken
Запишите уравнения конусов в параметрическом виде, прировняйте соответственно x,y,z и решите систему относительно параметров, дальше подставте решение в какое либо уравнение конусов.

— Чт окт 29, 2009 21:07:00 —

Цитата:

Можно попробовать их параметризовать, перейдя к обобщенным цилиндрическим координатам, но не думаю, что это что-то даст

Даст, как делать я сказал, у вас будет 4 неизвестных и 3 уравнения, находим 3 неизвестных через четвертую, а дальше подставляете решения в уравнения конусов и получите параметрическое уравнение линии.

Re: Параметризация пересечения конусов.
29.10.2009, 13:53

Заблокирован

Если быть точным, то картинка будет такая и кривая имеет две ветви. (на картинке изображена одна ветвь)

P.S. Последняя подсказка самая толковая — я , собственно, так и делал

Re: Параметризация пересечения конусов.
29.10.2009, 19:31

Огромное спасибо все за советы, отдельное спасибо vvvv за рисунок.
Но вот до конца во всем разобраться я еще не совсем могу
Как я понимаю, параметризаций косинусов будет:
$\beginx = r \cos \\ y = r \sin \\ z = z \end$ — первый
$\beginx = r \cos \\ y = y \\ z = r \sin + 5 \end$ — второй.
Хотя мне кажется, что-то я не правильно понимаю.

Страница 1 из 2

[ Сообщений: 26 ]

На страницу 1 , 2 След.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Чертежик

Пересечение двух конусов может выполняться двумя методами, исходя из задания.

Пересечение конусов с подробным описанием

Подробное описание определения линии пересечения геометрических фигур согласно этому заданию (указ на рисунке снизу) выполнялся методом секущих вспомогательных сфер.

Последовательность выполнения:

Пересечение двух конусов

1.) Строим фигуры согласно заданию по всем имеющимся размерам;

2.) Указываем наименьший радиус первой вспомогательной сферы. Определяется наименьший радиус посредством проведения линии перпендикулярной к боковой грани конуса (смотрите изображение снизу).

наименьший радиус секущей сферы Чертим первую окружность. Пересечение двух конусов_2

Окружность пересекла каждый конус в двух точках.

Пересечение двух конусов_1

Пересечение двух конусов_4

Пересечение двух конусов_5

Линии пересеклись. В месте пересечения ставим первую точку.

По такому способу определяем последующие точку, указанные в пункте 3;

3.) Чертим еще вспомогательные секущие сферы. Расстояние между ними выбираются произвольно. Чем меньше расстояние между сферами,тем более точное построение Вы получите линии пересечения.

По опыту скажу:»не делаете много сфер,можете запутаться»

Полученные точки можно соединить;

4.) Переносим найденные точки в нижний рисунок. Как видно из изображений (указанных ниже) точки переносятся методом секущих плоскостей.

Пересечение двух конусов_6

Пересечение двух конусов_7

Пересечение двух конусов_8

Таким способом осуществляется перенос всех имеющихся точек.

Пересечение двух конусов_9

5.) Удаляют все дополнительные линии и соединяют плавной линией полученное пересечение на изображении снизу. Обязательно необходимо указать видимые и невидимые линии;

Пересечение двух конусов_10

6.) Обводим контуры конусов.

Смотрите видео построения здесь.

Линия пересечения двух конусов